Definició 3.5.1.
La equació característica (EC) associada a (3.5.3) s’obté substituint- \(y''\) per \(\lambda^2\text{,}\)
- \(y'\) per \(\lambda\)
- i \(y\) per 1.
Secció 3.5 EDOs lineals amb coeficients constants
Les equacions lineals que estudiarem són les que hem definit abans a (3.4.1), però on els coeficients \(a_k(t)\) no són funcions qualsvols de la variable \(t\text{,}\) sino són només constants:
\begin{equation*}
a_k \in R\qquad \text{per a } k=1,2,\dots,n.
\end{equation*}
D’aquesta manera, l’equació (3.4.1) es simplifica a
\begin{equation}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=f(t) \quad \text{on}\ a_i\in \mathbb{R}\tag{3.5.1}
\end{equation}
Subsecció 3.5.1 Estructura de la solució d’una EDO lineal
La solució general d’una equació lineal sempre pot expressar-se
\begin{equation*}
y(t)=y_h(t)+y_p(t)
\end{equation*}
on \(y_h(t)\) és la solució general de l’equació homogènia de l’EDO lineal i \(y_p(t)\) és una solució particular qualsevol de l’EDO lineal (equació no homogènia).
Vegem com identificar aquesta estructura en el exemple anterior, que tractava l’equació (3.4.4),
\begin{equation*}
y' -\frac{4}{t}\, y=t^4\mathrm{e}^t .
\end{equation*}
La solució general es pot expressar d’aquesta manera:
\begin{equation*}
y(t)=(\mathrm{e}^t+K)t^4= \underbrace{K\,t^4}_{y_h(t)} +\underbrace{\mathrm{e}^t t^4}_{y_p(t)}
\end{equation*}
En aquesta expressió,
- \(\displaystyle y_h(t)= K\,t^4\ \) és la solució general de l’equació homogènia (calculada abans)
- \(\displaystyle y_p(t)= \mathrm{e}^t t^4\ \) és una solució particular de l’EDO (s’obté de la solució general prenent \(K=0\))
Aquesta estructura de les solucions és comuna a qualsevol EDO lineal. Per tant, l’estructura de la solució de l’equació (3.5.1) és
\begin{equation*}
y(t)=y_h(t)+y_p(t)
\end{equation*}
on \(y_h(t)\) és la solució general de l’equació homogènia de l’EDO lineal
\begin{equation*}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=0
\end{equation*}
i \(y_p(t)\) és una solució particular qualsevol de l’equació no homogènia (3.5.1).
Estudiarem primer com trobar la solució general de les equacions homogènies i després com calcular una solució particular de les no homogènies per a certes funcions \(f(t)\text{.}\)
Subsecció 3.5.2 EDOs lineals amb coeficients constants homogènies
Considerem l’expressió general d’una EDO lineal amb coeficients constants homogènia d’ordre \(n\text{:}\)
\begin{equation}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=0 \quad \text{on}\ a_i\in \mathbb{R}\tag{3.5.2}
\end{equation}
Les solucions de l’equació (3.5.2) formen un espai vectorial de dimensión \(n\text{.}\) Per tant, cal buscar \(n\) solucions de (3.5.2) que siguin linealment independents. Una combinació lineal d’aquestes solucions és la solució general de l’equació homogènia (3.5.2).
Si tenim \(y_1(t)\text{,}\) \(y_2(t)\text{,}\) \(\cdots\text{,}\) \(y_n(t)\text{,}\) solucions de (3.5.2) que són linealment independents, llavors
\begin{equation*}
\lbrace y_1(t), y_2(t), \cdots, y_n(t)\rbrace
\end{equation*}
\begin{equation*}
y(t)=C_1\, y_1(t)+C_2\, y_2(t)+ \cdots + C_n\, y_n(t)
\end{equation*}
on \(C_1\text{,}\) \(C_2\text{,}\) \(\cdots\text{,}\) \(C_n\text{,}\) són les \(n\) constants arbitràries de la solució (\(n\) graus de llibertat).
Subsecció 3.5.3 L’equació característica
A continuació estudiarem com trobar aquestes \(n\) funcions,
- primer amb les equacions d’ordre 2
- i després generalitzarem a equacions d’ordre més gran que 2.
Subsubsecció 3.5.3.1 Equacions d’ordre 2
Considerem l’EDO lineal amb coeficients constants homogènia d’ordre 2
\begin{equation}
a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=0.\tag{3.5.3}
\end{equation}
Així l’equació característica associada a l’equació homogènia és
\begin{equation*}
a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda +a_0 =0,
\end{equation*}
que és una equació de grau 2.
Resolem l’EC i obtenim les seves dues arrels \(\lambda_1\) i \(\lambda_2\) que poden ser reals i diferents, real i doble o bé complexes (i conjugades). Aquesta casuística determina com determinar la solució general de l’equació.
-
Arrels de l’EC reals i diferents: \(\lambda_1\neq\lambda_2\text{,}\) amb \(\lambda_1,\lambda_2\in\RR\)Les funcions\begin{equation*} y_1(t)=\mathrm{e}^{\lambda_1 t} \quad \text{i}\quad y_2(t)=\mathrm{e}^{\lambda_2 t} \end{equation*}són solucions de (3.5.3) linealment independents. Per tant,\begin{equation*} \lbrace \mathrm{e}^{\lambda_1 t}, \mathrm{e}^{\lambda_2 t} \rbrace \end{equation*}\begin{equation*} y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{\lambda_1 t} + C_2\,\mathrm{e}^{\lambda_2 t}\qquad\quad\text{per a constants } C_1, C_2 \in \mathbb{R}. \end{equation*}
-
Arrels de l’EC real i doble: \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda\)Les funcions\begin{equation*} y_1(t)=\mathrm{e}^{\lambda t} \quad \text{i}\quad y_2(t)=t\mathrm{e}^{\lambda t} \end{equation*}són solucions de (3.5.3) linealment independents,\begin{equation*} \lbrace \mathrm{e}^{\lambda t}, t \mathrm{e}^{\lambda t} \rbrace \end{equation*}\begin{equation*} y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{\lambda t} + C_2\,t \mathrm{e}^{\lambda t}\qquad\quad\text{per a constants } C_1, C_2 \in \mathbb{R} \end{equation*}
-
Arrels de l’EC complexes (no reals) i conjugades: \(\lambda_1,\lambda_2=\alpha \pm \beta j\)Les funcions\begin{equation*} y_1(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t) \quad \text{i}\quad y_2(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \end{equation*}són solucions de (3.5.3) linealment independents,\begin{equation*} \lbrace \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t), \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \rbrace \end{equation*}\begin{equation*} y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t) + C_2\, \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \qquad\quad\text{per a constants } C_1, C_2 \in \mathbb{R} \end{equation*}
Exemple 3.5.2. \(y''-5y'+6y=0\).
L’equació característica és \(\lambda^2-5\lambda +6=0\text{,}\) i les seves arrels són \(\lambda =2, 3\text{.}\)
Són reals i diferents, per tant, la base de solucions de l’EDO és \(\displaystyle\lbrace \mathrm{e}^{2t}, \mathrm{e}^{3t}\rbrace\text{,}\)
i la solució general: \(\displaystyle y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{2 t} + C_2\, \mathrm{e}^{3t},\quad
C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Exemple 3.5.3. \(y''-6y'+9y=0\).
L’equació característica és \(\lambda^2-6\lambda +9=0\text{.}\) La resolem i surt \(\lambda= 3\text{,}\) per tant, tenim l’arrel real \(\lambda=3\) doble.
La base de solucions de l’EDO és \(\displaystyle\lbrace \mathrm{e}^{3t}, t \mathrm{e}^{3t}\rbrace\text{,}\)
i la solució general: \(\displaystyle y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{3 t} + C_2\,t \mathrm{e}^{3t},\quad
C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Exemple 3.5.4. \(y''-2y'+10y=0\).
L’equació característica és \(\lambda^2-2\lambda +10=0\text{,}\) i les seves arrels són
\begin{equation*}
\lambda = \frac{2\pm \sqrt{-36}}{2}=1\pm 3\sqrt{-1}=1\pm 3 j
\end{equation*}
Són complexes i conjugades, per tant, la base de solucions de l’EDO és
\begin{equation*}
\lbrace \mathrm{e}^{t} \cos(3t),
\mathrm{e}^{t}\sin(3t)\rbrace ,
\end{equation*}
i la solució general: \(\displaystyle y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{t} \cos(3t) +
C_2\,\mathrm{e}^{t}\sin(3t),\quad
C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Subsubsecció 3.5.3.2 Equacions d’ordre superior
Alguns exemples són:
Exemple 3.5.5. \(y'''-2y''+y'=0\).
És d’ordre 3, per tant, la base de solucions de l’equació estarà formada per 3 funcions que sortiran de l’anàlisi de les arrels de l’equació característica serà ara de grau 3.
EC: \(\lambda^3-2\lambda^2 +\lambda=0\text{.}\)
Les 3 arrels de l’EC són
\begin{equation*}
\lambda^3-2\lambda^2 +\lambda=0\ \Longrightarrow \
\lambda\left(\lambda^2-2\lambda +1\right)=0 \ \Longrightarrow\
\begin{cases} \lambda =0\\
\lambda^2-2\lambda +1=0\ \Longrightarrow \ \lambda=1 \ \text{doble}
\end{cases}
\end{equation*}
L’arrel real simple \(\lambda =0\) contribueix amb la funció \(\mathrm{e}^{0 t}=\mathrm{e}^{0}=1\)
L’arrel real doble \(\lambda =1\) contribueix amb 2 funcions: \(\mathrm{e}^{1 t}=\mathrm{e}^{t}\) i \(t \mathrm{e}^{1 t}=
t \mathrm{e}^{t}\)
Així, la base de solucions de l’EDO és \(\displaystyle\lbrace 1, \mathrm{e}^{t}, t \mathrm{e}^{t}\rbrace\text{,}\)
i la solució general: \(\displaystyle y(t)=C_1+C_2\,\mathrm{e}^{t} + C_3\,t \mathrm{e}^{t},\quad
C_1, C_2, C_3 \in \mathbb{R}\)
Exemple 3.5.6. \(y^{iv}+2y''+y=0\).
És d’ordre 4, per tant, la base de solucions de l’equació estarà formada per 4 funcions que sortiran de l’anàlisi de les arrels de l’equació característica serà ara de grau 4.
EC: \(\lambda^4+2\lambda^2 +1=0\text{.}\)
Resolem l’equació característca fent el canvi \(\displaystyle r=\lambda^2\) per a convertir-la en una equació de segon grau fàcil de resoldre:
\begin{equation*}
r^2+2r +1\ \Longrightarrow \ r=-1 \ \text{doble}
\end{equation*}
Desfent el canvi obtenim les 4 arrels de l’EC:
\begin{equation*}
\lambda^2=-1\ \Longrightarrow \ \lambda=\pm \sqrt{-1}=\pm j
=0\pm j \ \text{doble}
\end{equation*}
Tenim 2 arrels complexes dobles. Les 4 funcions de la solució corresponen al fet que són complexes:
\begin{equation*}
\mathrm{e}^{0t}\cos(1t)=\mathrm{e}^{0}\cos(t)=\cos(t);\qquad
\mathrm{e}^{0t}\sin(1t)=\mathrm{e}^{0}\sin(t)=\sin(t)
\end{equation*}
i dobles: \(\ t\cos(t);\ t\sin(t)\text{.}\)
Així, la base de solucions de l’EDO és \(\displaystyle\lbrace \cos(t), \sin(t), t\cos(t), t\sin(t) \rbrace\text{,}\)
i la solució general:
\begin{equation*}
y(t)=C_1\cos(t)+C_2 \sin(t)+ C_3\, t\cos(t)+C_4\, t\sin(t) ,\quad
C_1, C_2, C_3,C_4 \in \mathbb{R}
\end{equation*}
Subsecció 3.5.4 EDOs lineals amb coeficients constants, el cas general
Si l’equació diferencial és d’ordre superior a 2, el procediment per trobar la solució general és el mateix que en el cas d’ordre 2, amb l’única diferència que
- l’equació característica és de grau \(>\) 2
- i la casuística de les seves arrels és més àmplia.
Subsubsecció 3.5.4.1 El cas homogèni
En el cas general, si tenim una EDO lineal amb coeficients constants homogènia d’ordre \(n\)
\begin{equation*}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+
a_0 y(t)=0,
\end{equation*}
l’equació característica corresponent és
\begin{equation*}
a_n \lambda^n +a_{n-1} \lambda^{n-1}+ \cdots + a_2 \lambda^2+
a_1 \lambda+ a_0 =0.
\end{equation*}
L’equació característica té \(n\) arrels, comptant multiplicitats. Cadascuna d’aquestes arrels contribueix amb un terme a la solució general de l’equació homogènia.
- Una arrel real simple \(\lambda\) contribueix amb la funció \(\displaystyle\mathrm{e}^{\lambda t}\)
- Una arrel real \(\lambda\) amb multiplicitat \(m\) contribueix amb les \(m\) funcions\begin{equation*} \mathrm{e}^{\lambda t},\ t\, \mathrm{e}^{\lambda t},\ t^2 \mathrm{e}^{\lambda t},\ \cdots\ , \ t^{m-1} \mathrm{e}^{\lambda t} \end{equation*}
- Dues arrels complexes conjugades simples \(\alpha \pm \beta j\) contribueixen amb les 2 funcions\begin{equation*} \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t), \ \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \end{equation*}
- Dues arrels complexes conjugades \(\alpha \pm \beta j\) amb multiplicitat \(m\) contribueixen amb les \(2m\) funcions\begin{equation*} \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t),\ t\,\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t),\ t^2 \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t),\ \cdots\ , t^{m-1} \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t) \end{equation*}\begin{equation*} \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t),\ t\,\mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t),\ t^2 \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t),\ \cdots\ , t^{m-1} \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \end{equation*}
Subsubsecció 3.5.4.2 El cas no homogèni
Considerem ara el cas general d’EDOs lineals amb coeficients constants
\begin{equation}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=f(t)\tag{3.5.4}
\end{equation}
Hem vist abans que la solució general d’aquesta EDO és de la forma
\begin{equation*}
y(t)=y_h(t)+y_p(t)
\end{equation*}
on \(y_h(t)\) és la solució general de l’equació homogènia estudiada a l’apartat 2.1, i que sabem que depen de les arrels de l’EC associada a l’EDO homogènea, i \(y_p(t)\) és una solució particular qualsevol de l’equació no homogènia (3.5.4).
El problema a resoldre ara és com trobar una solució particular. Per trobar-la farem servir el següent mètode, que es coneix com a
- mètode d’assaig,
- de la conjectura sensata,
- o dels coeficients indeterminats,
que serveix per trobar \(y_p(t)\) per a certes funcions \(f(t)\text{.}\)
En general ens fixarem quina forma té el terme independent \(f(t)\) de l’equació no homogènia. Si aquest terme té la forma
\begin{equation*}
f(t)=\mathrm{e}^{\alpha
t}\left[p_n(t)\cos(\beta t)+q_n(t)\sin(\beta t)\right]
\end{equation*}
on \(p_n\) i \(q_n\) representen polinomis de grau com a molt \(n\text{,}\) aleshores el mètode ens diu:
- Si \(\alpha\pm \beta j\) no són arrels de l’EC aleshores buscarem una solució particular de la forma:\begin{equation*} y_p(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\left[P_n(t)\cos(\beta t)+Q_n(t)\sin(\beta t)\right] \end{equation*}on \(P_n\text{,}\) \(Q_n\) són polinomis de grau \(n\) a determinar.
- (Cas ressonant) Si \(\alpha\pm \beta j\) són arrels de l’EC amb multiplicitat \(m\text{,}\) aleshores buscarem una solució particular de la forma:\begin{equation*} y_p(t)=t^m\,\mathrm{e}^{\alpha t}\left[P_n(t)\cos(\beta t)+Q_n(t)\sin(\beta t)\right] \end{equation*}on \(P_n\text{,}\) \(Q_n\) són polinomis de grau \(n\text{,}\) a determinar.
El cas ressonant té un significat físic que estudiarem més endavant.
