Energia i relació de Parseval

Secció 1.7 Energia i relació de Parseval

Subsecció 1.7.1 Energia, potència mitjana, densitat espectral d’energia

Teorema 1.7.1. Relació de Parseval per a sèries de Fourier.

Considerem un senyal \(x(t)\) de període \(T\) i els coeficients complexos \(c_n\text{,}\) \(n\in\ZZ\text{,}\) de la sèrie de Fourier associada a \(x(t)\text{.}\) Si la integral

\begin{equation*} \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \end{equation*}

és convergent, llavors es compleix que

\begin{equation*} \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \ = \ T \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2. \end{equation*}

En aquest teorema, \(\int_T \dd t\) vol dir integrar sobre qualsevol interval de longitud \(T\), per exemple qualssevol dels intervals \([0,T], [-T,0], [-T/2,T/2]\text{.}\)

Les expressions que intervenen en aquest teorema reben diversos noms:

Definició 1.7.2. Energia, potència mitjana, densitat espectral d’energia.

la integral

\begin{equation*} E\big(x(t);T\big) \ = \ \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \end{equation*}

(que és un número) és el valor de l’energia del senyal \(x(t)\) en un interval de longitud el període \(T\text{.}\)

Notem que per a senyals periòdics no té sentit parlar de l’energia total del senyal, que serà sempre infinita. Per tant, aquí no considerem \(\int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 \dd t.\)
la integral
\begin{equation*} \overline{P}\big(x(t); T\big) \ = \ \frac{1}{T} \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \ = \ \frac{1}{T}\cdot E\big(x(t);T\big). \end{equation*}
és la potència mitjana del senyal.
El número definit com:
\begin{align*} E_{\spec}\big(x(t); T\big) & \ = \ T \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2\\ & \ = \ T \left( \left(\frac{a_0}{2}\right)^2 + \sum_{n=1}^\infty 2\cdot\frac{a_n^2 + b_n^2}{4} \right)\\ & \ = \ T \cdot \frac{a_0^2}{4} + T \cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} \end{align*}
és la energia espectral total. Hem utilitzat les fórmules (1.4.9), (1.4.10), (1.4.11) per convertir els coeficients complexos als reals.
La successió de nombres \(T\, |c_n|^2\) per \(n = 0, \pm1, \pm2, \pm3, \dots\text{,}\) És la densitat espectral d’energia del senyal \(x(t)\text{.}\) Mostra com està dispersada l’energia del senyal en funció de la freqüència angular \(\omega\text{.}\) Cada \(n\) es correspon amb la freqüència \(\omega_n = n \omega_0\text{,}\) essent \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) la freqüència fonamental del senyal.

Nota 1.7.3. Efecte de les diferents convencions.

Recordem que hi ha dues convencions diferents per al coeficient constant de la sèrie de Fourier d’una funció \(f:\RR\to\RR\text{:}\)

\begin{align*} S_f(\omega) &\ = \ \widetilde{a_0} +\sum_{n\ge 1} a_n\cos(n \omega_0 t) + b_n\sin(n \omega_0 t)\\ &\ = \ \frac{a_0}{2} +\sum_{n\ge 1} a_n\cos(n \omega_0 t) + b_n\sin(n \omega_0 t) \end{align*}

Com afecta això al càlcul de l’energia continguda en el senyal?

Suposem a manera d’exemple que

\begin{equation*} S_f(\omega) \ = \ 8 + 3\cos(3\omega_0t) - 4\cos(5\omega_0 t) + 2\sin(5\omega_0 t) + \dots . \end{equation*}

A la primera convenció,

\begin{equation*} \widetilde{a_0} \ = \ 8, \end{equation*}

mentre que en la segona convenció,

\begin{equation*} \frac{a_0}{2} \ = \ 8 \quad\Rightarrow\quad a_0 \ = \ 16. \end{equation*}

Però per calcular l’energia, el resultat és el mateix:

\begin{align*} \frac{\text{energia}}{T} & \ = \ \text{quadrat del coeficient constant al quadrat}\\ & \qquad + (1/2) \text{ suma dels coeficients restants al quadrat}\\ & \ = \ 8^2 + \frac12\left( \underbrace{3^2}_{\text{tercer harmònic}} + \underbrace{\left(\sqrt{4^2 + 2^2}\right)^2}_{\text{cinqué harmònic}} + \cdots\right)\\ & \ = \ \widetilde{a_0}^2 + \frac12\Big(3^2 + 4^2 + 2^2 + \cdots\Big)\\ & \ = \ \left(\frac{a_0}{2}\right)^2 + \frac12\Big(3^2 + 4^2 + 2^2 + \cdots\Big). \end{align*}

L’única diferència consisteix en si anomenem \(\widetilde{a_0}\) o \(a_0/2\) al coeficient constant \(8\) de la sèrie.

Subsecció 1.7.2 Aplicació: Aproximació en termes d’energia

Una de les aplicacions de la identitat de Parseval consisteix a avaluar en termes energètics una suma parcial de la sèrie de Fourier (o uns quants termes de la sèrie de Fourier) com a aproximació del senyal \(x(t)\text{.}\)

Suposem que considerem la suma parcial de Fourier d’ordre \(k\)

\begin{equation*} S_k(t) \ = \ \sum_{n=-k}^k c_n\, e^{\ii \omega_n t}, \end{equation*}

que és una aproximació del senyal original:

\begin{equation*} S_k(t) \ \approx\ x(t). \end{equation*}

El nostre objectiu és valorar aquesta aproximació en termes d’energia, utilitzant la identitat de Parseval. Per a això, fem la suma dels termes \(|c_n|^2\) que intervenen en l’aproximació \(S_k(t)\) i multipliquem la suma pel període \(T\text{:}\)

\begin{equation*} E_k(t) \ := \ E_{\spec}\big(S_k(t);T\big) \ = \ T\sum_{n=-k}^k |c_n|^2. \end{equation*}

Aquesta expressió representa l’energia espectral de l’aproximació, i la comparem amb l’energia espectral total.

Però per la identitat de Parseval sabem que l’energia espectral total és igual a l’energia total en un període, i el que comparem és l’energia espectral de l’aproximació amb l’energia total en un període. Obtenim per tant:

Definició 1.7.4. Proporció d’energia en l’aproximació.

Sigui , \(S_k(t) \ = \ \sum_{n=-k}^k c_n\, e^{\ii \omega_n t}\) la suma parcial de Fourier d’ordre \(k\) del senyal \(x(t)\text{.}\)

Llavors la proporció de l’energia de \(x(t)\) que resideix en l’aproximació \(S_k(t)\) és

\begin{align*} \varepsilon_{k}\big(x(t)\big) & \ = \ \frac{T\sum_{n=-k}^k |c_n|^2}{\int_T |x(t)|^2\dd t} \ = \ \frac{E_k(t)}{\overline{E}\big(x(t);T\big)} \end{align*}

Anterior Top Següent