Sistemas LTI y estabilidad

Sección 3.7 Sistemas LTI y estabilidad

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes puede interpretarse como un sistema LTI.

Recordemos que en la Sección 2.6 definimos qué es un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) y trabajamos con sistemas LTI en el contexto de frecuencias (pasando del dominio tiempo al dominio frecuencia mediante la transformada de Fourier), y, por tanto, identificándolos como a filtros de frecuencias.

Un sistema LTI actúa sobre una función (señal) y da como resultado otra función, con las características de ser lineal e invariante en el tiempo.

Una EDO lineal con coeficientes constantes es un sistema LTI, donde el término independiente del EDO es la entrada del sistema y cuya función incógnita es la salida correspondiente.

Así, la ecuación diferencial

\begin{equation*} a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=f(t) \end{equation*}

determina el siguiente sistema LTI:

Lo que caracteriza al sistema es la información de la ecuación homogénea, y la solución del EDO \(y(t)\) es la respuesta del sistema para una excitación externa \(f(t)\text{.}\)

Si no le aplicamos excitación externa al sistema (\(f(t)=0\)), lo que tenemos es una EDO homogénea. La solución de esta ecuación, \(y_h(t)\)Es la persona respuesta libre del sistema.

Subsección 3.7.1 Estabilidad de las EDOs lineales con coeficientes constantes

Nos planteamos analizar el comportamiento a largo plazo de las soluciones y caracterizar la estabilidad de las EDO lineales con coeficientes constantes.

Por eso, primero analizamos el comportamiento de una solución de la EDO por aislado, y después combinamos el comportamiento de todas las soluciones de la EDO, y analizamos las consecuencias para la estabilidad de toda la EDO.

Subsubsección 3.7.1.1 Estabilidad de una solución

En la siguiente figura podemos ver cómo se comportan las soluciones de una EDO homogénea, que recordamos tienen la forma \(y(t)=e^{\omega t} = e^{(\alpha+\beta\ii)t}\) para diferentes valores de\(\alpha\) y \(\beta\text{.}\)

Figura 3.7.1. El comportamiento de una solución \(y(t)=e^{\omega t} = e^{(\alpha+\beta\ii)t}\) de una EDO homogénea para diferentes valores de\(\alpha\) y \(\beta\)Donde , \(\omega=\alpha+\beta\ii\) es la raíz correspondiente de la ecuación característica.

Podemos ver que cuando \(t\to\infty\text{,}\)

Sí \(\alpha=\mathrm{Re}(\omega) < 0\text{,}\) la solución se aproxima a cero;
Sí \(\alpha=\mathrm{Re}(\omega) \le 0\text{,}\) la solución es estable;
Sí \(\alpha=\mathrm{Re}(\omega)> 0\text{,}\) la solución "explota".

Ahora, no debemos olvidar que en ocasiones las soluciones de la ecuación característica tienen multiplicidad. Esto puede afectar a la estabilidad de las soluciones. Sin entrar en detalles, sólo mostramos aquí el comportamiento de las soluciones del tipo \(y(t) = t e^{\omega t} = te^{(\alpha + \beta\ii)t}\) que surgen cuando la multiplicidad de la raíz \(\omega=\alpha+\beta\ii\) es dos o aún mayor.

Figura 3.7.2. El comportamiento de una solución \(y(t)=t e^{\omega t} = t e^{(\alpha+\beta\ii)t}\) de una EDO homogénea para diferentes valores de\(\alpha\) y \(\beta\)Donde , \(\omega=\alpha+\beta\ii\) es la raíz correspondiente de su ecuación característica MULTIPLICIDAD \(\ge 2\).

Como podemos comprobar, en este caso necesitamos que \(\alpha<0\) estrictamente para tener estabilidad de la solución.

Subsubsección 3.7.1.2 Estabilidad de una EDO entera

Ahora que entendemos la estabilidad de una solución por aislada, podemos dar una noción de estabilidad de Todas las soluciones de una de EDO Entera.

Definición 3.7.3.

Consideramos que hay Estabilidad en la EDO si dos soluciones cualquiera \(y_1(t)\) y \(y_2(t)\) que comienzan bastante próximas en \(t=0\text{,}\) se mantienen próximas para \(t>0\text{:}\)

\begin{equation*} \left|y_1(t)-y_2(t)\right|<\epsilon\quad \text{si}\quad \left|y_1(0)-y_2(0)\right|<\delta, \quad \delta\ \ \text{i}\ \ \epsilon\ \ \text{petits.} \end{equation*}

Si además se cumple que

\begin{equation*} \lim_{t\to+\infty} y_1(t)-y_2(t)=0, \end{equation*}

la la estabilidad es asintótica. En este caso, ambas soluciones tienden a ser la misma para valores de \(t\) lo suficientemente grandes.

La estabilidad de las EDOs lineales con coeficientes constantes (de los sistemas LTI determinados por las EDOs), depende de la ecuación homogénea, es decir, de las raíces de la ecuación característica (EC), y se determina de la siguiente forma :

Si la parte real de todas las raíces de la EC es \(< 0\text{,}\) el sistema es asintóticamente estable.
Si la parte real de alguna de las raíces de la EC es \(> 0\text{,}\) o bien es 0 con multiplicidad \(\ge 2\text{,}\) el sistema es Inestable.
Si la parte real de algunas de las raíces simples es 0 y la parte real de el resto de las raíces es \(< 0\text{,}\) el sistema es estable pero no asintóticamente estable.

Subsubsección 3.7.1.3 Estabilidad asintótica de una EDO

Definición 3.7.4.

Consideramos que hay estabilidad asintótica en la EDO si todas las raíces de la EC tienen parte real \(< 0\text{.}\)

Esto es equivalente a decir que todas las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea tienden a 0 cuando \(t\) tiende a infinito, tal y como veremos a continuación.

Las funciones de la base de soluciones son de la forma

\begin{equation*} \mathrm{e}^{\lambda t};\ \ t^m \mathrm{e}^{\lambda t};\ \ \mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t);\ \ \mathrm{e}^{\alpha t} \sin(\beta t);\ \ t^m \mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t);\ \ t^m \mathrm{e}^{\alpha t} \sin(\beta t). \end{equation*}

Si el sistema es asintóticamente estable, \(\lambda\) (raíz real de la EC) es negativa y \(\alpha\pm \beta j\) (raíces complejas de la EC) tienen parte real negativa, es decir, \(\lambda < 0\) y \(\alpha <0\text{.}\) Si el coeficiente de las exponenciales es negativo, todas las exponenciales tienden a 0 y esto se mantiene cuando multiplicamos por una potencia y/o un seno o coseno:

\begin{equation*} \begin{aligned} & \lim_{t\to +\infty} \mathrm{e}^{\lambda t}=0,\qquad \lim_{t\to +\infty} \mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t)= \lbrace 0\cdot \text{funció acotada} \rbrace =0,\\ &\lim_{t\to +\infty} t^m \mathrm{e}^{\lambda t}= \lbrace \infty \cdot 0 \rbrace= \lbrace \mathrm{e}^{\lambda t}\to 0 \ \text{més ràpidament que}\ t^m\to \infty \rbrace =0,\\ &\lim_{t\to +\infty} t^m \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t)= \lbrace 0\cdot \text{funció acotada} \rbrace =0.\end{aligned} \end{equation*}

Por tanto, una combinación lineal de estas funciones, que es la solución general del EDO homogénea \(y_h(t)\text{,}\) también tiende a 0. Así tenemos:

Subsubsección 3.7.1.4 El caso de orden 2

En el caso particular de una EDO lineal homogénea de orden 2 con coeficientes constantes

\begin{equation*} a_2\, y''(t) + a_1\, y'(t) + a_0 \, y(t) = 0, \end{equation*}

podemos suponer que \(a_2\ne 0\) (puesto que de lo contrario no sería de orden 2), y dividir toda la ecuación entre \(a_2\text{.}\) Poniendo unos nombres nuevos \(p=a_1/a_2\text{,}\) \(q=a_0/a_2\) en los parámetros, llegamos a la formulación

\begin{equation*} y''(t) + p\, y'(t) + q\, y(t) = 0, \end{equation*}

y podemos preguntar cómo es la estabilidad de esta ecuación en función de los parámetros \(p,q\text{.}\)

La respuesta la podemos ver en el siguiente diagrama, en el que la parábola es la curva con ecuación

\begin{equation*} \Delta = \frac{p^2}{4} -q = 0: \end{equation*}

Figura 3.7.5. El comportamiento de los modos libres de la ecuación \(y''(t) + p\, y'(t) + q\, y(t) = 0\)

Subsubsección 3.7.1.5 Régimen transitorio, régimen permanente

Para sistemas asintóticamente estables, nos planteamos cómo se comporta la respuesta del sistema para una excitación \(f(t)\text{.}\) Esta respuesta es la solución general de una EDO no homogénea:

\begin{equation*} y(t)=y_h(t)+ y_p(t) \end{equation*}

HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(y_h(t)\) es la solución general de la ecuación homogénea y \(y_p(t)\) una solución particular de la ecuación no homogénea.

A medida que \(t\) se hace mayor, los valores de \(y_h(t)\) son cada vez más pequeños y tienen menos importancia en la solución \(y(t)\text{.}\) Así, podemos considerar que \(y_h(t)\) representa el Régimen transitorio de la solución y, el régimen permanente, para valores de \(t\) lo suficientemente grandes, viene caracterizado por \(y_p(t)\text{.}\)

Por tanto, todas las soluciones que se obtienen de la solución general \(y(t)\) con valores particulares de las constantes arbitrias de \(y_h(t)\text{,}\) llegará un momento, para \(t\) lo suficientemente grande, que serán todas casi iguales al término \(y_p(t)\) que es común a todas las soluciones.

Ejemplosdesglosaremos en : este archivo Maple

exemple_edo_estabilitat.mw

tiene el estudio de la estabilidad de las siguientes ecuaciones diferenciales:

\(\displaystyle y'''+7y''+16y'+10 y=6\sin(3t)\)
\(\displaystyle y'''+2y''-3y'-10 y=6\sin(3t)\)
\(\displaystyle y'' +4y=\cos(t).\)

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