Definición 4.1.1.
La transformada de Laplace de una señal \(x(t)\) es una señal \(X(s)\) definido por:
\begin{equation*}
X(s)=\int_0^{+\infty} x(t)\, \mathrm{e}^{-st} dt,
\quad s\in\mathbb{C}
\end{equation*}
Sección 4.1 ¿Qué es?
La transformada de Laplace (TL) es un tipo de operador integral similar (con muchas propiedades en común) a la transformada de Fourier que ya conocen de la primera parte del curso, cuando estudiábamos el análisis de Fourier de señales.
En este tema estudiaremos la transformada de Laplace, y la aplicaremos, fundamentalmente, para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de la siguiente forma:
Observación 4.1.2.
- Consideramos las señales \(x(t)\) sólo por \(t\ge 0\text{,}\) o dicho de otro modo, consideraremos que las señales \(x(t)\) valen 0 por \(t<0\text{.}\)
- La variable \(s\) de la transformada de Laplace puede ser compleja o real.
- La transformada de Laplace existe normalmente sólo para determinados valores de la variable \(s\text{.}\) Este conjunto de valores para los que existe la TL de una señal se llama región de convergencia (ROC en sus siglas en inglés).
- La transformada de Laplace es un operador integral reversible, es decir, existe el operador TL inversa, de modo que a partir de la TL de una señal se puede obtener la señal inicial. Utilizaremos la notación\begin{equation*} F(s)=\mathrm{L}\left(x(t)\right)\qquad \text{i}\qquad x(t)=\mathrm{L}^{-1}\left(X(s)\right) \end{equation*}
Antes de realizar un ejemplo, debemos introducir una notación que nos será muy útil.
Definición 4.1.3.
La función de salto unitario de Heaviside es
\begin{equation*}
u(t)=\begin{cases} 1 & \text{si}\ t\ge 0\\
0 & \text{si}\ t< 0
\end{cases}
\end{equation*}
Ahora ya podemos trabajar nuestro primer ejemplo, la transformada de Laplace de una constante señal.
Más precisamente, calculamos la transformada de Laplace de la señal
\begin{equation*}
x(t)=1,\quad t\ge 0\quad \Longleftrightarrow\quad x(t)=u(t)
\end{equation*}
hará de la manera siguiente :
\begin{align*}
X(s)& =\int_0^{+\infty} x(t)\, \mathrm{e}^{-st} dt\\
&=
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-st} dt\\
&=
\lim_{a\to +\infty} \int_0^{a} \mathrm{e}^{-st} dt\\
&\stackrel{s\neq 0}{=}
\lim_{a\to +\infty} \left.\frac{\mathrm{e}^{-st}}{-s}\right|_0^a \\
&=
\lim_{a\to +\infty} \frac{-1}{s}\,\mathrm{e}^{-sa}+ \frac{1}{s}\\
&=
\frac{-1}{s}\,\lim_{a\to +\infty} \left(\mathrm{e}^{-sa}\right)+ \frac{1}{s}
\end{align*}
Calculando el límite
\begin{equation*}
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-sa}
\stackrel{\text{si}\ s\ \text{és real}}{=}
\begin{cases}
0 & \text{si}\ \ s > 0\\
+\infty & \text{si}\ \ s< 0
\end{cases}
\end{equation*}
tenemos que la transformada existe por \(s>0\) y no existe por \(s<0\text{.}\)
Sí \(s=0\text{,}\) tampoco existe la transformada porque la integral diverge:
\begin{equation*}
X(0)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-0\cdot t} dt
=\lim_{a\to +\infty}\int_0^a dt=
\lim_{a\to +\infty} t\Big\vert_0^a=
\lim_{a\to +\infty} a=+\infty
\end{equation*}
Por tanto, la transformada de Laplace es
\begin{equation*}
X(s)=\frac{1}{s}\, , \quad s>0\text{.}
\end{equation*}
\(s>0\) es la región de convergencia (ROC) que representa la semirrecta real \((0, +\infty)\text{.}\)
Si la variable de la transformada es compleja, \(s=\sigma + \omega j\text{,}\) el límite de lo exponencial es
\begin{align*}
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-(\sigma + \omega j)a}
&=
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-\sigma a-j\omega a}\\
&=
\lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-\sigma a} \mathrm{e}^{-j\omega a}\\
&=\bigg\lbrace \lim_{a\to +\infty} \mathrm{e}^{-\sigma a} \cdot\ \text{(funció acotada)}\bigg\rbrace\\
&=\begin{cases} 0 & \text{si}\ \ \sigma > 0
\ \Longleftrightarrow\ \text{si}\ \ {\rm Re}(s)>0 \\
\text{no existeix}\quad & \text{si}
\ \ \sigma < 0\ \Longleftrightarrow\ \text{si}\ \ {\rm Re}(s)<0 \end{cases}
\end{align*}
Con todo esto, podemos concluir que la transformada de Laplace es
\begin{equation*}
X(s)=\frac{1}{s}\, , \quad {\rm Re}(s)>0,
\end{equation*}
donde ahora la ROC \({\rm Re}(s)>0\) representa el semiplano complejo a la derecha del eje imaginario.
En la tabla de transformadas de Laplace que tiene en la documentación del tema, las ROC están expresadas considerando \(s\) complejo. Si \(s\) es real, elimine ``Re’’ de las ROC correspondientes.
Para resolver los problemas no calcularemos transformadas aplicando la definición, utilizaremos la tabla de transformadas y aplicaremos las propiedades de la transformada de Laplace.
