En la siguiente tabla se muestra la forma que tienen las soluciones particulares para diferentes funciones \(f(t)\text{,}\) aplicando el método de ensayo que acabamos de contar.
Cuadro3.6.1.
\(f(t)\)
Forma de \(y_p(t)\)
\(3\)
\(A\)
\(e^{-t}\)
\(A e^{-t}\)
\((t^2+1) e^{-t}\)
\((At^2+Bt+C) e^{-t}\)
\(4e^{2t}\)
\(A t e^{2t}\)
\((t^2+1) e^{2t}\)
\(t(At^2+Bt+C)e^{2t}\)
\(3\cos(2t)\)
\(A\cos(2t)+B\sin(2t)\)
\(e^{-3t}\cos(2t)\)
\(A e^{-3t}\cos(2t)+B e^{-3t}\sin(2t)\)
Explicamos con detalle cómo salen estas soluciones particulares. Para ello comparamos cada una de las funciones propuestas con el caso genérico
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(p_n\) y \(q_n\) representan polinomios de grado como mucho \(n\text{,}\) y aplicamos el método.
Ejemplo3.6.2.\(f(t)=3\).
Esta función se obtiene del caso genérico por \(\alpha =0\) (\(\mathrm{e}^0=1\)), \(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) y \(\sin(0)=0\)) y \(p_0(t)=3\text{.}\)
Debido a que \(\alpha\pm \beta j=0\) NO es a raíz de la EC, buscamos una solución particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A,\quad A\ \text{constant a determinar.}
\end{equation*}
Fijémonos en que si \(f(t)\) tiene una constante, entonces \(y_p(t)\) también (a determinar).
Ejemplo3.6.3.\(f(t)=\mathrm{e}^{-t}\).
Esta función se obtiene del caso genérico por \(\alpha =-1\text{,}\)\(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) y \(\sin(0)=0\)) y \(p_0(t)=1\text{.}\)
Debido a que \(\alpha\pm \beta j=-1\) NO es a raíz de la EC, buscamos una solución particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A\, \mathrm{e}^{-t}, \quad A \
\text{constant a determinar.}
\end{equation*}
Fijémonos en que si \(f(t)\) tiene una constante, entonces \(y_p(t)\) también (a determinar).
Esta función se obtiene del caso genérico por \(\alpha =-1\text{,}\)\(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) y \(\sin(0)=0\)) y \(p_2(t)=t^2+1\text{.}\)
Debido a que \(\alpha\pm \beta j=-1\) NO es a raíz de la EC, buscamos una solución particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=\left(At^2+Bt+C\right) \mathrm{e}^{-t},\quad A,\ B,\ C,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fijémonos en que si \(f(t)\) tiene un polinomio de grado 2, entonces \(y_p(t)\) también (con coeficientes a determinar).
Ejemplo3.6.5.\(f(t)=4\,\mathrm{e}^{2t}\).
Esta función se obtiene del caso genérico por \(\alpha =2\text{,}\)\(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) y \(\sin(0)=0\)) y \(p_0(t)=4\text{.}\)
Debido a que \(\alpha\pm \beta j=2\) SI es a raíz de la EC con multiplicidad 1 (es simple), estamos en el caso en que hay resonancia, y buscamos una solución particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A\, t\,\mathrm{e}^{2t}, \quad A\ \text{constant a determinar.}
\end{equation*}
Fijémonos en dos cosas: el término \(t\) de \(y_p\) corresponde a efectos de la resonancia y, si \(f(t)\) tiene una constante, entonces \(y_p(t)\) también (a determinar).
Esta función se obtiene del caso genérico por \(\alpha =2\text{,}\)\(\beta=0\) (\(\cos(0)=1\) y \(\sin(0)=0\)) y \(p_2(t)=t^2+1\text{.}\)
Debido a que \(\alpha\pm \beta j=2\) SI es a raíz de la EC con multiplicidad 1 (es simple), estamos en el caso en que hay resonancia, y buscamos una solución particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=t\left(At^2+Bt+C\right)\mathrm{e}^{2t},\quad A,\ B,\ C,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fijémonos en dos cosas: el término \(t\) de \(y_p\) corresponde a efectos de la resonancia y, si \(f(t)\) tiene un polinomio de grado 2, entonces \(y_p(t)\) también (con coeficientes a determinar).
Ejemplo3.6.7.\(f(t)=3\cos(2t)\).
Esta función se obtiene del caso genérico por \(\alpha =0\) (\(\mathrm{e}^0=1\)), \(\beta=2\text{,}\)\(p_0(t)=3\) y \(q_0(t)=0\text{.}\)
Debido a que \(\alpha\pm \beta j=\pm 2j\) NO son raíces de la EC, buscamos una solución particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),\quad A,\ B,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fijémonos en que tenga \(f(t)\) sólo el término coseno, sólo el término seno, o bien la suma de los dos, la forma de \(y_p(t)\) tiene la suma de los dos, en este caso multiplicados por constantes a determinar porque lo que multiplica al coseno de \(f(t)\) es una constante.
Ejemplo3.6.8.\(f(t)=\mathrm{e}^{-3t}\cos(2t)\).
Esta función se obtiene del caso genérico por \(\alpha =-3\text{,}\)\(\beta=2\text{,}\)\(p_0(t)=1\) y \(q_0(t)=0\text{.}\)
Debido a que \(\alpha\pm \beta j=-3\pm 2j\) NO son raíces de la EC, buscamos una solución particular de la forma
\begin{equation*}
y_p(t)=A\,\mathrm{e}^{-3t} \cos(2t)+B\,\mathrm{e}^{-3t}\sin(2t),\quad A,\ B,\ \text{constants a determinar.}
\end{equation*}
Fijémonos en que tenga \(f(t)\) sólo el término coseno, sólo el término seno, o bien la suma de los dos, la forma de \(y_p(t)\) tiene la suma de los dos, en este caso multiplicados por lo exponencial que tenemos en \(f(t)\text{,}\) y por constantes a determinar porqué lo que multiplica al coseno y al exponencial de \(f(t)\) es una constante.
A partir de ahí, de la forma de \(y_p(t)\) para cada función \(f(t)\text{,}\) se sustituye \(y_p(t)\) en el EDO que corresponde a cada \(f(t)\) (se solución del EDO) y se obtiene el valor de la/s constante/s. Realizaremos los cálculos para tres de las funciones y para el resto daremos el resultado.
Ejemplo3.6.9.\(y''+y'-6y=3\).
Sustituimos \(y_p(t)=A\) en la ecuación diferencial: calculamos las derivadas \(y'_p(t)=0\) y \(y''_p(t)=0\) y tenemos
Sustituimos \(\displaystyle y_p(t)=A\, \mathrm{e}^{-t}\) en la ecuación diferencial: calculamos las derivadas \(\displaystyle y'_p(t)=-A\,\mathrm{e}^{-t}\) y \(\displaystyle y''_p(t)=A\,\mathrm{e}^{-t}\) y tenemos
Sustituyendo \(\displaystyle y_p(t)=\left(At^2+Bt+C\right) \mathrm{e}^{-t}\) en la ecuación diferencial se obtiene \(\displaystyle A=\frac{-1}{6}\text{,}\)\(\displaystyle B=\frac{1}{18}\) y \(\displaystyle C=\frac{-25}{108}\text{.}\) Por tanto, \(y_p(t)=\left(\frac{1}{18}\, t -\frac{1}{6}\, t^2
-\frac{25}{108}\right)\mathrm{e}^{-t}\) y la solución general de la ecuación diferencial es
Sustituyendo \(\displaystyle y_p(t)=A\,t \mathrm{e}^{2t}\) en la ecuación diferencial se obtiene \(\displaystyle A=\frac{4}{5}\text{.}\) Por tanto, \(y_p(t)=\frac{4}{5}\, t \mathrm{e}^{2t}\) y la solución general de la ecuación diferencial es
Sustituyendo \(\displaystyle y_p(t)=t\left(At^2+Bt+C\right)\mathrm{e}^{2t}=\left(At^3+Bt^2+Ct\right)\mathrm{e}^{2t}\) en la ecuación diferencial se obtiene \(\displaystyle A=\frac{1}{15}\text{,}\)\(\displaystyle B=\frac{-1}{25}\) y \(\displaystyle C=\frac{27}{125}\text{.}\) \noindent Por tanto, \(y_p(t)=\left(\frac{1}{15}\, t^3
-\frac{1}{25}\, t^2 +\frac{27}{125}\, t\right)\mathrm{e}^{2t}\) y la solución general de la ecuación diferencial es
Sustituyendo \(\displaystyle y_p(t)=A\, \mathrm{e}^{-3t} \cos(2t)+B\, \mathrm{e}^{-3t} \sin(2t)\) en la ecuación diferencial se obtiene \(\displaystyle A=\frac{-1}{29}\) y \(B\displaystyle=\frac{-5}{58}\text{.}\) \noindent Por tanto, \(y_p(t)=-\frac{1}{29}\, \mathrm{e}^{-3t} \cos(2t) -\frac{5}{58}\,\mathrm{e}^ {-3t} \sin(2t)\) y la solución general de la ecuación diferencial es
