Salta al contingut principal

Mètodes Matemàtics 3: Versió 2022–23

Secció 2.1 Anàlisi i Síntesi

Com la transformada de Fourier és una eina que s’ha utilitzat en tants contextos diferents de les matemàtiques i l’enginyeria, al llarg de la història han sorgit moltes notacions diferents. Nosaltres en farem servir sobretot dues, la notació amb barrets \(\widehat{x(t)} = \widehat{x}(\omega)\) i la notació amb F cal·ligràfica \(\cF\big(x(t)\big) = \cF(x)(\omega)\text{.}\)

Definició 2.1.1.

Sigui , \(f(t):\RR\to\RR\) un senyal real, periòdica o no.
El anàlisi de Fourier o transformada de Fourier de \(f(t)\) es
\begin{equation} \cF\big(f(t)\big)(\omega) \ = \ \widehat{f}(\omega) \ = \ \int_\RR f(t) e^{-\ii\omega t}\dd t.\tag{2.1.1} \end{equation}
El síntesi de Fourier o transformada inversa de Fourier de \(f(t)\) es
\begin{equation} \cF^{-1}\big(\widehat{f}(\omega)\big)(t) \ = \ f(t) \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \widehat{f}(\omega) e^{\ii\omega t}\dd \omega.\tag{2.1.2} \end{equation}

Nota 2.1.2.

  1. la notació \(\int_\RR\) vol dir integrar sobre tots els nombres reals:
    \begin{equation*} \int_\RR f(t)\dd t \ := \ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\dd t. \end{equation*}
  2. L’anàlisi i la síntesi tenen un signe diferent en el terme \(e^{\pm\ii\omega t}\text{.}\)
  3. L’anàlisi i la síntesi són operacions inverses, en el sentit que \(\cF^{-1}\big(\cF(x(t))) = x(t)\) y \(\cF\big(\cF^{-1}(\widehat{x}(\omega))) = \widehat{x}(\omega)\text{.}\) Aquest fet també es pot expressar mitjançant el diagrama
    \begin{equation*} x(t) \ \xtofrom[\cF^{-1}]{\cF} \ \widehat{x}(\omega) \end{equation*}
  4. Tant la transformada de Fourier com la transformada inversa de Fourier són funcions amb valors complexos. Això vol dir que no es poden dibuixar sense més sobre un paper o una pantalla.
  5. Si \(x:\RR\to\RR\text{,}\) \(t\mapsto x(t)\) és una funció amb valors reals com totes les funcions que tractarem en aquesta assignatura, la qual cosa implica que \(\overline{x(t)} = x(t)\) per a tota \(t\in\RR\text{,}\) llavors la seva transformada de Fourier \(\widehat{x}(\omega)\) és una funció conjugada complexa:
    \begin{equation*} \overline{\widehat{x}(\omega)} \ = \ \overline{\int_\RR x(t) e^{-\ii\omega t}\dd t} \ = \ \int_\RR \overline{x(t)}\cdot\overline{e^{-\ii\omega t}} \dd t \ = \ \int_\RR x(t) e^{\ii\omega t} \dd t \ = \ \widehat{x}(-\omega). \end{equation*}

Observació 2.1.3. El valor de la transformada de Fourier per \(\omega=0\) és la integral sobre tot el domini de la funció.

Això se segueix que
\begin{equation*} \widehat{f}(0) \ = \ \int_\RR f(t) e^{-\ii\cdot 0\cdot t}\dd t \ = \ \int_\RR f(t)\dd t. \end{equation*}

Exemple 2.1.4. La transformada de Fourier d’un pols constant (preliminar).

Sigui , \(x(t)\) el senyal
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{per als altres valors de }t. \end{cases} \end{equation*}
Calculem la seva transformada de Fourier segons la definició:
\begin{align*} \widehat{x}(\omega) &= \int_\RR x(t)e^{-\ii\omega t}\dd t\\ &= \int_{-1}^1 e^{-\ii\omega t}\dd t \qquad\qquad \text{[per la definició de }x(t)]\\ &= \left. \frac{1}{-\ii\omega} e^{-\ii\omega t}\right|_{-1}^1\\ &= \left. \frac{\ii}{\omega} e^{-\ii\omega t}\right|_{-1}^1 \qquad\qquad \text{[ja que }\frac{1}{\ii} = -\ii]\\ &= \left. \frac{\ii}{\omega} \left( \cos \omega t - \ii\sin \omega t \right) \right|_{-1}^1\\ &= \left. \frac{\ii}{\omega}\cos\omega t + \frac{1}{\omega}\sin\omega t \right|_{-1}^1 .\\ &= \left( \frac{\ii}{\omega}\cos\omega + \frac{1}{\omega}\sin\omega \right) - \left( \frac{\ii}{\omega}\cos(-\omega) + \frac{1}{\omega}\sin(-\omega) \right)\\ &= \left( \frac{\ii}{\omega}\cos\omega + \frac{1}{\omega}\sin\omega \right) - \left( \frac{\ii}{\omega}\cos(\omega) - \frac{1}{\omega}\sin(\omega) \right)\\ &= \frac{2\sin\omega}{\omega}. \end{align*}

Exercicis Exercicis

1.

Al Exemple 2.1.4 hi ha un error de càlcul: Troba’l.
Pista 1.
El resultat no és vàlid per a tots els valors de \(\omega\text{.}\)
Pista 2.
El resultat contradiu l’Observació 2.1.3.
Solució.
Per \(\omega=0\) i pel càlcul Exemple 2.1.4 no és vàlid. Això es deu al fet que en la tercera línia de la derivació surt l’expressió
\begin{equation*} \frac{1}{-\ii\omega}e^{-\ii\omega t} \end{equation*}
que no té sentit per \(\omega=0\text{.}\)
Per tal de corregir aquest error, cal fer el compte per a \(\omega=0\) a banda:
\begin{align*} \widehat{x}(0) &= \int_\RR x(t) e^{\ii\cdot 0\cdot t} \dd t\\ &= \int_{-1}^1 1\dd t\\ &= 2. \end{align*}

Exemple 2.1.5. La transformada de Fourier d’un pols constant (correcte).

L’expressió correcta de la transformada de Fourier de la funció
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 \amp \text{ si }\quad -1\le t\le 1,\\ 0 \amp \text{pels altres valors de}\ t. \end{cases} \end{equation*}
és
\begin{equation*} \widehat{x}(\omega) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega} & \text{ si }\omega\ne0, \\ 2 & \text{ si }\omega=0. \end{cases} \end{equation*}

Nota 2.1.6.

Al Exemple 2.1.5 hem calculat que
\begin{equation*} \cF\left( \begin{cases} 1 \amp \text{ si}\quad -1\le t\le 1 \\ 0 \amp \text{ altrament} \end{cases} \right) \ = \ \begin{cases} 2 \frac{\sin\omega}{\omega} \amp \text{ si }\quad \omega \ne 0,\\ 2\amp \text{ si }\quad \omega = 0. \end{cases} \end{equation*}
A molts textos d’enginyeria, la funció \(\frac{\sin\omega}{\omega}\) s’anomena sinus cardinal (sinc), vegeu Figura 2.1.7.
Figura 2.1.7. la funció \(\sinc(x)=\frac{\sin x}{x}\)

Definició 2.1.8.

Sigui \(f(t):\RR\to\RR\) un senyal real, periòdic o no.
L’espectre de \(f(t)\) és el valor absolut de la transformada de Fourier de \(f\text{:}\)
\begin{align*} \left|\widehat{f}\right|: \RR &\to\RR,\\ \omega &\mapsto \left|\widehat{f}(\omega)\right| \end{align*}
A diferència de la transformada de Fourier i la transformada inversa de Fourier, l’espectre sí que és una funció amb valors reals, i per tant si que es pot dibuixar sobre un pla.
Figura 2.1.9. L’espectre d’una funció constant
AnteriorTopSegüent