A la taula següent es mostra la forma que tenen les solucions particulars per a diferents funcions \(f(t)\text{,}\) aplicant el mètode d’assaig que acabem d’explicar.
Quadre3.6.1.
\(f(t)\)
Forma de \(y_p(t)\)
\(3\)
\(A\)
\(e^{-t}\)
\(A e^{-t}\)
\((t^2+1) e^{-t}\)
\((At^2+Bt+C) e^{-t}\)
\(4e^{2t}\)
\(A t e^{2t}\)
\((t^2+1) e^{2t}\)
\(t(At^2+Bt+C)e^{2t}\)
\(3\cos(2t)\)
\(A\cos(2t)+B\sin(2t)\)
\(e^{-3t}\cos(2t)\)
\(A e^{-3t}\cos(2t)+B e^{-3t}\sin(2t)\)
Expliquem amb detall com surten aquestes solucions particulars. Per fer-ho comparem cadascuna de les funcions proposades amb el cas generic
Aquesta funció s’obté del cas genèric per \(\alpha =-1\text{,}\)\(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) i \(\sin(0)=0\)) i \(p_2(t)=t^2+1\text{.}\)
Com que \(\alpha\pm \beta j=-1\) NO és arrel de l’EC, busquem una solució particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=\left(At^2+Bt+C\right) \mathrm{e}^{-t},\quad A,\ B,\ C,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fixem-nos en que si \(f(t)\) té un polinomi de grau 2, llavors \(y_p(t)\) també (amb coeficients a determinar).
Exemple3.6.5.\(f(t)=4\,\mathrm{e}^{2t}\).
Aquesta funció s’obté del cas genèric per \(\alpha =2\text{,}\)\(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) i \(\sin(0)=0\)) i \(p_0(t)=4\text{.}\)
Com que \(\alpha\pm \beta j=2\) SÍ és arrel de l’EC amb multiplicitat 1 (es simple), estem en el cas en què hi ha ressonància, i busquem una solució particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A\, t\,\mathrm{e}^{2t}, \quad A\ \text{constant a determinar.}
\end{equation*}
Fixem-nos en dues coses: el terme \(t\) de \(y_p\) correspon a l’efecte de la ressonància i, si \(f(t)\) té una constant, llavors \(y_p(t)\) també (a determinar).
Aquesta funció s’obté del cas genèric per \(\alpha =2\text{,}\)\(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) i \(\sin(0)=0\)) i \(p_2(t)=t^2+1\text{.}\)
Com que \(\alpha\pm \beta j=2\) SÍ és arrel de l’EC amb multiplicitat 1 (es simple), estem en el cas en què hi ha ressonància, i busquem una solució particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=t\left(At^2+Bt+C\right)\mathrm{e}^{2t},\quad A,\ B,\ C,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fixem-nos en dues coses: el terme \(t\) de \(y_p\) correspon a l’efecte de la ressonància i, si \(f(t)\) té un polinomi de grau 2, llavors \(y_p(t)\) també (amb coeficients a determinar).
Exemple3.6.7.\(f(t)=3\cos(2t)\).
Aquesta funció s’obté del cas genèric per \(\alpha =0\) (\(\mathrm{e}^0=1\)), \(\beta=2\text{,}\)\(p_0(t)=3\) i \(q_0(t)=0\text{.}\)
Com que \(\alpha\pm \beta j=\pm 2j\) NO són arrels de l’EC, busquem una solució particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),\quad A,\ B,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fixem-nos en que tingui \(f(t)\) només el terme cosinus, només el terme sinus, o bé la suma dels dos, la forma de \(y_p(t)\) té la suma dels dos, en aquest cas multiplicats per constants a determinar perquè el que multiplica al cosinus de \(f(t)\) és una constant.
Exemple3.6.8.\(f(t)=\mathrm{e}^{-3t}\cos(2t)\).
Aquesta funció s’obté del cas genèric per \(\alpha =-3\text{,}\)\(\beta=2\text{,}\)\(p_0(t)=1\) i \(q_0(t)=0\text{.}\)
Com que \(\alpha\pm \beta j=-3\pm 2j\) NO són arrels de l’EC, busquem una solució particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A\,\mathrm{e}^{-3t} \cos(2t)+B\,\mathrm{e}^{-3t}\sin(2t),\quad A,\ B,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fixem-nos en que tingui \(f(t)\) només el terme cosinus, només el terme sinus, o bé la suma dels dos, la forma de \(y_p(t)\) té la suma dels dos, en aquest cas multiplicats per l’exponencial que tenim en \(f(t)\text{,}\) i per constants a determinar perquè el que multiplica al cosinus i a l’exponencial de \(f(t)\) és una constant.
A partir d’aquí, de la forma de \(y_p(t)\) per a cada funció \(f(t)\text{,}\) es substitueix \(y_p(t)\) en l’EDO que correspon a cada \(f(t)\) (es solució de l’EDO) i s’obté el valor de la/les constant/s. Farem els càlculs per a tres de les funcions i per a la resta donarem el resultat.
Exemple3.6.9.\(y''+y'-6y=3\).
Substituïm \(y_p(t)=A\) en l’equació diferencial: calculem les derivades \(y'_p(t)=0\) i \(y''_p(t)=0\) i tenim
Substituïm \(\displaystyle y_p(t)=A\, \mathrm{e}^{-t}\) en l’equació diferencial: calculem les derivades \(\displaystyle y'_p(t)=-A\,\mathrm{e}^{-t}\) i \(\displaystyle y''_p(t)=A\,\mathrm{e}^{-t}\) i tenim
Substituint \(\displaystyle y_p(t)=\left(At^2+Bt+C\right) \mathrm{e}^{-t}\) en l’equació diferencial s’obté \(\displaystyle A=\frac{-1}{6}\text{,}\)\(\displaystyle B=\frac{1}{18}\) i \(\displaystyle C=\frac{-25}{108}\text{.}\) Per tant, \(y_p(t)=\left(\frac{1}{18}\, t -\frac{1}{6}\, t^2
-\frac{25}{108}\right)\mathrm{e}^{-t}\) i la solució general de l’equació diferencial és
Substituint \(\displaystyle y_p(t)=A\,t \mathrm{e}^{2t}\) en l’equació diferencial s’obté \(\displaystyle A=\frac{4}{5}\text{.}\) Per tant, \(y_p(t)=\frac{4}{5}\, t \mathrm{e}^{2t}\) i la solució general de l’equació diferencial és
Substituint \(\displaystyle y_p(t)=t\left(At^2+Bt+C\right)\mathrm{e}^{2t}=\left(At^3+Bt^2+Ct\right)\mathrm{e}^{2t}\) en l’equació diferencial s’obté \(\displaystyle A=\frac{1}{15}\text{,}\)\(\displaystyle B=\frac{-1}{25}\) i \(\displaystyle C=\frac{27}{125}\text{.}\) \noindent Per tant, \(y_p(t)=\left(\frac{1}{15}\, t^3
-\frac{1}{25}\, t^2 +\frac{27}{125}\, t\right)\mathrm{e}^{2t}\) i la solució general de l’equació diferencial és
Substituint \(\displaystyle y_p(t)=A\, \mathrm{e}^{-3t} \cos(2t)+B\, \mathrm{e}^{-3t} \sin(2t)\) en l’equació diferencial s’obté \(\displaystyle A=\frac{-1}{29}\) i \(B\displaystyle=\frac{-5}{58}\text{.}\) \noindent Per tant, \(y_p(t)=-\frac{1}{29}\, \mathrm{e}^{-3t} \cos(2t) -\frac{5}{58}\,\mathrm{e}^ {-3t} \sin(2t)\) i la solució general de l’equació diferencial és
