Sección 4.3 Convolución
La definición de convolución de dos señales ya la vimos en el tema de transformada de Fourier ([cross-reference to target(s) "def-convolution" missing or not unique]), así como el teorema de convolución ([cross-reference to target(s) "thm-fourier-convolution" missing or not unique]) que es lo mismo para transformadas de Laplace.
Adaptamos este lenguaje a que las señales que tratamos con la transformada de Laplace sólo son no nulas para \(t\ge0\text{.}\)
Por dos señales \(x_1(t)\) y \(x_2(t)\) tales que
\begin{equation*}
x_1(t)=x_2(t)=0 \qquad\text{per a tot }t<0,
\end{equation*}
la convolución de \(x_1(t)\) y \(x_2(t)\) es la señal \(y(t)\) que viene dado por
\begin{equation*}
y(t)= x_1(t)* x_2(t)=\int_0^t x_1(\tau)x_2(t-\tau)\, d\tau.
\end{equation*}
Debido a que las dos señales se anulan por \(t<0\text{,}\) los límites de la integral salen 0 y \(t\) (en lugar de \(-\infty\) y \(+\infty\)). Recuerde que la convolución es conmutativa, es decir,
\begin{equation*}
x_1(t)* x_2(t)=x_2(t)* x_1(t)\text{.}
\end{equation*}
Teorema 4.3.1. Teorema de Convolución para señales en tiempo positivo.
Dadas señales \(x_1(t)\) y \(x_2(t)\) con transformadas de Laplace
\begin{align*}
X_1(s)\quad &\text{per a } \quad {\rm Re}(s)>\alpha,\\
X_2(s)\quad &\text{per a } \quad {\rm Re}(s)>\beta,
\end{align*}
Se verifica que :
\begin{equation*}
\mathrm{L}\left(x_1(t)* x_2(t)\right)= X_1(s)\, X_2(s)
\quad\text{per a } \qquad
{\rm Re}(s)> \max\{\alpha, \beta\}
\end{equation*}
Como ejemplo, calculamos la transformada de Laplace de la señal
\begin{equation*}
y(t)=\int_0^t \sin(t-\tau)\, \tau^4 d\tau.
\end{equation*}
Observamos que la integral es la convolución de las señales \(\sin(t)\) y \(t^4\)trampa \(t\ge 0\text{:}\)
\begin{equation*}
y(t)=\int_0^t \sin(t-\tau)\, \tau^4 d\tau= \sin(t)*t^4
\end{equation*}
Aplicando el teorema de convolución,
\begin{equation*}
\hspace{-2cm} Y(s) = \mathrm{L}\left(\sin(t)*t^4\right)=
\mathrm{L}\left(\sin(t)\right)\mathrm{L}\left(t^4\right)
\end{equation*}
se obtiene el producto de las transformadas de dos señales que tenemos en la mesa de TL:
\begin{equation*}
\hspace{-2cm} \mathrm{L}\left(t^4\right)=\frac{4!}{s^5} =\frac{24}{s^5}\, ; \qquad\quad
\mathrm{L}\left(\sin(t)\right)=\frac{1}{s^2+1}
\end{equation*}
Así pues :
\begin{equation*}
\hspace{-4cm} Y(s) =\frac{24}{s^5}\, \frac{1}{s^2+1}=
\frac{24}{s^5 (s^2+1)}
\end{equation*}
