UNIVERSITAT POLITÈCNICA de CATALUNYA
•
FACULTAT de MATEMÀTIQUES i ESTADÍSTICA
200252
Música i Matemàtiques
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare
animi
és a dir...
La música és un exercici ocult d'aritmètica
en el qual l'esperit ignora que calcula
(Leibniz, 1712)
2025 primavera
Des del quadrimestre de primavera del 2024
s'imparteix aquesta nova
assignatura optativa de 2 h/setmana (3 crèdits)
dins del
Grau en Matemàtiques de la
Facultat de Matemàtiques i
Estadística de la
UPC.
En aquesta pàgina podreu trobar les novetats del curs,
així com informació bibliogràfica i enllaços
sobre la relació entre música i matemàtiques.
xavier.gracia@upc.edu
Objectius
La música és plena de nombres:
tenim escales de 7 o 12 notes,
compassos de 2/4 o 3/4 etc,
intervals d'octava, de quinta, ...
el diapasó estàndard (A4) és de 440 Hz.
Però hi ha nombres menys obvis:
els intervals es poden mesurar amb fraccions
(la quinta perfecta correspon a una raó de freqüències de
3/2)
o amb cents, per exemple
(el mateix interval són 1200*log2(3/2) = 701'955... cents).
L'anomenat cercle de quintes està relacionat amb el fet que
7 és un generador del grup Z12.
Els harmònics f, 2f, 3f...
d'una corda vibrant corresponen a l'espectre d'un cert operador diferencial
que ens trobem resolent l'equació de les ones.
A la música dodecatonal hi ha
9.985.920 sèries no equivalents de 12 tons, etc.
I anant més enllà
podem classificar els motius musicals
a partir dels grups d'isometries del pla,
o estudiar la dissonàcia amb corbes com la de Plomp i Levelt (1965):
L'objectiu de l'assignatura és explorar
aquestes i moltes altres de les facetes matemàtiques de la
música.
Prerequisits
Matemàtics
Cal una certa maduresa matemàtica com la que s'obté havent cursat
dos anys d'un grau de ciència o enginyeria.
L'únic prerequisit matemàtic rellevant
(per a l'estudi del so dels instruments)
és estar familiaritzat amb les equacions diferencials i
la resolució de problemes de contorn per a equacions en derivades parcials;
tanmateix, no és absolutament imprescindible per al seguiment del curs.
Altres qüestions més específiques,
com ara les fraccions continuades,
alguns resultats de combinatòria,
o de geometria del pla,
s'explicaran quan sigui necessari.
Musicals
Calen coneixements de música de grau mitjà
(o almenys ganes de tenir-los...).
Tampoc no són absolutament imprescindibles però, sense ells, quin sentit té l'assignatura?
Quines preguntes ens podem fer, si no sabem sobre què preguntar?
Horaris
Classes
Dimecres de 10 a 12,
aula 003 de la FME.
Període lectiu:
del 5 de febrer al 16 de maig, 2025.
Consultes
Al final de les classes, i a altres hores convingudes.
Avaluació
La nota es configura a partir de
la participació a classe i el treball al llarg del curs (15%),
un examen final breu sobre conceptes bàsics (15%),
i
la realització i exposició d'un treball final (70%).
Examen
Dimecres 11 juny 2025, 10:00, aula PC2 de la FME.
Treball
Les exposicions dels treballs es fan al final del curs acadèmic:
el dia 11 a continuació de l'examen.
Temps per a l'exposició: 20-25 minuts.
Es pot projectar una presentació, però s'espera que l'estudiant sigui també capaç d'usar la pissarra.
Els estudiants m'han d'enviar el fitxer del treball en format pdf (per exemple) al meu email, 24 hores abans de l'exposició.
Una versió definitiva del treball es podrà enviar més tard
(fins el dia 13 a les 10 del matí).
Sobre la redacció i la presentació
En
aquest
document d'Overleaf
podeu trobar alguns suggeriments sobre com s'escriu un treball acadèmic.
Temari
Els temes principals del curs són els següents:
-
Introducció: la música, l'art del so
-
Espectres dels instruments musicals
- Classificació dels instruments musicals
- Espectres dels instruments musicals
- Cordòfons
- Aeròfons
- Membranòfons
- Idiòfons: barres
- Idiòfons: plaques
-
La percepció del so i el concepte de dissonància
- L'oïda
- Estímul, percepció i decibels
- Percepció de la intensitat / sonoritat
- Percepció de la freqüència / altura
- Intervals
- Teoria de la dissonància
- Corbes de dissonància
- Relació entre espectres i escales
-
Teoria de les escales
- Escales
- Afinació pitagòrica
- Afinació justa
- Temperaments mesotònics
- Temperaments irregulars
- Temperament igual
- Escales justes i límit harmònic
- Divisions iguals de l'octava
- Altres divisions iguals
- Escales generades per un interval
-
Transformacions, simetries i combinatòria en la música
- Mètodes de composició
- Serialisme
- Transformacions de l'espai musical
- Simetries a l'espai musical
- Combinatòria d'escales i acords
Materials de l'assignatura
Un resum d'apunts i una llista d'exercicis estan en fase de redacció
Bibliografia
Bibliografia bàsica
-
David J. Benson,
Music: a mathematical offering,
Cambridge University Press, 2007.
Document online:
https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/maths-music.html,
2008
(visitat 12-07-2023).
-
Thomas D. Rossing, F. Richard Moore and Paul A. Wheeler,
The science of sound (3rd ed),
Addison-Wesley, San Francisco, 2002.
-
Neville H. Fletcher and Thomas D. Rossing,
The physics of musical instruments (2nd ed),
Springer-Verlag, New York, 1999.
-
William A. Sethares,
Tuning, timbre, spectrum, scale (2nd ed),
Springer, London, 2004.
-
J.J. Goldáraz Gaínza,
Afinación y temperamentos históricos,
Alianza Editorial, Madrid, 2004.
Bibliografia addicional
En
aquesta pàgina suplementària
podeu trobar una bibliografia extensa i comentada,
alguns enllaços de pàgines web,
i els fitxers d'algunes xerrades i articles que he fet.
NOTA
Vaig impartir una assignatura de Música i Matemàtiques
entre els anys 2005-2010
com a assignatura de lliure elecció a la FME de la UPC,
vinculada a l'antiga llicenciatura de matemàtiques.
Podeu accedir a la pàgina web de
l'últim curs
en què es va impartir.
![[back]](../imatges/back.gif)
|
Anar a la pàgina principal de Xavier Gràcia
|
Pàgina
https://web.mat.upc.edu/xavier.gracia/musmat/.
Creada 12 juliol 2023.
Actualitzada 10 juny 2025.