Sección 4.6 Resultados asintóticos. Teoremas del valor inicial y del valor final
Estos dos resultados permiten obtener el valor inicial (cuando \(t\to 0^+\)) y el valor final (cuando \(t\to +\infty\)) de la señal temporal con la información de su transformada de Laplace sin tener que calcular la transformada inversa.
Teorema 4.6.1. Teorema del valor inicial (TVI).
Si tenemos
la señal \(x(t)\text{,}\)
su transformada de Laplace \(X(s)\text{,}\)
y existe (es un número) \(\displaystyle\lim_{s\to \infty} s\, X(s)\text{,}\)
llavorç
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0^+} x(t)=\lim_{s\to \infty} s\, X(s).
\end{equation*}
Por ejemplo, conocida la transformada de Laplace
\begin{equation*}
X(s)=\frac{2s+1}{s^2+2s+5}
\end{equation*}
obtenemos el valor inicial de la señal temporal:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
x(0^+) &= \lim_{t\to 0^+} x(t)=\lim_{s\to \infty} s\, X(s)=
\lim_{s\to \infty} \ \frac{2s^2+s}{s^2+2s+5}=\\ \\
& =\lim_{s\to \infty} \ \frac{\frac{2s^2+s}{s^2}}{\frac{s^2+2s+5}{s^2}}=\lim_{s\to \infty} \
\frac{2 +\frac{1}{s}}{1+\frac{2}{s}+\frac{5}{s^2}} = 2.\end{aligned}
\end{equation*}
Teorema 4.6.2. Teorema del valor final (TVF).
Si tenemos
la señal \(x(t)\text{,}\)
su transformada de Laplace \(X(s)\text{,}\)
y se cumple que los ceros del denominador de \(s\, X(s)\) (los polos de \(s\, X(s)\)) tienen parte real negativa (están en el semiplano complejo \({\rm Re}(s)<0\)),
llavorç
\begin{equation*}
\lim_{t\to +\infty} x(t)=\lim_{s\to 0} s\, X(s).
\end{equation*}
Por ejemplo, conocida la transformada de Laplace
\begin{equation*}
X(s)=\frac{2s+1}{s^2+2s+5},
\end{equation*}
queremos obtener el valor final de la señal temporal. Comprobamos primero que podemos aplicar el TVF. Por eso, debemos mirar los polos del denominador de
\begin{equation*}
s\, X(s)= \frac{2s^2+s}{s^2+2s+5}.
\end{equation*}
Este denominador es \(s^2+2s+5\text{,}\) y se anula para
\begin{equation*}
s=-1\pm 2j \text{.}
\end{equation*}
La parte real de estos polos es negativa,
\begin{equation*}
{\rm Re}(-1\pm 2j)=-1<0,
\end{equation*}
y por tanto sí podemos aplicar el teorema.
El valor final de la señal temporal es, por tanto,
\begin{equation*}
\lim_{t\to +\infty} x(t)=\lim_{s\to 0} s\, X(s)=
\lim_{s\to 0} \ \frac{2s^2+s}{2s^2+2s+5}=0.
\end{equation*}
