Salta al contingut principal

Mètodes Matemàtics 3: Versió 2022–23

Secció 2.3 Convolució

La convolució és una operació que combina dos senyals \(x(t),y(t)\) i produeix un tercer senyal \((x\star y)(t)\) a partir d’una integral de \(x(t)\) e \(y(t)\text{.}\)

Definició 2.3.1. Convolució de funcions.

siguin \(x,y:\RR\to\RR\text{,}\) \(t\mapsto x(t)\text{,}\) \(t\mapsto y(t)\) dos senyals. La convolució de \(x(t)\) e \(y(t)\) es
\begin{equation} (x\star y)(t) \ := \ \big(x(t)\star y(t)\big)(t) \ := \ \int_\RR x(\xi)y(t-\xi)\dd \xi.\tag{2.3.1} \end{equation}

Observació 2.3.2. Forma alternativa de la convolució.

La convolució també es pot expressar com
\begin{equation} (x\star y)(t) \ = \ \int_\RR x(t-\xi) y(\xi)\dd\xi.\tag{2.3.2} \end{equation}
Per veure-ho, n’hi ha prou substituir \(\eta=t-\xi\text{,}\) \(\dd\eta = -\dd\xi\) en (2.3.1). Ja que el costat dret de (2.3.2) és igual que \((y\star x)(t)\) avaluat segons (2.3.1), Deduïm la commutativitat de la convolució:
\begin{equation*} (x\star y)(t) \ = \ (y\star x)(t). \end{equation*}
Per aprendre les formules (2.3.1) y (2.3.2), observem que la variable d’integració \(\xi\) apareix amb signe diferent a \(x()\) e \(y()\text{,}\) però la \(t\) és sempre positiva.

Observació 2.3.3. Interpretació dinàmica.

la fórmula (2.3.1) es pot interpretar de la següent manera.
  1. la convolució \(x\star y\) depèn d’un paràmetre \(t\text{.}\)
  2. Com es calcula el valor \((x\star y)(t)\) de \(x\star y\) per a aquest paràmetre \(t\text{?}\)
  3. Resposta (compara la primera columna de Figura 2.3.4):
    1. Es dibuixa la gràfica de \(y\) en un sistema de coordenades, on un dels eixos es diu \(\xi\text{.}\) Aquesta és la gràfica \(y(\xi)\text{.}\)
    2. En el mateix sistema de coordenades, es dibuixa la gràfica de \(x(\xi)\text{,}\) Però reflectida en l’eix vertical, la qual cosa dóna \(x(-\xi)\) i traslladada \(t\) unitats cap a l’esquerra. Aquesta és la gràfica \(x(t-\xi)\text{.}\)
    3. Es fixa únicament en la part on tant \(y(\xi)\) com \(x(t-\xi)\) no s’anul·len.
    4. el valor \((x\star y)(t)\) és el valor d’integral del producte \(x(t-\xi)y(\xi)\text{.}\)
Un interpretació anàloga, amb el paper de \(x\) e \(y\) intercanviat, es pot fer per (2.3.2).
Convolución, correlación cruzada y autocorrelación de dos funciones.
Figura 2.3.4. Convolució, correlació creuada i autocorrelació de dues funcions. imatge de Cmglee
 1 
User:Cmglee
, (CC BY-SA 3.0)
 2 
3.0
, Link
 3 
index.php?curid=20206883

Observació 2.3.5.

La correlació creuada i la autocorrelació són conceptes estretament relacionats amb la convolució, compara la segona i la tercera columna de Figura 2.3.4. No obstant això, no els treballarem en aquesta assignatura.

Exemple 2.3.6. Convolució d’un pols rectangular i un pols triangular.

Per entendre amb més detall la Figura 2.3.4, considerem el pols rectangular
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } 0\le t\le 1 \\ 0 & \text{per a la resta de valors de } t \end{cases}, \end{equation*}
i el pols triangular
\begin{equation*} y(t) \ = \ \begin{cases} 1-t & \text{ si } 0\le t\le 1 \\ 0 & \text{per a la resta de valors de } t \end{cases}. \end{equation*}
La convolució de \(x(t)\) e \(y(t)\) es
\begin{align*} (x\star y)(t) & = \int_\RR x(\xi)y(t-\xi)\dd \xi\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left( \begin{cases} 1 & \text{ si } \xi\in [0,1] \\ 0 & \text{ si } \xi\notin [0,1] \end{cases} \right) \left( \begin{cases} 1-t+\xi & \text{ si } t-\xi \in [0,1] \\ 0 & \text{ si } t-\xi \notin [0,1] \end{cases} \right) \dd\xi. \end{align*}
Per tal de simplificar aquesta integral, treballem primer el segon factor.
\begin{align*} t-\xi & \ \in\ [0,1]\\ \ \iff \ \xi - t & \ \in \ [-1,0]\\ \ \iff \ \xi &\ \in \ t + [-1,0] \ = \ [t-1,t] , \end{align*}
Está
\begin{equation*} (x\star y)(t) \ = \ \int_{-\infty}^\infty \left( \begin{cases} 1 & \text{ si } \xi\in [0,1] \\ 0 & \text{ si } \xi\notin [0,1] \end{cases} \right) \left( \begin{cases} 1-t+\xi & \text{ si } \xi \in [t-1,t] \\ 0 & \text{ si } \xi \notin [t-1,t] \end{cases} \right) \dd\xi. \end{equation*}
El primer factor s’anul·la si \(\xi\notin[0,1]\text{,}\) i el segon si \(\xi\notin[t-1,t]\text{.}\)
  1. Si \([0,1]\cap[t-1,t]=\emptyset\text{,}\) és a dir, si aquests dos intervals són disjunts per a qualsevol valor de \(\xi\) hi haurà un dels dos factors que s’anul·la, i la integral serà 0. Això passa per
    \begin{equation*} t < 0 \qquad \text{y} \qquad t > 2. \end{equation*}
  2. En canvi, per
    \begin{equation*} 0 \ \le \ t \ \le \ 2 \end{equation*}
    aquests dos intervals es solapen. Més precisament,
    \begin{equation*} [0,1] \cap [t-1,t] \ = \ \begin{cases} [0,t] & \text{per a } t\in[0,1], \\ [t-1,1] & \text{per a } t\in[1,2]. \end{cases} \end{equation*}
Per tant,
\begin{align*} (x\star y)(t) & = \begin{cases} \int_0^t 1\cdot (1-t+\xi) \dd \xi & \text{ si } t\in[0,1], \\ \int_{t-1}^1 1\cdot (1-t+\xi) \dd \xi & \text{ si } t\in[1,2] \end{cases}\\ &= \begin{cases} \left. (1-t)\xi + \tfrac12 \xi^2 \right|_{\xi=0}^{\xi=t} & \text{ si } t\in[0,1], \\ \left. (1-t)\xi + \tfrac12 \xi^2 \right|_{\xi=t-1}^{\xi=1} & \text{ si } t\in[1,2] \end{cases}\\ &= \begin{cases} (1-t)t + \tfrac12 t^2 & \text{ si } t\in[0,1], \\ (1-t) + \tfrac12 - (1-t)(t-1) - \tfrac12 (t-1)^2 & \text{ si } t\in[1,2] \end{cases}\\ &= \begin{cases} t-\tfrac12 t^2 & \text{ si } t\in[0,1], \\ \tfrac32 - t + \tfrac12 (t-1)^2 & \text{ si } t\in[1,2]. \end{cases} \end{align*}
A la primera columna de Figura 2.3.4 podem veure una representació gràfica d’aquesta funció. Vam comprovar que, efectivament, \((x\star y)(0) = (x\star y)(2) = 0\) y \((x\star y)(1)=\tfrac12\text{.}\)
A part del seu parentiu amb la correlació creuada i l’autocorrelació, la raó per què la convolució juga un paper molt important en la teoria de la transformada de Fourier és que la transformada de Fourier transforma la convolució en la multiplicació, i a la recíproca.

Demostració.

La demostració, d’una banda, no és d’el tot trivial, i d’altra banda tampoc la farem servir en aquesta assignatura. Per tant, ens remetem a la Viquipèdia
 4 
Teorema_de_convoluci%C3%B3
.
AnteriorTopSegüent