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Mètodes Matemàtics 3: Versión 2022–23

Sección 2.3 Convolución

La convolución es una operación que combina dos señales \(x(t),y(t)\) y produce una tercera señal \((x\star y)(t)\) a partir de una integral de \(x(t)\) e \(y(t)\text{.}\)

Definición 2.3.1. Convolución de funciones.

Sean \(x,y:\RR\to\RR\text{,}\) \(t\mapsto x(t)\text{,}\) \(t\mapsto y(t)\) dos señales. La convolución de \(x(t)\) e \(y(t)\) es
\begin{equation} (x\star y)(t) \ := \ \big(x(t)\star y(t)\big)(t) \ := \ \int_\RR x(\xi)y(t-\xi)\dd \xi.\tag{2.3.1} \end{equation}

Observación 2.3.2. Forma alternativa de la convolución.

La convolución también se puede expresar como
\begin{equation} (x\star y)(t) \ = \ \int_\RR x(t-\xi) y(\xi)\dd\xi.\tag{2.3.2} \end{equation}
Para verlo, basta substituir \(\eta=t-\xi\text{,}\) \(\dd\eta = -\dd\xi\) en (2.3.1). Puesto que el lado derecho de (2.3.2) es lo mismo que \((y\star x)(t)\) evaluado según (2.3.1), deducimos la conmutatividad de la convolución:
\begin{equation*} (x\star y)(t) \ = \ (y\star x)(t). \end{equation*}
Para aprenderse las formulas (2.3.1) y (2.3.2), observamos que la variable de integración \(\xi\) aparece con signo distinto en \(x()\) e \(y()\text{,}\) pero la \(t\) es siempre positiva.

Observación 2.3.3. Interpretación dinámica.

La fórmula (2.3.1) se puede interpretar de la siguiente manera.
  1. La convolución \(x\star y\) depende de un parámetro \(t\text{.}\)
  2. ¿Cómo se calcula el valor \((x\star y)(t)\) de \(x\star y\) para este parámetro \(t\text{?}\)
  3. Respuesta (compara la primera columna de Figura 2.3.4):
    1. Se dibuja la gráfica de \(y\) en un sistema de coordenadas, donde uno de los ejes se llama \(\xi\text{.}\) Esta es la gráfica \(y(\xi)\text{.}\)
    2. En el mismo sistema de coordenadas, se dibuja la gráfica de \(x(\xi)\text{,}\) pero reflejada en el eje vertical, lo cual da \(x(-\xi)\text{,}\) y trasladada \(t\) unidades hacia la izquierda. Esta es la gráfica \(x(t-\xi)\text{.}\)
    3. Se fija únicamente en la parte donde tanto \(y(\xi)\) como \(x(t-\xi)\) no se anulan.
    4. El valor \((x\star y)(t)\) es el valor de integral del producto \(x(t-\xi)y(\xi)\text{.}\)
Un interpretación análoga, con el papel de \(x\) e \(y\) intercambiado, se puede hacer para (2.3.2).
Convolución, correlación cruzada y autocorrelación de dos funciones.
Figura 2.3.4. Convolución, correlación cruzada y autocorrelación de dos funciones. Imagen de Cmglee
 1 
//commons.wikimedia.org/wiki/User:Cmglee
, CC BY-SA 3.0
 2 
creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0
, Link
 3 
commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=20206883

Observación 2.3.5.

La correlación cruzada y la autocorrelación son conceptos estrechamente relacionados con la convolución, compara la segunda y la tercera columna de Figura 2.3.4. Sin embargo, no los trabajaremos en esta asignatura.

Ejemplo 2.3.6. Convolución de un pulso rectangular y un pulso triangular.

Para entender con más detalle la Figura 2.3.4, consideramos el pulso rectangular
\begin{equation*} x(t) \ = \ \begin{cases} 1 & \text{ si } 0\le t\le 1 \\ 0 & \text{para los demás valores de } t \end{cases}, \end{equation*}
y el pulso triangular
\begin{equation*} y(t) \ = \ \begin{cases} 1-t & \text{ si } 0\le t\le 1 \\ 0 & \text{para los demás valores de } t \end{cases}. \end{equation*}
La convolución de \(x(t)\) e \(y(t)\) es
\begin{align*} (x\star y)(t) & = \int_\RR x(\xi)y(t-\xi)\dd \xi\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left( \begin{cases} 1 & \text{ si } \xi\in [0,1] \\ 0 & \text{ si } \xi\notin [0,1] \end{cases} \right) \left( \begin{cases} 1-t+\xi & \text{ si } t-\xi \in [0,1] \\ 0 & \text{ si } t-\xi \notin [0,1] \end{cases} \right) \dd\xi. \end{align*}
Para simplificar esta integral, trabajamos primero el segundo factor. Como
\begin{align*} t-\xi & \ \in\ [0,1]\\ \ \iff \ \xi - t & \ \in \ [-1,0]\\ \ \iff \ \xi &\ \in \ t + [-1,0] \ = \ [t-1,t] , \end{align*}
tenemos
\begin{equation*} (x\star y)(t) \ = \ \int_{-\infty}^\infty \left( \begin{cases} 1 & \text{ si } \xi\in [0,1] \\ 0 & \text{ si } \xi\notin [0,1] \end{cases} \right) \left( \begin{cases} 1-t+\xi & \text{ si } \xi \in [t-1,t] \\ 0 & \text{ si } \xi \notin [t-1,t] \end{cases} \right) \dd\xi. \end{equation*}
El primer factor se anula si \(\xi\notin[0,1]\text{,}\) y el segundo si \(\xi\notin[t-1,t]\text{.}\)
  1. Si \([0,1]\cap[t-1,t]=\emptyset\text{,}\) es decir si estos dos intervalos son disjuntos, para cualquier valor de \(\xi\) habrá uno de los dos factores que se anula, y la integral será 0. Eso pasa para
    \begin{equation*} t < 0 \qquad \text{y} \qquad t > 2. \end{equation*}
  2. En cambio, para
    \begin{equation*} 0 \ \le \ t \ \le \ 2 \end{equation*}
    estos dos intervalos se solapan. Más precisamente,
    \begin{equation*} [0,1] \cap [t-1,t] \ = \ \begin{cases} [0,t] & \text{para } t\in[0,1], \\ [t-1,1] & \text{para } t\in[1,2]. \end{cases} \end{equation*}
Por tanto,
\begin{align*} (x\star y)(t) & = \begin{cases} \int_0^t 1\cdot (1-t+\xi) \dd \xi & \text{ si } t\in[0,1], \\ \int_{t-1}^1 1\cdot (1-t+\xi) \dd \xi & \text{ si } t\in[1,2] \end{cases}\\ &= \begin{cases} \left. (1-t)\xi + \tfrac12 \xi^2 \right|_{\xi=0}^{\xi=t} & \text{ si } t\in[0,1], \\ \left. (1-t)\xi + \tfrac12 \xi^2 \right|_{\xi=t-1}^{\xi=1} & \text{ si } t\in[1,2] \end{cases}\\ &= \begin{cases} (1-t)t + \tfrac12 t^2 & \text{ si } t\in[0,1], \\ (1-t) + \tfrac12 - (1-t)(t-1) - \tfrac12 (t-1)^2 & \text{ si } t\in[1,2] \end{cases}\\ &= \begin{cases} t-\tfrac12 t^2 & \text{ si } t\in[0,1], \\ \tfrac32 - t + \tfrac12 (t-1)^2 & \text{ si } t\in[1,2]. \end{cases} \end{align*}
En la primera columna de Figura 2.3.4 podemos ver una representación gráfica de esta función. Comprobamos que, efectivamente, \((x\star y)(0) = (x\star y)(2) = 0\) y \((x\star y)(1)=\tfrac12\text{.}\)
Aparte de su parentesco con la correlación cruzada y la autocorrelación, la razón por qué la convolución juega un papel muy importante en la teoría de la transformada de Fourier es que la transformada de Fourier transforma la convolución en la multiplicación, y vice versa.

Demostración.

La demostración, por una parte, no es del todo trivial, y por otra parte tampoco la utilizaremos en esta asignatura. Por tanto, nos remitimos a la Wikipedia
 4 
en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem#Proof
.
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