Para pasar de la serie trigonométrica a la seria compleja, primero hemos de expresar \(a_n\) y \(b_n\) como
\begin{align*}
a_n &= A_n \cos\varphi_n,\\
b_n &= A_n \sin\varphi_n.
\end{align*}
Eso se corresponde a expresar el número complejo \(a_n+\ii b_n\) en la forma polar. La respuesta es
\begin{align*}
A_n &= \sqrt{a_n^2 + b_n^2},\\
\varphi_n &= \arctan_2(b_n, a_n).
\end{align*}
Ahora usamos la identidad
\begin{align*}
\cos\varphi_n \cos\omega_n t +
\sin\varphi_n \sin\omega_n t
&=
\cos(\varphi_n - \omega_n t)\\
&=
\cos(\omega_n t - \varphi_n)
\end{align*}
con \(A_n\cos\varphi_n = a_n\) , \(A_n\sin\varphi_n = b_n\) , y \(\beta = \omega_n t\) :
\begin{align}
f(t)
&=
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
\left(
a_n
\cos\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right) +
b_n
\sin\left(\frac{2\pi n}{T}\, t\right)
\right)\notag\\
&=
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
\left(
A_n\cos\varphi_n\cos\omega_n t
+
A_n\sin\varphi_n\sin\omega_n t
\right)\notag\\
&=
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
A_n \cos(\omega_n t - \varphi_n).\tag{1.4.12}
\end{align}
La identidad
(1.4.12) se llama la
forma de amplitud y fase de la serie Fourier, pero no la trabajaremos más.
Ahora aplicamos la identidad de Euler,
\begin{equation}
e^{\ii \varphi}
\ = \
\cos\varphi + \ii \sin\varphi.\tag{1.4.13}
\end{equation}
Reemplazar
\(\varphi\) por
\(-\varphi\) en
(1.4.13) da
\begin{equation}
e^{-\ii \varphi}
\ = \
\cos(-\varphi) + \ii \sin(-\varphi)
\ = \
\cos\varphi - \ii \sin\varphi.\tag{1.4.14}
\end{equation}
\begin{equation*}
e^{\ii\varphi} + e^{-\ii\varphi}
\ = \
2\cos\varphi,
\end{equation*}
de donde deducimos que
\begin{equation}
\cos\varphi
\ = \
\frac12\left(
e^{\ii\varphi} + e^{-\ii\varphi}
\right).\tag{1.4.15}
\end{equation}
\begin{equation*}
\sin\varphi
\ = \
\frac{1}{2\ii}\left(
e^{\ii\varphi} - e^{-\ii\varphi}
\right)
\ = \
-\frac{\ii}{2}\left(
e^{\ii\varphi} - e^{-\ii\varphi}
\right);
\end{equation*}
pero esta fórmula no la usaremos de momento.
Ahora queremos substituir
(1.4.15) en
(1.4.12). La parte esencial de esta substitución es la que afecta al término
\(\cos(\omega_n t -\varphi_n)\text{.}\) Escribiremos
\(\exp(\alpha)\) para
\(e^\alpha\) para que las fórmulas salgan más legibles. Empezamos con
(1.4.15), y usaremos también la propiedad fundamental
\(\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\) de la función exponencial:
\begin{align*}
2
\cos (\omega_n t - \varphi_n)
&=
\exp(\ii(\omega_n t - \varphi_n))
+
\exp(-\ii(\omega_n t - \varphi_n))\\
&=
\exp(\ii\omega_n t - \ii\varphi_n)
+
\exp(-\ii\omega_n t + \ii\varphi_n)\\
&=
\exp(\ii\omega_n t) \exp( - \ii\varphi_n)
+
\exp(-\ii\omega_n t) \exp( + \ii\varphi_n)\\
&=
\exp(\ii\omega_n t) \exp( - \ii\varphi_n)
+
\exp(\ii\omega_{-n} t) \left(\exp(- \ii\varphi_n)\right)^\star.
\end{align*}
En el último paso hemos usado que
\begin{equation*}
\omega_{-n}
\ = \
\frac{2\pi (-n)}{T}
\ = \
-\frac{2\pi n}{T}
\ = \
-\omega_n
\end{equation*}
y que \(\exp(\ii\varphi_n)\) es el valor complejo conjugado de \(\exp(-\ii\varphi_n)\text{.}\) Finalmente, hemos denotado el complejo conjugado de un número complejo \(a\) por \(a^\star\text{.}\)
\begin{align*}
f(t)
&=
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
A_n
\cos(\omega_n t - \varphi_n)\\
&=
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
\frac{A_n}{2}
\left[
\exp(\ii\omega_n t) \exp( - \ii\varphi_n)
+
\exp(\ii\omega_{-n} t) \left(\exp(- \ii\varphi_n)\right)^\star
\right]\\
&=
\underbrace{
\frac{a_0}{2}
}_{=:\ c_0}
+
\sum_{n=1}^\infty
\left[
\underbrace{
\left(
\frac{A_n}{2}
e^{- \ii\varphi_n}
\right)
}_{=:\ c_n}
e^{\ii\omega_n t}
+
\underbrace{
\left(
\frac{A_n}{2}
e^{- \ii\varphi_n}
\right)^\star
}_{=:\ c_{-n}}
e^{\ii\omega_{-n} t}
\right]\\
&=
c_0
+
\sum_{n=1}^{\infty}
c_n
e^{\ii\omega_n t}
+
\sum_{n=1}^{\infty}
c_{-n}
e^{\ii\omega_{-n} t}\\
&=
c_0
+
\sum_{n=1}^{\infty}
c_n
e^{\ii\omega_n t}
+
\sum_{n=-\infty}^{-1}
c_{n}
e^{\ii\omega_{n} t}\\
&=
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
c_n
e^{\ii\omega_n t}.
\end{align*}
