Definición 3.5.1.
La ecuación característica (EC) asociada a (3.5.3) se obtiene sustituyendo- \(y''\) para \(\lambda^2\text{,}\)
- \(y'\) para \(\lambda\)
- y \(y\) de %1
Sección 3.5 EDOs lineales con coeficientes constantes
Las ecuaciones lineales que estudiaremos son las que hemos definido antes en (3.4.1), pero donde los coeficientes \(a_k(t)\) no son funciones cualesquiera de la variable \(t\text{,}\) sino son sólo constantes:
\begin{equation*}
a_k \in R\qquad \text{per a } k=1,2,\dots,n.
\end{equation*}
De esta forma, la ecuación (3.4.1) se simplifica en
\begin{equation}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t) =f(t) \quad \text{on}\ a_i\in \mathbb{R}\tag{3.5.1}
\end{equation}
Subsección 3.5.1 Estructura de la solución de una EDO lineal
La solución general de una ecuación lineal siempre puede expresarse
\begin{equation*}
y(t)=y_h(t)+y_p(t)
\end{equation*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(y_h(t)\) es la solución general de la ecuación homogénea del EDO lineal y \(y_p(t)\) es una solución particular cualquiera del EDO lineal (ecuación no homogénea).
Veamos cómo identificar esta estructura en el ejemplo anterior, que trataba la ecuación (3.4.4),
\begin{equation*}
y' -\frac{4}{t}\, y=t^4\mathrm{e}^t .
\end{equation*}
La solución general puede expresarse de esta manera:
\begin{equation*}
y(t)=(\mathrm{e}^t+K)t^4= \underbrace{K\,t^4}_{y_h(t)} +\underbrace{\mathrm{e}^t t^4}_{y_p(t)}
\end{equation*}
En esa expresión,
- \(\displaystyle y_h(t)= K\,t^4\ \) es la solución general de la ecuación homogénea (calculada antes)
- \(\displaystyle y_p(t)= \mathrm{e}^t t^4\ \) es una solución particular del EDO (se obtiene de la solución general tomando \(K=0\))
Esta estructura de las soluciones es común a cualquier EDO lineal. Por tanto, la estructura de la solución de la ecuación (3.5.1) es
\begin{equation*}
y(t)=y_h(t)+y_p(t)
\end{equation*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(y_h(t)\) es la solución general de la ecuación homogénea del EDO lineal
\begin{equation*}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=0
\end{equation*}
y \(y_p(t)\) es una solución particular cualquiera de la ecuación no homogénea (3.5.1).
Estudiaremos primero cómo encontrar la solución general de las ecuaciones homogéneas y después cómo calcular una solución particular de las no homogéneas para ciertas funciones \(f(t)\text{.}\)
Subsección 3.5.2 EDOs lineales con coeficientes constantes homogéneas
Consideramos la expresión general de una EDO lineal con coeficientes constantes homogénea de orden \(n\text{:}\)
\begin{equation}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t) =0 \quad \text{on}\ a_i\in \mathbb{R}\tag{3.5.2}
\end{equation}
Las soluciones de la ecuación (3.5.2) forman un espacio vectorial de dimensión \(n\text{.}\) Por tanto, hay que buscar \(n\) soluciones de (3.5.2) que sean linealmente independientes. Una combinación lineal de estas soluciones es la solución general de la ecuación homogénea (3.5.2).
Si tenemos \(y_1(t)\text{,}\) \(y_2(t)\text{,}\) \(\cdots\text{,}\) \(y_n(t)\text{,}\) soluciones de (3.5.2) que son linealmente independientes, entonces
\begin{equation*}
\lbrace y_1(t), y_2(t), \cdots, y_n(t)\rbrace
\end{equation*}
\begin{equation*}
y(t)=C_1\, y_1(t)+C_2\, y_2(t)+ \cdots + C_n\, y_n(t)
\end{equation*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(C_1\text{,}\) \(C_2\text{,}\) \(\cdots\text{,}\) \(C_n\text{,}\) son las \(n\) constantes arbitrarias de la solución (\(n\) Grados de libertad .
Subsección 3.5.3 La ecuación característica
A continuación estudiaremos cómo encontrar estas \(n\) funciones .
- primero con las ecuaciones de orden 2
- y después generalizaremos a ecuaciones de orden mayor que 2.
Subsubsección 3.5.3.1 Ecuaciones de orden 2
Consideramos el EDO lineal con coeficientes constantes homogénea de orden 2
\begin{equation}
a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t)=0.\tag{3.5.3}
\end{equation}
Así la ecuación característica asociada a la ecuación homogénea es
\begin{equation*}
a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda +a_0 =0,
\end{equation*}
que es una ecuación de grado 2.
Resolvemos la EC y obtenemos sus dos raíces \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\) que pueden ser reales y diferentes, real y doble o complejas (y conjugadas). Esta casuística determina cómo determinar la solución general de la ecuación.
-
Raíces de la EC reales y diferentes: \(\lambda_1\neq\lambda_2\text{,}\) con \(\lambda_1,\lambda_2\in\RR\)Las funciones\begin{equation*} y_1(t)=\mathrm{e}^{\lambda_1 t} \quad \text{i}\quad y_2(t)=\mathrm{e}^{\lambda_2 t} \end{equation*}son soluciones de (3.5.3) linealmente independientes. Por tanto,\begin{equation*} \lbrace \mathrm{e}^{\lambda_1 t}, \mathrm{e}^{\lambda_2 t} \rbrace \end{equation*}\begin{equation*} y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{\lambda_1 t} + C_2\,\mathrm{e}^{\lambda_2 t}\qquad\quad\text{per a constants } C_1, C_2 \in \mathbb{R}. \end{equation*}
-
Raíces de la EC real y doble: \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda\)Las funciones\begin{equation*} y_1(t)=\mathrm{e}^{\lambda t} \quad \text{i}\quad y_2(t)=t\mathrm{e}^{\lambda t} \end{equation*}son soluciones de (3.5.3) linealmente independientes,\begin{equation*} \lbrace \mathrm{e}^{\lambda t}, t \mathrm{e}^{\lambda t} \rbrace \end{equation*}\begin{equation*} y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{\lambda t} + C_2\,t \mathrm{e}^{\lambda t}\qquad\quad\text{per a constants } C_1, C_2 \in \mathbb{R} \end{equation*}
-
Raíces de la EC complejas (no reales) y conjugadas: \(\lambda_1,\lambda_2=\alpha \pm \beta j\)Las funciones\begin{equation*} y_1(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t) \quad \text{i}\quad y_2(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \end{equation*}son soluciones de (3.5.3) linealmente independientes,\begin{equation*} \lbrace \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t), \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \rbrace \end{equation*}\begin{equation*} y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t) + C_2\, \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \qquad\quad\text{per a constants } C_1, C_2 \in \mathbb{R} \end{equation*}
Ejemplo 3.5.2. \(y''-5y'+6y=0\).
La ecuación característica es \(\lambda^2-5\lambda +6=0\text{,}\) y sus raíces son \(\lambda =2, 3\text{.}\)
Son reales y diferentes, por tanto, la base de soluciones del EDO es \(\displaystyle\lbrace \mathrm{e}^{2t}, \mathrm{e}^{3t}\rbrace\text{,}\)
y la solución general: \(\displaystyle y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{2 t} + C_2\, \mathrm{e}^{3t},\quad
C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Ejemplo 3.5.3. \(y''-6y'+9y=0\).
La ecuación característica es \(\lambda^2-6\lambda +9=0\text{.}\) La resolvemos y sale \(\lambda= 3\text{,}\) por tanto, tenemos la raíz real \(\lambda=3\) doble
La base de soluciones del EDO es \(\displaystyle\lbrace \mathrm{e}^{3t}, t \mathrm{e}^{3t}\rbrace\text{,}\)
y la solución general: \(\displaystyle y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{3 t} + C_2\,t \mathrm{e}^{3t},\quad
C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Ejemplo 3.5.4. \(y''-2y'+10y=0\).
La ecuación característica es \(\lambda^2-2\lambda +10=0\text{,}\) y sus raíces son
\begin{equation*}
\lambda = \frac{2\pm \sqrt{-36}}{2}=1\pm 3\sqrt{-1}=1\pm 3 j
\end{equation*}
Son complejas y conjugadas, por tanto, la base de soluciones del EDO es
\begin{equation*}
\lbrace \mathrm{e}^{t} \cos(3t),
\mathrm{e}^{t}\sin(3t)\rbrace ,
\end{equation*}
y la solución general: \(\displaystyle y(t)=C_1\,\mathrm{e}^{t} \cos(3t) +
C_2\,\mathrm{e}^{t}\sin(3t),\quad
C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Subsubsección 3.5.3.2 Ecuaciones de orden superior
Algunos ejemplos:
Ejemplo 3.5.5. \(y'''-2y''+y'=0\).
Es de orden 3, por tanto, la base de soluciones de la ecuación estará formada por 3 funciones que saldrán del análisis de las raíces de la ecuación característica será ahora de grado 3.
EC \(\lambda^3-2\lambda^2 +\lambda=0\text{.}\)
Las 3 raíces de la EC son
\begin{equation*}
\lambda^3-2\lambda^2 +\lambda=0\ \Longrightarrow \
\lambda\left(\lambda^2-2\lambda +1\right)=0 \ \Longrightarrow\
\begin{cases} \lambda =0\\
\lambda^2-2\lambda +1=0\ \Longrightarrow \ \lambda=1 \ \text{doble}
\end{cases}
\end{equation*}
La raíz real simple \(\lambda =0\) contribuye con la función \(\mathrm{e}^{0 t}=\mathrm{e}^{0}=1\)
La raíz real doble \(\lambda =1\) contribuye con 2 funciones: \(\mathrm{e}^{1 t}=\mathrm{e}^{t}\) y \(t \mathrm{e}^{1 t}=
t \mathrm{e}^{t}\)
Así, la base de soluciones del EDO es \(\displaystyle\lbrace 1, \mathrm{e}^{t}, t \mathrm{e}^{t}\rbrace\text{,}\)
y la solución general: \(\displaystyle y(t)=C_1+C_2\,\mathrm{e}^{t} + C_3\,t \mathrm{e}^{t},\quad
C_1, C_2, C_3 \in \mathbb{R}\)
Ejemplo 3.5.6. \(y^{iv}+2y''+y=0\).
Es de orden 4, por tanto, la base de soluciones de la ecuación estará formada por 4 funciones que saldrán del análisis de las raíces de la ecuación característica será ahora de grado 4.
EC \(\lambda^4+2\lambda^2 +1=0\text{.}\)
Resolvemos la ecuación característica haciendo el cambio \(\displaystyle r=\lambda^2\) para convertirla en una ecuación de segundo grado fácil de resolver:
\begin{equation*}
r^2+2r +1\ \Longrightarrow \ r=-1 \ \text{doble}
\end{equation*}
Deshaciendo el cambio obtenemos las 4 raíces de la EC:
\begin{equation*}
\lambda^2=-1\ \Longrightarrow \ \lambda=\pm \sqrt{-1}=\pm j
=0\pm j \ \text{doble}
\end{equation*}
Tenemos 2 raíces complejas dobles. Las 4 funciones de la solución corresponden a que son complejas:
\begin{equation*}
\mathrm{e}^{0t}\cos(1t)=\mathrm{e}^{0}\cos(t)=\cos(t);\qquad
\mathrm{e}^{0t}\sin(1t)=\mathrm{e}^{0}\sin(t)=\sin(t)
\end{equation*}
y dobles: \(\ t\cos(t);\ t\sin(t)\text{.}\)
Así, la base de soluciones del EDO es \(\displaystyle\lbrace \cos(t), \sin(t), t\cos(t), t\sin(t) \rbrace\text{,}\)
y la solución general:
\begin{equation*}
y(t)=C_1\cos(t)+C_2 \sin(t)+ C_3\, t\cos(t)+C_4\, t\sin(t) ,\quad
C_1, C_2, C_3,C_4 \in \mathbb{R}
\end{equation*}
Subsección 3.5.4 EDOs lineales con coeficientes constantes, el caso general
Si la ecuación diferencial es de orden superior a 2, el procedimiento para encontrar la solución general es el mismo que en el caso de orden 2, con la única diferencia de que
- la ecuación característica es de grado \(>\) 2
- y la casuística de sus raíces es más amplia.
Subsubsección 3.5.4.1 El caso homogéneo
En Caso general ., si tenemos una EDO lineal con coeficientes constantes homogénea de orden \(n\)
\begin{equation*}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+
a_0 y(t)=0,
\end{equation*}
la ecuación característica correspondiente es
\begin{equation*}
a_n \lambda^n +a_{n-1} \lambda^{n-1}+ \cdots + a_2 \lambda^2+
a_1 \lambda+ a_0 =0.
\end{equation*}
La ecuación característica tiene \(n\) raíces, contando multiplicidades. Cada una de estas raíces contribuye con un término a la solución general de la ecuación homogénea.
- Una raíz real simple \(\lambda\) contribuye con la función \(\displaystyle\mathrm{e}^{\lambda t}\)
- Una raíz real \(\lambda\) con multiplicidad \(m\) contribuye con las \(m\) funciones .\begin{equation*} \mathrm{e}^{\lambda t},\ t\, \mathrm{e}^{\lambda t},\ t^2 \mathrm{e}^{\lambda t},\ \cdots\ , \ t^{m-1} \mathrm{e}^{\lambda t} \end{equation*}
- Dos raíces complejas conjugadas simples \(\alpha \pm \beta j\) contribuyen con las 2 funciones\begin{equation*} \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t), \ \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \end{equation*}
- Dos raíces complejas conjugadas \(\alpha \pm \beta j\) con multiplicidad \(m\) contribuyen con las \(2m\) funciones .\begin{equation*} \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t),\ t\,\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t),\ t^2 \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t),\ \cdots\ , t^{m-1} \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t) \end{equation*}\begin{equation*} \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t),\ t\,\mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t),\ t^2 \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t),\ \cdots\ , t^{m-1} \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \end{equation*}
Subsubsección 3.5.4.2 El caso no homogéneo
Consideramos ahora el caso general de EDOs lineales con coeficientes constantes
\begin{equation}
a_n y^{n}(t)+a_{n-1}y^{n-1}(t)+ \cdots + a_2 y''(t)+ a_1 y'(t)+a_0 y(t) =f(t)\tag{3.5.4}
\end{equation}
Hemos visto antes que la solución general de esta EDO es de la forma
\begin{equation*}
y(t)=y_h(t)+y_p(t)
\end{equation*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(y_h(t)\) es la solución general de la ecuación homogénea estudiada en el apartado 2.1, y que sabemos que depende de las raíces de la EC asociada a la EDO homogénea, y \(y_p(t)\) es una solución particular cualquiera de la ecuación no homogénea (3.5.4).
El problema a resolver ahora es cómo encontrar una solución particular. Para encontrarla utilizaremos el siguiente método, que se conoce como
- método de ensayo,
- de la conjetura sensata,
- o de los coeficientes indeterminados,
que sirve para encontrar \(y_p(t)\) para ciertas funciones \(f(t)\text{.}\)
Por lo general nos fijaremos qué forma tiene el término independiente \(f(t)\) de la ecuación no homogénea. Si este término tiene la Forma
\begin{equation*}
f(t)=\mathrm{e}^{\alpha
t}\left[p_n(t)\cos(\beta t)+q_n(t)\sin(\beta t)\right]
\end{equation*}
HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(p_n\) y \(q_n\) representan polinomios de grado como mucho \(n\text{,}\) entonces el método nos dice:
- Sí \(\alpha\pm \beta j\) No son atribuibles raíces de la EC entonces buscaremos una solución particular de la forma:\begin{equation*} y_p(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\left[P_n(t)\cos(\beta t)+Q_n(t)\sin(\beta t)\right] \end{equation*}HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(P_n\text{,}\) \(Q_n\) son polinomios de grado \(n\) A determinar.
- CAS resonante) Sí \(\alpha\pm \beta j\) son raíces de la EC con multiplicidad \(m\text{,}\) entonces buscaremos una solución particular de la forma:\begin{equation*} y_p(t)=t^m\,\mathrm{e}^{\alpha t}\left[P_n(t)\cos(\beta t)+Q_n(t)\sin(\beta t)\right] \end{equation*}HR es el número de horas ordinarias reales trabajadas ; HS es el \(P_n\text{,}\) \(Q_n\) son polinomios de grado \(n\text{,}\) A determinar.
El caso resonante tiene un significado físico que estudiaremos más adelante.
