Convergència d’una Sèrie de Fourier. Teorema de Dirichlet. El fenomen de Gibbs

Secció 1.5 Convergència d’una Sèrie de Fourier. Teorema de Dirichlet. El fenomen de Gibbs

Hem de distingir clarament entre tres objectes:

Una funció periòdica \(f:\RR\to\RR\) amb període \(T\)
La seva sèrie de Fourier
\begin{equation*} S(f)(t) \ = \ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right). \end{equation*}
Una aproximació a la sèrie de Fourier amb termes fins a ordre \(N\)
\begin{equation*} S_N(f)(t) \ = \ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right) + \sum_{n=1}^N b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right). \end{equation*}

Subsecció 1.5.1 Aproximació de funcions per sèries de Fourier

Prendrem com a exemple les dues funcions de Figura 1.5.1. la primera \(f(x)\text{,}\) sembla més complicada que la segona, en tenir corbes i pics, mentre que la segona, \(g(x)\) sembla més senzilla, a l’estar composta únicament per trossos constants.

Una función contínua definida por trozos — Figura 1.5.1. Una funció contínua \(f(x)\) definida per trossos

Una onda rectangular discontínua — Figura 1.5.2. Una ona rectangular \(g(x)\) discontínua

Quina de les dues funcions es podrà aproximar millor per una sèrie de Fourier?

Per tal de contestar aquesta pregunta, mirem la Figura 1.5.3 i la Figura 1.5.4.

Aproximación de una función contínua por su serie de Fourier — Figura 1.5.3. Aproximació de la funció contínua \(f(x)\) per la seva sèrie de Fourier fins ordre 3 (vermell) i ordre 5 (blava)

Aproximación de una onda rectangular por su serie de Fourier — Figura 1.5.4. Aproximació de l’ona rectangular discontínua \(g(x)\) per la seva sèrie de Fourier fins ordre 5 (vermell) i ordre 13 (blau)

Podem veure diverses coses en aquestes imatges:

Observació 1.5.5.

Les aproximacions de \(f(x)\) són d’ordre 3 i 5, les de \(g(x)\) d’ordre 5 i 13. Tot i utilitzar un ordre molt més gran, l’aproximació a \(g(x)\) és clarament pitjor.
Tot i que \(f(x)\) té uns pics, la seva aproximació per sèrie de Fourier és excel·lent fins i tot per a un ordre tan baix com 5. L’únic lloc on s’aprecia una diferència entre \(S_5(f)\) y \(f\) és prop del pic, però es veu que a l’augmentar el grau de l’aproximació de 3 a 5, l’aproximació millora bastant. Sembla raonable esperar llavors que l’aproximació millori encara més si passem a ordres més alts.
Tot i utilitzar ordres bastant alts, l’aproximació de \(S_N(g)\) a \(g\) mai és realment bona. És una cosa acceptable a l’interior dels segments constants, però bastant dolenta a prop dels punts de discontinuïtat.
Curiosament, totes les aproximacions a \(g\) passen pel mateix punt quan la funció \(g\) fa el seu salt.
En les aproximacions de \(g\text{,}\) Just abans i després del salt, les aproximacions semblen agafar aire abans de llançar-se; i curiosament, encara que les aproximacions a la imatge són d’ordres molt dispars (5 i 13), l’altura d’aquests excessos abans i després del salt sembla ser la mateixa.

Totes les observacions que hem fet en aquests dos exemples s’estenen a funcions generals. Anem a investigar primer en quines condicions una sèrie de Fourier és capaç de reproduir la funció.

Subsecció 1.5.2 El Teorema de Dirichlet

Definició 1.5.6. Condicions de Dirichlet.

Una funció amb valors reals \(f:\RR\to\RR\) i periòdica amb període \(T\) satisfà les Condicions de Dirichlet

Dirichlet_conditions

sí

\(f\) és absolutament integrable sobre un període. Això vol dir que
\begin{equation*} \int_{T} |f(x)| \dd x \ < \ \infty. \end{equation*}
recordem que \(\int_{T} |f(x)| \dd x \ = \ \int_{x_0}^{x_0+T} |f(x)| \dd x,\) on l’elecció de la valor \(x_0\) és arbitrària, ja que la integral valdrà el mateix per a tots els valors de \(x_0\) perquè \(f\) és periòdica amb període \(T\text{.}\)
\(f\) és de variació fitada
²
Bounded_variation
. Aquesta és una condició tècnica que no tractarem aquí, i que totes les funcions que tractem satisfan.
En qualsevol interval real fitat, per exemple un període, la funció \(f\) té, com a molt, un nombre finit de punts de discontinuïtat, i els salts que dóna en els punts de discontinuïtat no poden ser infinits.

Teorema 1.5.7. Teorema de Dirichlet
³
`Dirichlet_conditions`
.

Si \(f(x)\) satisfà les condicions de Dirichlet, llavors la seva sèrie \(S(f)(x)\) de Fourier és convergent per a tot \(x\in\RR\text{,}\) i el valor de la seva sèrie en un punt concret \(x_0\) és

\begin{align*} S(f)(x_0) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, x_0\right) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, x_0\right)\\ &= \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}. \end{align*}

Aquí hem utilitzat la següent notació per als límits laterals

⁴

One-sided_limit

de \(f\text{:}\)

\(f(x_0^-) \ = \ \lim_{y\to x_0^-} f(y),\) És a dir , \(y\) s’aproxima a \(x_0\) per l’esquerra,
\(f(x_0^+) \ = \ \lim_{y\to x_0^+} f(y)\) És a dir , \(y\) s’aproxima a \(x_0\) per la dreta.

Observació 1.5.8.

Si la funció \(f(x)\) és contínua en un punt \(x_0\text{,}\) llavors els límits laterals de \(f\) en \(x_0\) coincideixen,

\begin{equation*} f(x_0^-) \ = \ f(x_0^+) \ = \ f(x_0), \end{equation*}

i per tant

\begin{equation*} S(f)(x_0) \ = \ \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2} \ = \ f(x_0). \end{equation*}

Això vol dir que en els punts de continuïtat de \(f\),

l’aproximació de la sèrie de Fourier \(S(f)\) a \(f\) és perfecta,
ia més, les aproximacions \(S_N(f)\) a \(S(f)\) és fa cada vegada millors si augmentem el grau \(N\) de l’aproximació.

En canvi, als punts \(x_0\) on \(f\) no és contínua,

el valor \(S(f)(x_0)\) de la sèrie de Fourier és la mitjana dels límits laterals de \(f\) al voltant de \(x_0\text{,}\)
i el mateix val per als valors de totes les aproximacions \(S_N(f)(x_0)\text{.}\)

Subsecció 1.5.3 El fenomen de Gibbs

Ens queda per explicar l’últim punt de l’Observació 1.5.5, que es coneix com el fenomen de Gibbs

⁵

Gibbs_phenomenon

. Mirem les aproximacions del pols rectangular d’ordre 5, 25 i 125 de Figura 1.5.9-Figura 1.5.11.

Figura 1.5.10. Aproximació .
⁷
`File:Gibbs_phenomenon_50.svg`
amb 25 harmònics

Figura 1.5.11. Aproximació .
⁸
`File:Gibbs_phenomenon_250.svg`
amb 125 harmònics

Veiem que segons augmenta l’ordre de l’aproximació, l’error disminueix en amplitud però convergeix a una alçada fixa. En aquesta pàgina de la Wikipedia

⁹

Gibbs_phenomenon

es poden trobar els càlculs que porten a la següent afirmació:

Teorema 1.5.12. El fenomen de Gibbs.

\(f(x)\) és una funció contínua i diferenciable a trossos,
i en un punt de discontinuïtat \(x_0\) té un salt d’alçada \(a\text{,}\)

llavors

per a valors grans de \(N\gg 0\text{,}\) l’aproximació \(S_N(f)\) donarà un salt d’alçada
\begin{equation*} 0.0895 \,\cdot\, a \end{equation*}
Abans i després de \(x_0\text{.}\) El salt total de l’aproximació \(S_N(f)\) la sèrie de Fourier serà, per tant, d’uns \(18\%\) de l’altura \(a\) del salt de \(f\text{.}\)
En el lloc de la discontinuïtat, l’aproximació \(S_N(f)\) la sèrie de Fourier convergeix al punt mig del salt, amb total independència de la valor \(f(x_0)\) (Si està tan sols definit).

En dues dimensions, un efecte anàleg al fenomen de Dirichlet es diu un Artefacte d’anell

¹⁰

Ringing_artifacts

, compara Figura 1.5.13.

Figura 1.5.13. Imatge mostrant artefactes d’anell
¹¹
`Artefactos_de_anillo`
. Tres nivells a cada costat de la transició: la superació, el primer anell i el segon anell (més feble).

Anterior Top Següent