Definició 4.1.1.
La transformada de Laplace d’un senyal \(x(t)\) és un senyal \(X(s)\) definit per:
\begin{equation*}
X(s)=\int_0^{+\infty} x(t)\, \mathrm{e}^{-st} dt,
\quad s\in\mathbb{C}
\end{equation*}
Secció 4.1 Què és?
La transformada de Laplace (TL) és un tipus d’operador integral similar (amb moltes propietats en comú) a la transformada de Fourier que ja coneixeu de la primera part del curs, quan estudiàvem l’anàlisi de Fourier de senyals.
En aquest tema estudiarem la transformada de Laplace, i l’aplicarem, fonamentalment, per resoldre equacions diferencials lineals amb coeficients constants de la manera següent:
Observació 4.1.2.
- Considerem els senyals \(x(t)\) només per \(t\ge 0\text{,}\) o dit d’una altra manera, considerarem que els senyals \(x(t)\) valen 0 per \(t<0\text{.}\)
- La variable \(s\) de la transformada de Laplace pot ser complexa o real.
- La transformada de Laplace existeix normalment només per a determinats valors de la variable \(s\text{.}\) Aquest conjunt de valors per als quals existeix la TL d’un senyal s’anomena regió de convergència (ROC en les seves sigles en anglès).
- La transformada de Laplace és un operador integral reversible, és a dir, existeix l’operador TL inversa, de manera que a partir la TL d’un senyal es pot obtenir el senyal inicial. Utilitzarem la notació\begin{equation*} F(s)=\mathrm{L}\left(x(t)\right)\qquad \text{i}\qquad x(t)=\mathrm{L}^{-1}\left(X(s)\right) \end{equation*}
Abans de fer un exemple, hem d’introduir una notació que ens serà molt útil.
Definició 4.1.3.
La funció de salt unitari de Heaviside és
\begin{equation*}
u(t)=\begin{cases} 1 & \text{si}\ t\ge 0\\
0 & \text{si}\ t< 0
\end{cases}
\end{equation*}
Ara ja podem treballar el nostre primer exemple, la transformada de Laplace d’un senyal constant.
Més precisament, calculem la transformada de Laplace del senyal
\begin{equation*}
x(t)=1,\quad t\ge 0\quad \Longleftrightarrow\quad x(t)=u(t)
\end{equation*}
de la manera següent:
\begin{align*}
X(s)& =\int_0^{+\infty} x(t)\, \mathrm{e}^{-st} dt\\
&=
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-st} dt\\
&=
\lim_{a\to +\infty} \int_0^{a} \mathrm{e}^{-st} dt\\
&\stackrel{s\neq 0}{=}
\lim_{a\to +\infty} \left.\frac{\mathrm{e}^{-st}}{-s}\right|_0^a \\
&=
\lim_{a\to +\infty} \frac{-1}{s}\,\mathrm{e}^{-sa}+ \frac{1}{s}\\
&=
\frac{-1}{s}\,\lim_{a\to +\infty} \left(\mathrm{e}^{-sa}\right)+ \frac{1}{s}
\end{align*}
Calculant el límit
\begin{equation*}
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-sa}
\stackrel{\text{si}\ s\ \text{és real}}{=}
\begin{cases}
0 & \text{si}\ \ s > 0\\
+\infty & \text{si}\ \ s< 0
\end{cases}
\end{equation*}
tenim que la transformada existeix per \(s>0\) i no existeix per \(s<0\text{.}\)
Si \(s=0\text{,}\) tampoc no existeix la transformada perquè la integral divergeix:
\begin{equation*}
X(0)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-0\cdot t} dt
=\lim_{a\to +\infty}\int_0^a dt=
\lim_{a\to +\infty} t\Big\vert_0^a=
\lim_{a\to +\infty} a=+\infty
\end{equation*}
Per tant, la transformada de Laplace és
\begin{equation*}
X(s)=\frac{1}{s}\, , \quad s>0
\end{equation*}
on \(s>0\) és la regió de convergència (ROC) que representa la semirecta real \((0, +\infty)\text{.}\)
Si la variable de la transformada és complexa, \(s=\sigma + \omega j\text{,}\) el límit de l’exponencial és
\begin{align*}
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-(\sigma + \omega j)a}
&=
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-\sigma a-j\omega a}\\
&=
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-\sigma a} \mathrm{e}^{-j\omega a}\\
&=\bigg\lbrace \lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-\sigma a} \cdot\ \text{(funció acotada)}\bigg\rbrace\\
&=\begin{cases} 0 & \text{si}\ \ \sigma > 0
\ \Longleftrightarrow\ \text{si}\ \ {\rm Re}(s)>0 \\
\text{no existeix}\quad & \text{si}
\ \ \sigma < 0\ \Longleftrightarrow\ \text{si}\ \ {\rm Re}(s)<0 \end{cases}
\end{align*}
Amb tot això, podem concloure que la transformada de Laplace és
\begin{equation*}
X(s)=\frac{1}{s}\, , \quad {\rm Re}(s)>0,
\end{equation*}
on ara la ROC \({\rm Re}(s)>0\) representa el semipla complex a la dreta de l’eix imaginari.
A la taula de transformades de Laplace que teniu a la documentació del tema, les ROC estan expressades considerant \(s\) complex. Si \(s\) és real, elimineu ``Re’’ de les ROC corresponents.
Per a resoldre els problemes no calcularem transformades aplicant la definició, utilitzarem la taula de transformades i aplicarem les propietats de la transformada de Laplace.
