Procesos periódicos

Sección 1.3 Procesos periódicos

Ejemplos de procesos periódicos

www.engr.sjsu.edu/trhsu/Chapter%206%20Fourier%20series.pdf

que se pueden analizar mediante las series de Fourier son

Las fuerzas que actúan sobre una aguja de una máquina de coser en operación
La evolución en el tiempo de la presión de gas en los cilindros de un motor, y de las fuerzas sobre el eje
La presión de aire sobre la membrana de un micrófono cuando está grabando un sonido

El modelo matemático para un proceso periódico para nosotros será una función periódica.

Definición 1.3.1.

Una función \(f:\RR\to\RR\) es periódica si podemos encontrar un número \(T\in\RR\) tal que
\begin{equation*} f(t+T) \ = \ f(t) \qquad\text{para todo } t\in\RR. \end{equation*}
Cualquier número \(T\) que verifique esta ecuación se llama un periodo de \(f\text{.}\)
El número \(T>0\) más pequeño que verifique esta ecuación se llama el periodo fundamental de \(f\text{,}\) y muchas veces los escribimos \(T_0\text{.}\)

Observación 1.3.2.

Una función periódica con período fundamental \(T\) es también periódica con período \(2T, 3T, -5T,\dots\)

Siempre que trabajemos con procesos periódicos hablaremos de la frecuencia que mide el número de repeticiones del proceso periódico

Definición 1.3.3.

La frecuencia de una función \(f(t)\) de periodo fundamental \(T\) es \(F=\frac{1}{T}\text{.}\) Se interpreta como el número de veces que se repite la señal por unidad de medida de la variable independiente. Si \(t\) se mide en segundos, \(F\) en \(\frac{1}{seg}=Hz\text{.}\)
La frecuencia angular de una función \(f(t)\) de periodo fundamental \(T\) es \(\omega=2\pi F=\frac{2\pi}{T}\text{.}\) Se interpreta como el número de veces que que se repite la señal por ciclo (\(2\pi\) radianes). Si \(t\) se mide en segundos, \(\omega\) en \(rad/seg\text{.}\)
En el desarrollo de este tema trabajaremos fundamentalmente con frecuencias angulares.

Ejemplo 1.3.4.

Consideremos la función \(f(t)=\sin(\pi t)\text{.}\)

La función \(f(t)=\sin(\pi t)\)

Figura 1.3.5. \(f(t)=\sin(\pi t)\)
Como \(f(t+2)= \sin(\pi(t+2)) = \sin(\pi t + 2\pi) = \sin(\pi t) = f(t)\text{,}\) el número \(T=2\) es un periodo de \(f\text{,}\) al igual que los números \(T=-2,0,2,4,6\text{.}\) Puesto que entre todos estos números, el número más pequeño pero positivo es \(2\text{,}\) el periodo fundamental de \(f(t)=\sin(\pi t)\) es \(T_0=2\text{.}\)

Subsección 1.3.1 Funciones pares e impares

Las propiedades de una función de ser par o impar no tiene, en principio, nada que ver con la propiedad de un número de ser par (divisible entre 2) o impar (dejar resta 1 al dividir entre 2). Sin embargo, aunque la propiedad de una función de ser par o impar en sí no tiene mucha relación con los números, la interacción de estas propiedades es suficientemente análoga como para justificar este nombre.

Definición 1.3.6.

Una función \(f:\RR\to\RR\) es par si
\begin{equation*} f(-x) \ = \ f(x) \qquad\text{para todo } x\in\RR. \end{equation*}
Una función \(f:\RR\to\RR\) es impar si
\begin{equation*} f(-x) \ = \ -f(x) \qquad\text{para todo } x\in\RR. \end{equation*}

Ejemplo 1.3.9.

Ejemplos de funciones pares son

el valor absoluto \(x\mapsto |x|\)
funciones de potencia con exponente par: \(x\mapsto x^2\text{,}\) \(x\mapsto x^6\text{,}\) etc
el coseno \(x\mapsto\cos(x)\)

Ejemplos de funciones impares son

la función identidad \(x\mapsto x\)
funciones de potencia con exponente impar: \(x\mapsto x^3\text{,}\) \(x\mapsto x^7\text{,}\) etc
el seno \(x\mapsto\sin(x)\)

Observación 1.3.10.

Unas propiedades

en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions#Basic_properties

de funciones pares e impares son

Si una función es par e impar a la vez, entonces la función vale 0 en todos los puntos de su dominio.
Si una función \(f(t)\) es impar y \(f(0)\) está definido, entonces \(f(0)=0\text{.}\)
Si una función es impar, su valor absoluto es par.
La suma o diferencia de dos funciones pares es par.
La suma o diferencia de dos funciones impares es impar.
El producto o cociente de dos funciones pares es par.
El producto o cociente de dos funciones impares es par.
El producto o cociente de una función par y una función impar es impar.
Cualquier función \(f:\RR\to\RR\) se descompone en una parte par y una parte impar: Si
\begin{align*} f_{\text{par}} &= \frac{f(x) + f(-x)}{2},\\ f_{\text{impar}} &= \frac{f(x)-f(-x)}{2}, \end{align*}
entonces
\begin{equation*} f(x) \ = \ f_{\text{par}}(x) + f_{\text{impar}}(x). \end{equation*}

[inlineexercise] 1.3.11.

Justifica algunas de estas propiedades.

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