Energía y relación de Parseval

Sección 1.7 Energía y relación de Parseval

Subsección 1.7.1 Energía, potencia media, densidad espectral de energía

Teorema 1.7.1. Relación de Parseval para series de Fourier.

Consideramos una señal \(x(t)\) de periodo \(T\) y los coeficientes complejos \(c_n\text{,}\) \(n\in\ZZ\text{,}\) de la serie de Fourier asociada a \(x(t)\text{.}\) Si la integral

\begin{equation*} \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \end{equation*}

es convergente, entonces se cumple que

\begin{equation*} \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \ = \ T \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2. \end{equation*}

En este teorema, \(\int_T \dd t\) quiere decir integrar sobre cualquier intervalo de longitud \(T\), por ejemplo cualesquiera de los intervalos \([0,T], [-T,0], [-T/2,T/2]\text{.}\)

Las expresiones que intervienen en este teorema reciben diversos nombres.

Definición 1.7.2. Energía, potencia media, densidad espectral de energía.

La integral

\begin{equation*} E\big(x(t);T\big) \ = \ \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \end{equation*}

(que es un número) es el valor de la energía de la señal \(x(t)\) en un intervalo de longitud el periodo \(T\text{.}\)

Anotamos que para señales periódicas no tiene sentido hablar de la energía total de la señal, que será siempre infinita. Por tanto, aquí no consideramos \(\int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 \dd t.\)
La integral
\begin{equation*} \overline{P}\big(x(t); T\big) \ = \ \frac{1}{T} \int_T \left|x(t)\right|^2 \dd t \ = \ \frac{1}{T}\cdot E\big(x(t);T\big). \end{equation*}
es la potencia media de la señal.
El número
\begin{align*} E_{\spec}\big(x(t); T\big) & \ = \ T \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2\\ & \ = \ T \left( \left(\frac{a_0}{2}\right)^2 + \sum_{n=1}^\infty 2\cdot\frac{a_n^2 + b_n^2}{4} \right)\\ & \ = \ T \cdot \frac{a_0^2}{4} + T \cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} \end{align*}
es la energía espectral total. Hemos utilizado las fórmulas (1.4.9), (1.4.10), (1.4.11) para convertir los coeficientes complejos a los reales.
La sucesión de números \(T\, |c_n|^2\) para \(n = 0, \pm1, \pm2, \pm3, \dots\text{,}\) es la densidad espectral de energía de la señal \(x(t)\text{.}\) Muestra como está dispersada la energía de la señal en función de la frecuencia angular \(\omega\text{:}\) cada \(n\) se corresponde con la frecuencia \(\omega_n = n \omega_0\text{,}\) siendo \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) la frecuencia fundamental de la señal.

Nota 1.7.3. Efecto de las diferentes convenciones.

Recordamos que hay dos convenciones diferentes para el coeficiente constante de la serie de Fourier de una función \(f:\RR\to\RR\text{:}\)

\begin{align*} S_f(\omega) &\ = \ \widetilde{a_0} +\sum_{n\ge 1} a_n\cos(n \omega_0 t) + b_n\sin(n \omega_0 t)\\ &\ = \ \frac{a_0}{2} +\sum_{n\ge 1} a_n\cos(n \omega_0 t) + b_n\sin(n \omega_0 t) \end{align*}

¿Cómo afecta eso al cálculo de la energía contenida en la señal?

Supongamos a modo de ejemplo que

\begin{equation*} S_f(\omega) \ = \ 8 + 3\cos(3\omega_0t) - 4\cos(5\omega_0 t) + 2\sin(5\omega_0 t) + \dots . \end{equation*}

En la primera convención,

\begin{equation*} \widetilde{a_0} \ = \ 8, \end{equation*}

mientras que en la segunda convención,

\begin{equation*} \frac{a_0}{2} \ = \ 8 \quad\Rightarrow\quad a_0 \ = \ 16. \end{equation*}

Pero para calcular la energía, el resultado es el mismo:

\begin{align*} \frac{\text{energía}}{T} & \ = \ \text{cuadrado del coeficiente constante al cuadrado}\\ & \qquad + (1/2) \text{ suma sobre los demás coeficientes al cuadrado}\\ & \ = \ 8^2 + \frac12\left( \underbrace{3^2}_{\text{tercer armónico}} + \underbrace{\left(\sqrt{4^2 + 2^2}\right)^2}_{\text{quinto armónico}} + \cdots\right)\\ & \ = \ \widetilde{a_0}^2 + \frac12\Big(3^2 + 4^2 + 2^2 + \cdots\Big)\\ & \ = \ \left(\frac{a_0}{2}\right)^2 + \frac12\Big(3^2 + 4^2 + 2^2 + \cdots\Big). \end{align*}

La única diferencia consiste en si llamamos \(\widetilde{a_0}\) ó \(a_0/2\) al coeficiente constante \(8\) de la serie.

Subsección 1.7.2 Aplicación: Aproximación en términos de energía

Una de las aplicaciones de la identidad de Parseval consiste en evaluar en términos energéticos una suma parcial de la serie de Fourier (o unos cuantos términos de la serie de Fourier) como aproximación de la señal \(x(t)\text{.}\)

Supongamos que consideramos la suma parcial de Fourier de orden \(k\)

\begin{equation*} S_k(t) \ = \ \sum_{n=-k}^k c_n\, e^{\ii \omega_n t}, \end{equation*}

que es una aproximación de la señal original:

\begin{equation*} S_k(t) \ \approx\ x(t). \end{equation*}

Nuestra meta es valorar esta aproximación en términos de energía, utilizando la identidad de Parseval. Para ello, hacemos la suma de los términos \(|c_n|^2\) que intervienen en la aproximación \(S_k(t)\) y multiplicamos la suma por el periodo \(T\text{:}\)

\begin{equation*} E_k(t) \ := \ E_{\spec}\big(S_k(t);T\big) \ = \ T\sum_{n=-k}^k |c_n|^2. \end{equation*}

Esta expresión representa la energía espectral de la aproximación, y la comparamos con la energía espectral total.

Pero por la identidad de Parseval sabemos que la energía espectral total es igual a la energía total en un periodo, y lo que comparamos es la energía espectral de la aproximación con la energía total en un periodo. Obtenemos por tanto:

Definición 1.7.4. Proporción de energía en la aproximación.

Sea \(S_k(t) \ = \ \sum_{n=-k}^k c_n\, e^{\ii \omega_n t}\) la suma parcial de Fourier de orden \(k\) de la señal \(x(t)\text{.}\)

Entonces la proporción de la energía de \(x(t)\) que reside en la aproximación \(S_k(t)\) es

\begin{align*} \varepsilon_{k}\big(x(t)\big) & \ = \ \frac{T\sum_{n=-k}^k |c_n|^2}{\int_T |x(t)|^2\dd t} \ = \ \frac{E_k(t)}{\overline{E}\big(x(t);T\big)} \end{align*}

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