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Mètodes Matemàtics 3: Versión 2022–23

Sección 2.2 Transformaciones de señales

Siempre que estudiamos unos objetos matemáticos o físicos, tenemos que entender también cómo se comportan cuando les sujetamos a cambios.
Estudiamos aquí cómo se comportan una señal y su transformada de Fourier cuando
  • sumamos otra señal;
  • desplazamos la señal en el tiempo;
  • y desplazamos la transformada en frecuencia.
Los resultados más importantes que veremos son:
\begin{align} \cF\left(\sum_{k=1}^n a_k\,x_k(t)\right) &\ = \ \sum_{k=1}^n a_k\,\widehat{x_k}(\omega) \qquad\text{(linealidad)}\tag{2.2.1}\\ \cF\big(x(t-t_0)\big) & \ = \ \widehat{x}(\omega) e^{-\ii t_0 \omega} \qquad\text{(traslación en el tiempo)}\tag{2.2.2}\\ \cF^{-1}\big(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\big) &\ = \ x(t) e^{\ii \omega_0 t} \qquad\text{(traslación en frecuencia)}\tag{2.2.3}\\ \cF\big(x(at)\big) &\ = \ \frac{1}{|a|} \widehat{x}\left(\frac{\omega}{a}\right) \qquad\text{(cambio de escala)}\tag{2.2.4} \end{align}

Subsección 2.2.1 Linealidad

Si tenemos una señal \(x(t)\) y su transformada \(\widehat{x}(\omega)\text{,}\) y le sumamos otra señal \(y(t)\) con transformada \(\widehat{y}(\omega)\text{,}\) ¿cómo será la transformada de la suma?
Por suerte, el comportamiento de la transformada de la suma es todo lo sencillo que podamos esperar; de hecho, es tan sencillo que podemos permitirnos incluso multiplicar a ambas funciones con unos números reales arbitrarios, y todavía entenderemos cómo se comporta el resultado: la transformada de Fourier es una transformada lineal.
En fórmulas, esta propiedad de la linealidad se puede expresar mediante el par de fórmulas
\begin{align*} \cF\big(a x(t)\big) &= a \cF\big(x(t)\big) \qquad\text{para cualquier } a\in\RR,\\ \cF\big(x_1(t) + x_2(t)\big) &= \cF\big(x_1(t)\big) + \cF\big(x_2(t)\big), \end{align*}
o expresado en la notación con gorritos,
\begin{align*} \widehat{a x(t)} &= a \widehat{x}(\omega) \qquad\text{para cualquier } a\in\RR,\\ \widehat{x_1(t) + x_2(t)} &= \widehat{x_1}(\omega) + \widehat{x_2}(\omega). \end{align*}
También se puede usar una notación más abreviada, combinando estas dos exigencias en una:

Demostración.

La transformada de Fourier es lineal porque la integral es lineal:
\begin{align*} \cF\big(a x_1(t) + b x_2(t)\big)(\omega) &= \int_\RR \left( a x_1(t) + b x_2(t) \right) e^{-\ii\omega t} \dd t\\ &= a \int_\RR x_1(t) e^{-\ii\omega t}\dd t + b \int_\RR x_2(t) e^{-\ii\omega t}\dd t\\ &= a\, \cF\big(x_1(t)\big) + b\, \cF\big(x_2(t)\big). \end{align*}
La extensión a la transformada o antitransformada se hace de la misma manera.

Nota 2.2.2.

  • La afirmación (2.2.5) también se puede expresar como
    \begin{equation} \widehat{a x_1(t) + b x_2(t)} \ = \ a \widehat{x_1}(\omega) + b \widehat{x_2}(\omega) \qquad\text{para } a, b\in\RR,\tag{2.2.7} \end{equation}
    o como
    \begin{equation*} a x_1(t) + b x_2(t) \ \leadsto \ a \widehat{x_1}(\omega) + b \widehat{x_2}(\omega) \qquad\text{para } a, b\in\RR. \end{equation*}
  • Observamos que se trata de la misma propiedad de linealidad que rige para matrices, por ejemplo.
Visualmente, la propiedad de la linealidad se expresa como en la figura Figura 2.2.3. Matemáticamente, se dice que el diagrama de la figura Figura 2.2.3 conmuta.
Video cover image
Figura 2.2.3. Imagen de 3blue1brown que ilustra la linealidad de la transformada de Fourier

Ejercicios Ejercicios

1. Verificar que el diagrama expresa la linealidad.
Verifica que las fórmulas (2.2.5) y (2.2.7) expresan la conmutatividad del diagrama Figura 2.2.3. Eso quiere decir que si
  • vamos primero en dirección horizontal en la fila de arriba,
  • y depués bajamos en dirección vertical por la derecha,
obtenemos el mismo resultado que si
  • bajamos primero en dirección vertical por la izquierda,
  • y depués cruzamos en dirección horizontal en la fila de abajo.
Pista 1.
Verifica primero que ir hacia abajo por la izquierda corresponde a sumar las funciones \(x_1(t)\) (de 2 Hz) y \(x_2(t)\) (de 3 Hz).
Pista 2.
Verifica ahora que ir hacia abajo por la derecha corresponde a sumar las funciones \(\widetilde{x_1}(\omega)\) y \(\widetilde{x_2}(\omega)\text{.}\)
Pista 3.
Cuáles son los valores de \(a\) y \(b\text{?}\)
Pista 4.
Expresa en fórmulas la acción siguiente:
  • vamos primero en dirección horizontal en la fila de arriba,
  • y depués bajamos en dirección vertical por la derecha,
2. Por qué Sanderson lo llama "Almost-Fourier Transform?".
En la Figura 2.2.3, Grant Sanderson habla de la "Almost-Fourier Transform". Ahora que sabemos cómo es la transformada de Fourier de verdad, ¿por qué ha escogido este nombre?
Pista.
La transformada de Sanderson tiene valores reales...

Subsección 2.2.2 Desplazamiento temporal - modulación frecuencial

Trabajaremos con la función \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\text{.}\)
described in detail following the image
La función \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)
Figura 2.2.4. La función original \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)

Subsubsección 2.2.2.1 Relación entre las funciones \(x(t)\) y \(x(t-t_0)\)

La gráfica de \(x(t-t_0)\) (azul) es igual que la gráfica de \(x(t)\) (negra), pero desplazada \(t_0\) unidades hacia la derecha.
Desplazamiento de funciones
Figura 2.2.5. La gráfica de \(x(t-t_0)\) se obtiene desplazando \(x(t)\) hacia la derecha

Subsubsección 2.2.2.2 Relación entre las transformadas de \(x(t)\) y \(x(t-t_0)\)

Esta propiedad, que también se llama traslación en el tiempo, explica cómo cambia la transformada de Fourier si trasladamos la señal original en el tiempo. Eso quiere decir que en vez de la señal \(x(t)\) miramos la señal \(x(t-t_0)\text{,}\) y hacemos la transformada de Fourier de esta señal desplazada.
¿Cómo cambia la transformada de Fourier después de desplazar la señal en el tiempo? La respuesta es, la transformada adquiere una fase compleja, o dicho de otro modo, la frecuencia se modula.
Demostración.
Calculamos la transformada de Fourier de \(y(t)\) empleando el método de integración por substitución:
\begin{align*} \cF\big(x(t-t_0)\big)(\omega) &= \int_{t=-\infty}^{t=\infty} x(t-t_0)e^{-\ii\omega t} \dd t\\ &= \begin{bmatrix} u=t-t_0 \\ \dd u = \dd t \end{bmatrix}\\ &= \int_{u=-\infty-t_0}^{u=\infty-t_0} x(u)\, e^{-\ii\omega(u+t_0)} \dd u\\ &= e^{-\ii\omega t_0} \int_{u=-\infty}^{u=\infty} x(u)e^{-\ii\omega u} \dd u\\ &= e^{-\ii\omega t_0} \widehat{x}(\omega). \end{align*}
Observación 2.2.7.
El espectro \(\widehat{x}(\omega)\) de una señal \(x(t)\) no varía si desplazamos la señal en el tiempo.
Demostración.
Para ver que el espectro no varía, calculamos
\begin{align*} \left|\cF\big(x(t-t_0)\big)\right|(\omega) &= \left|\widehat{x}(\omega)e^{-\ii t_0\omega}\right|\\ &= \left|\widehat{x}(\omega)\right|\cdot \underbrace{\left|e^{-\ii t_0\omega}\right|}_{1}\\ &= \left|\widehat{x}(\omega)\right|. \end{align*}
Ejercicios Ejercicios
1. El valor absoluto de una exponencial compleja.
En la demostración anterior había una paso que merece especial atención: Por qué tenemos que \(\left|e^{\ii\varphi}\right|=1\) para cualquier número real \(\varphi\text{?}\)
Pista 1.
Piensa en qué significa \(e^{\ii\varphi}\) geométricamente.
Pista 2.
Para \(\varphi=\pi/3\text{,}\) dibuja \(e^{\ii\varphi}\) en el plano complejo. Cuál es la interpretación del número \(\left|e^{\ii\varphi}\right|\text{?}\)
Solución.
  1. Se puede argumentar geométricamente: si el número \(\varphi\) varía sobre todos números reales, el radio de la circunferencia descrita en el plano complejo por \(e^{\ii\varphi}\) es 1.
  2. También se puede calcular:
    \begin{equation*} \left|e^{\ii\varphi}\right| \ = \ \left|\cos\varphi + \ii\sin\varphi\right| \ = \ \sqrt{\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)} \ = \ 1. \end{equation*}
Ejemplo 2.2.8. Desplazamiento de un impulso constante.
Consideramos otra vez el pulso constante
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{para los demás valores de }t. \end{cases} \end{equation*}
de Ejemplo 2.1.5, y lo trasladamos 2 unidades a la derecha. ¿Cómo cambia su transformada de Fourier?
Para verlo, aplicamos el Teorema 2.2.6 a la transformada
\begin{equation*} \widehat{x}(\omega) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega} & \text{ si }\omega\ne0, \\ 2 & \text{ si }\omega=0 \end{cases} \end{equation*}
Obtenemos
\begin{equation*} \cF\big(x(t-2)\big) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega}\,e^{-2\ii\omega} & \text{ si }\omega\ne0, \\ 2 & \text{ si }\omega=0. \end{cases} \end{equation*}
Observa que la transformada de la señal ha adquirido una fase compleja \(e^{-2\ii\omega}\text{.}\) En el caso \(\omega=0\) no se nota, porque \(e^{-2\ii\cdot 0} = 1\text{.}\)

Subsección 2.2.3 Desplazamiento en frecuencia - modulación temporal

Si desplazamos la transformada de Fourier (o el espectro) de una señal, se modula la señal con una oscilación compleja.

Subsubsección 2.2.3.1 Relación entre las transformadas \(\widehat{x}(\omega)\) y \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\)

\(x(\omega)\)\(x(\omega-\omega_0)\text{.}\)
La gráfica de \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\) es igual que la gráfica de \(\widehat{x}(\omega)\text{,}\) pero desplazada \(\omega_0\) unidades hacia la derecha.
Volveremos con nuestro ejemplo \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\) de Figura 2.2.4, cuyo espectro es
\begin{equation*} |\widehat{x}(\omega)| \ = \ \frac12\left( \pi + \pi e^{4\pi\omega} - 2\pi e^{2\pi\omega} \right)\,e^{-\pi^2 - 2\pi\omega - \omega^2}. \end{equation*}
Un función
Figura 2.2.9. La función original \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)
described in detail following the image
Espectro de \(x(t)\)
Figura 2.2.10. El espectro de \(x(t)\)
Figura 2.2.11. La gráfica de \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\) se obtiene desplazando \(\widehat{x}(\omega)\) hacia la derecha

Subsubsección 2.2.3.2 Relación entre las antitransformadas de \(\widehat{x}(\omega)\) y \(\widehat{x}(\omega-\omega_0)\)

Nota 2.2.13.
  1. Dado que la señal original adquiere un factor complejo, no se puede dibujar fácilmente el cambio.
  2. Hay que observar que el signo del factor exponencial complejo es opuesto al de Teorema 2.2.6.
  3. Las demostraciones de esta propiedad y las demás se hacen de manera muy similar a la demostración de Teorema 2.2.6, y no las daremos aquí.
Ejemplo 2.2.14. Desplazamiento de un impulso constante.
Consideramos otra vez el pulso constante
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{para los demás valores de }t. \end{cases} \end{equation*}
de Ejemplo 2.1.5, y lo modificamos multiplicándolo con una oscilación compleja:
\begin{equation*} y(t) \ = \ e^{2\ii t} x(t) \ = \ \big(\cos(2t) + \ii\sin(2t)\big) x(t) \ = \ \begin{cases} e^{2\ii t} & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{para los demás valores de }t. \end{cases} \end{equation*}
¿Cómo cambia su transformada de Fourier?
Para verlo, aplicamos el Teorema 2.2.12:
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \widehat{x}(\omega-2) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin(\omega-2)}{\omega-2} & \text{ si }\omega\ne2, \\ 2 & \text{ si }\omega=2. \end{cases} \end{equation*}

Subsección 2.2.4 Cambio de escala temporal

Subsubsección 2.2.4.1 Relación entre las funciones \(x(t)\) y \(x(at)\)

La relación entre estas funciones depende del valor de \(a\text{.}\)
  1. Si \(a=1\text{,}\) las funciones \(x(t)\) y \(x(at)\) son iguales.
  2. Si \(a>1\text{,}\) la gráfica de \(x(at)\) es igual que la gráfica de \(x(t)\text{,}\) pero el eje de los \(t\) está comprimida en un factor de \(a\text{.}\)
  3. Si \(0 < a < 1\text{,}\) la gráfica de \(x(at)\) es igual que la gráfica de \(x(t)\text{,}\) pero el eje de los \(t\) está expandida en un factor de \(1/a\text{.}\)
  4. Si \(a=0\text{,}\) la gráfica de \(x(at)\) es la gráfica de la función constante \(t\mapsto x(0)\text{.}\)
  5. Si \(a=-1\text{,}\) la gráfica de \(x(-t)\) es la gráfica de la función \(x(t)\text{,}\) pero reflectada alrededor del eje \(y\text{.}\)
  6. Si \(-1 < a < -1\text{,}\) la gráfica de \(x(at)\) es la gráfica de la función \(x(t)\text{,}\) pero reflectada alrededor del eje \(y\text{,}\) y el eje de los \(t\) está expandida en un factor de \(1/|a|\text{.}\)
  7. Si \(a < -1\text{,}\) la gráfica de \(x(at)\) es la gráfica de la función \(x(t)\text{,}\) pero reflectada alrededor del eje \(y\text{,}\) y el eje de los \(t\) está comprimida en un factor de \(|a|\text{.}\)
Ojo que la relación entre el factor \(a\) y el comportamiento de \(f(ax)\) puede que no sea la que uno se espera! En las gráficas de Figura 2.2.15 - Figura 2.2.18 se puede comprobar si la intuición es cierta.
Escalada de funciones
Figura 2.2.15. Una función \(f(x)\) (negra), junta con \(f(2x)\) (azul) y \(f(3x)\) (roja)
Escalada de funciones
Figura 2.2.16. Una función \(f(x)\) (negra), junta con \(f(x/2)\) (azul) y \(f(x/3)\) (roja)
Escalada de funciones
Figura 2.2.17. Una función \(f(x)\) (negra), junta con \(f(-2x)\) (azul) y \(f(-3x)\) (roja)
Escalada de funciones
Figura 2.2.18. Una función \(f(x)\) (negra), junta con \(f(-x/2)\) (azul) y \(f(-x/3)\) (roja)

Subsubsección 2.2.4.2 Relación entre las transformadas de \(x(t)\) y \(x(at)\)

Volveremos con nuestro ejemplo \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\) de Figura 2.2.4, cuyo espectro es
\begin{equation*} |\widehat{x}(\omega)| \ = \ \frac12\left( \pi + \pi e^{4\pi\omega} - 2\pi e^{2\pi\omega} \right)\,e^{-\pi^2 - 2\pi\omega - \omega^2}. \end{equation*}
Una función
Figura 2.2.20. La función original \(x(t)=e^{-t^2/2}\sin(\pi t)\)
described in detail following the image
Espectro de \(x(t)\)
Figura 2.2.21. El espectro de \(x(t)\)
Vemos que el efecto de reemplazar \(x(t)\) por \(x(2t)\) es el de reemplazar \(\widehat{x}(\omega)\) por \(\widehat{x}(\omega/2)/2\text{.}\)
Una función
Figura 2.2.22. La función escalada \(x(2t)=e^{-2t^2}\sin(2\pi t)\)
described in detail following the image
Espectro de \(x(t)\)
Figura 2.2.23. El espectro de \(x(2t)\)
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