Secció 3.8 Amortiment i ressonància
Considerem una EDO lineal amb coeficients constants d’ordre 2 on els coeficients són sempre positius.
\begin{equation*}
a\,y''(t)+b\, y'(t)+c\,y(t)=f(t),\qquad a,b,c > 0
\end{equation*}
Aquest model matemàtic pot correspondre a diversos fenòmens físics. En el cas d’un sistema mecànic, la constant \(a\) és la massa, \(b\) és l’amortiment, \(c\) és la constant de la molla i \(f(t)\) la força externa.
En el cas d’un circuit RCL tenim:
- \(a=L,\qquad\) la inductància;
- \(b=R,\qquad\) la resistència;
- \(c=\frac{1}{C},\qquad\) on \(C\) és la capacitància,
- \(f(t)=E(t),\qquad\) el voltatge,
- \(y(t)= q(t),\qquad\) la càrrega elèctrica,
i l’EDO corresponent és
\begin{equation*}
\displaystyle L\, q''(t)+R\, q'(t)+\frac{1}{C}\,q(t)=E(t)\text{.}
\end{equation*}
Aquestes EDOs amb coeficients positius són asimptòticament estables. Ho veurem alhora que estudiem com són les solucions de l’equació homogènia.
Subsecció 3.8.1 Tipus de solucions de l’EDO homogènia
Resolem l’EDO homogènia
\begin{equation*}
a\,y''(t)+b\, y'(t)+c\,y(t)=0,\qquad a, b, c > 0,
\end{equation*}
trobant les arrels de l’equació característica (EC):
\begin{equation*}
a\lambda^2 +b\lambda +c=0\quad \Longrightarrow\quad
\lambda =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation*}
Els tipus de solucions tenen a veure amb com són les arrels de l’EC:
-
\(\displaystyle b^2-4ac<0\text{.}\) Les arrels són complexes amb part real negativa:\begin{equation*} \begin{aligned} \lambda &=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}= \frac{-b\pm \sqrt{-(4ac-b^2)}}{2a}= \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}\sqrt{-1}}{2a}=\\ & =\frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\, j= \alpha \pm \beta j,\end{aligned} \end{equation*}on\begin{equation*} \alpha=\frac{-b}{2a}<0,\qquad \beta=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}. \end{equation*}La solució és\begin{equation*} y_h(t)=C_1\, \mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t)+ C_2\, \mathrm{e}^{\alpha t} \sin(\beta t),\quad C_1, C_2\in \mathbb{R} \end{equation*}i l’anomenem sub-esmorteïda (el coeficient d’amortiment \(b\) és petit en comparació amb els valors de \(a\) i \(c\)). La gràfica de les solucions té aquesta forma:
Figura 3.8.1. Una oscil·lació sub-esmorteïda -
\(\displaystyle b^2-4ac>0\text{.}\) Les arrels són reals i negatives:\begin{equation*} \lambda_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<0;\quad \lambda_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<0. \end{equation*}
- Veiem que \(\lambda_1<0\text{:}\) el denominador és positiu, i en el numerador tenim\begin{equation*} b^2-4ab<b^2 \ \Longrightarrow \sqrt{b^2-4ac}<b, \end{equation*}i, pert tant, el numerador és negatiu.
- Per a \(\lambda_2\text{,}\) es ve clarament que \(\lambda:2<0\text{.}\)
La solució és\begin{equation*} y_h(t)=C_1\, \mathrm{e}^{\lambda_1 t}+ C_2\, \mathrm{e}^{\lambda_2 t},\quad C_1, C_2\in \mathbb{R} \end{equation*}i l’anomenem sobre-esmorteïda (el coeficient d’amortiment \(b\) és gran en comparació amb els valors de \(a\) i \(c\)). La gràfica de les solucions pot tenir alguna d’aquestes formes:
Figura 3.8.2. Tres oscil·lacions sobre-esmorteïdes -
\(\displaystyle b^2-4ac=0\text{.}\) Tenim una arrel real doble negativa: \(\displaystyle\lambda=\frac{-b}{2a}<0\text{.}\)La solució és\begin{equation*} y_h(t)=C_1\, \mathrm{e}^{\lambda t}+ C_2\, t \mathrm{e}^{\lambda t},\quad C_1, C_2\in \mathbb{R} \end{equation*}i l’anomenem críticament esmorteïda (està entre els dos casos anteriors). La gràfica de les solucions pot tenir alguna d’aquestes formes:
Figura 3.8.3. Dues oscil·lacions críticament esmorteïdes
Subsecció 3.8.2 Solució de l’EDO homogènia sense amortiment
Si considerem que el sistema no té amortiment, llavors el coeficient \(b\) de l’equació diferencial val 0 (en el cas del circuit, la resistència \(R=0\)), i l’EDO a resoldre és
\begin{equation*}
a\, y''(t)+c\,y(t)=0.
\end{equation*}
L’equació característica és \(a\lambda^2+c=0\) i les sevas arrels
\begin{equation*}
a\lambda^2+c=0\quad \Longrightarrow\quad \lambda^2=\frac{-c}{a}\quad \Longrightarrow\quad \lambda=\pm\, \sqrt{\frac{c}{a}}\, j=\pm\,\omega_0\, j\quad \text{on}\ \ \omega_0=\sqrt{\frac{c}{a}}
\end{equation*}
són complexes amb part real 0 (sistema estable però no asimptòticament estable) i la solució és
\begin{equation*}
y_h(t)= C_1\, \cos(\omega_0 t)+
C_2\, \sin(\omega_0 t),\quad C_1, C_2\in \mathbb{R}
\end{equation*}
i representa un oscil·lador harmònic. La gràfica de les solucions té aquesta forma:
Subsecció 3.8.3 Ressonància
Apliquem una excitació externa \(f(t)\) (en el cas del circuit, un voltatge \(E(t)\)) que produeixi ressonància en el sistema.
Si el sistema no té amortiment, estem en el cas
\begin{equation*}
a\, y''(t)+c\,y(t)=f(t)
\end{equation*}
amb arrels de l’EC \(\pm\, \omega_0 j\) i solució general de l’equació homogènia
\begin{equation*}
y_h(t)= C_1\, \cos\left(\omega_0 t\right)+
C_2\, \sin\left(\omega_0 t\right),\quad C_1, C_2\in \mathbb{R}
\end{equation*}
on tenim una suma de sinus i cosinus de freqüència angular \(\omega_0\text{.}\)
Tindrem ressonància si l’excitació externa és un sinus o un cosinus de la mateixa freqüència que els de \(y_h\text{.}\) Així, per \(\displaystyle f(t)=\cos\left(\omega_0 t\right)\text{,}\) la resposta del sistema és
\begin{equation*}
y(t)=y_h(t)+y_p(t)
\end{equation*}
on la forma de la solució particular és
\begin{equation*}
y_p(t)=t\left(A\, \cos\left(\omega_0 t\right)+
B\, \sin\left(\omega_0 t\right)\right),\quad A,\, B\ \ \text{a determinar},
\end{equation*}
i conté l’efecte de la ressonància amb un terme \(t\) que que fa que l’amplitud de les oscilacions dels sinus i cosinus de \(y_p(t)\) creixi indefinidament, efecte que es mantè en la resposta \(y(t)\) quan sumem \(y_h(t)\text{.}\) Això significa que la ressonància sense amortiment és pura (catastròfica).
-
Ressonància puraSi el sistema té amortiment (\(b>0\)), es pot compensar l’efecte de la ressonància. Vegem-ho en el cas de les solucions sub-esmorteïdes on tenim\begin{equation*} a\, y''(t)+b\, y'(t)+c\,y(t)=f(t) \end{equation*}amb arrels de l’EC \(\alpha\pm \beta j\text{,}\) \(\alpha<0\text{,}\) i solució general de l’equació homogènia\begin{equation*} y_h(t)= C_1\, \mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t)+ C_2\, \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t),\ C_1, C_2\in \mathbb{R} \end{equation*}Tindrem ressonància si l’excitació externa conté el producte de l’exponencial de \(y_h\) per un sinus o cosinus de la mateixa freqüència que els de \(y_h\text{.}\)Així, per \(\displaystyle f(t)= \mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t)\text{,}\) la resposta del sistema és\begin{equation*} y(t)=y_h(t)+y_p(t) \end{equation*}on la forma de la solució particular és\begin{equation*} y_p(t)=t\left(A\,\mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t)+ B\,\mathrm{e}^{\alpha t} \sin(\beta t)\right),\quad A,\, B\ \ \text{a determinar}. \end{equation*}Tenim l’efecte de la ressonància amb el terme \(t\text{,}\) però queda compensat pel producte per l’exponencial decreixent \(\displaystyle\mathrm{e}^{\alpha t},\ \alpha <0\text{:}\) per a valors petits de \(t\) l’amplitud de les oscilacions dels sinus i cosinus poden créixer, però a partir d’un cert moment decreixeran.
-
Ressonància amb amortimentExemples: mireu l’arxiu Maple resonancia_pura o con amortiguamiento
