Definición 3.2.1.
Una EDO en variables separables es una EDO que puede expresarse de la forma
\begin{equation*}
N(y)\, dy = M(x)\, dx.
\end{equation*}
Dicho de otro modo, se pueden separar las variables en cada lado.Sección 3.2 EDOs en variables separables
Un ejemplo de una EDO en variables separables podría ser
\begin{equation*}
e^y dy=(x^2+1)dx.
\end{equation*}
Observación 3.2.2.
Las EDOs en variables separables son de orden 1:
\begin{align*}
N(y)\, dy &= M(x)\, dx\\
\Longleftrightarrow \ N(y)\, \frac{dy}{dx} &= M(x)\\
\Longleftrightarrow\quad \ N(y)y' &= M(x)
\end{align*}
Observamos también que en general las EDOS separables no son lineales, a menos que \(N(y)\) sea un término constante.Subsección 3.2.1 Paso 1: Separar las variables
El primer paso para resolver una EDO separable es, precisamente, separar a las variables.
Ejemplo 3.2.3. Un modelo de población.
Como antes, tomamos
\begin{equation*}
P'(t) = k P(t)
\end{equation*}
como modelo de la evolución de una población, donde \(k\) es la constante de proporcionalidad del modelo.
Cómo encontrar \(P(t)\text{?}\)
\begin{align*}
P' &= k P\\
\Longleftrightarrow \ \frac{dP}{dt} &=k P\\
\Longleftrightarrow \ dP &= k P dt\\
\Longleftrightarrow \ \frac{dP}{P}&= k dt
\end{align*}
Ahora logramos separar las variables, que es el primer paso: un lado sólo contiene la variable \(P\text{,}\) y el otro sólo la variable \(t\text{.}\) Recuerda que \(k\) es una constante cualquiera, no una variable del modelo.
Ejemplo 3.2.4. EL EDO \(xy'=-y\).
Hagamos como antes:
\begin{align*}
xy'& =-y\\
\Longleftrightarrow \ x\frac{dy}{dx}&=-y\\
\Longleftrightarrow\ xdy &= -ydx\\
\Longleftrightarrow \ \frac{1}{y} dy&= -\frac{1}{x} dx
\end{align*}
y logramos separar las variables.
Subsección 3.2.2 Paso 2: Integrar
Ahora, después de separar las variables, se integra a ambos lados:
\begin{align*}
N(y)\, dy &= M(x)\, dx\\
\int N(y)\, dy &= \int M(x)\, dx
\end{align*}
Observación 3.2.5. Sólo hace falta una constante de integración.
Dado que existen dos integrales en la ecuación, podríamos pensar que debemos trabajar con dos constantes de integración:
\begin{align*}
\int N(y)\, dy &= Q(y) +A\\
\int M(x)\, dx&=P(x)+B
\end{align*}
Pero podemos combinar estas dos constantes en una sola:
\begin{align*}
Q(y) +A &=P(x)+B\\
\Longleftrightarrow\ Q(y) &=P(x)+B-A\\
\Longleftrightarrow\ Q(y)&=P(x)+C
\end{align*}
Recordemos que en la solución general de las EDOs de orden 1 hay sólo 1 constante arbitraria (1 grado de libertad).
Subsección 3.2.3 Paso 3: Se puede aislar la variable \(y\text{?}\)
Si se puede aislar la variable \(y\) tendremos la solución explícita y si no, la tenemos Implícita.
Ejemplo 3.2.6. Una EDO ya separada.
Tomamos como ejemplo en el EDO
\begin{equation*}
e^y dy=(x^2+1)dx.
\end{equation*}
Ya está separada, por tanto podemos integrar:
\begin{align*}
\int e^y dy & =\int (x^2+1)dx +C\\
\Longleftrightarrow \ e^y &= \frac{x^3}{3}+x+C
\end{align*}
Ahora aislamos la \(y\text{,}\) y obtenemos la solución general
\begin{equation*}
y=\ln\left( \frac{x^3}{3}+x+C\right).
\end{equation*}
Ejemplo 3.2.7. El modelo de población.
A LEjemplo 3.2.3 llegamos hasta la relación
\begin{equation*}
\frac{dP}{P}= k dt.
\end{equation*}
Ahora podemos integrar a ambos lados:
\begin{align*}
\int \frac{dP}{P}&=\int k dt +C\\
\Longleftrightarrow \
\ln(P)&= k t+C\\
\Longleftrightarrow \
P&= e^{kt+C}=e^{kt} e^{C}.
\end{align*}
Si ponemos un nuevo nombre a la constante \(e^C\)en los que, por ejemplo, \(e^C=:A\text{,}\) podemos concluir que la solución general es
\begin{equation*}
P(t) = A\,e^{-kt}.
\end{equation*}
Si ahora además tenemos la condición inicial
\begin{equation*}
P(0) = P_0
\end{equation*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(P_0\in\RR\) es el número de miembros de la población al instante \(t=0\text{,}\) podemos concluir de
\begin{equation*}
P_0 = P(0) = A\, e^0 = A
\end{equation*}
que la solución particular es
\begin{equation*}
P(t) = P_0\,e^{-kt}.
\end{equation*}
Sí \(k>0\text{,}\) la función crecerá exponencialmente, y si \(k<0\text{,}\) decrecerá exponencialmente.
Ejemplo 3.2.8. \(\frac{1}{y}\, dy= -\frac{1}{x}\, dx\).
Hagamos el mismo procedimiento:
\begin{align*}
\int\frac{1}{y}\, dy &= \int -\frac{1}{x}\, dx +C\\
\Longleftrightarrow \
\int\frac{1}{y}\, dy&= -\int \frac{1}{x}\, dx +C\\
\Longleftrightarrow \ \ln(y)&=-\ln(x)+C
\end{align*}
Para aislar la \(y\text{,}\) podemos calcular
\begin{align*}
y&=e^{-\ln(x)+C}=e^{-\ln(x)}e^C\\
&=\frac{1}{e^{\ln(x)}}e^C=\frac{1}{x}\,e^C= \frac{K}{x},
\end{align*}
donde en el último paso pusimos \(e^C=K\text{.}\)
Otra posibilidad para aislar la \(y\) es hacerlo así:
\begin{align*}
y&=e^{-\ln(x)+C}\\
&=e^{-\ln(x)}e^C\\
&\stackrel{a\ln(b) = \ln(b^a)}{=}
e^{\ln\left(x^{-1}\right)}e^C\\
&=x^{-1}e^C \stackrel{e^C=K}{=} \frac{K}{x},
\end{align*}
o incluso así:
\begin{align*}
\ln(y)& =-\ln(x)+C\\
\Longleftrightarrow \ \ln(y)+\ln(x)&=C\\
\stackrel{\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)}{\Longleftrightarrow} \ \ln(yx)&=C\\
\Longleftrightarrow \ yx&=e^C=K\\
\Longleftrightarrow \ y&=\frac{K}{x}
\end{align*}
