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Mètodes Matemàtics 3: Versión 2022–23

Sección 2.1 Análisis y Síntesis

Como la transformada de Fourier es una herramienta que se ha utilizado en tantos contextos distintos de las matemáticas y la ingeniería, a lo largo de la historia han surgido muchas notaciones distintas para ella. Nosotros usaremos sobre todo dos, la notación con gorritos \(\widehat{x(t)} = \widehat{x}(\omega)\) y la notación con F caligráfica \(\cF\big(x(t)\big) = \cF(x)(\omega)\text{.}\)

Definición 2.1.1.

Sea \(f(t):\RR\to\RR\) una señal real, periódica o no.
El análisis de Fourier o transformada de Fourier de \(f(t)\) es
\begin{equation} \cF\big(f(t)\big)(\omega) \ = \ \widehat{f}(\omega) \ = \ \int_\RR f(t) e^{-\ii\omega t}\dd t.\tag{2.1.1} \end{equation}
El síntesis de Fourier o transformada inversa de Fourier de \(f(t)\) es
\begin{equation} \cF^{-1}\big(\widehat{f}(\omega)\big)(t) \ = \ f(t) \ = \ \frac{1}{2\pi} \int_\RR \widehat{f}(\omega) e^{\ii\omega t}\dd \omega.\tag{2.1.2} \end{equation}

Nota 2.1.2.

  1. La notación \(\int_\RR\) quiere decir integrar sobre todos los números reales:
    \begin{equation*} \int_\RR f(t)\dd t \ := \ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\dd t. \end{equation*}
  2. El análisis y la síntesis tienen un signo diferente en el término \(e^{\pm\ii\omega t}\text{.}\)
  3. El análisis y la síntesis son operaciones inversas, en el sentido de que \(\cF^{-1}\big(\cF(x(t))) = x(t)\) y \(\cF\big(\cF^{-1}(\widehat{x}(\omega))) = \widehat{x}(\omega)\text{.}\) Este hecho también se puede expresar mediante el diagrama
    \begin{equation*} x(t) \ \xtofrom[\cF^{-1}]{\cF} \ \widehat{x}(\omega) \end{equation*}
  4. Tanto la transformada de Fourier como la transformada inversa de Fourier son funciones con valores complejos. Eso quiere decir que no se pueden dibujar sin más sobre un papel o una pantalla.
  5. Si \(x:\RR\to\RR\text{,}\) \(t\mapsto x(t)\) es una función con valores reales como todas las funciones que trataremos en esta asignatura, lo cual implica que \(\overline{x(t)} = x(t)\) para todo \(t\in\RR\text{,}\) entonces su transformada de Fourier \(\widehat{x}(\omega)\) es una función conjugada compleja:
    \begin{equation*} \overline{\widehat{x}(\omega)} \ = \ \overline{\int_\RR x(t) e^{-\ii\omega t}\dd t} \ = \ \int_\RR \overline{x(t)}\cdot\overline{e^{-\ii\omega t}} \dd t \ = \ \int_\RR x(t) e^{\ii\omega t} \dd t \ = \ \widehat{x}(-\omega). \end{equation*}

Observación 2.1.3. El valor de la transformada de Fourier para \(\omega=0\) es la integral sobre todo el dominio de la función.

Eso se sigue de que
\begin{equation*} \widehat{f}(0) \ = \ \int_\RR f(t) e^{-\ii\cdot 0\cdot t}\dd t \ = \ \int_\RR f(t)\dd t. \end{equation*}

Ejemplo 2.1.4. La transformada de Fourier de un pulso constante (preliminar).

Sea \(x(t)\) la señal
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{para los demás valores de }t. \end{cases} \end{equation*}
Calculamos su transformada de Fourier según la definición:
\begin{align*} \widehat{x}(\omega) &= \int_\RR x(t)e^{-\ii\omega t}\dd t\\ &= \int_{-1}^1 e^{-\ii\omega t}\dd t \qquad\qquad \text{[por la definición de }x(t)]\\ &= \left. \frac{1}{-\ii\omega} e^{-\ii\omega t}\right|_{-1}^1\\ &= \left. \frac{\ii}{\omega} e^{-\ii\omega t}\right|_{-1}^1 \qquad\qquad \text{[porque }\frac{1}{\ii} = -\ii]\\ &= \left. \frac{\ii}{\omega} \left( \cos \omega t - \ii\sin \omega t \right) \right|_{-1}^1\\ &= \left. \frac{\ii}{\omega}\cos\omega t + \frac{1}{\omega}\sin\omega t \right|_{-1}^1 .\\ &= \left( \frac{\ii}{\omega}\cos\omega + \frac{1}{\omega}\sin\omega \right) - \left( \frac{\ii}{\omega}\cos(-\omega) + \frac{1}{\omega}\sin(-\omega) \right)\\ &= \left( \frac{\ii}{\omega}\cos\omega + \frac{1}{\omega}\sin\omega \right) - \left( \frac{\ii}{\omega}\cos(\omega) - \frac{1}{\omega}\sin(\omega) \right)\\ &= \frac{2\sin\omega}{\omega}. \end{align*}

Ejercicios Ejercicios

1.

En el Ejemplo 2.1.4 hay un error de cálculo. Encuéntralo.
Pista 1.
El resultado no es válido para todos los valores de \(\omega\text{.}\)
Pista 2.
El resultado contradice la Observación 2.1.3.
Solución.
Para \(\omega=0\) el cálculo de Ejemplo 2.1.4 no es válido. Eso se debe a que en la tercera línea de la derivación sale la expresión
\begin{equation*} \frac{1}{-\ii\omega}e^{-\ii\omega t} \end{equation*}
que no tiene sentido para \(\omega=0\text{.}\)
Para corregir este error, hace falta hacer la cuenta para \(\omega=0\) aparte:
\begin{align*} \widehat{x}(0) &= \int_\RR x(t) e^{\ii\cdot 0\cdot t} \dd t\\ &= \int_{-1}^1 1\dd t\\ &= 2. \end{align*}

Ejemplo 2.1.5. La transformada de Fourier de un pulso constante (correcto).

La expresión correcta de la transformada de Fourier de la función
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1,\\ 0 & \text{para los demás valores de }t. \end{cases} \end{equation*}
es
\begin{equation*} \widehat{x}(\omega) \ = \ \begin{cases} \frac{2\sin\omega}{\omega} & \text{ si }\omega\ne0, \\ 2 & \text{ si }\omega=0. \end{cases} \end{equation*}

Nota 2.1.6.

En el Ejemplo 2.1.5 hemos calculado que
\begin{equation*} \cF\left( \begin{cases} 1 & \text{ si } -1\le t\le 1 \\ 0 & \text{ en otro caso} \end{cases} \right) \ = \ \begin{cases} 2\,\frac{\sin\omega}{\omega} & \text{ si } \omega \ne 0,\\ 2 & \text{ si } \omega = 0. \end{cases} \end{equation*}
En muchos textos de ingeniería, la función \(\frac{\sin\omega}{\omega}\) se llama sinc, cf. Figura 2.1.7.
Figura 2.1.7. La función \(\sinc(x)=\frac{\sin x}{x}\)

Definición 2.1.8.

Sea \(f(t):\RR\to\RR\) una señal real, periódica o no.
El espectro de \(f(t)\) es el la función valor absoluto de la transformada de Fourier de \(f\text{:}\)
\begin{align*} \left|\widehat{f}\right|: \RR &\to\RR,\\ \omega &\mapsto \left|\widehat{f}(\omega)\right| \end{align*}
A diferencia de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier, el espectro sí es una función con valores reales, y por tanto sí se puede dibujar sobre un plano.
Figura 2.1.9. El espectro de una función constante
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