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Mètodes Matemàtics 3: Versión 2022–23

Sección 2.5 Energía y relación de Parseval

Trataremos la relación análoga a Teorema 1.7.1.
Las expresiones que intervienen en este teorema reciben diversos nombres, en analogía a Definición 1.7.2.

Definición 2.5.2. Energía, densidad espectral de energía.

  1. La integral
    \begin{equation*} E\big(x(t)\big) \ = \ \int_\RR \left|x(t)\right|^2 \dd t \end{equation*}
    (que es un número) es el valor de la energía total de la señal \(x\text{.}\)
  2. La integral
    \begin{equation} E\big(\widehat{x}(\omega)\big) \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{x}(\omega)\right|^2 \dd \omega\tag{2.5.2} \end{equation}
    (que es un número) es el valor de la energía espectral total de la señal \(x\text{.}\)
  3. La señal \(\omega\mapsto \frac{1}{2\pi}\left|\widehat{x}(\omega)\right|^2\) es la densidad espectral de energía de la señal \(x\text{.}\)
Por tanto, lo que nos dice la identidad de Parseval para la transformada es que la energía total de la señal es igual a la energía espectral total.

Ejemplo 2.5.3. Energía de un pulso rectangular.

Para un pulso rectangular que vale 1 en el intervalo \([-1,1]\) calculamos
\begin{align*} x(t) &= \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le x \le 1, \\ 0 & \text{ en caso contrario;} \end{cases} & \widehat{x}(\omega) &= \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega} &\text{ si } \omega\ne 0, \\ 2 &\text{ si } \omega=0; \end{cases}\\ |x(t)|^2 &= \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le x \le 1, \\ 0 & \text{ en caso contrario;} \end{cases} & \left|\widehat{x}(\omega)\right|^2 &= \begin{cases} \frac{4\sin^2\omega}{\omega^2} &\text{ si } \omega\ne 0, \\ 4 &\text{ si } \omega=0. \end{cases} \end{align*}
Figura 2.5.4. Un pulso y su energía. La relación de Parseval afirma que el area debajo de la curva \(|x(t)|^2\) es la misma que al area debajo de la curva \(\frac{1}{2\pi}\left|\widehat{x}(\omega)\right|^2\text{.}\)

Nota 2.5.5. La energía de una distribución no se puede calcular.

En la Nota 2.4.7 vimos que no siempre se pueden multiplicar distribuciones, y en particular, que una distribución nunca se puede elevar al cuadrado. Este hecho nos impide calcular la energía de una señal que contiene una distribución; simplemente, este concepto no tiene sentido.
Tomamos como ejemplo la señal
\begin{equation*} x(t) = \cos(t)\text{.} \end{equation*}
Su transformada de Fourier
\begin{equation*} \cF\big(\cos(t)\big)(\omega) = \pi\big(\delta(\omega-1) + \delta(\omega+1)\big) \end{equation*}
consiste de dos distribuciones de Dirac, centradas en \(\pm 1\) y con pesos de \(\pi\text{.}\)
Sabemos que la energía contenida en una señal se puede calcular de dos maneras diferentes, o bien en el dominio temporal o el dominio de frecuencias, utilizando la relación de Parseval (2.5.1).
Si intentamos calcular la energía contenida en \(x(t)=\cos(t)\) mediante cualquiera de los dos lados de la relación de Parseval, siempre fracasaremos:
  • Si lo intentamos calcular en el dominio temporal, nos vemos ante la integral
    \begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty |\cos(t)|^2\dd t = \int_{-\infty}^\infty \cos(t)^2\dd t, \end{equation*}
    que es una integral divergente porque el término \(\cos^2(t)\) nunca disminuye si aumenta la \(t\text{.}\)
  • Si lo intentamos calcular en el dominio frecuencial, hemos de evaluar
    \begin{gather*} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \pi^2\big|\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)\big|^2 \dd\omega =\\ \frac{\pi}{2}\int_{-\infty}^\infty \big( \delta(\omega-1)^2 + 2\delta(\omega-1)\delta(\omega+1) + \delta(\omega+1)^2 \big) \dd\omega. \end{gather*}
    El término mixto \(2\delta(\omega-1)\delta(\omega+1)\) no presenta problemas: su valor es cero para cualquier valor de \(\omega\text{,}\) porque o bien se anula la primera, o se anula la segunda distribución. En particular, este producto cumple las condiciones descritas en el nLab
     1 
    ncatlab.org/nlab/show/product+of+distributions
    para poder ser multiplicadas.
    El problema lo tenemos en los dos términos en los que se eleva al cuadrado una distribución. Ellos hacen que toda la expresión no tenga sentido.
Por otra parte, todo esto no es nada sorprendente, porque obviamente una señal que existe desde antes del principio del universo y continuará igual hasta mucho despueś del final
 2 
math.ucr.edu/home/baez/end.html
del universo
 3 
en.wikipedia.org/wiki/Ultimate_fate_of_the_universe
contiene una cantidad infinita de energía.
Recordamos que en la Definición 1.7.2 de la energía de una señal periódica en el capítulo de series de Fourier solamente hablamos de la energía en un período de la señal, nunca de su energía total (puesto que, como acabamos de ver, este concepto no tiene sentido).

Subsección 2.5.1 ¿Cómo afecta una transformación la energia en una señal?

Puesto que ya hemos estudiado en la Sección 2.2 cómo la transformada de Fourier se ve afectada por unos cambios en la función, también podemos sacar conclusiones sobre cómo estos cambios afectarán a la energía de la señal.

Subsubsección 2.5.1.1 La energía de una señal desplazada en el tiempo

De manera intuitiva, diríamos que desplazar una señal en el tiempo no debería afectar la energía que conlleva.
Eso es así porque desplazar una señal en el tiempo no quiere decir otra cosa que adoptar una nueva convención sobre el instante de tiempo que consideramos como origen del tiempo. Por ejemplo, el origen del tiempo del calendario Gregoriano que se usa en Europa hoy en día se encuentra (tautológicamente) en el año 0; pero este enlace
 4 
en.wikipedia.org/wiki/List_of_calendars
muestra una lista de muchos otros calendarios que están o han estado en uso a lo largo de la historia; y muchos de ellos tienen el origen, su año 0, en otra fecha que el Gregoriano.
Sería extremadamente raro si el cambiar el calendario al uso afectaría nuestra medición de la energía de una señal. De hecho, nuestra intuición no nos falla:
Demostración.
Según el Teorema 2.2.6, la transformada de Fourier de \(y(t) = x(t-t_0)\) es
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \widehat{x}(\omega) e^{-\ii t_0 \omega}, \end{equation*}
y por tanto su espectro es el mismo:
\begin{equation*} |\widehat{y}(\omega)| \ = \ |\widehat{x}(\omega)| \cdot \underbrace{|e^{-\ii t_0 \omega}|}_1 \ = \ |\widehat{x}(\omega)|. \end{equation*}
En conclusión, también coinciden las energías espectrales
\begin{equation*} E\big(\widehat{y}(\omega)\big) \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{y}(\omega)\right|^2 \dd \omega \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{x}(\omega)\right|^2 \dd \omega \ = \ E\big(\widehat{x}(\omega)\big), \end{equation*}
y por la relación de Parseval coinciden también las energías temporales.

Subsubsección 2.5.1.2 La energía de una señal desplazada en frecuencia

Demostración.
Por la propiedad del desplazamiento frecuencial Teorema 2.2.12, la transformada de Fourier de \(y(t)\) es
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \cF\big(x(t)e^{\ii\omega t}\big) \ = \ \widehat{x}(\omega-\omega_0). \end{equation*}
Puesto que el espectro de \(y(t)\) es \(|\widehat{y}(\omega)| = |\widehat{x}(\omega-\omega_0)|,\) la energía de \(y(t)\) es
\begin{align*} E\big(\widehat{y}(\omega)\big) &= \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{y}(\omega)\right|^2 \dd \omega\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty} \left|\widehat{x}(\omega-\omega_0)\right|^2 \dd \omega\\ &= \begin{bmatrix} \eta = \omega-\omega_0\\ \dd\eta = \dd\omega \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{\eta=-\infty-\omega_0 = -\infty}^{\eta=\infty-\omega_0 = \infty} \left|\widehat{x}(\eta)\right|^2 \dd \eta\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_\RR \left|\widehat{x}(\eta)\right|^2 \dd \eta \ = \ E\big(\widehat{x}(\omega)\big). \end{align*}

Subsubsección 2.5.1.3 La energía de una señal cambiada de escala

En el caso de un cambio de escala sí cambia la energía transportada por la señal.
Demostración.
La transformada de Fourier de la señal \(y(t)\) es
\begin{equation*} \widehat{y}(\omega) \ = \ \cF\big(x(at)\big) \ = \ \frac{1}{|a|}\widehat{x}\left(\frac{\omega}{a}\right). \end{equation*}
Para calcular la energía de \(y(t)\text{,}\) utilizaremos el dominio temporal. Primero consideramos \(a>0\text{.}\)
\begin{align*} E\big(x(at)\big) &= \int_{t=-\infty}^{t=\infty}\left|x(at)\right|^2\dd t\\ &= \begin{bmatrix} u = at\\ \dd u = a\dd t \end{bmatrix}\\ &= \int_{u=-a\infty = -\infty}^{u=a\infty=\infty} \left|x(u)\right|^2 \frac{\dd u}{a}\\ &= \frac{1}{a} \int_{-\infty}^\infty \left|x(u)\right|^2 \dd u \ = \ \frac{1}{a}\cdot E\big(x(t)\big). \end{align*}
Análogamente, si \(a<0\) sale
\begin{equation*} E\big(x(at)\big) \ = \ \frac{1}{-a}\cdot E\big(x(t)\big). \end{equation*}
Podemos unificar estos dos casos utilizando \(|a|\text{.}\)
Nota 2.5.10. No es contraintuitivo este resultado?
El resultado que acabamos de ver en el Teorema 2.5.8 puede resultar poco intuitivo. Utilizamos como ejemplo \(a=3\) y una señal periódica \(x(t)\) con frecuencia angular fundamental \(\omega_0=1.25\text{.}\)
  • La frecuencia fundamental de la señal \(x(3t)\) es mayor que la de \(x(t)\text{,}\) en concreto \(3\omega_0 = 3.75\text{;}\)
  • Sabemos de nuestro estudio del espectro electromagnético
     5 
    en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_spectrum
    que las ondas con mayor frecuencia tienen mayor energía, porque su longitud de onda es más corta:
    Figura 2.5.11. Propiedades del espectro electromagnético. Imagen encontrada en la Wikipedia
     6 
    commons.wikimedia.org/wiki/File:Electromagnetic-Spectrum.png
    .
Por qué nos hemos de creer entonces que la energía de una señal comprimida disminuye,
\begin{equation} E\big(x(3t)\big) \ = \ \frac{1}{3}\cdot E\big(x(t)\big)\qquad ?\tag{2.5.3} \end{equation}
Piensa sobre esto antes de mirar los siguientes ejemplos!
Ejemplo 2.5.12. Las energías calculadas mediante series de Fourier.
Como estamos suponiendo que \(x(t)\) es periódica con frecuencia fundamental \(\omega_0=1.25\text{,}\) en realidad no hace falta considerar la transformada de Fourier, sino basta con la serie de Fourier, por la Nota 2.5.9; y de esta manera también nos ahorramos tener que argumentar con distribuciones de Dirac.
Hablamos pues de la señal \(x(t) = \cos(1.25\,t)\) y su serie de Fourier, que es exactamente \(x(t)\text{,}\) y de la cual deducimos que el único coeficiente trigonométrico no nulo es el del primer harmónico \(a_1=1\text{.}\) Por eso, los únicos coeficientes complejos no nulos son
\begin{equation*} c_{-1} = \frac12,\qquad c_1 = \frac12. \end{equation*}
Figura 2.5.13. Los coeficientes complejos de la serie de Fourier de \(x(t)=\cos(1.25\,t)\)
Los coeficientes complejos de la serie de Fourier (de) \(x(3t)= \cos(3.75\,t)\) son los mismos que antes, sólo que ahora corresponden a la nueva frecuencia fundamental \(3\omega_0\text{:}\)
\begin{equation*} c_{-1} = \frac12,\qquad c_1 = \frac12. \end{equation*}
Figura 2.5.14. Los coeficientes complejos de la serie de Fourier de \(x(t)=\cos(3.75\,t)\)
Lo que sí varía son los períodos fundamentales: para \(x(t)\text{,}\) el período fundamental es
\begin{equation*} T_1 = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{1.25} = \frac{8\pi}{5}, \end{equation*}
mientras que el período fundamental de \(x(3t)\) es
\begin{equation*} T_3 = \frac{2\pi}{3\omega_0} = \frac{2\pi}{3.75} = \frac{8\pi}{15}. \end{equation*}
Por tanto, las energías de las dos señales son, según el Teorema 1.7.1,
\begin{align*} E_1 &= \frac{8\pi}{5}\left(\big(\tfrac12\big)^2 + \big(\tfrac12\big)^2\right) = \frac{4\pi}{5}\\ E_3 &= \frac{8\pi}{15}\left(\big(\tfrac12\big)^2 + \big(\tfrac12\big)^2\right) = \frac{4\pi}{15} = \frac13 \, E_1, \end{align*}
y vemos que
Ejemplo 2.5.15. Las energías calculadas(?) mediante transformadas de Fourier.
Las transformadas de Fourier de nuestras funciones \(x_1(t)=\cos(1.25\,t)\) y \(x_3(t) = \cos(3.75\,t)\) son
\begin{align*} \widehat{x_1}(\omega) &= \pi\big(\delta(\omega-1.25)+\delta(\omega+1.25)\big),\\ \widehat{x_3}(\omega) &= \pi\big(\delta(\omega-3.75)+\delta(\omega+3.75)\big), \end{align*}
y estamos ante la misma situación que en la Nota 2.5.5: La energía
\begin{equation*} E = \int_\RR \left|x(t)\right|^2\dd t = \frac{1}{2\pi}\int_\RR \left|\widehat{x}(\omega)\right|^2\dd\omega. \end{equation*}
de una distribución no se puede calcular.
Utilizar la transformada de Fourier no ha servido de nada pues; hemos llegado a la conclusión de que no se puede hacer.
Tienes todavía una oportunidad más para reflexionar. Al fin y al cabo, lo único que hemos hecho hasta ahora es comprobar el resultado de Teorema 2.5.8 mediante series de Fourier, pero no hemos contestado a la pregunta de la Nota 2.5.9.
Por qué nos hemos de creer (2.5.3), una ecuación que dice que la energía de una onda con mayor frecuencia tiene menor energía, si nuestra intuición física dice todo lo contrario?
Piénsalo antes de mirar el siguiente ejemplo!
Ejemplo 2.5.16. La resolución de la duda.
Hay dos suposiciones intuitivas que nos llevan a una conclusión errónea:
  1. Cuando vemos la Figura 2.5.11,
    pensamos que todas las frecuencias participan a partes iguales en la onda.
    Sin embargo, esto no es así. Para verlo, dibujamos ahora una función que aumenta de "frecuencia" cuando aumenta el tiempo, como por ejemplo
    \begin{equation*} f(t) = \cos(t^2). \end{equation*}
    Para no volver a tener resultados sin sentido, restringimos el dominio de esta función, por ejemplo al intervalo \([0,100]\text{,}\) antes de calcular la transformada de Fourier:
    Figura 2.5.17. La función \(f:[0,100]\to\RR\text{,}\) \(t\mapsto\cos(t^2)\)
    Figura 2.5.18. Su transformada de Fourier
    Podemos ver que las frecuencias más altas están presentes en mucho menor proporción que las frecuencias bajas, a pesar de que la función \(f(t)\) alcance siempre los mismos máximos.
    Esta gráfica ilustra, por tanto, el hecho que
    \begin{equation*} E\big(x(3t)\big) = \frac13 E\big(x(t)\big). \end{equation*}
  2. Cuando pensamos que "ondas con una frecuencia \(\nu\) más elevada tienen una energía \(E=\hbar\nu\) más grande",
    pensamos en pulsos de energía de una misma duración, pero este no es el escenario de la ecuación (2.5.3).
    Comparemos las gráficas de
    • un pulso \(x_1(t)\) de frecuencia \(\omega=1.25\text{,}\) sostenido durante \(10\) segundos;
    • un pulso \(x_3(t)\) de frecuencia \(3\omega=3.75\text{,}\) sostenido también durante \(10\) segundos;
    • la transformada \(x_1(3t)\text{,}\) que tiene la frecuencia \(3\omega\text{,}\) pero una duración de solamente \(\tfrac13 10\) segundos.
    Figura 2.5.19. Arriba: Dos pulsos \(x_1(t),x_3(t)\) de la misma duración pero distinta frecuencia. Abajo: El pulso transformado \(x_1(3t)\text{,}\) que tiene una duración de solamente \(\tfrac13 10\) segundos.
    Ahora sí está claro por qué el pulso transformado \(x(3t)\) tiene solamente un tercio de la energía de \(x(t)\text{:}\) Solamente dura un tercio del tiempo!
Ejercicios Ejercicios
1.
Comprueba la afirmación hecha en la demostración del Teorema 2.5.8: Si \(a<0\text{,}\) entonces \(E\big(x(at)\big) \ = \ \frac{1}{-a}\cdot E\big(x(t)\big).\)
Pista.
Adapta los pasos de la demostración.
Ejemplo 2.5.20. Contracción y dilatación.
  • Si contraemos \(x(t)\) por un factor de 2, la energía total baja a la mitad:
    \begin{equation*} y(t) \ = \ x(2t) \qquad \implies \qquad E\big(y(t)\big) \ = \ \frac12\, E\big(x(t)\big). \end{equation*}
  • Si expandimos \(x(t)\) por un factor de 2, la energía total sube al doble:
    \begin{equation*} y(t) \ = \ x\left(\frac{t}{2}\right) \qquad \implies \qquad E\big(y(t)\big) \ = \ 2\, E\big(x(t)\big). \end{equation*}
  • Si reflejamos la señal, es decir, usamos \(a=-1\text{,}\) la energía total no cambia:
    \begin{equation*} y(t) \ = \ x(-t) \qquad \implies \qquad E\big(y(t)\big) \ = \ \frac{1}{|-1|} E\big(x(t)\big) \ = \ E\big(x(t)\big). \end{equation*}
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