Salta al contingut principal

Mètodes Matemàtics 3: Versió 2022–23

Secció 2.2 Transformacions de senyals

Sempre que estudiem uns objectes matemàtics o físics, hem d’entendre també com es comporten quan els subjectem a canvis.
Estudiem aquí com es comporten un senyal i la seva transformada de Fourier quan
  • sumem un altre senyal;
  • desplacem el senyal en el temps;
  • i desplacem la transformada en freqüència.
Els resultats més importants que veurem són:
\begin{align*} \cF\left(\sum_{k=1}^n a_k\,x_k(t)\right) &\ = \ \sum_{k=1}^n a_k\,\widehat{x_k}(\omega) \qquad\text{(linealitat)}\\ \cF\big(x(t-t_0)\big) & \ = \ \widehat{x}(\omega) e^{-\ii t_0 \omega} \qquad\text{(translació en el temps)}\\ \cF^{-1}\big(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\big) &\ = \ x(t) e^{\ii \omega_0 t} \qquad\text{(translació en freqüència)}\\ \cF\big(x(at)\big) &\ = \ \frac{1}{|a|} \widehat{x}\left(\frac{\omega}{a}\right) \qquad\text{(canvi d'escala)} \end{align*}

Subsecció 2.2.1 Linealitat

Si tenim un senyal \(x(t)\) i la seva transformada \(\widehat{x}(\omega)\text{,}\) i li sumem un altre senyal \(y(t)\) amb transformada \(\widehat{y}(\omega)\text{,}\) com serà la transformada de la suma?
Per sort, el comportament de la transformada de la suma és tot el senzill que puguem esperar; de fet, és tan senzill que podem permetre’ns fins i tot multiplicar a ambdues funcions amb uns nombres reals arbitraris, i encara entendrem com es comporta el resultat: la transformada de Fourier és una transformada lineal.
En fórmules, aquesta propietat de la linealitat es pot expressar mitjançant el parell de fórmules
\begin{align*} \cF\big(a x(t)\big) &= a \cF\big(x(t)\big) \qquad\text{per a tot } a\in\RR,\\ \cF\big(x_1(t) + x_2(t)\big) &= \cF\big(x_1(t)\big) + \cF\big(x_2(t)\big), \end{align*}
o expressat en la notació amb barrets,
\begin{align*} \widehat{a x(t)} &= a \widehat{x}(\omega) \qquad\text{per a tot } a\in\RR,\\ \widehat{x_1(t) + x_2(t)} &= \widehat{x_1}(\omega) + \widehat{x_2}(\omega). \end{align*}
També es pot usar una notació més abreujada, combinant aquestes dues exigències en una:

Demostració.

La transformada de Fourier és lineal perquè la integral és lineal:
\begin{align*} \cF\big(a x_1(t) + b x_2(t)\big)(\omega) &= \int_\RR \left( a x_1(t) + b x_2(t) \right) e^{-\ii\omega t} \dd t\\ &= a \int_\RR x_1(t) e^{-\ii\omega t}\dd t + b \int_\RR x_2(t) e^{-\ii\omega t}\dd t\\ &= a\, \cF\big(x_1(t)\big) + b\, \cF\big(x_2(t)\big). \end{align*}
L’extensió a la transformada o antitransformada es fa de la mateixa manera.

Nota 2.2.2.

  • l’afirmació (2.2.1) també es pot expressar com
    \begin{equation} \widehat{a x_1(t) + b x_2(t)} \ = \ a \widehat{x_1}(\omega) + b \widehat{x_2}(\omega) \qquad\text{para } a, b\in\RR,\tag{2.2.3} \end{equation}
    o com
    \begin{equation*} a x_1(t) + b x_2(t) \ \leadsto \ a \widehat{x_1}(\omega) + b \widehat{x_2}(\omega) \qquad\text{para } a, b\in\RR. \end{equation*}
  • Observem que es tracta de la mateixa propietat de linealitat que regeix per a matrius, per exemple.
Visualment, la propietat de la linealitat s’expressa com a la figura Figura 2.2.3. Matemàticament, es diu que el diagrama de la figura Figura 2.2.3 commuta.
Video cover image
Figura 2.2.3. Imatge de 3blue1brown que il·lustra la linealitat de la transformada de Fourier

Exercicis Exercicis

1. Verifiqueu que el diagrama expressa la linealitat.
Verifiqueu que les fórmules (2.2.1) y (2.2.3) expressen la commutativitat del diagrama Figura 2.2.3. Això vol dir que si
  • anem primer en direcció horitzontal a la fila de dalt,
  • i després baixem en direcció vertical per la dreta,
obtenim el mateix resultat que si
  • baixem primer en direcció vertical per l’esquerra,
  • i deprés creuem en direcció horitzontal en la fila de sota.
Pista 1.
Verifiqueu primer que anar cap avall per l’esquerra correspon a sumar les funcions \(x_1(t)\) (De 2 Hz) i \(x_2(t)\) (De 3 Hz).
Pista 2.
Verifiqueu ara que anar cap avall per la dreta correspon a sumar les funcions \(\widetilde{x_1}(\omega)\) y \(\widetilde{x_2}(\omega)\text{.}\)
Pista 3.
Quins són els valors de \(a\) y \(b\text{?}\)
Pista 4.
Expresseu en fórmules l’acció següent:
  • anem primer en direcció horitzontal a la fila de dalt,
  • i després baixem en direcció vertical per la dreta,
2. Per què Sanderson en diu ``Almost’’-Fourier Transform?
A la imatge, Figura 2.2.3, Grant Sanderson parla de la "Almost-Fourier Transform". Ara que sabem com és la transformada de Fourier de veritat, ¿Per què ha escollit aquest nom?
Pista.
La transformada de Sanderson té valors reals ...

Subsecció 2.2.2 Desplaçament temporal - modulació freqüencial

Treballarem amb la funció \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\text{.}\)
described in detail following the image
La función \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)
Figura 2.2.4. La funció original \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)

Subsubsecció 2.2.2.1 Relació entre les funcions \(x(t)\) y \(x(t-t_0)\)

La gràfica de \(x(t-t_0)\) (Blau) és igual que la gràfica de \(x(t)\) (negra) però desplaçada \(t_0\) unitats cap a la dreta.
Desplazamiento de funciones
Figura 2.2.5. La gràfica de \(x(t-t_0)\) s’obté desplaçant \(x(t)\) cap a la dreta

Subsubsecció 2.2.2.2 Relació entre les transformades de \(x(t)\) y \(x(t-t_0)\)

Aquesta propietat, que també es diu translació en el temps, explica com canvia la transformada de Fourier si traslladem el senyal original en el temps. Això vol dir que en comptes del senyal \(x(t)\) mirem el senyal \(x(t-t_0)\text{,}\) i fem la transformada de Fourier d’aquest senyal desplaçada.
Com canvia la transformada de Fourier després de desplaçar la senyal en el temps? La transformada adquireix una fase complexa, o dit d’una altra manera, la freqüència es modula.
Demostració.
Calculem la transformada de Fourier de \(y(t)\) emprant el mètode d’integració per substitució:
\begin{align*} \cF\big(x(t-t_0)\big)(\omega) &= \int_{t=-\infty}^{t=\infty} x(t-t_0)e^{-\ii\omega t} \dd t\\ &= \begin{bmatrix} u=t-t_0 \\ \dd u = \dd t \end{bmatrix}\\ &= \int_{u=-\infty-t_0}^{u=\infty-t_0} x(u)\, e^{-\ii\omega(u+t_0)} \dd u\\ &= e^{-\ii\omega t_0} \int_{u=-\infty}^{u=\infty} x(u)e^{-\ii\omega u} \dd u\\ &= e^{-\ii\omega t_0} \widehat{x}(\omega). \end{align*}
Observació 2.2.7.
l’espectre \(\widehat{x}(\omega)\) d’un senyal \(x(t)\) no varia si desplacem el senyal en el temps.
Demostració.
Per veure que l’espectre no varia, calculem
\begin{align*} \left|\cF\big(x(t-t_0)\big)\right|(\omega) &= \left|\widehat{x}(\omega)e^{-\ii t_0\omega}\right|\\ &= \left|\widehat{x}(\omega)\right|\cdot \underbrace{\left|e^{-\ii t_0\omega}\right|}_{1}\\ &= \left|\widehat{x}(\omega)\right|. \end{align*}
Exercicis Exercicis
1. El valor absolut d’una exponencial complexa.
En la demostració anterior hi havia una pas que mereix especial atenció: Per què tenim \(\left|e^{\ii\varphi}\right|=1\) per a qualsevol número real \(\varphi\text{?}\)
Pista 1.
Pensa en què significa \(e^{\ii\varphi}\) geomètricament.
Pista 2.
Per \(\varphi=\pi/3\text{,}\) dibuixa \(e^{\ii\varphi}\) en el pla complex. Quina és la interpretació del nombre \(\left|e^{\ii\varphi}\right|\text{?}\)
Solució.
  1. Es pot argumentar geomètricament: si el nombre \(\varphi\) varia sobre tots nombres reals, el radi de la circumferència descrita en el pla complex per \(e^{\ii\varphi}\) és~1
  2. També es pot calcular:
    \begin{equation*} \left|e^{\ii\varphi}\right| \ = \ \left|\cos\varphi + \ii\sin\varphi\right| \ = \ \sqrt{\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)} \ = \ 1. \end{equation*}
Exemple 2.2.8. Desplaçament d’un impuls constant.
Considerem una altra vegada el pols constant
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{per als altres valors de }t. \end{cases} \end{equation*}
de Exemple 2.1.5 i ho traslladem 2 unitats a la dreta. Com canvia la seva transformada de Fourier?
Per veure-ho, apliquem el Teorema 2.2.6 a la transformada
\begin{equation*} \widehat{x}(\omega) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega} & \text{ si }\omega\ne0, \\ 2 & \text{ si }\omega=0 \end{cases} \end{equation*}
obtenim
\begin{equation*} \cF\big(x(t-2)\big) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega}\,e^{-2\ii\omega} & \text{ si }\omega\ne0, \\ 2 & \text{ si }\omega=0. \end{cases} \end{equation*}
Observa que la transformada del senyal ha adquirit una fase complexa \(e^{-2\ii\omega}\text{.}\) En cas de \(\omega=0\) no es nota, perquè \(e^{-2\ii\cdot 0} = 1\text{.}\)

Subsecció 2.2.3 Desplaçament en freqüència - modulació temporal

Si desplacem la transformada de Fourier (o l’espectre) d’un senyal, es modula el senyal amb una oscil·lació complexa.

Subsubsecció 2.2.3.1 Relació entre les transformades \(\widehat{x}(\omega)\) y \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\)

\(x(\omega)\)\(x(\omega-\omega_0)\text{.}\)
La gràfica de \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\) és igual que la gràfica de \(\widehat{x}(\omega)\text{,}\) però desplaçada \(\omega_0\) unitats cap a la dreta.
Tornarem amb el nostre exemple \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\) de Figura 2.2.4, l’espectre és
\begin{equation*} |\widehat{x}(\omega)| \ = \ \frac12\left( \pi + \pi e^{4\pi\omega} - 2\pi e^{2\pi\omega} \right)\,e^{-\pi^2 - 2\pi\omega - \omega^2}. \end{equation*}
Una funció
Figura 2.2.9. La funció original \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)
described in detail following the image
Espectre de \(x(t)\)
Figura 2.2.10. L’espectre de \(x(t)\)
Desplazamiento de funciones
Figura 2.2.11. La gràfica de \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\) s’obté desplaçant \(\widehat{x}(\omega)\) cap a la dreta

Subsubsecció 2.2.3.2 Relació entre les antitransformades de \(\widehat{x}(\omega)\) y \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\)

Nota 2.2.13.
  1. Atès que el senyal original adquireix un factor complex, no es pot dibuixar fàcilment el canvi.
  2. Cal observar que el signe del factor exponencial complex és oposat al de Teorema 2.2.6.
  3. Les demostracions d’aquesta propietat i les altres es fan de manera molt similar a la demostració de Teorema 2.2.6, i no les donarem aquí.
Exemple 2.2.14. Desplaçament d’un impuls constant.
Considerem una altra vegada el pols constant
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{per als altres valors de }t. \end{cases} \end{equation*}
de Exemple 2.1.5, i ho modifiquem multiplicant amb una oscil·lació complexa:
\begin{equation*} y(t) \ = \ e^{2\ii t} x(t) \ = \ \big(\cos(2t) + \ii\sin(2t)\big) x(t) \ = \ \begin{cases} e^{2\ii t} & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{para los demás valores de }t. \end{cases} \end{equation*}
Com canvia la seva transformada de Fourier?
Per veure-ho, apliquem el Teorema 2.2.12:
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \widehat{x}(\omega-2) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin(\omega-2)}{\omega-2} & \text{ si }\omega\ne2, \\ 2 & \text{ si }\omega=2. \end{cases} \end{equation*}

Subsecció 2.2.4 Canvi d’escala temporal

Subsubsecció 2.2.4.1 Relació entre les funcions \(x(t)\) y \(x(at)\)

La relació entre aquestes funcions depèn de la valor de \(a\text{.}\)
  1. Si \(a=1\text{,}\) Les funcions \(x(t)\) y \(x(at)\) són iguals.
  2. Si \(a>1\text{,}\) la gràfica de \(x(at)\) és igual que la gràfica de \(x(t)\text{,}\) però l’eix dels \(t\) és comprimeix en un factor \(a\text{.}\)
  3. Si \(0 < a < 1\text{,}\) la gràfica de \(x(at)\) és igual que la gràfica de \(x(t)\text{,}\) però l’eix dels \(t\) s’expandeix en un factor \(1/a\text{.}\)
  4. Si \(a=0\text{,}\) la gràfica de \(x(at)\) és la gràfica de la funció constant \(t\mapsto x(0)\text{.}\)
  5. Si \(a=-1\text{,}\) la gràfica de \(x(-t)\) és la gràfica de la funció \(x(t)\text{,}\) però reflectida a l’eix \(y\text{.}\)
  6. Si \(-1 < a < -1\text{,}\) la gràfica de \(x(at)\) és la gràfica de la funció \(x(t)\text{,}\) però reflectida al voltant de l’eix \(y\text{,}\) i l’eix dels \(t\) s’expandeix en un factor \(1/|a|\text{.}\)
  7. Si \(a < -1\text{,}\) la gràfica de \(x(at)\) és la gràfica de la funció \(x(t)\text{,}\) però reflectida al voltant de l’eix \(y\text{,}\) i l’eix dels \(t\) es comprimeix en un factor \(|a|\text{.}\)
Ull que la relació entre el factor \(a\) i el comportament de \(f(ax)\) pot ser que no sigui la que un s’espera! En les gràfiques de Figura 2.2.15 - Figura 2.2.18 es pot comprovar si la intuïció és certa.
Escalada de funciones
Figura 2.2.15. una funció \(f(x)\) Negra junta amb \(f(2x)\) blava y \(f(3x)\) vermella ( * )
Escalada de funciones
Figura 2.2.16. una funció \(f(x)\) Negra junta amb \(f(x/2)\) BLAU y \(f(x/3)\) vermella ( * )
Escalada de funciones
Figura 2.2.17. una funció \(f(x)\) Negra junta amb \(f(-2x)\) BLAU y \(f(-3x)\) vermella ( * )
Escalada de funciones
Figura 2.2.18. una funció \(f(x)\) Negra junta amb \(f(-x/2)\) BLAU y \(f(-x/3)\) vermella ( * )

Subsubsecció 2.2.4.2 Relació entre les transformades de \(x(t)\) y \(x(at)\)

Tornarem amb el nostre exemple \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\) de Figura 2.2.4, l’espectre és
\begin{equation*} |\widehat{x}(\omega)| \ = \ \frac12\left( \pi + \pi e^{4\pi\omega} - 2\pi e^{2\pi\omega} \right)\,e^{-\pi^2 - 2\pi\omega - \omega^2}. \end{equation*}
Una funció
Figura 2.2.20. La funció original \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)
described in detail following the image
Espectre de \(x(t)\)
Figura 2.2.21. L’espectre de \(x(t)\)
Veiem que l’efecte de reemplaçar \(x(t)\) per \(x(2t)\) es el de reemplaçar \(\widehat{x}(\omega)\) per \(\widehat{x}(\omega/2)/2\text{.}\)
Una funció
Figura 2.2.22. La funció escalada \(x(2t)=e^{-2t^2}\sin(2\pi t)\)
described in detail following the image
Espectre de \(x(t)\)
Figura 2.2.23. L’espectre de \(x(2t)\)
AnteriorTopSegüent