Convergencia de una Serie de Fourier. Teorema de Dirichlet. El fenómeno de Gibbs

Sección 1.5 Convergencia de una Serie de Fourier. Teorema de Dirichlet. El fenómeno de Gibbs

Hemos de distinguir claramente entre tres objetos:

Una función periódica \(f:\RR\to\RR\) con período \(T\)
Su serie de Fourier
\begin{equation*} S(f)(t) \ = \ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right). \end{equation*}
Una aproximación a la serie de Fourier con términos hasta orden \(N\)
\begin{equation*} S_N(f)(t) \ = \ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right) + \sum_{n=1}^N b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right). \end{equation*}

Subsección 1.5.1 Aproximación de funciones por series de Fourier

Tomaremos como ejemplo las dos funciones de Figura 1.5.1. La primera, \(f(x)\text{,}\) parece más complicada que la segunda, al tener curvas y picos, mientras que la segunda, \(g(x)\) parece más sencilla, al estar compuesta únicamente por trozos constantes.

Una función contínua definida por trozos — Figura 1.5.1. Una función contínua \(f(x)\) definida por trozos

Una onda rectangular discontínua — Figura 1.5.2. Una onda rectangular \(g(x)\) discontínua

¿Cuál de las dos funciones se podrá aproximar mejor por una serie de Fourier?

Para contestar a esta pregunta, miramos Figura 1.5.3 y Figura 1.5.4.

Aproximación de una función contínua por su serie de Fourier — Figura 1.5.3. Aproximación de la función contínua \(f(x)\) por su serie de Fourier hasta orden 3 (rojo) y orden 5 (azul)

Aproximación de una onda rectangular por su serie de Fourier — Figura 1.5.4. Aproximación de la onda rectangular discontínua \(g(x)\) por su serie de Fourier hasta orden 5 (rojo) y orden 13 (azul)

Podemos ver varias cosas en estas imágenes:

Observación 1.5.5.

Las aproximaciones de \(f(x)\) son de orden 3 y 5, las de \(g(x)\) de orden 5 y 13. A pesar de utilizar un orden mucho mayor, la aproximación a \(g(x)\) es claramente peor.
A pesar de que \(f(x)\) tiene unos picos, su aproximación por serie de Fourier es excelente incluso para un orden tan bajo como 5. El único lugar donde se aprecia una diferencia entre \(S_5(f)\) y \(f\) es cerca del pico, pero se ve que al aumentar el grado de la aproximación de 3 a 5, la aproximación mejora bastante. Parece razonable esperar entonces que la aproximación mejore aún más si pasamos a mayores órdenes.
A pesar de utilizar órdenes bastante altos, la aproximación de \(S_N(g)\) a \(g\) nunca es realmente buena. Es algo aceptable en el interior de los segmentos constantes, pero bastante mala cerca de los puntos de discontinuidad.
Curiosamente, todas las aproximaciones a \(g\) pasan por el mismo punto cuando la función \(g\) hace su salto.
En las aproximaciones de \(g\text{,}\) justo antes y después del salto, las aproximaciones parecen coger aire antes de lanzarse; y curiosamente, aunque las aproximaciones en la imágen son de órdenes muy dispares (5 y 13), la altura de estos excesos antes y después del salto parece ser la misma.

Todas las observaciones que hemos hecho en estos dos ejemplos se extienden a funciones generales. Investigamos primero en qué condiciones una serie de Fourier es capaz de reproducir la función.

Subsección 1.5.2 El Teorema de Dirichlet

Definición 1.5.6. Condiciones de Dirichlet.

Una función con valores reales \(f:\RR\to\RR\) y periódica con período \(T\) satisface las Condiciones de Dirichlet

en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_conditions

\(f\) es absolutamente integrable sobre un período. Eso quiere decir que
\begin{equation*} \int_{T} |f(x)| \dd x \ < \ \infty. \end{equation*}
Recordamos que \(\int_{T} |f(x)| \dd x \ = \ \int_{x_0}^{x_0+T} |f(x)| \dd x,\) donde la elección del valor \(x_0\) es arbitraria, ya que la integral valdrá lo mismo para todos los valores de \(x_0\) porque \(f\) es periódica con periodo \(T\text{.}\)
\(f\) es de variación acotada
²
en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation
. Ésta es una condición técnica que no trataremos aquí, y que todas las funciones que tratamos satisfacen.
En cualquier intervalo real acotado, por ejemplo un periodo, la función \(f\) tiene, como mucho, un número finito de puntos de discontinuidad, y los saltos que da en los puntos de discontinuidad no pueden ser infinitos.

Teorema 1.5.7. Teorema de Dirichlet
³
`en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_conditions`
.

Si \(f(x)\) satisface las condiciones de Dirichlet, entonces su serie \(S(f)(x)\) de Fourier es convergente para todo \(x\in\RR\text{,}\) y el valor de su serie en un punto concreto \(x_0\) es

\begin{align*} S(f)(x_0) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, x_0\right) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, x_0\right)\\ &= \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}. \end{align*}

Aquí hemos utilizado la siguiente notación para los límites laterales

⁴

en.wikipedia.org/wiki/One-sided_limit

de \(f\text{:}\)

\(f(x_0^-) \ = \ \lim_{y\nearrow x_0} f(y),\) es decir, \(y\) se aproxima a \(x_0\) por la izquierda,
\(f(x_0^+) \ = \ \lim_{y\searrow x_0} f(y)\) es decir, \(y\) se aproxima a \(x_0\) por la derecha.

Observación 1.5.8.

Si la función \(f(x)\) es contínua en un punto \(x_0\text{,}\) entonces los límites laterales de \(f\) en \(x_0\) coinciden,

\begin{equation*} f(x_0^-) \ = \ f(x_0^+) \ = \ f(x_0), \end{equation*}

y por tanto

\begin{equation*} S(f)(x_0) \ = \ \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2} \ = \ f(x_0). \end{equation*}

Eso quiere decir que en los puntos de continuidad de \(f\),

la aproximación de la serie de Fourier \(S(f)\) a \(f\) es perfecta,
y además, las aproximaciones \(S_N(f)\) a \(S(f)\) se hace cada vez mejores si aumentamos el grado \(N\) de la aproximación.

En cambio, en los puntos \(x_0\) donde \(f\) no es contínua,

el valor \(S(f)(x_0)\) de la serie de Fourier es el promedio de los límites laterales de \(f\) alrededor de \(x_0\text{,}\)
y lo mismo vale para los valores de todas las aproximaciones \(S_N(f)(x_0)\text{.}\)

Subsección 1.5.3 El fenómeno de Gibbs

Nos queda por explicar el último punto de Observación 1.5.5, que se conoce como el fenómeno de Gibbs

⁵

en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

. Miramos las aproximaciones del pulso rectangular de orden 5, 25 y 125 de Figura 1.5.9-Figura 1.5.11.

Figura 1.5.9. Aproximación
⁶
`en.wikipedia.org/wiki/File:Gibbs_phenomenon_10.svg`
con 5 harmónicos

Figura 1.5.10. Aproximación
⁷
`en.wikipedia.org/wiki/File:Gibbs_phenomenon_50.svg`
con 25 harmónicos

Figura 1.5.11. Aproximación
⁸
`en.wikipedia.org/wiki/File:Gibbs_phenomenon_250.svg`
con 125 harmónicos

Vemos que según aumenta el orden de la aproximación, el error disminuye en amplitud pero converge a una altura fija. En esta página de la Wikipedia

⁹

en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

se pueden encontrar los caĺculos que llevan a la siguiente afirmación:

Teorema 1.5.12. El fenómeno de Gibbs.

\(f(x)\) es una función contínua y diferenciable a trozos,
y en un punto de discontinuidad \(x_0\) tiene un salto de altura \(a\text{,}\)

entonces

para valores grandes de \(N\gg 0\text{,}\) la aproximación \(S_N(f)\) dará un salto de altura
\begin{equation*} 0.0895 \,\cdot\, a \end{equation*}
antes y después de \(x_0\text{.}\) El salto total de la aproximación \(S_N(f)\) la serie de Fourier será, por tanto, de unos \(18\%\) de la altura \(a\) del salto de \(f\text{.}\)
En el lugar de la discontinuidad, la aproximación \(S_N(f)\) la serie de Fourier converge al punto medio del salto, con total independencia del valor \(f(x_0)\) (si está siquiera definido).

En dos dimensiones, un efecto análogo al fenómeno de Dirichlet se llama un Artefacto de anillo

¹⁰

en.wikipedia.org/wiki/Ringing_artifacts

, compara Figura 1.5.13.

Figura 1.5.13. Imagen mostrando artefactos de anillo
¹¹
`es.wikipedia.org/wiki/Artefactos_de_anillo`
. Tres niveles en cada lado de la transición: el rebasamiento, el primer anillo y el segundo anillo (más débil).

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