Material de Cálculo en una Variable (GM)

Programa de la asignatura: PDF.

Apuntes de teoría:
- Números reales.
- Sucesiones.
- Límites.
- Continuidad.
- Derivación.
- Integración.
- Apuntes completos. Es la concatenación de todos los ficheros anteriores en un documento único.

Problemas resueltos:
- Lista de problemas.
- Funciones Elementales.
- Sucesiones de números reales.
- Límites y continuidad.
- Derivación.
- Integración. Es este documento faltan los problemas de cálculo de primitivas. Es decir, los problemas 109-114.
- Problemas resueltos. Es la concatenación de todos los ficheros anteriores en un documento único.

Algunos vídeos interesantes:
- Sobre números reales:
  - Prueba de que la raíz de dos no es un número racional: Numberphile, Khan Academy, D!NG, TED-Ed, blackpenredpen, Michael Penn (la prueba estándar) y Michael Penn (una prueba no estándar).
  - Pruebas geométricas de la desigualdad de las media armónica (MH), geométrica (MG), aritmética (MA) y cuadrática (MQ): MindYourDecisions, Think Twice y Mathematical Visual Proofs.
  - Michael Penn sobre supremos e ínfimos y sobre la densidad de Q en R.
- Sobre sucesiones:
  - Prueba de que el número e no es un número racional: Numberphile, Michael Penn, MindYourDecisions y Mathloger.
  - Vídeos de Michael Penn: Límite de una sucesión, toda sucesión convergente es acotada, subsucesiones, sucesiones de Cauchy y estudio de una sucesión creciente que diverge a infinito.
  - Una clase online simultánea para miles de estudiantes impartida por Grant Sanderson del canal 3b1b: Torres de potencias.
- Sobre funciones elementales:
  - Clases online de Grant Sanderson, del canal 3b1b, sobre logaritmos y funciones trigonométricas
  - Vídeo de Trefor Bazett donde se explica qué relación hay entre las funciones hiperbólicas y las hipérbolas.
  - Vídeo de Michael Penn donde se resuelve el problema 723 de Ramanujan donde aparece la función floor (suelo).
- Sobre continuidad:
  - Vídeo de Peyam Tabrizian (Dr Peyam) donde se prueba que la función de Thomae es continua en los irracionales pero discontinua en los racionales.
  - Vídeos de Mike Dabkowski (Mike the Mathematician): relación entre funciones Lipschitz y funciones uniformemente continuas y estudio de la ecuación funcional de Cauchy (problema 70).
  - Vídeos de Michael Penn: ejemplos de pruebas de continuidad uniforme y ejemplos de pruebas de no continuidad uniforme.
  - Vídeo de Trefor Bazzet (Dr Trefor Bazzet) sobre el teorema del punto fijo de Banach (problema 72). Advertencia: La definición de función contractiva que escribe Trefor no es correcta, ver su propio comentario destacado.
  - Vídeo de Numberphile donde se introduce la sorprendente función en base 13 de Conway, que es una función que cumple la propiedad del valor intermedio sin ser continua; es decir, es un contraejemplo del converso del teorema del valor intermedio.
- Sobre derivación:
  - Vídeos de Grant Sanderson (3b1b): la paradoja de la derivada, derivadas y geometría, la regla de la cadena, la derivada de la exponencial, derivación implícita, la regla de L'Hôpital, derivadas de orden superior y series de Taylor.
  - Un vídeo de Trefor Bazett sobre cinco contraejemplos que todo estudiante de cálculo debe conocer.
  - Vídeos de Mike Dabkowsky (Mike the Mathematician): demostración del teorema de Darboux, la serie binomial por Taylor y aproximar la raíz de 10 por Taylor.
  - Vídeos de Michael Penn: concepto de derivada y demostraciones rigurosas de la condición necesaria de extremo interior, el teorema del valor medio, el teorema del valor medio generalizado y la regla de L'Hôpital.
- Sobre integración:
  - Un vídeo de Presh Talwalkar (MindYourDecisions) donde se prueba integrando una función racional que pi es menor que 22/7.
  - Vídeos de Grant Sanderson (3b1b): el teorema fundamental del cálculo, áreas y pendientes y sobre las sorprendentes integrales de Borwein.
  - Vídeos que explican la prueba de Ivan Niven (1947) sobre la irracionalidad de pi: Presh Talwalkar (MindYourDecisions), Mike Dabkowsky (Mike the Mathematician) y Michael Penn.
  - Vídeos de Mike Dabkowsky (Mike the Mathematician): la suma de funciones integrables es integrable, toda función monótona es integrable, toda función continua es integrable, la composición de una función continua con una función integrable es integrable y la demostración de TFC (parte 1 y parte 2).
  - Vídeos de Michael Penn: definición y ordenación de las sumas superiores e inferiores, toda función continua es integrable, aditividad de la integral y la integral de la función constante a trozos definida en nuestro problema 54.c)

Material de auto-aprendizaje sobre cálculo de primitivas: Debéis repasar el cálculo de primitivas por vuestra cuenta. A continuación listo seis formas de realizar ese repaso.

Mirar algunos problemas (y sus correspondientes vídeos) del documento Aprende Cálculo con Youtube. Concretamente, los problemas 169-187 sobre cálculo de primitivas y los problemas 193-203 sobre cálculo de áreas.
Leer las transparencias Cálculo de Primitivas donde se explica cómo calcular primitivas racionales, trigonométricas e irracionales, escritas para los estudiantes de Cálculo del GCED.
Calcular algunas primitivas de las primeras 21 páginas del documento de problemas resueltos Problemas de Cálculo - Integración, escrito para los estudiantes de Cálculo del GCED.
Mirar los siguientes vídeos:
- Cómo calcular integrales racionales y resolución de algunos ejemplos
- Cómo calcular integrales trigonométricas e irracionales y resolución de algunos ejemplos
Estos vídeos tienen una duración total aproximada de 100 minutos. Son grabaciones de clases realizadas durante el curso 2020-2021 a los estudiantes de Cálculo del GCED.
Comprobar primitivas usando la página web gratuita Wolfram|Alpha.
Realizar, al final, el siguiente Quiz de Cálculo de primitivas como forma de auto-evaluación.