Sección 3.1 Introducción
Subsección 3.1.1 ¿Qué es una ecuación diferencial?
Unos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
- \(y''+xy'+2y=x^2,\qquad\) con función incógnita \(y(x)\)
- \(y'=\sin(x)+y \tan(x),\qquad\) con función incógnita \(y(x)\)
- \(y''-5y'+6y=0, \qquad\) con función incógnita \(y(t)\)
- \(x'-tx=x''',\qquad\) con función incógnita \(x(t)\)
- \(e^y \frac{dy}{dx}+x^2+1=0, \qquad\) con función incógnita \(y(x)\)
- \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \qquad\) con función incógnita \(u(x,t)\)
Como podemos ver, en las ecuaciones (1)--(5) la función incógnita depende de una variable, y en (6) depende de dos.
Definición 3.1.2.
- Si la función incógnita de una ecuación diferencial depende sólo de una variable, la ecuación se llama ordinaria, y se abrevia EDO.
- Si la función incógnita depende de dos o más variables, la ecuación se llama en derivadas parciales, y se abrevia EDP.
Nosotros nos restringimos a sólo estudiar EDOs.
Definición 3.1.3.
ELorden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de orden más alto que interviene en la ecuación.
Por ejemplo, el orden de la ecuación
\begin{equation*}
\frac{d^2y}{dx^2} + 5\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 - 4y = 0
\end{equation*}
es dos, porque sale \(\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}\) ¡Pero no! \(\displaystyle\frac{d^3y}{dx^3}\) o \(\displaystyle\frac{d^4y}{dx^4}\text{.}\) El "elevado a tres" de la expresión \(\displaystyle\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\) no interviene en esa clasificación.
Definición 3.1.4.
Una ecuación diferencial se llama lineal si se trata una expresión lineal en la función incógnita \(y\) y sus derivadas \(y',y'',y'''\) (falta algo)agitación , etc.
Otra forma de decir esto es que en la ecuación no se multiplica nunca la función incógnita con ninguna de sus derivadas, ni tampoco se eleva a ninguna potencia mayor que 1 ni a la función incógnita, ni a ninguna de sus derivadas .
Ejercicios Ejercicios
Determina el orden de estas ecuaciones y si son lineales.
1.
\((1-y)y' + 2y =e^x\)Pista 1.
¿Cuál es la derivada más alta?
Pista 2.
¿Se multiplican función incógnita y derivadas?
Solución.
La derivada más alta es 1, por tanto la ecuación es de orden 1. Se multiplica la función incógnita con su derivada en la expresión \((1-y)y' = y' - yy'\text{,}\) por tanto la ecuación no es lineal.
2.
\(\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} + \sin y = 0\)Pista 1.
¿Cuál es la derivada más alta?
Pista 2.
¿Se multiplican función incógnita y derivadas? ¿Se eleva la función incógnita a alguna potencia?
Pista 3.
¿Has mirado bien?
Solución.
La derivada más alta es 2, por tanto la ecuación es de orden 2. No se multiplica la función incógnita con ninguna de sus derivadas, pero la función \(\sin y\) es una serie de potencias en \(y\text{:}\)
\begin{equation*}
\sin y = y - \frac{1}{3!}\, y^3 + \frac{1}{5!}\,y^5 \mp\dots,
\end{equation*}
y por tanto la ecuación no es lineal.3.
\(\displaystyle\frac{\dd^4y}{dx^4} + y^2= 0\)Pista 1.
¿Cuál es la derivada más alta?
Pista 2.
¿Se multiplican función incógnita y derivadas? ¿Se eleva a ninguna potencia la función incógnita?
Solución.
La derivada más alta es 4, por tanto la ecuación es de orden 4. Se eleva la función incógnita a la segunda potencia en la expresión \(y^2\text{,}\) por tanto la ecuación no es lineal.
Subsección 3.1.2 Modelización y ecuaciones de fenómenos
Ejemplo 3.1.5. Curva plana con información de pendiente.
¿Cómo es la ecuación de una curva plana si pedimos que su pendiente sea igual al doble de la abscisa en todos los puntos?
Es decir, buscamos una función \(y(x)\) por lo que
\begin{equation*}
y'(x) = 2x
\end{equation*}
para todos los valores \(x\text{.}\) Se trata pues de una EDO de orden 1.
Esta EDO puede resolverse integrando directamente
\begin{equation}
y(x)=\int 2x\, dx=x^2 +C,\tag{3.1.1}
\end{equation}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(C\) es cualquier constante (la constante de integración).
Tenemos pues infinitas soluciones, una para cualquier elección de la constante arbitraria \(C\text{.}\)
Si queremos por ejemplo que la curva pase por el punto \((1,3)\text{,}\) debemos pedir que
\begin{equation}
y(1) = (1)^2 + C = 3,\tag{3.1.2}
\end{equation}
cuya condición nos lleva a fijar \(C=2\text{.}\)
La ecuación de ésta solución particular es, pues,
\begin{equation*}
y(x) = x^2+2.
\end{equation*}
Ejemplo 3.1.6. Movimiento de aceleración constante.
La ecuación que describe el movimiento unidimensional de una partícula con constante aceleración \(c\) es descrito por las ecuaciones
\begin{align*}
v'(t)&=c\\
x'(t)&=v(t),
\end{align*}
de las que deducimos que
\begin{equation*}
x''(t)=c.
\end{equation*}
Nos queda pues determinar \(x(t)\) a partir de esa EDO. De nuevo se puede resolver integrando directamente:
\begin{align*}
x'(t)&=\int c\, dt=ct+ A,\\
x(t)&=\int (ct+A)dt=c\,\frac{t^2}{2}+At +B,
\end{align*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(A, B\) son constantes de integración.
De nuevo hay infinitas soluciones, una para cada valor de las constantes arbitrarias \(A\) y \(B\) (Grados de libertad).
Si nos dan, por ejemplo, para \(t=0\) Posición inicial \(x_0\) y una velocidad inicial \(v_0\)Podemos ajustar las constantes a estas Condiciones iniciales:
\begin{align*}
v_0&=v(0)=x'(0)=A,\\
x_0&=x(0)=B.
\end{align*}
De esta forma llegamos a la solución particular
\begin{equation*}
x(t)=\frac{c}{2}\, t^2+v_0t +x_0.
\end{equation*}
Ejemplo 3.1.7. Modelo de evolución de una población.
Sea , \(P(t)\) la población en un instante tiene en una determinada comunidad.
Supongamos que la variación de la población depende sólo de la tasa de natalidad y de mortalidad y que ambas tasas son proporcionales a la población en cada instante.
Dado que la variación de población es \(P'(t)\text{,}\) concluimos de la frase anterior que la evolución de la población viene modelizada por el EDO de orden 1
\begin{equation*}
P'T) = k\, P(t).
\end{equation*}
Ejemplo 3.1.8. Ecuación de un muelle.
La tercera ley de Newton nos dice que
La suma de las fuerzas que actúan en el objeto es igual al producto de la masa por la aceleración experimentada por el objeto.Ara
- la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad:\begin{equation*} -\alpha x'(t) \end{equation*}
- la fuerza del muelle es proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio:\begin{equation*} -k x(t) \end{equation*}
Por tanto, obtenemos el EDO de orden 2:
\begin{equation*}
-\alpha x'(t)-k x(t)=m x''(t).
\end{equation*}
Ejemplo 3.1.9. Carga eléctrica de un circuito en serie.
Según la 2ª ley de Kirchoff, el voltaje \(E(t)\) a través de un circuito cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje existentes. Éstas son:
- \(V_L= L\, i'(t)= L\,q''(t)\text{;}\)
- \(V_R= R\, q'(t)\text{;}\)
- \(\displaystyle V_C =\frac{1}{C}\, q(t)\)
Expresando la segunda ley de Kirchoff en fórmulas matemáticas, llegamos pues al EDO de orden 2:
\begin{equation*}
L\,q''(t)+R\, q'(t)+\frac{1}{C} = E(t).
\end{equation*}
Subsección 3.1.3 Soluciones de EDOs
Una solución de una ecuación diferencial debe satisfacer la ecuación para todo valor de la variable independiente.
1
en realidad, sólo por los valores dentro de un intervalo. Nosotros normalmente lo tomamos como \((-\infty,\infty)=\RR\text{,}\) pero a veces es más pequeño
Por ejemplo, para comprobar que \(y(t)= e^{3t}\) es una solución de
\begin{equation*}
y''-6y' +9y=0,
\end{equation*}
sustituimos \(y(t)\) y sus derivadas al EDO:
- \(y(t)= e^{3t}\text{;}\)
- \(y'(t)= 3 e^{3t}\text{;}\)
- \(y''(t)=9 e^{3t}\text{;}\)
¿Y, por lo tanto ...?
\begin{equation*}
y''-6y' +9y = 9 e^{3t} - 6\left(3 e^{3t}\right) + 9 e^{3t}=0
\end{equation*}
para todo \(t\text{.}\) Esto nos confirma que \(y(t)\) realmente es una solución de la EDO.
Ahora, ¿qué propiedades tienen las soluciones de una EDO?
- Las EDOs tienen, en general, infinitas soluciones con diferentes constantes arbitrarias (grados de libertad)
- El número de grados de libertad es igual al orden del EDO. Por ejemplo,
- Para \(y'=2x\text{,}\) obtenemos \(y=x^2+C\) para cualquier \(C\in\mathbb{R}\text{.}\) Por tanto, el conjunto de soluciones tiene un grado de libertad.
- Para \(x''(t)=c\text{,}\) obtenemos \(x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+At+B\)Donde , \(A,B\in\RR\) son números reales cualquiera. Por tanto, el conjunto de soluciones tiene dos grados de libertad.
- solución general se refiere a la forma genérica que poseen todas las soluciones. Por ejemplo, acabamos de ver las soluciones generales
- \(y=x^2+C\) para cualquier \(C\in\mathbb{R}\text{,}\)
- \(x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+At+B\)Donde , \(A,B\in\RR\) son números reales cualquiera
- solución particular se refiere a una solución concreta dentro de una solución general, que obtenemos sustituyendo algún valor concreto por todas las constantes arbitrarias. En los ejemplos anteriores, unas soluciones particulares son:
- \(\displaystyle y=x^2 + 5\)
- \(\displaystyle x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+2t+3\)
Subsección 3.1.4 Problemas de valor inicial
Definición 3.1.10.
UN Problema de Valor inicial (PVI) es una EDO con
Condiciones inciales que son condiciones impuestas en la solución general que determinan los valores de las constantes arbitrarias.
- El número de condiciones iniciales = número de grados de libertad = orden del EDO
- Imponen el valor inicial de la solución y de sus derivadas sucesivas
- Si la función incógnita es \(y(t)\) y el EDO es de orden \(n\text{,}\) las condiciones iniciales son\begin{align*} y(t_0)& =y_0,\\ y'(t_0)&=y_1,\\ y''(t_0)&=y_2,\\ \cdots&\cdots\\ y^{(n-1)}(t_0)&=y_{n-1}, \end{align*}HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(y_0,y_1,y_2,\dots,y_{n-1}\in\RR\) son números arbitrarios.
Ejemplo 3.1.11. Una EDO de orden 1.
Ejemplo 3.1.12. Movimiento de aceleración constante.
\begin{align*}
x''(t) &= c\\
x(0)&= 0\\
x'(0)&=20.
\end{align*}
Antes hemos encontrado la solución general:
\begin{equation*}
x(t)=\frac{c}{2}\,t^2+At+B,
\end{equation*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(A,\, B\in\mathbb{R}\) son arbitrarios.
Calculamos la primera derivada en general:
\begin{equation*}
x'(t) = ct +A
\end{equation*}
y sustituimos las condiciones iniciales. Esto nos da los valores
\begin{equation*}
B=0, \qquad A=20
\end{equation*}
por las constantes, con lo que la solución particular es
\begin{equation*}
x(t) = \frac{c}{2}\, t^2+20t.
\end{equation*}
