Secció 4.5 Funció de transferència d’un sistema LTI
Definició 4.5.1.
En un sistema LTI on tenim una funció d’entrada al sistema i la funció de sortida corresponent a aquesta entrada, la funció de transferència del sistema és el quocient entre la transformada de la sortida i la transformada de l’entrada:
\begin{equation*}
\hspace{-2cm}\text{Funció de transferència del sistema}=
\frac{\text{Transformada (sortida)}}{\text{Transformada (entrada)}}.
\end{equation*}
Recordeu que ja vam veure aquest concepte en el context de la transformada de Fourier (
Definició 2.6.9).
Estudiarem quin significat té per a sistemes LTI definits per EDOs lineals amb coeficients constants.
Per a facilitar els càlculs ho farem amb sistemes d’ordre 2. Considerem l’equació diferencial
\begin{equation*}
a\,y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)=f(t)
\end{equation*}
amb condicions inicials nul·les
\begin{equation*}
y(0)=0\, , \ y'(0)=0.
\end{equation*}
Volem calcular la funció de transferència del sistema que determina aquesta EDO. Apliquem la TL a l’EDO:
\begin{equation*}
\mathrm{L}\left(a\,y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)\right)=\mathrm{L}\left(f(t)\right)
\end{equation*}
Per linealitat:
\begin{equation*}
a\,\mathrm{L}\left(y''(t)\right)+b\,\mathrm{L}\left(y'(t)\right)+c\,Y(s)
=F(s)
\end{equation*}
Aplicant la propietat de la transformada de les derivades tenim
\begin{align*}
\mathrm{L}\left(y'(t)\right)&=s\,Y(s)-y(0)=s\, Y(s)\, ;\\
\mathrm{L}\left(y''(t)\right)&=s^2 Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2\, Y(s)
\end{align*}
Substituïm aquestes transformades i aïllem \(Y(s)\text{:}\)
\begin{align*}
a\,s^2\, Y(s)+b\,s\, Y(s)+c\,Y(s)
&=F(s)\\
(a\,s^2 +b\,s+c)\,Y(s)&=F(s)\\
Y(s)&= \frac{1}{a\,s^2 +b\,s+c}\, F(s)
\end{align*}
D’aquí deduïm que la funció de transferència quan el sistema es troba en repòs és
\begin{equation*}
H(s)=\frac{1}{a\,s^2 +b\,s+c}
\end{equation*}
perquè d’aquesta manera tenim:
\begin{equation*}
\hspace{-0.6cm} Y(s)=H(s)\, F(s)\qquad \Longleftrightarrow\qquad
H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}
\end{equation*}
