Sección 1.1 De la realidad al modelo
Modelizar un tal proceso físico mediante una función \(f:\RR^m\to\RR^n\) de una (en el caso \(m=1\)) o varias (si \(m\ge 2\)) variables reales que devuelve un valor (\(n=1\)) real, o varios de ellos (\(n\ge2\)). Usando diferentes valores de \(m\) y \(n\) podemos modelizar, por ejemplo, los siguientes fenómenos:
| \(n=1\) | \(n=2\) | \(n=3\) | |
| \(m=1\) | evolución \(R:\RR\to\RR\text{,}\) \(t\mapsto R(t)\) del factor \(R\) de una epidemia en el tiempo |
trayectoria \(f:\RR\to\RR^2\text{,}\) \(t\mapsto (f_x(t), f_y(t))\) de una particula en el plano |
trayectoria \(f:\RR\to\RR^3\text{,}\) \(t\mapsto (f_x(t), f_y(t), f_z(t))\) de una particula en el espacio |
| \(m=2\) | valor de gris \(g:\RR^2\to\RR\text{,}\) \((x,y)\mapsto g(x,y)\) del píxel \((x,y)\) de una fotografía |
campo vectorial \(\vec f:\RR^2\to\RR^2\text{,}\) \((x,y)\mapsto (f_1(x,y), f_2(x,y))\text{:}\) a cada punto del plano se le asigna un vector |
foto de color\(f:\RR^2\to\RR^3\text{,}\) \((x,y)\mapsto (r(x,y), g(x,y), b(x,y))\text{:}\) a cada píxel se le asignan sus valores rojo, verde, y amarillo |
En esta asignatura, únicamente trataremos el caso más sencillo de \(n=m=1\text{,}\) es decir, de funciones reales de una variable real. Sin embargo, las técnicas que aprenderemos se pueden extender sin problemas a los demás casos.
La variable real, en esta asignatura, siempre será o bien \(t\text{,}\) para denotar procesos que dependen del tiempo, o bien \(x\text{,}\) para denotar procesos que dependen del espacio. Normalmente modelizaremos procesos en el tiempo, y por tanto usaremos la variable \(t\) y funciones \(f=f(t)\text{.}\)
En cuanto a notación, escribiremos \(f\) para una función si no nos importa de qué variable depende, y por ejemplo \(f(t)\) si depende del tiempo, o \(f(x)\) si depende de una coordenada espacial.
