Secció 4.3 Convolució
La definició de convolució de dos senyals ja la vam veure al tema de transformada de Fourier (
Definició 2.3.1), així com el teorema de convolució (
Teorema 2.3.7) que és el mateix per a transformades de Laplace.
Adaptem aquest llenguatge al fet que els senyals que tractem amb la transformada de Laplace només són no nuls per a \(t\ge0\text{.}\)
Per dues senyals \(x_1(t)\) i \(x_2(t)\) tals que
\begin{equation*}
x_1(t)=x_2(t)=0 \qquad\text{per a tot }t<0,
\end{equation*}
la convolució de \(x_1(t)\) i \(x_2(t)\) és el senyal \(y(t)\) que ve donat per
\begin{equation*}
y(t)= x_1(t)* x_2(t)=\int_0^t x_1(\tau)x_2(t-\tau)\, d\tau.
\end{equation*}
Com que els dos senyals s’anul·len per \(t<0\text{,}\) els límits de la integral surten 0 i \(t\) (en lloc de \(-\infty\) i \(+\infty\)). Recordeu que la convolució és conmutativa, és a dir,
\begin{equation*}
x_1(t)* x_2(t)=x_2(t)* x_1(t)\text{.}
\end{equation*}
Teorema 4.3.1. Teorema de Convolució per a senyals en temps positiu.
Donats senyals \(x_1(t)\) i \(x_2(t)\) amb transformades de Laplace
\begin{align*}
X_1(s)\quad &\text{per a } \quad {\rm Re}(s)>\alpha,\\
X_2(s)\quad &\text{per a } \quad {\rm Re}(s)>\beta,
\end{align*}
es verifica que
\begin{equation*}
\mathrm{L}\left(x_1(t)* x_2(t)\right)= X_1(s)\, X_2(s)
\quad\text{per a } \qquad
{\rm Re}(s)> \max\{\alpha, \beta\}
\end{equation*}
Com a exemple, calculem la transformada de Laplace del senyal
\begin{equation*}
y(t)=\int_0^t \sin(t-\tau)\, \tau^4 d\tau.
\end{equation*}
Observem que la integral és la convolució dels senyals \(\sin(t)\) i \(t^4\text{,}\) per \(t\ge 0\text{:}\)
\begin{equation*}
y(t)=\int_0^t \sin(t-\tau)\, \tau^4 d\tau= \sin(t)*t^4
\end{equation*}
Aplicant el teorema de convolució,
\begin{equation*}
\hspace{-2cm} Y(s) = \mathrm{L}\left(\sin(t)*t^4\right)=
\mathrm{L}\left(\sin(t)\right)\mathrm{L}\left(t^4\right)
\end{equation*}
s’obté el producte de les transformades de dos senyals que tenim a la taula de TL:
\begin{equation*}
\hspace{-2cm} \mathrm{L}\left(t^4\right)=\frac{4!}{s^5} =\frac{24}{s^5}\, ; \qquad\quad
\mathrm{L}\left(\sin(t)\right)=\frac{1}{s^2+1}
\end{equation*}
Així doncs:
\begin{equation*}
\hspace{-4cm} Y(s) =\frac{24}{s^5}\, \frac{1}{s^2+1}=
\frac{24}{s^5 (s^2+1)}
\end{equation*}
