Secció 4.6 Resultats asimptòtics. Teoremes del valor inicial i del valor final
Aquests dos resultats permeten obtenir el valor inicial (quan \(t\to 0^+\)) i el valor final (quan \(t\to +\infty\)) del senyal temporal amb la informació de la seva transformada de Laplace sense tenir que calcular la transformada inversa.
Teorema 4.6.1. Teorema del valor inicial (TVI).
Si tenim
el senyal \(x(t)\text{,}\)
la seva transformada de Laplace \(X(s)\text{,}\)
i existeix (és un número) \(\displaystyle\lim_{s\to \infty} s\, X(s)\text{,}\)
llavors
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0^+} x(t)=\lim_{s\to \infty} s\, X(s).
\end{equation*}
Per exemple, coneguda la transformada de Laplace
\begin{equation*}
X(s)=\frac{2s+1}{s^2+2s+5}
\end{equation*}
obtenim el valor inicial del senyal temporal:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
x(0^+) &= \lim_{t\to 0^+} x(t)=\lim_{s\to \infty} s\, X(s)=
\lim_{s\to \infty} \ \frac{2s^2+s}{s^2+2s+5}=\\ \\
& =\lim_{s\to \infty} \ \frac{\frac{2s^2+s}{s^2}}{\frac{s^2+2s+5}{s^2}}=\lim_{s\to \infty} \
\frac{2 +\frac{1}{s}}{1+\frac{2}{s}+\frac{5}{s^2}} = 2.\end{aligned}
\end{equation*}
Teorema 4.6.2. Teorema del valor final (TVF).
Si tenim
el senyal \(x(t)\text{,}\)
la seva transformada de Laplace \(X(s)\text{,}\)
i es compleix que els zeros del denominador de \(s\, X(s)\) (els pols de \(s\, X(s)\)) tenen part real negativa (estan en el semiplà complex \({\rm Re}(s)<0\)),
llavors
\begin{equation*}
\lim_{t\to +\infty} x(t)=\lim_{s\to 0} s\, X(s).
\end{equation*}
Per exemple, coneguda la transformada de Laplace
\begin{equation*}
X(s)=\frac{2s+1}{s^2+2s+5},
\end{equation*}
volem obtenir el valor final del senyal temporal. Comprovem primer que podem aplicar el TVF. Per això, hem de mirar els pols del denominador de
\begin{equation*}
s\, X(s)= \frac{2s^2+s}{s^2+2s+5}.
\end{equation*}
Aquest denominador és \(s^2+2s+5\text{,}\) i s’anula per a
\begin{equation*}
s=-1\pm 2j \text{.}
\end{equation*}
La part real d’aquests pols es negativa,
\begin{equation*}
{\rm Re}(-1\pm 2j)=-1<0,
\end{equation*}
i per tant sí podem aplicar el teorema.
El valor final del senyal temporal és, per tant,
\begin{equation*}
\lim_{t\to +\infty} x(t)=\lim_{s\to 0} s\, X(s)=
\lim_{s\to 0} \ \frac{2s^2+s}{2s^2+2s+5}=0.
\end{equation*}
