que es poden analitzar mitjançant les sèries de Fourier són
Les forces que actuen sobre una agulla d’una màquina de cosir en marxa;
L’evolució en el temps de la pressió de gas en els cilindres d’un motor, i de les forces sobre l’eix;
La pressió d’aire sobre la membrana d’un micròfon quan està gravant un so;
El model matemàtic per a un procés periòdic per a nosaltres serà una funció periòdica.
Definició1.3.1.
una funció \(f:\RR\to\RR\) es periòdica si podem trobar un número \(T\in\RR\) tal que
\begin{equation*}
f(t+T) \ = \ f(t)
\qquad\text{per a tota }\ t\in\RR.
\end{equation*}
qualsevol número \(T\) que verifiqui aquesta equació s’anomena un període de \(f\text{.}\)
El nombre \(T\gt0\) més petit que verifiqui aquesta equació s’anomena període fonamental de \(f\text{,}\) i moltes vegades l’escrivim \(T_0\text{.}\)
Observació1.3.2.
Una funció periòdica amb període fonamental \(T\) és també periòdica amb període \(2T, 3T, -5T,\dots\)
Sempre que treballem amb processos periòdics parlarem de la freqüència que mesura el nombre de repeticions del procés periòdic
Definició1.3.3.
La freqüència d’una funció \(f(t)\) de període fonamental \(T\) és \(F=\frac{1}{T}\text{.}\) S’interpreta com el nombre de vegades que es repeteix el senyal per unitat de mesura de la variable independent. Si \(t\) es mesura en segons, \(F\) en \(\frac{1}{\text{seg}} =Hz\text{.}\)
La freqüència angular d’una funció \(f(t)\) de període fonamental \(T\) és \(\omega=2\pi F=\frac{2\pi}{T}\text{.}\) S’interpreta com el nombre de vegades que que es repeteix el senyal per cicle (\(2\pi\) radiants). Si \(t\) es mesura en segons, \(\omega\) en \(rad/seg\text{.}\)
En el desenvolupament d’aquest tema treballarem fonamentalment amb freqüències angulars.
Exemple1.3.4.
Considerem la funció \(f(t)=\sin(\pi t)\text{.}\)
La función \(f(t)=\sin(\pi t)\)
Figura1.3.5.\(f(t)=\sin(\pi t)\)\(f(t+2)=
\sin(\pi(t+2)) =
\sin(\pi t + 2\pi) =
\sin(\pi t) = f(t)\text{.}\)\(T=2\) és un període de \(f\text{,}\) a l’igual que \(T=-2,0,2,4,6\text{.}\) Ja que entre tots aquests números, el més petit però positiu és \(2\text{,}\) el període fonamental de \(f(t)=\sin(\pi t)\) serà \(T_0=2\text{.}\)
Subsecció1.3.1Funcions parelles i senars
Les propietats d’una funció de ser parella o senar no té, en principi, res a veure amb la propietat d’un número de ser parell (divisible entre 2) o senar. Malgrat això, encara que la propietat d’una funció de ser parella o senar eno té molta relació amb els nombres, la relació d’aquestes propietats és prou anàloga com per justificar-ne el nom.
Definició1.3.6.
una funció \(f:\RR\to\RR\) és parella si
\begin{equation*}
f(-x)
\ = \
f(x)
\qquad\text{per a tota }
x\in\RR.
\end{equation*}
una funció \(f:\RR\to\RR\) és senar si
\begin{equation*}
f(-x)
\ = \
-f(x)
\qquad\text{per a tota }
x\in\RR.
\end{equation*}
Figura1.3.7.Diverses funcions parelles
Figura1.3.8.Diverses funcions senars
Exemple1.3.9.
Exemples de funcions parelles són
El valor absolut: \(x\mapsto |x|\text{;}\)
Les funcions potència amb exponent parell: \(x\mapsto x^2\text{,}\)\(x\mapsto x^6\text{,}\) etc.;
El cosinus: \(x\mapsto\cos(x)\text{.}\)
Exemples de funcions senars són
La funció identitat \(x\mapsto x\text{;}\)
Les funcions potència amb exponent senar: \(x\mapsto x^3\text{,}\)\(x\mapsto x^7\text{,}\) etc.;
