Espectro

Sección 1.6 Espectro

Consideramos una señal \(x(t)\) de periodo \(T\) y frecuencia fundamental \(\omega_0=\frac{2\pi}{T}\text{.}\) Para poder leer la información contenida en los coeficientes de Fourier trigonométricos y complejos de \(x(t)\) de manera rápida e intuitiva, necesitamos una representación gráfica, el espectro de \(x(t)\text{.}\)

Puesto que la forma trigonométrica y la forma compleja de la transformada de Fourier de \(x(t)\text{,}\)

\begin{align*} f(t) & \ = \ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right)\\ & \ = \ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{\ii \frac{2\pi n}{T}\, t} \end{align*}

son algo distintas, hay una versión del espectro para cada una.

Definición 1.6.1. Espectro real.

Las componentes del espectro real se definen a partir de los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica.

Para el término DC o constante, que corresponde a \(n=0\text{,}\) se escoge el valor \(\frac{1}{2}|a_0|\text{.}\)
Para los términos AC, el \(n\)-ésimo de los cuales corresponde al múltiplo \(n\)ésimo de la frecuencia fundamental, con \(n\ge1\text{,}\) se escoge el valor \(\sqrt{a_n^2+b_n^2}\text{.}\)

La representación gráfica del espectro real consiste, por tanto, del conjunto de puntos en el plano

\begin{equation*} \left(0, \tfrac{1}{2}|a_0|\right) \quad\bigcup\quad \left\{ \left(n\omega_0,\sqrt{a_n^2+b_n^2}\right) : n\ge 1 \right\}. \end{equation*}

Ejemplo 1.6.2.

Consideramos la señal

\begin{equation} x(t) \ = \ \frac12 - \frac13 \sin t + \frac14 \cos 2t\tag{1.6.1} \end{equation}

que tiene período fundamental \(T=2\pi\) y frecuencia fundamental \(\omega_0=1\text{.}\) En la Figura 1.6.3 podemos ver la representación de esta señal y su espectro real. Las componentes del espectro se calculan de la siguiente manera:

De (1.6.1) deducimos que \(\frac{a_0}{2} = \frac12\text{.}\) Esta constante contribuye el punto \((0,0.5)\) al espectro.
Del término \(-\frac13\sin t\) deducimos que \(b_1 = -\frac13\text{.}\) No hay ningún término de la forma \(\cos t\text{,}\) por tanto \(a_1=0\) y no hay más contribuciones al armónico \(n=1\text{.}\) La contribución del primer armónico es
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{0^2 + \left(-\frac13\right)^2} \ = \ \frac13, \end{equation*}
y obtenemos el punto \((1\cdot\omega_0,\frac13) = (1,0.33)\text{.}\)
Finalmente, del término \(\frac14\cos 2t\) deducimos el punto \((2\omega_0,\frac14) = (2,.25)\text{.}\)

Una señal y su espectro real — Figura 1.6.3.
*Izquierda:* La señal \(x(t) \ = \ \frac12 - \frac13 \sin t + \frac14 \cos 2t\) (azul) descompuesta en sus tres componentes. *Derecha:* El espectro real de \(x(t)\)

El espectro complejo, al igual que el espectro real, resalta la importancia de cada armónico en la sintesis de la señal. La diferencia es que se define a partir de los coeficientes de Fourier compleja:

Definición 1.6.4. Espectro complejo.

Las componentes del espectro complejo se definen a partir de los coeficientes de la serie de Fourier compleja.

El armónico \(n\)-ésimo, para \(n\in\ZZ\text{,}\) que corresponden a la frecuencia 0 y a los múltiplos positivos y negativos de la frecuencia fundamental, contribuye los puntos del plano \((n\omega_0, |c_n|)\text{.}\)

Una señal y su espectro complejo — Figura 1.6.5.
*Izquierda:* La señal \(x(t) \ = \ \frac12 - \frac13 \sin t + \frac14 \cos 2t\) (azul) descompuesta en sus tres componentes. *Derecha:* El espectro complejo de \(x(t)\)

Nota 1.6.6.

Como los coeficientes reales y complejos de la serie de Fourier están relacionados, los espectros también lo son. Da las relaciones (1.4.9), (1.4.10), (1.4.11) entre los coeficientes reales y complejos obtenemos la relación entre los espectros:

\(|c_0|=\frac{1}{2}|a_0|\text{.}\)
\(|c_{-n}|=|c_n|=\left|\frac{1}{2}\right|\left|a_n+\ii b_n\right|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}\text{.}\)

Nota 1.6.7.

Cuando calculamos el espectro de una señal, sólo tenemos en cuenta el valor absoluto de los coeficientes complejos, no los coeficentes mismos. En consecuencia, hay señales con coeficientes distintos, y por lo tanto con gráficas distintas, que sin embargo tienen el mismo espectro.

Figura 1.6.8. Tres señales con coeficientes distintos, pero el mismo espectro

Ejemplo 1.6.9.

En la Figura 1.6.8 vemos las señales

\begin{align*} x_1(t) &\ = \ \tfrac12 - \tfrac13 \sin t + \tfrac14 \cos 2t,\\ x_2(t) &\ = \ \tfrac12 - \tfrac13 \cos t + \tfrac14 \cos 2t,\\ x_3(t) &\ = \ \tfrac12 - \tfrac15 \cos t + \tfrac{4}{15} \sin t + \tfrac14 \cos 2t, \end{align*}

que tienen el mismo espectro.

Eso se debe a que los coeficientes

\begin{equation*} a_0/2 \ = \ \tfrac12, \qquad a_2 \ = \ \tfrac14 \end{equation*}

son los mismos en las tres señales, y los coeficientes del primer armónico (\(n=1\)) contribuyen lo mismo al espectro:

En el caso de \(x_1(t)\) el primer armónico es \(-\tfrac13\sin t\text{,}\) que tiene \(a_1=0\text{,}\) \(b_1=-\tfrac13\) y contribuye
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{0^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2} \ = \ \frac13. \end{equation*}
En el caso de \(x_2(t)\) el primer armónico es \(-\tfrac13\cos t\text{,}\) que tiene \(a_1=-\tfrac13\text{,}\) \(b_1=0\) y contribuye
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 0^2} \ = \ \frac13. \end{equation*}
En el caso de \(x_3(t)\) el primer armónico es \(-\tfrac15\cos t + \tfrac{4}{15}\sin t\text{,}\) que tiene \(a_1=-\tfrac15\text{,}\) \(b_1=\tfrac{4}{15}\) y contribuye
\begin{equation*} \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \ = \ \sqrt{\left(-\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{15}\right)^2} \ = \ \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{16}{225}} \ = \ \sqrt{\frac{9 + 16}{225}} \ = \ \frac{5}{15} \ = \ \frac13. \end{equation*}

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