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Mètodes Matemàtics 3: Versión 2022–23

Sección 3.4 EDOs lineales de orden 1

Definición 3.4.1.

  1. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO en adelante) es lineal si la incógnita y sus derivadas aparecen
    • de forma lineal,
    • con coeficientes constantes o dependientes de la variable independiente.
  2. La expresión general de una EDO lineal de orden \(n\) donde la incógnita es \(y(t)\) es
    \begin{equation} a_n(t) y^{n}(t)+a_{n-1}(t)y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2(t) y''(t)+ a_1(t ) y'(t)+a_0(t) y(t)=f(t)\tag{3.4.1} \end{equation}
  3. Si la función \(f(t)=0\text{,}\) el EDO lineal es homogénea
    \begin{equation*} a_n(t) y^{n}(t)+a_{n-1}(t)y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2(t) y''(t)+ a_1(t) y'(t)+a_0(t) y(t)=0 \end{equation*}
  4. Si los coeficientes son constantes, tenemos una EDO lineal con coeficientes constantes
    \begin{equation*} a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=f(t) \quad \text{on}\ a_i\in \mathbb{R} \end{equation*}

Ejemplo 3.4.2.

  • \(\displaystyle y''-5y'+6=2\cos(t)\)
  • \(\displaystyle y'(t)+2ty(t)=t^3\)
  • \(\displaystyle ty'-4y=t^5 \mathrm{e}^t\)
  • \(\displaystyle y^{iv}(t)+2 y''(t)+1=0\)
  • \(\displaystyle L\,q''(t)+R\, q'(t)+\frac{1}{C}\, q(t)=E(t)\)

Subsección 3.4.1 Expresión general de una EDO lineal de orden 1

Definición 3.4.3.

La expresión general de una EDO lineal de orden 1 donde la incógnita es \(y(t)\) es
\begin{equation} a_1(t) y'(t)+a_0(t) y(t)=f(t)\tag{3.4.2} \end{equation}

Observación 3.4.4.

Esta expresión se puede escribir de forma equivalente
\begin{equation*} y'(t) +p(t) y(t)=q(t) \end{equation*}
Demostración.
Veámoslo: dividimos la ecuación (3.4.2) para \(\displaystyle a_1(t)\) y tenemos
\begin{equation*} y'(t) +\frac{a_0(t)}{a_1(t)}\, y(t)=\frac{f(t)}{a_1(t)} \end{equation*}
Llamamos \(\displaystyle p(t) =\frac{a_0(t)}{a_1(t)}\) y \(\displaystyle q(t)= \frac{f(t)}{a_1(t)}\) y ya tenemos la expresión \(\displaystyle y'(t) +p(t) y(t)=q(t)\text{.}\)
Para encontrar la solución general de las EDOs lineales de orden 1 utilizaremos el método de variación de las constantes.

Subsección 3.4.2 Método de variación de las constantes

Explicaremos en qué consiste el método y después lo aplicaremos a un ejemplo.
Dada la ecuación diferencial lineal de orden 1
\begin{equation} y'(t)+ p(t) y(t)=q(t)\tag{3.4.3} \end{equation}
La ecuación homogénea asociada a (3.4.3) es \(\displaystyle y'(t)+ p(t) y(t)=0\text{.}\)
Resolveremos la ecuación (3.4.3) hará de la manera siguiente :
  1. Encontramos la solución general de la ecuación homogénea
    • La ecuación homogénea está en variables separables
    • La solución general de la ecuación homogénea puede expresarse
      \begin{equation*} y(t)= C\, g(t), \quad C\ \text{constant}. \end{equation*}
      La forma que tiene la solución de la ecuación homogénea nos da la pista de cómo es la solución de la ecuación de partida.
  2. La solución general de la ecuación (3.4.3) es de la forma
    \begin{equation*} y(t)=C(t) g(t)\quad \text{on}\quad C(t) \ \text{és una funció a determinar}. \end{equation*}
    Sustituimos \(y(t)\) y su derivada en (3.4.3), y encontramos \(C(t)\)
Tomamos como ejemplo la ecuación
\begin{equation} y' -\frac{4}{t}\, y=t^4 \mathrm{e}^t\tag{3.4.4} \end{equation}
  1. Encontramos la solución general de la ecuación homogénea que sabemos que es en variables separables
    \begin{equation*} \hspace{-0,5cm} y' -\frac{4}{t}\, y=0 \end{equation*}
    Primero separamos las variables
    \begin{equation*} y' -\frac{4}{t}\, y=0\ \Longleftrightarrow \ \frac{dy}{dt} =\frac{4}{t}\, y\ \Longleftrightarrow\ dy= \frac{4}{t}\, y dt \ \Longleftrightarrow\ \frac{1}{y}\, dy= \frac{4}{t}\ dt \end{equation*}
    y después resolvemos la ecuación y aislamos \(y\text{:}\)
    \begin{equation*} \int \frac{1}{y}\, dy=\int \frac{4}{t}\ dt +A\ \Longrightarrow\ \ln(y)=4\ln(t)+A \ \Longrightarrow\ y=\mathrm{e}^{4\ln(t)+A} \end{equation*}
    Simplificamos la expresión de \(y\text{:}\)
    \begin{equation*} y=\mathrm{e}^{4\ln(t)}e^A= \mathrm{e}^{\ln\left(t^4\right)}\mathrm{e}^A= C\, t^4 \end{equation*}
    donde hemos aplicado propiedad de las exponenciales \(\displaystyle\mathrm{e}^{a+b}= \mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}\text{,}\) la propiedad de los logaritmos \(\displaystyle a \ln(b)=\ln\left(b^a\right)\text{,}\) y hemos redefinido la constante arbitraria \(\displaystyle\mathrm{e}^{A}=C\text{.}\)
    Así, la solución general de la ecuación homogénea es
    \begin{equation*} y(t)= C\,t^4\quad \text{on} \ C \ \text{és una constant}. \end{equation*}
  2. Ahora ya sabemos que la solución general de la ecuación (3.4.4) es de la forma
    \begin{equation*} \hspace{-0.5cm} y(t)=C(t) t^4,\ \ \text{on}\ C(t) \ \ \text{és una funció a determinar}. \end{equation*}
    Calculamos \(y'(t)\text{:}\) \(\displaystyle y'(t)=C'(t) t^4+C(t) 4t^3\)
    Sustituimos \(y(t)\) y \(y'(t)\) en (3.4.4) y simplificamos:
    \begin{equation*} \begin{aligned} & y' -\frac{4}{t}\, y=t^4 e^t\ \Longrightarrow\ \overbrace{C'(t) t^4+C(t) 4t^3}^{y'(t)} -\frac{4}{t}\, \overbrace{C(t) t^4}^{y(t)}=t^4 \mathrm{e}^t \ \Longrightarrow\\ & \Longrightarrow\ C'(t) t^4+C(t) 4t^3 -C(t)4t^3=t^4 \mathrm{e}^t\ \Longrightarrow\\ &\Longrightarrow\ C'(t) t^4=t^4 \mathrm{e}^t \Longrightarrow\ C'(t) =\mathrm{e}^t\end{aligned} \end{equation*}
    Se puede apreciar que no aparece \(C(t)\text{.}\) Esto ocurre siempre: se simplifica \(C(t)\) y sólo queda \(C'(t)\) en la ecuación diferencial.
    Resolvemos : \(C'(t) =\mathrm{e}^t\) para encontrar \(C(t)\) integrando directamente
    \begin{equation*} C(t)=\int \mathrm{e}^t dt=\mathrm{e}^t+K, \quad \ K \ \text{constant d'integració} \end{equation*}
    Por tanto, la solución general de la ecuación (3.4.4) es
    \begin{equation*} y(t)=C(t)t^4=(\mathrm{e}^t+K)t^4\quad \Longrightarrow\quad y(t)=(\mathrm{e}^t+K)t^4,\ K \ \text{constant} \end{equation*}
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