Calculem la transformada inversa de \(\displaystyle X(s)=\frac{s+1}{s^3-s^2}\text{.}\)
Les arrels del polinomi del denominador són:
\begin{equation*}
s^3-s^2=0\quad \Longrightarrow\quad s^2(s-1)=0
\quad \Longrightarrow\quad \begin{cases} s^2=0\ \Longrightarrow s=0\ \ \text{doble}\\ s-1=0\ \Longrightarrow s=1\end{cases}
\end{equation*}
El denominador de \(X(s)\) factoritza a
\begin{equation*}
X(s) =\frac{s+1}{s^3-s^2}=\frac{s+1}{s^2(s-1)}.
\end{equation*}
Fem ara la descomposició en fraccions simples:
\begin{align*}
X(s) = \frac{s+1}{s^2(s-1)}
&=
\frac{A}{s}+ \frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-1}\\
& =\frac{As(s-1)+B(s-1)+Cs^2}{s^2(s-1)}
\end{align*}
Igualem els numeradors de la segona i última fracció, que tenen el mateix denominador:
\begin{align*}
s+1& = As(s-1)+B(s-1)+Cs^2\\
&= (A+C) s^2+(B-A)s-B.
\end{align*}
Per tant,
\begin{align*}
A+C&=0\\
B-A&=1\\
-B=1
\end{align*}
i concluim que \(A=-2,\ B=-1,\ C=2\text{.}\) Així doncs, ens queda com a resposta final:
\begin{equation*}
X(s)=\frac{-2}{s}- \frac{1}{s^2}+\frac{2}{s-1}.
\end{equation*}
Ara calculem la transformada inversa de \(X(s)\) aplicant primer la propietat de la linealitat,
\begin{equation*}
x(t)=\mathrm{L}^{-1}\left(\frac{-2}{s}-\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s-1}\right)=
-2\, \mathrm{L}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)-
\mathrm{L}^{-1}\left(\frac{1}{s^2}\right)+
2\, \mathrm{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}\right)
\end{equation*}
i després la taula de TL:
\begin{equation*}
\mathrm{L}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=u(t);\quad
\mathrm{L}^{-1}\left(\frac{1}{s^2}\right)=t\,u(t);\quad
\mathrm{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}\right)=\mathrm{e}^t u(t).
\end{equation*}
Per tant,
\begin{equation*}
\hspace{-4cm} x(t)=-2\,u(t)-t\,u(t)+2\, \mathrm{e}^t u(t).
\end{equation*}
