Un exemple d’un sistema no invariant en el temps, en particular no LTI, és
\begin{equation*}
y(t)
\ = \
F_1[x(t)]
\ = \
\int_0^t \sqrt{x(\xi)}\dd\xi.
\end{equation*}
Per veure que el sistema no és invariant en el temps, reemplacem \(x(t)\) per \(x(t-t_0)\) a la banda esquerra i al costat dret per separat, i veiem si surt el mateix.
A la part dreta surt
\begin{align*}
F_1[x(t-t_0)]
&\ = \
\int_0^t \sqrt{x(\xi-t_0)}\dd\xi\\
&\ = \
\int_{-t_0}^{t-t_0} \sqrt{x(\eta)}\dd\eta
\end{align*}
D’altra banda, a la banda esquerra surt
\begin{equation*}
y(t-t_0)
\ = \
\int_0^{t-t_0} \sqrt{x(\xi)}\dd\xi,
\end{equation*}
i aquestes expressions no són iguals. Per tant, el sistema \(F_1\) no és invariant en el temps.
Com a exemple d’un sistema que sí que és invariant en el temps, escollim
\begin{equation*}
y(t)
\ = \
F_2[x(t)]
\ = \
\int_{t-5}^t x(\xi)^2 \dd\xi.
\end{equation*}
Després de substituïr \(x(t)\) per \(x(t-t_0)\text{,}\) el costat dret és
\begin{equation*}
\int_{t-5}^t x(\xi-t_0)^2 \dd\xi
\ \stackrel{\eta=\xi-t_0}{=} \
\int_{t-5-t_0}^{t-t_0} x(\eta)^2\dd\eta,
\end{equation*}
mentre que el costat esquerre és
\begin{equation*}
y(t-t_0)
\ = \
\int_{t-t_0-5}^{t-t_0} x(\xi)^2\dd\xi,
\end{equation*}
la qual cosa és la mateixa expressió. Per això, el sistema \(F_2\) SÍ és invariant en el temps.
