Espectre

Secció 1.6 Espectre

Considerem un senyal \(x(t)\) de període \(T\) i freqüència fonamental \(\omega_0=\frac{2\pi}{T}\text{.}\) Per poder llegir la informació continguda en els coeficients de Fourier trigonomètrics i complexos de \(x(t)\) de manera ràpida i intuïtiva, necessitem una representació gràfica: l’espectre de \(x(t)\text{.}\)

Ja que la forma trigonomètrica i la forma complexa de la transformada de Fourier de \(x(t)\text{,}\)

\begin{align*} f(t) & \ = \ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right)\\ & \ = \ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{\ii \frac{2\pi n}{T}\, t} \end{align*}

són una mica diferents, hi ha una versió de l’espectre per a cada un.

Definició 1.6.1. espectre real.

Les components de l’ espectre real es defineixen a partir dels coeficients de la sèrie de Fourier trigonomètrica.

Per al terme DC o constant, que correspon a \(n=0\text{,}\) S’escull el valor \(\frac{1}{2}|a_0|\text{.}\)
Per als termes AC, el \(n\)-èsim dels quals correspon al múltiple \(n\)-èsim de la freqüència fonamental, amb \(n\ge1\text{,}\) s’escull el valor \(\sqrt{a_n^2+b_n^2}\text{.}\)

La gràfica de l’espectre real consisteix, per tant, del conjunt de punts en el pla

\begin{equation*} \left(0, \tfrac{1}{2}|a_0|\right) \quad\bigcup\quad \left\{ \left(n\omega_0,\sqrt{a_n^2+b_n^2}\right) : n\ge 1 \right\}. \end{equation*}

Exemple 1.6.2.

Considerem el senyal

\begin{equation} x(t) \ = \ \frac12 - \frac13 \sin t + \frac14 \cos 2t\tag{1.6.1} \end{equation}

que té període fonamental \(T=2\pi\) i freqüència fonamental \(\omega_0=1\text{.}\) A la imatge, Figura 1.6.3 podem veure la representació d’aquest senyal i el seu espectre real. Les components de l’espectre es calculen de la següent manera:

Desde (1.6.1) deduïm que \(\frac{a_0}{2} = \frac12\text{.}\) Aquesta constant contribueix el punt \((0,0.5)\) a l’espectre.
De el terme \(-\frac13\sin t\) deduïm que \(b_1 = -\frac13\text{.}\) No hi ha cap terme de la forma \(\cos t\text{;}\) per tant \(a_1=0\) i no hi ha més contribucions a l’harmònic \(n=1\text{.}\) La contribució del primer harmònic és
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{0^2 + \left(-\frac13\right)^2} \ = \ \frac13, \end{equation*}
i obtenim el punt \((1\cdot\omega_0,\frac13) = (1,0.33)\text{.}\)
De dalt estant del terme \(\frac14\cos 2t\) deduïm el punt \((2\omega_0,\frac14) = (2, 0.25)\text{.}\)

Una señal y su espectro real — Figura 1.6.3.
*Esquerra:* El senyal \(x(t) \ = \ \frac12 - \frac13 \sin t + \frac14 \cos 2t\) (Blau) descomposta en els seus tres components. *Dreta:* L’espectre real de \(x(t)\)

L’espectre complex, A l’igual que l’espectre real, ressalta la importància de cada harmònic en la síntesi del senyal. La diferència és que es defineix a partir dels coeficients de Fourier complexa:

Definició 1.6.4. Espectre complex.

Les components de l’espectre complex es defineixen a partir dels coeficients de la sèrie de Fourier complexa.

l’harmònic \(n\)-èsim, per a \(n\in\ZZ\text{,}\) que corresponen a la freqüència 0 i als múltiples positius i negatius de la freqüència fonamental, contribueix els punts del plànol \((n\omega_0, |c_n|)\text{.}\)

Una señal y su espectro complejo — Figura 1.6.5.
*Esquerra:* El senyal \(x(t) \ = \ \frac12 - \frac13 \sin t + \frac14 \cos 2t\) (Blau) descomposta en els seus tres components. *Dreta:* L’espectre complex de \(x(t)\)

Nota 1.6.6.

Com els coeficients reals i complexos de la sèrie de Fourier estan relacionats, els espectres també ho són. Dóna les relacions (1.4.9), (1.4.10), (1.4.11) entre els coeficients reals i complexos obtenim la relació entre els espectres:

\(|c_0|=\frac{1}{2}|a_0|\text{.}\)
\(|c_{-n}|=|c_n|=\left|\frac{1}{2}\right|\left|a_n+\ii b_n\right|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}\text{.}\)

Nota 1.6.7.

Quan calculem l’espectre d’un senyal, només tenim en compte el valor absolut dels coeficients complexos, no els coeficentes mateixos. En conseqüència, hi ha senyals amb coeficients diferents, i per tant amb gràfiques diferents que, malgrat això, tenen el mateix espectre.

Tres senyals amb diferents coeficients, però amb el mateix espectre — Figura 1.6.8. Tres senyals amb coeficients diferents, però el mateix espectre

Exemple 1.6.9.

A la imatge, Figura 1.6.8 veiem els senyals

\begin{align*} x_1(t) &\ = \ \tfrac12 - \tfrac13 \sin t + \tfrac14 \cos 2t,\\ x_2(t) &\ = \ \tfrac12 - \tfrac13 \cos t + \tfrac14 \cos 2t,\\ x_3(t) &\ = \ \tfrac12 - \tfrac15 \cos t + \tfrac{4}{15} \sin t + \tfrac14 \cos 2t, \end{align*}

que tenen el mateix espectre.

Això es deu al fet que els coeficients

\begin{equation*} a_0/2 \ = \ \tfrac12, \qquad a_2 \ = \ \tfrac14 \end{equation*}

són els mateixos pels tres senyals, i els coeficients del primer harmònic (\(n=1\)), contribueixen el mateix a l’espectre:

En el cas \(x_1(t)\) el primer harmònic és \(-\tfrac13\sin t\text{,}\) que té \(a_1=0\text{,}\) \(b_1=-\tfrac13\) i contribueix
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{0^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2} \ = \ \frac13. \end{equation*}
En el cas \(x_2(t)\) el primer harmònic és \(-\tfrac13\cos t\text{,}\) que té \(a_1=-\tfrac13\text{,}\) \(b_1=0\) i contribueix
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 0^2} \ = \ \frac13. \end{equation*}
En el cas \(x_3(t)\) el primer harmònic és \(-\tfrac15\cos t + \tfrac{4}{15}\sin t\text{,}\) que té \(a_1=-\tfrac15\text{,}\) \(b_1=\tfrac{4}{15}\) i contribueix
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{\left(-\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{15}\right)^2} \ = \ \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{16}{225}} \ = \ \sqrt{\frac{9 + 16}{225}} \ = \ \frac{5}{15} \ = \ \frac13. \end{equation*}

Anterior Top Següent