Definició 3.2.1.
Una EDO en variables separables és una EDO que es pot expressar de la forma
\begin{equation*}
N(y)\, dy = M(x)\, dx.
\end{equation*}
Dit altrament, es poden separar les variables a cada banda.Secció 3.2 EDOs en variables separables
Un exemple d’una EDO en variables separables podria ser
\begin{equation*}
e^y dy=(x^2+1)dx.
\end{equation*}
Observació 3.2.2.
Les EDOs en variables separables són d’ordre 1:
\begin{align*}
N(y)\, dy &= M(x)\, dx\\
\Longleftrightarrow \ N(y)\, \frac{dy}{dx} &= M(x)\\
\Longleftrightarrow\quad \ N(y)y' &= M(x)
\end{align*}
Observem també que en general les EDOS separables no són lineals, a no ser que \(N(y)\) sigui un terme constant.Subsecció 3.2.1 Pas 1: Separar les variables
El primer pas per a resoldre una EDO separable és, precisament, separar les variables.
Exemple 3.2.3. Un model de població.
Com abans, prenem
\begin{equation*}
P'(t) = k P(t)
\end{equation*}
com a model de l’evolució d’una població, on \(k\) és la constant de proporcionalitat del model.
Com podem trobar \(P(t)\text{?}\)
\begin{align*}
P' &= k P\\
\Longleftrightarrow \ \frac{dP}{dt} &=k P\\
\Longleftrightarrow \ dP &= k P dt\\
\Longleftrightarrow \ \frac{dP}{P}&= k dt
\end{align*}
Ara vam aconseguir separar les variables, que és el primer pas: un costat només conté la variable \(P\text{,}\) i l’laltre només la variable \(t\text{.}\) Recorda que \(k\) és una constant qualsevol, no una variable del model.
Exemple 3.2.4. L’EDO \(xy'=-y\).
Fem com abans:
\begin{align*}
xy'& =-y\\
\Longleftrightarrow \ x\frac{dy}{dx}&=-y\\
\Longleftrightarrow\ xdy &= -ydx\\
\Longleftrightarrow \ \frac{1}{y} dy&= -\frac{1}{x} dx
\end{align*}
i vam aconseguir separar les variables.
Subsecció 3.2.2 Pas 2: Integrar
Ara, desprès de separar les variables, s’integra a banda i banda:
\begin{align*}
N(y)\, dy &= M(x)\, dx\\
\int N(y)\, dy &= \int M(x)\, dx
\end{align*}
Observació 3.2.5. Només cal una constant d’integració.
Atès que hi ha dues integrals a l’equació, podriem pensar que hem de treballar amb dues constants d’integració:
\begin{align*}
\int N(y)\, dy &= Q(y) +A\\
\int M(x)\, dx&=P(x)+B
\end{align*}
Però podem combinar aquestes dues constants en una sola:
\begin{align*}
Q(y) +A &=P(x)+B\\
\Longleftrightarrow\ Q(y) &=P(x)+B-A\\
\Longleftrightarrow\ Q(y)&=P(x)+C
\end{align*}
Recordem que a la solució general de les EDOs d’ordre 1 hi ha només 1 constant arbitrària (1 grau de llibertat).
Subsecció 3.2.3 Pas 3: Es pot aïllar la variable \(y\text{?}\)
Si es pot aïllar la variable \(y\) tindrem la solució explícita i si no, la tenim implícita.
Exemple 3.2.6. Una EDO ja separada.
Prenem com a exemple a l’EDO
\begin{equation*}
e^y dy=(x^2+1)dx.
\end{equation*}
Ja està separada, per tant podem integrar:
\begin{align*}
\int e^y dy & =\int (x^2+1)dx +C\\
\Longleftrightarrow \ e^y &= \frac{x^3}{3}+x+C
\end{align*}
Ara aïllem la \(y\text{,}\) i obtenim la solució general
\begin{equation*}
y=\ln\left( \frac{x^3}{3}+x+C\right).
\end{equation*}
Exemple 3.2.7. El model de població.
a l’Exemple 3.2.3 vam arribar fins a la relació
\begin{equation*}
\frac{dP}{P}= k dt.
\end{equation*}
Ara podem integrar a banda i banda:
\begin{align*}
\int \frac{dP}{P}&=\int k dt +C\\
\Longleftrightarrow \
\ln(P)&= k t+C\\
\Longleftrightarrow \
P&= e^{kt+C}=e^{kt} e^{C}.
\end{align*}
Si posem un nou nom a la constant \(e^C\text{,}\) per exemple \(e^C=:A\text{,}\) podem concloure que la solució general és
\begin{equation*}
P(t) = A\,e^{-kt}.
\end{equation*}
Si ara més a més tenim la condició inicial
\begin{equation*}
P(0) = P_0
\end{equation*}
on \(P_0\in\RR\) és el número de membres de la població a l’instant \(t=0\text{,}\) podem concloure de
\begin{equation*}
P_0 = P(0) = A\, e^0 = A
\end{equation*}
que la solució particular és
\begin{equation*}
P(t) = P_0\,e^{-kt}.
\end{equation*}
Si \(k>0\text{,}\) la funció creixerà exponencialment, i si \(k<0\text{,}\) decreixerà exponencialment.
Exemple 3.2.8. \(\frac{1}{y}\, dy= -\frac{1}{x}\, dx\).
Fem el mateix procediment:
\begin{align*}
\int\frac{1}{y}\, dy &= \int -\frac{1}{x}\, dx +C\\
\Longleftrightarrow \
\int\frac{1}{y}\, dy&= -\int \frac{1}{x}\, dx +C\\
\Longleftrightarrow \ \ln(y)&=-\ln(x)+C
\end{align*}
Per a aïllar la \(y\text{,}\) podem calcular
\begin{align*}
y&=e^{-\ln(x)+C}=e^{-\ln(x)}e^C\\
&=\frac{1}{e^{\ln(x)}}e^C=\frac{1}{x}\,e^C= \frac{K}{x},
\end{align*}
on a l’últim pas vam posar \(e^C=K\text{.}\)
Una altra possiblitat per a aïllar la \(y\) és fer-ho així:
\begin{align*}
y&=e^{-\ln(x)+C}\\
&=e^{-\ln(x)}e^C\\
&\stackrel{a\ln(b) = \ln(b^a)}{=}
e^{\ln\left(x^{-1}\right)}e^C\\
&=x^{-1}e^C \stackrel{e^C=K}{=} \frac{K}{x},
\end{align*}
o fins i tot així:
\begin{align*}
\ln(y)& =-\ln(x)+C\\
\Longleftrightarrow \ \ln(y)+\ln(x)&=C\\
\stackrel{\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)}{\Longleftrightarrow} \ \ln(yx)&=C\\
\Longleftrightarrow \ yx&=e^C=K\\
\Longleftrightarrow \ y&=\frac{K}{x}
\end{align*}
