Nota 2.4.1.
Quan parlem de la matèria coneguda ens referim al fet que segons el consens científic actual, només el 5% de l’univers està fet de matèria coneguda; el 20% està compost de matèria obscura1
Dark_matter2
Dark_energySecció 2.4 La distribució delta de Dirac
Per preparar el proper capítol, parlarem aquí d’una eina matemàtica útil per representar entitats que no tenen extensió temporal o espacial, és a dir que estan concentrades en un únic punt (del temps o de l’espai).
Un motivació pot venir de les partícules elementals. Sabem que la matèria de l’univers que coneixem està feta per partícules elementals, com electrons, protons, muons, etc. , i el 75% restant de energia fosca. A hores d’ara, no tenim cap idea de què estan compostos ni la matèria ni l’energia fosca. Potser fins i tot han sentit que la immensa majoria de la matèria coneguda (És a dir, aquest 5% sobre el qual tenim alguna idea) està feta només de tres partícules elementals, els electrons d’una banda, i els quarks Up y down que componen, entre altres, els protons i neutrons.
3
QuarkSegons les més sofisticades mesures fetes fins ara, els electrons no tenen cap extensió a l’espai, és a dir, no hem aconseguit atribuir, fins als límits de precisió que vam aconseguir assolir, cap gruix ni longitud. Tota la càrrega elèctrica d’un electró sembla estar, per tant, concentrada en un únic punt. (Ull que estem deixant de banda moltes consideracions de la mecànica quàntica.)
Per tal de modelitzar una partícula punt així, situada en el lloc \((x_0,y_0,z_0)\) per exemple. ens agradaria treballar amb una abstracció matemàtica per la seva càrrega elèctrica \(q(x,y,z)\) que verifiqui les següents propietats:
- Fora del lloc de la partícula no hi ha cap càrrega:\begin{equation*} q(x,y,z)=0 \qquad \text{si } (x,y,z)\ne(x_0,y_0,z_0) \end{equation*}
- La càrrega total en l’espai és igual a la càrrega \(q_e\) de l’electró:\begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty q(x,y,z) \dd x\dd y \dd z \ = \ q_e. \end{equation*}
Malauradament, no hi ha cap funció matemàtica \(q(x,y,z)\) així. La raó és que \(q(x,y,z)\) només és diferent de zero en un punt, el punt \((x_0,y_0,z_0)\) on està ubicada la partícula, però la integral sobre una funció que només difereix de 0 en un únic punt és zero.
No obstant això, disposar d’una abstracció matemàtica així seria tan útil que el físic Paul Dirac va ser i va treballar amb ella, sense importar-li massa si estava matemàticament ben definida. Els matemàtics, al veure l’èxit i la utilitat d’aquesta notació, es van posar a crear una teoria capaç de donar-li suport, la teoria de distribucions.
4
Paul_Dirac5
Distribution_(mathematics)Adaptat al cas d’una única dimensió (d’espai o de temps), vam arribar a treballar amb la següent definició:
Definició 2.4.2.
La distribució delta de Dirac, centrada en \(x_0\in\RR\text{,}\) és una funció generalitzada o distribució \(\delta_{x_0}(x)\) que compleix les següents condicions:
- Ubicació\begin{equation*} \delta_{x_0}(x) = 0 \qquad \text{si } x\ne x_0 \end{equation*}
- Estandardització\begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty \delta_{x_0}(x)\dd x = 1. \end{equation*}
6
File:Dirac_distribution_PDF.svgNota 2.4.4.
S’utilitza la notació
\begin{equation*}
\delta(x)
\ := \
\delta_0(x),
\end{equation*}
per a la distribució de Dirac centrada en \(x_0=0\text{.}\) D’aquesta manera, podem convertir la distribució delta de Dirac centrada en \(x_0\) en la distribució centrada en 0:
\begin{equation*}
\delta(x-x_0)
\ = \
\delta_{x_0}(x).
\end{equation*}
Per veure que aquesta conversió és vàlida, només cal preguntar-se en quins punts les dues distribucions no són zero:
- L’esquerra, \(\delta(x-x_0)\text{,}\) És no nul·la únicament si \(x-x_0=0\text{;}\)
- de la dreta, \(\delta_{x_0}(x)\text{,}\) És no nul·la únicament si \(x=x_0\text{.}\)
Però aquestes condicions expressen el mateix.
Una conseqüència d’aquestes definicions és la següent propietat:
Teorema 2.4.5. Propietat del filtratge (sifting).
Sigui , \(f(x):\RR\to\RR\) una funció y \(\delta_{x_0}(x)\) la distribució delta de Dirac, centrada en \(x=x_0\text{.}\) Aleshores...
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^\infty
f(x)\,\delta_{x_0}(x) \dd x
\ = \
f(x_0).
\end{equation*}
Demostració.
- \(\delta_{x_0}(x)\) és zero per a qualsevol \(x\ne x_0\text{,}\) per tant per \(x\ne x_0\) no hi ha contribució a la integral;
- en un entorn molt proper a \(x=x_0\text{,}\) La funció \(f(x)\) és gairebé constant, i la podem suposar constant amb valor \(f(x_0)\text{.}\) Però si la funció és constant, podem treure \(f(x_0)\) fora de la integral, i ens queda\begin{equation*} f(x_0)\int_\RR \delta_{x_0}(x)\dd x \ = \ f(x_0)\cdot 1 \ = \ f(x_0). \end{equation*}
En conseqüència, convolucionar una funció \(f(x)\) amb la distribució delta de Dirac centrada en \(x_0\) té l’efecte de retardar \(f\text{:}\)
Teorema 2.4.6. Convolució amb una delta és retard temporal.
Sigui \(f(t):\RR\to\RR\) una funció i \(t_0\in\RR\) un temps fix. Aleshores...
\begin{equation*}
(f\star \delta_{t_0})(t)
\ = \
f(t-t_0).
\end{equation*}
Demostració.
\begin{align*}
(f\star \delta_{t_0})
&=
\int_\RR f(\xi)\delta(t-t_0-\xi)\dd\xi\\
&=
\int_\RR f(\xi)\delta\big(\xi - (t-t_0)\big)\dd\xi\\
&=
f(t-t_0),
\end{align*}
on hem utilitzat que \(\delta(-x)=\delta(x)\text{.}\)
