Para preparar el próximo capítulo, hablaremos aqui de una herramienta matemática útil para representar entidades que no tienen extensión temporal o espacial, es decir que están concentradas en un único punto (del tiempo o del espacio).
Un motivación puede venir de las partículas elementales. Sabemos que la materia del universo que conocemos está hecha por partículas elementales, como electrones, protones, muones, etc.
Nota2.4.1.
Cuando hablamos de la materia conocida nos referimos al hecho que según el consenso científico actual, solamente el 5% del universo está hecho de materia conocida; el 20% está compuesto de materia oscura 1
. En estos momentos, no tenemos ninguna idea de qué están compuestos ni la materia ni la energía oscura. Quizás incluso han oído que la inmensa mayoría de la materia conocida (es decir, este 5% sobre el cual tenemos alguna idea) está hecha sólo de tres partículas elementales, los electrones por un lado, y los quarks 3
en.wikipedia.org/wiki/Quark
up y down que componen, entre otros, los protones y neutrones.
Según las más sofisticadas medidas hechas hasta ahora, los electrones no tienen ninguna extensión en el espacio, es decir, no hemos conseguido atribuirles, hasta los límites de precisión que conseguimos alcanzar, ningun grosor ni longitud. Toda la carga eléctrica de un electron parece estar, por tanto, concentrada en un único punto. (Ojo que estamos dejando de lado muchas consideraciones de la mecánica cuántica.)
Para modelizar una partícula punto así, ubicada en el lugar \((x_0,y_0,z_0)\) por ejemplo, nos gustaría trabajar con una abstracción matemática para su carga eléctrica \(q(x,y,z)\) que verifique las siguientes propiedades:
Fuera del lugar de la partícula no hay ninguna carga:
La carga total en el espacio es igual a la carga \(q_e\) del electron:
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^\infty
\int_{-\infty}^\infty
\int_{-\infty}^\infty
q(x,y,z)
\dd x\dd y \dd z
\ = \
q_e.
\end{equation*}
Desgraciadamente, no existe ninguna función matemática \(q(x,y,z)\) así. La razón es que \(q(x,y,z)\) sólo es distinto de cero en un punto, el punto \((x_0,y_0,z_0)\) donde está ubicada la partícula, pero la integral sobre una función que sólo se distingue de 0 en un único punto es cero.
Sin embargo, disponer de una abstracción matemática así sería tan útil que el físico Paul Dirac 4
en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac
fue y trabajó con ella, sin importarle demasiado si estaba matemáticamente bien definida. Los matemáticos, al ver el éxito y la utilidad de esta notación, se pusieron a crear una teoría capaz de darle soporte, la teoría de distribuciones 5
en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathematics)
.
Adaptado al caso de una única dimensión (de espacio o de tiempo), llegamos a trabajar con la siguiente definición:
Definición2.4.2.
La distribución delta de Dirac, centrada en \(x_0\in\RR\text{,}\) es una función generalizada o distribución\(\delta_{x_0}(x)\) que cumple las siguientes condiciones:
de la distribución delta de Dirac mediante una linea y una punta de flecha. La altura de la flecha normalmente significa el valor de una constante multiplicativa que da el área debajo de la función. También existe la convención de escribir el área al lado de la flecha.
para la distribución de Dirac centrada en \(x_0=0\text{.}\) De esta manera, podemos convertir la distribución delta de Dirac centrada en \(x_0\) en la distribución centrada en 0:
Para ver que esta conversión es válida, sólo hace falta preguntarse en qué puntos ambas distribuciones no son cero:
La izquierda, \(\delta(x-x_0)\text{,}\) es no nula únicamente si \(x-x_0=0\text{;}\)
La derecha, \(\delta_{x_0}(x)\text{,}\) es no nula únicamente si \(x=x_0\text{.}\)
Pero estas condiciones expresan lo mismo.
Una consecuencia de estas definiciones es la siguiente propiedad:
Teorema2.4.5.Propiedad del filtraje ("sifting").
Sea \(f(x):\RR\to\RR\) una función y \(\delta_{x_0}(x)\) la distribución delta de Dirac, centrada en \(x=x_0\text{.}\) Entonces
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^\infty
f(x)\,\delta_{x_0}(x) \dd x
\ = \
f(x_0).
\end{equation*}
Demostración.
Aunque no llega a ser una demostración formal, una justificación intuitiva de esta relación es que
\(\delta_{x_0}(x)\) es cero para cualquier \(x\ne x_0\text{,}\) por tanto para \(x\ne x_0\) no hay contribución a la integral;
en un entorno muy próximo a \(x=x_0\text{,}\) la función \(f(x)\) es casi constante, y la podemos suponer constante con valor \(f(x_0)\text{.}\) Pero si la función es constante, podemos sacar \(f(x_0)\) fuera de la integral, y nos queda
Para nosotros es importante este hecho porque nos impide calcular la enerǵia contenido en una señal que contiene una distribución delta de Dirac, tal y como detallaremos a continuación en la Nota 2.5.5.
