EDOs lineals d’ordre 1

Secció 3.4 EDOs lineals d’ordre 1

Definició 3.4.1.

Una equació diferencial ordinària (EDO d’ara endavant) és lineal si la incògnita i les seves derivades apareixen
- de forma lineal,
- amb coeficients constants o depenents de la variable independent.
L’expressió general d’una EDO lineal d’ordre \(n\) on la incògnita és \(y(t)\) és
\begin{equation} a_n(t) y^{n}(t)+a_{n-1}(t)y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2(t) y''(t)+ a_1(t) y'(t)+a_0(t) y(t)=f(t)\tag{3.4.1} \end{equation}
Si la funció \(f(t)=0\text{,}\) l’EDO lineal és homogènia

\begin{equation*} a_n(t) y^{n}(t)+a_{n-1}(t)y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2(t) y''(t)+ a_1(t) y'(t)+a_0(t) y(t)=0 \end{equation*}
Si els coeficients són constants, tenim una EDO lineal amb coeficients constants

\begin{equation*} a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=f(t) \quad \text{on}\ a_i\in \mathbb{R} \end{equation*}

Exemple 3.4.2.

\(\displaystyle y''-5y'+6=2\cos(t)\)
\(\displaystyle y'(t)+2ty(t)=t^3\)
\(\displaystyle ty'-4y=t^5 \mathrm{e}^t\)
\(\displaystyle y^{iv}(t)+2 y''(t)+1=0\)
\(\displaystyle L\,q''(t)+R\, q'(t)+\frac{1}{C}\, q(t)=E(t)\)

Subsecció 3.4.1 Expressió general d’una EDO lineal d’ordre 1

Definició 3.4.3.

L’expressió general d’una EDO lineal d’ordre 1 on la incògnita és \(y(t)\) és

\begin{equation} a_1(t) y'(t)+a_0(t) y(t)=f(t)\tag{3.4.2} \end{equation}

Observació 3.4.4.

Aquesta expressió es pot escriure de manera equivalent

\begin{equation*} y'(t) +p(t) y(t)=q(t) \end{equation*}

Demostració.

Vegem-ho: dividim l’equació (3.4.2) per \(\displaystyle a_1(t)\) i tenim

\begin{equation*} y'(t) +\frac{a_0(t)}{a_1(t)}\, y(t)=\frac{f(t)}{a_1(t)} \end{equation*}

Anomenem \(\displaystyle p(t) =\frac{a_0(t)}{a_1(t)}\) i \(\displaystyle q(t)= \frac{f(t)}{a_1(t)}\) i ja tenim l’expressió \(\displaystyle y'(t) +p(t) y(t)=q(t)\text{.}\)

Per trobar la solució general de les EDOs lineals d’ordre 1 farem servir el mètode de variació de les constants.

Subsecció 3.4.2 Mètode de variació de les constants

Explicarem en què consisteix el mètode i després ho aplicarem a un exemple.

Donada l’equació diferencial lineal d’ordre 1

\begin{equation} y'(t)+ p(t) y(t)=q(t)\tag{3.4.3} \end{equation}

L’equació homogènia associada a (3.4.3) és \(\displaystyle y'(t)+ p(t) y(t)=0\text{.}\)

Resoldrem l’equació (3.4.3) de la manera següent:

Trobem la solució general de l’equació homogènia
- L’equació homogènia és en variables separables
- La solució general de l’equació homogènia es pot expressar
  
  \begin{equation*} y(t)= C\, g(t), \quad C\ \text{constant}. \end{equation*}
  
  La forma que té la solució de l’equació homogènia ens dóna la pista de com és la solució de l’equació de partida.
La solució general de l’equació (3.4.3) és de la forma

\begin{equation*} y(t)=C(t) g(t)\quad \text{on}\quad C(t) \ \text{és una funció a determinar}. \end{equation*}

Substituïm \(y(t)\) i la seva derivada en (3.4.3), i trobem \(C(t)\)

Prenem com a exemple l’equació

\begin{equation} y' -\frac{4}{t}\, y=t^4 \mathrm{e}^t\tag{3.4.4} \end{equation}

Trobem la solució general de l’equació homogènia que sabem que és en variables separables

\begin{equation*} \hspace{-0,5cm} y' -\frac{4}{t}\, y=0 \end{equation*}

Primer separem les variables

\begin{equation*} y' -\frac{4}{t}\, y=0\ \Longleftrightarrow \ \frac{dy}{dt} =\frac{4}{t}\, y\ \Longleftrightarrow\ dy= \frac{4}{t}\, y dt \ \Longleftrightarrow\ \frac{1}{y}\, dy= \frac{4}{t}\ dt \end{equation*}

i després resolem l’equació i aïllem \(y\text{:}\)

\begin{equation*} \int \frac{1}{y}\, dy=\int \frac{4}{t}\ dt +A\ \Longrightarrow\ \ln(y)=4\ln(t)+A \ \Longrightarrow\ y=\mathrm{e}^{4\ln(t)+A} \end{equation*}

Simplifiquem l’expressió de \(y\text{:}\)

\begin{equation*} y=\mathrm{e}^{4\ln(t)}e^A= \mathrm{e}^{\ln\left(t^4\right)}\mathrm{e}^A= C\, t^4 \end{equation*}

on hem aplicat propietat de les exponencials \(\displaystyle\mathrm{e}^{a+b}= \mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}\text{,}\) la propietat dels logaritmes \(\displaystyle a \ln(b)=\ln\left(b^a\right)\text{,}\) i hem redefinit la constant arbitrària \(\displaystyle\mathrm{e}^{A}=C\text{.}\)

Així, la solució general de l’equació homogènia és

\begin{equation*} y(t)= C\,t^4\quad \text{on} \ C \ \text{és una constant}. \end{equation*}
Ara ja sabem que la solució general de l’equació (3.4.4) és de la forma

\begin{equation*} \hspace{-0.5cm} y(t)=C(t) t^4,\ \ \text{on}\ C(t) \ \ \text{és una funció a determinar}. \end{equation*}

Calculem \(y'(t)\text{:}\) \(\displaystyle y'(t)=C'(t) t^4+C(t) 4t^3\)

Substituïm \(y(t)\) i \(y'(t)\) en (3.4.4) i simplifiquem:

\begin{equation*} \begin{aligned} & y' -\frac{4}{t}\, y=t^4 e^t\ \Longrightarrow\ \overbrace{C'(t) t^4+C(t) 4t^3}^{y'(t)} -\frac{4}{t}\, \overbrace{C(t) t^4}^{y(t)}=t^4 \mathrm{e}^t \ \Longrightarrow\\ & \Longrightarrow\ C'(t) t^4+C(t) 4t^3 -C(t)4t^3=t^4 \mathrm{e}^t\ \Longrightarrow\\ &\Longrightarrow\ C'(t) t^4=t^4 \mathrm{e}^t \Longrightarrow\ C'(t) =\mathrm{e}^t\end{aligned} \end{equation*}

Es pot apreciar que no apareix \(C(t)\text{.}\) Això passa sempre: se simplifica \(C(t)\) i només queda \(C'(t)\) a la equació diferencial.

Resolem \(C'(t) =\mathrm{e}^t\) per a trobar \(C(t)\) integrant directament

\begin{equation*} C(t)=\int \mathrm{e}^t dt=\mathrm{e}^t+K, \quad \ K \ \text{constant d'integració} \end{equation*}

Per tant, la solució general de l’equació (3.4.4) és

\begin{equation*} y(t)=C(t)t^4=(\mathrm{e}^t+K)t^4\quad \Longrightarrow\quad y(t)=(\mathrm{e}^t+K)t^4,\ K \ \text{constant} \end{equation*}

Anterior Top Següent