Sección 4.5 Función de transferencia de un sistema LTI
Definición 4.5.1.
En un sistema LTI donde tenemos una función de entrada en el sistema y la función de salida correspondiente a esta entrada, la función de transferencia del sistema es el cociente entre la transformada de la salida y la transformada de la entrada:
\begin{equation*}
\hspace{-2cm}\text{Funció de transferència del sistema}=
\frac{\text{Transformada (sortida)}}{\text{Transformada (entrada)}}.
\end{equation*}
Recuerde que ya vimos este concepto en el contexto de la transformada de Fourier ([cross-reference to target(s) "def-transfer-fn" missing or not unique]).
Estudiaremos qué significado tiene para sistemas LTI definidos por EDO lineales con coeficientes constantes.
Para facilitar los cálculos lo haremos con sistemas de orden 2. Consideramos la ecuación diferencial
\begin{equation*}
a\,y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)=f(t)
\end{equation*}
con condiciones iniciales nulas
\begin{equation*}
y(0)=0\, , \ y'(0)=0.
\end{equation*}
Queremos calcular la función de transferencia del sistema que determina esta EDO. Aplicamos la TL al EDO:
\begin{equation*}
\mathrm{L}\left(a\,y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)\right)=\mathrm{L}\left(f(t)\right)
\end{equation*}
Por linealidad:
\begin{equation*}
a\,\mathrm{L}\left(y''(t)\right)+b\,\mathrm{L}\left(y'(t)\right)+c\,Y(s)
=F(s)
\end{equation*}
Aplicando la propiedad de la transformada de las derivadas tenemos
\begin{align*}
\mathrm{L}\left(y'(t)\right)&=s\,Y(s)-y(0)=s\, Y(s)\, ;\\
\mathrm{L}\left(y''(t)\right)&=s^2 Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2\, Y(s)
\end{align*}
Sustituimos estas transformadas y aislamos \(Y(s)\text{:}\)
\begin{align*}
a\,s^2\, Y(s)+b\,s\, Y(s)+c\,Y(s)
&=F(s)\\
(a\,s^2 +b\,s+c)\,Y(s)&=F(s)\\
Y(s)&= \frac{1}{a\,s^2 +b\,s+c}\, F(s)
\end{align*}
De ahí deducimos que la función de transferencia cuando el sistema se encuentra en reposo es
\begin{equation*}
H(s)=\frac{1}{a\,s^2 +b\,s+c}
\end{equation*}
porque así tenemos:
\begin{equation*}
\hspace{-0.6cm} Y(s)=H(s)\, F(s)\qquad \Longleftrightarrow\qquad
H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}
\end{equation*}
