Secció 1.1 De la realitat al model
Modelitzar un tal procés físic mitjançant una funció \(f:\RR^m\to\RR^n\) d’una (en el cas \(m=1\)) o diverses (si \(m\ge 2\)) variables reals que retorna un valor (\(n=1\)) real, o diversos (\(n\ge2\)). Usant diferents valors de \(m\) y \(n\) podem modelitzar, per exemple, els següents fenòmens:
| \(n=1\) | \(n=2\) | \(n=3\) | |
| \(m=1\) | Evolució \(R:\RR\to\RR\text{,}\) \(t\mapsto R(t)\) del factor \(R\) d’una epidèmia en el temps |
Trajectòria \(f:\RR\to\RR^2\text{,}\) \(t\mapsto (f_x(t), f_y(t))\) d’una partícula en el pla |
Trajectòria \(f:\RR\to\RR^3\text{,}\) \(t\mapsto (f_x(t), f_y(t), f_z(t))\) d’una partícula en l’espai |
| \(m=2\) | valor de gris \(g:\RR^2\to\RR\text{,}\) \((x,y)\mapsto g(x,y)\) del píxel \((x,y)\) d’una fotografia |
camp vectorial \(\vec f:\RR^2\to\RR^2\text{,}\) \((x,y)\mapsto (f_1(x,y), f_2(x,y))\text{:}\) a cada punt del plànol se li assigna un vector |
foto de color\(f:\RR^2\to\RR^3\text{,}\) \((x,y)\mapsto (r(x,y), g(x,y), b(x,y))\text{:}\) a cada píxel se li assignen els seus valors vermell, verd, i groc |
En aquesta assignatura, únicament tractarem el cas més senzill de \(n=m=1\text{,}\) és a dir, de funcions reals de variable real. No obstant això, les tècniques que aprendrem es poden estendre sense problemes als altres casos.
La variable real, en aquesta assignatura, sempre serà o bé, \(t\text{,}\) per denotar processos que depenen del temps, o bé, \(x\text{,}\) per denotar processos que depenen de l’espai. Normalment modelitzarem processos en el temps, i per tant farem servir la variable \(t\) i funcions \(f=f(t)\text{.}\)
Pel que fa a notació, escriurem \(f\) per a una funció si no ens importa de quina variable depèn. I, en canvi, \(f(t)\) si depèn del temps, o \(f(x)\) si depèn d’una coordenada espacial.
