Salta al contingut principal

Mètodes Matemàtics 3: Versió 2022–23

Secció 2.5 Energia i relació de Parseval

Tractarem la relació anàloga a Teorema 1.7.1.
Les expressions que intervenen en aquest teorema reben diversos noms, en analogia a Definició 1.7.2.

Definició 2.5.2. Energia, densitat espectral d’energia.

  1. La integral
    \begin{equation*} E\big(x(t)\big) \ = \ \int_\RR \left|x(t)\right|^2 \dd t \end{equation*}
    (Que és un nombre) és el valor de l’energia total del senyal \(x\text{.}\)
  2. La integral
    \begin{equation*} E\big(\widehat{x}(\omega)\big) \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{x}(\omega)\right|^2 \dd \omega \end{equation*}
    (Que és un nombre) és el valor de l’energia espectral total del senyal \(x\text{.}\)
  3. El senyal \(\omega\mapsto \frac{1}{2\pi}\left|\widehat{x}(\omega)\right|^2\) és la densitat espectral d’energia del senyal \(x\text{.}\)
Per tant, el que ens diu la identitat de Parseval per a la transformada és que l’energia total del senyal és igual a l’energia espectral total.

Exemple 2.5.3. Energia d’un pols rectangular.

Per a un pols rectangular que val 1 en l’interval \([-1,1]\) calculem
\begin{align*} x(t) &= \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le x \le 1, \\ 0 & \text{ en altre cas;} \end{cases} & \widehat{x}(\omega) &= \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega} &\text{ si } \omega\ne 0, \\ 2 &\text{ si } \omega=0; \end{cases}\\ |x(t)|^2 &= \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le x \le 1, \\ 0 & \text{ en altre cas;} \end{cases} & \left|\widehat{x}(\omega)\right|^2 &= \begin{cases} \frac{4\sin^2\omega}{\omega^2} &\text{ si } \omega\ne 0, \\ 4 &\text{ si } \omega=0. \end{cases} \end{align*}
Figura 2.5.4. Un pols i la seva energia. La relació de Parseval afirma que l’àrea sota la corba \(|x(t)|^2\) és la mateixa que a l’area sota la corba \(\frac{1}{2\pi}\left|\widehat{x}(\omega)\right|^2\text{.}\)

Subsecció 2.5.1 Com afecta una transformació l’energia d’un senyal?

Com que ja hem estudiat a la Secció 2.2 com la transformada de Fourier es veu afectada per uns canvis en la funció, també podem treure conclusions sobre com aquests canvis afectaran a l’energia del senyal.

Subsubsecció 2.5.1.1 L’energia d’un senyal desplaçada en el temps

De manera intuïtiva, diríem que desplaçar un senyal en el temps no hauria d’afectar l’energia que comporta.
Això és així perquè desplaçar un senyal en el temps no vol dir altra cosa que adoptar una nova convenció sobre l’instant de temps que considerem com a origen del temps. Per exemple, l’origen del temps del calendari Gregorià que s’usa a Europa avui en dia es troba (tautològicament) en l’any 0; però aquest enllaç
 1 
List_of_calendars
mostra una llista de molts altres calendaris que estan o han estat en ús al llarg de la història; i molts d’ells tenen l’origen, el seu any 0, en una altra data que el Gregorià.
Seria extremadament rar que el fet de canviar el calendari afectés la nostra mesura de l’energia d’un senyal. De fet, la nostra intuïció no ens falla:
Demostració.
segons el Teorema 2.2.6, La transformada de Fourier de \(y(t) = x(t-t_0)\) es
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \widehat{x}(\omega) e^{-\ii t_0 \omega}, \end{equation*}
i per tant el seu espectre és el mateix:
\begin{equation*} |\widehat{y}(\omega)| \ = \ |\widehat{x}(\omega)| \cdot \underbrace{|e^{-\ii t_0 \omega}|}_1 \ = \ |\widehat{x}(\omega)|. \end{equation*}
En conclusió, també coincideixen les energies espectrals
\begin{equation*} E\big(\widehat{y}(\omega)\big) \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{y}(\omega)\right|^2 \dd \omega \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{x}(\omega)\right|^2 \dd \omega \ = \ E\big(\widehat{x}(\omega)\big), \end{equation*}
i per la relació de Parseval coincideixen també les energies temporals.

Subsubsecció 2.5.1.2 L’energia d’un senyal desplaçada en freqüència

Demostració.
Per la propietat del desplaçament freqüencial Teorema 2.2.12, la transformada de Fourier de \(y(t)\) es
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \cF\big(x(t)e^{\ii\omega t}\big) \ = \ \widehat{x}(\omega-\omega_0). \end{equation*}
Ja que l’espectre de \(y(t)\) es \(|\widehat{y}(\omega)| = |\widehat{x}(\omega-\omega_0)|,\) l’energia de \(y(t)\) es
\begin{align*} E\big(\widehat{y}(\omega)\big) &= \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{y}(\omega)\right|^2 \dd \omega\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty} \left|\widehat{x}(\omega-\omega_0)\right|^2 \dd \omega\\ &= \begin{bmatrix} \eta = \omega-\omega_0\\ \dd\eta = \dd\omega \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{\eta=-\infty-\omega_0 = -\infty}^{\eta=\infty-\omega_0 = \infty} \left|\widehat{x}(\eta)\right|^2 \dd \eta\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{x}(\eta)\right|^2 \dd \eta \ = \ E\big(\widehat{x}(\omega)\big). \end{align*}

Subsubsecció 2.5.1.3 L’energia d’un senyal canviada d’escala

sí que canvia
Demostració.
La transformada de Fourier del senyal \(y(t)\) és
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \cF\big(x(at)\big) \ = \ \frac{1}{|a|}\widehat{x}\left(\frac{\omega}{a}\right). \end{equation*}
Per calcular l’energia de \(y(t)\text{,}\) utilitzarem el domini temporal. Primer considerem \(a>0\text{.}\)
\begin{align*} E\big(x(at)\big) &= \int_{t=-\infty}^{t=\infty}\left|x(at)\right|^2\dd t\\ &= \begin{bmatrix} u = at\\ \dd u = a\dd t \end{bmatrix}\\ &= \int_{u=-a\infty = -\infty}^{u=a\infty=\infty} \left|x(u)\right|^2 \frac{\dd u}{a}\\ &= \frac{1}{a} \int_{-\infty}^\infty \left|x(u)\right|^2 \dd u \ = \ \frac{1}{a}\cdot E\big(x(t)\big). \end{align*}
Anàlogament, si \(a<0\) Surt
\begin{equation*} E\big(x(at)\big) \ = \ \frac{1}{-a}\cdot E\big(x(t)\big). \end{equation*}
Podem unificar aquests dos casos utilitzant \(|a|\text{.}\)
Exercicis Exercicis
1.
Comproveu l’afirmació feta en la demostració de l’ Teorema 2.5.7: Si \(a<0\text{,}\) llavors \(E\big(x(at)\big) \ = \ \frac{1}{-a}\cdot E\big(x(t)\big).\)
Pista.
Adapta els passos de la demostració.
Exemple 2.5.8. Contracció i dilatació.
  • si contraiem \(x(t)\) per un factor~2, l’energia total baixa a la meitat:
    \begin{equation*} y(t) \ = \ x(2t) \qquad \implies \qquad E\big(y(t)\big) \ = \ \frac12\, E\big(x(t)\big). \end{equation*}
  • si expandim \(x(t)\) per un factor~2, l’energia total puja al doble:
    \begin{equation*} y(t) \ = \ x\left(\frac{t}{2}\right) \qquad \implies \qquad E\big(y(t)\big) \ = \ 2\, E\big(x(t)\big). \end{equation*}
  • Si reflectim el senyal, és a dir, fem servir \(a=-1\text{,}\) L’energia total no canvia:
    \begin{equation*} y(t) \ = \ x(-t) \qquad \implies \qquad E\big(y(t)\big) \ = \ \frac{1}{|-1|} E\big(x(t)\big) \ = \ E\big(x(t)\big). \end{equation*}
AnteriorTopSegüent