Secció 3.1 Introducció
Subsecció 3.1.1 Què és una equació diferencial?
Uns exemples d’equacions diferencials són:
- \(y''+xy'+2y=x^2,\qquad\) amb funció incògnita \(y(x)\)
- \(y'=\sin(x)+y \tan(x),\qquad\) amb funció incògnita \(y(x)\)
- \(y''-5y'+6y=0, \qquad\) amb funció incògnita \(y(t)\)
- \(x'-tx=x''',\qquad\) amb funció incògnita \(x(t)\)
- \(e^y \frac{dy}{dx}+x^2+1=0, \qquad\) amb funció incògnita \(y(x)\)
- \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \qquad\) amb funció incògnita \(u(x,t)\)
Com podem veure, a les equacions (1)--(5) la funció incògnita depèn d’una variable, i en (6) depèn de dues.
Definició 3.1.2.
- Si la funció incògnita d’una equació diferencial depen només d’una variable, l’equació es diu ordinària, i s’abrevia EDO.
- Si la funció incògnita depen de dues o més variables, l’equació es diu en derivades parcials, i s’abrevia EDP.
Nosaltres ens restringim a només estudiar EDOs.
Definició 3.1.3.
L’ordre d’una equació diferencial és l’ordre de la derivada d’ordre més alt que intervé en l’equació.
Per exemple, l’ordre de l’equació
\begin{equation*}
\frac{d^2y}{dx^2} + 5\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 - 4y = 0
\end{equation*}
és dos, perquè hi surt \(\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}\) però no \(\displaystyle\frac{d^3y}{dx^3}\) o \(\displaystyle\frac{d^4y}{dx^4}\text{.}\) El "elevat a tres" de l’expressió \(\displaystyle\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\) no intervé en aquesta classificació.
Definició 3.1.4.
Un equació diferencial es diu lineal si es tracta una expressió lineal en la funció incognita \(y\) i les seves derivades \(y',y'',y'''\) etc.
Una altra manera de dir això es que a l’equació no es multiplica mai la funció incògnita amb cap de les seves derivades, ni tampoc es eleva a cap potència més gran que 1 ni a la funció incògnita, ni a cap de les seves derivades.
Exercicis Exercicis
Determina l’ordre d’aquestes equacions, i si són lineals.
1.
\((1-y)y' + 2y =e^x\)Pista 1.
Quina és la derivada més alta?
Pista 2.
Es multipliquen funció incògnita i derivades?
Solució.
La derivada més alta és 1, per tant l’equació és d’ordre 1. Es multiplica la funció incògnita amb la seva derivada en l’expressió \((1-y)y' = y' - yy'\text{,}\) per tant l’equació no és lineal.
2.
\(\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} + \sin y = 0\)Pista 1.
Quina és la derivada més alta?
Pista 2.
Es multipliquen funció incògnita i derivades? S’eleva la funció incògnita a alguna potència?
Pista 3.
Has mirat bé?
Solució.
La derivada més alta és 2, per tant l’equació és d’ordre 2. No es multiplica la funció incògnita amb cap de les seves derivades, però la funció \(\sin y\) és una sèrie de potències en \(y\text{:}\)
\begin{equation*}
\sin y = y - \frac{1}{3!}\, y^3 + \frac{1}{5!}\,y^5 \mp\dots,
\end{equation*}
i per tant l’equació no és lineal.3.
\(\displaystyle\frac{\dd^4y}{dx^4} + y^2= 0\)Pista 1.
Quina és la derivada més alta?
Pista 2.
Es multipliquen funció incògnita i derivades? S’eleva a cap potència la funció incògnita?
Solució.
La derivada més alta és 4, per tant l’equació és d’ordre 4. Es eleva la funció incògnita a la segona potència en l’expressió \(y^2\text{,}\) per tant l’equació no és lineal.
Subsecció 3.1.2 Modelització i equacions de fenòmens
Exemple 3.1.5. Corba plana amb informació de pendent.
Com és l’equació d’una corba plana si demanem que la seva pendent sigui igual al doble de l’abscissa en tots els punts?
És a dir, busquem una funció \(y(x)\) de manera que
\begin{equation*}
y'(x) = 2x
\end{equation*}
per a tots el valors \(x\text{.}\) Es tracta doncs d’una EDO d’ordre 1.
Aquesta EDO es pot resoldre integrant directament
\begin{equation}
y(x)=\int 2x\, dx=x^2 +C,\tag{3.1.1}
\end{equation}
on \(C\) es qualsevol constant (la constant d’integració).
Tenim doncs infinites solucions, una per a qualsevol elecció de la constant arbitrària \(C\text{.}\)
Si volem per exemple que la corba passi pel punt \((1,3)\text{,}\) hem de demanar que
\begin{equation}
y(1) = (1)^2 + C = 3,\tag{3.1.2}
\end{equation}
la qual condició ens porta a fixar \(C=2\text{.}\)
L’equació d’aquesta solució particular és, doncs,
\begin{equation*}
y(x) = x^2+2.
\end{equation*}
Exemple 3.1.6. Moviment d’acceleració constant.
L’equació que descriu el moviment unidimensional d’una partícula amb acceleració constant \(c\) és descrit per les equacions
\begin{align*}
v'(t)&=c\\
x'(t)&=v(t),
\end{align*}
de les quals deduïm que
\begin{equation*}
x''(t)=c.
\end{equation*}
Ens resta doncs determinar \(x(t)\) a partir d’aquesta EDO. Una altra vegada es pot resoldre integrant directament:
\begin{align*}
x'(t)&=\int c\, dt=ct+ A,\\
x(t)&=\int (ct+A)dt=c\,\frac{t^2}{2}+At +B,
\end{align*}
on \(A, B\) son constants d’integració.
Una altra vegada hi ha infinites solucions, una per a cada valor de les constants arbitràries \(A\) i \(B\) (graus de llibertat).
Si ens donen, per exemple, per a \(t=0\) una posició inicial \(x_0\) i una velocitat inicial \(v_0\text{,}\) podem ajustar les constants a aquestes condicions inicials:
\begin{align*}
v_0&=v(0)=x'(0)=A,\\
x_0&=x(0)=B.
\end{align*}
D’aquesta manera arribem a la solució particular
\begin{equation*}
x(t)=\frac{c}{2}\, t^2+v_0t +x_0.
\end{equation*}
Exemple 3.1.7. Model d’evolució d’una població.
Sigui \(P(t)\) la població en un instant t en una determinada comunitat.
Suposem que la variació de la població depèn només de la taxa de natalitat i de mortalitat i que ambdues taxes són proporcionals a la població en cada instant.
Atès que la variació de població és \(P'(t)\text{,}\) concluim de la frase anterior que l’evolució de la població ve modelitzada per l’EDO d’ordre 1
\begin{equation*}
P'T) = k\, P(t).
\end{equation*}
Exemple 3.1.8. Equació d’una molla.
La tercera llei de Newton ens diu que
La suma de les forces que actuen en l’objecte és igual al producte de la massa per l’acceleració experimentada pel objecte.Ara,
- la força de fregament és proporcional a la velocitat:\begin{equation*} -\alpha x'(t) \end{equation*}
- la força de la molla és proporcional al desplaçament respecte de l’equilibri:\begin{equation*} -k x(t) \end{equation*}
Per tant, obtenim l’EDO d’ordre 2:
\begin{equation*}
-\alpha x'(t)-k x(t)=m x''(t).
\end{equation*}
Exemple 3.1.9. Carrega elèctrica d’un circuit en sèrie.
Segons la 2a llei de Kirchoff, el voltatge \(E(t)\) a través d’un circuit tancat ha de ser igual a les caigudes de voltatge que hi ha. Aquestes són:
- \(V_L= L\, i'(t)= L\,q''(t)\text{;}\)
- \(V_R= R\, q'(t)\text{;}\)
- \(\displaystyle V_C =\frac{1}{C}\, q(t)\)
Expressant la segona llei de Kirchoff en fòrmules matemàtiques, arribem doncs a l’EDO d’ordre 2:
\begin{equation*}
L\,q''(t)+R\, q'(t)+\frac{1}{C} = E(t).
\end{equation*}
Subsecció 3.1.3 Solucions d’EDOs
Una solució d’una equació diferencial ha de satisfer l’equació per a tot valor de la variable independent.
1
en realitat, només pels valors a dins d’un interval. Nosaltres normalment ho prenem com a \((-\infty,\infty)=\RR\text{,}\) però a vegades és més petit
Per exemple, per a comprobar que \(y(t)= e^{3t}\) és una solució de
\begin{equation*}
y''-6y' +9y=0,
\end{equation*}
substituïm \(y(t)\) i les seves derivades a l’EDO:
- \(y(t)= e^{3t}\text{;}\)
- \(y'(t)= 3 e^{3t}\text{;}\)
- \(y''(t)=9 e^{3t}\text{;}\)
i per tant,
\begin{equation*}
y''-6y' +9y = 9 e^{3t} - 6\left(3 e^{3t}\right) + 9 e^{3t}=0
\end{equation*}
per a tot \(t\text{.}\) Això ens confirma que \(y(t)\) realment és una solució de la EDO.
Ara, quins propietats tenen les solucions d’una EDO?
- Les EDOs tenen, en general, infinites solucions amb diferents constants arbitràries (graus de llibertat)
- El nombre de graus de llibertat és igual a l’ordre de l’EDO. Per exemple,
- Per a \(y'=2x\text{,}\) obtenim \(y=x^2+C\) per a qualsevol \(C\in\mathbb{R}\text{.}\) Per tant, el conjunt de solucions té un grau de llibertat.
- Per a \(x''(t)=c\text{,}\) obtenim \(x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+At+B\text{,}\) on \(A,B\in\RR\) són números reals qualsevols. Per tant, el conjunt de solucions té dos graus de llibertat.
- El terme solució general es refereix a la forma genèrica que tenen totes les solucions. Per exemple, acabem de veure les solucions generals
- \(y=x^2+C\) per a qualsevol \(C\in\mathbb{R}\text{,}\)
- \(x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+At+B\text{,}\) on \(A,B\in\RR\) són números reals qualsevols
- El terme solució particular es refereix a una solució concreta dins d’una solució general, que obtenim substituint algun valor concret per totes les constants arbitràries. En els exemples anteriors, unes solucions particulars són:
- \(\displaystyle y=x^2 + 5\)
- \(\displaystyle x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+2t+3\)
Subsecció 3.1.4 Problemes de valor inicial
Definició 3.1.10.
Un Problema de Valor inicial (PVI) és una EDO amb
Condicions incials que són condicions imposades a la solució general que determinen els valors de les constants arbitràries.
- El número de condicions inicials = número de graus de llibertat = ordre de l’EDO
- Imposen el valor inicial de la solució i de les seves derivades successives
- Si la funció incògnita és \(y(t)\) i l’EDO és d’ordre \(n\text{,}\) les condicions inicials són\begin{align*} y(t_0)& =y_0,\\ y'(t_0)&=y_1,\\ y''(t_0)&=y_2,\\ \cdots&\cdots\\ y^{(n-1)}(t_0)&=y_{n-1}, \end{align*}on \(y_0,y_1,y_2,\dots,y_{n-1}\in\RR\) són números arbitraris.
Exemple 3.1.11. Una EDO d’ordre 1.
Exemple 3.1.12. Moviment d’acceleració constant.
\begin{align*}
x''(t) &= c\\
x(0)&= 0\\
x'(0)&=20.
\end{align*}
Abans hem trobat la solució general:
\begin{equation*}
x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+At+B,
\end{equation*}
on \(A,\, B\in\mathbb{R}\) són arbitraris.
Calculem la primera derivada en general:
\begin{equation*}
x'(t) = ct +A
\end{equation*}
i substituim les condicions inicials. Això ens dóna els valors
\begin{equation*}
B=0, \qquad A=20
\end{equation*}
per les constants, amb la qual cosa la solució particular és
\begin{equation*}
x(t) = \frac{c}{2}\, t^2+20t.
\end{equation*}
