FACULTAT DE MATEMÀTIQUES I ESTADÍSTICA

Geometria Diferencial 2. Curs 2003-2004

Examen final extraordinari, 2 de juliol de 2004

1. Una secció d’una aplicació F: M → N és una aplicació s: N → M tal que F ∘ s = Id_{N}. Parlem de secció local quan el seu domini és només un obert V ⊂ N. Siguin M i N varietats diferenciables, F: M → N una submersió.

(a) Per a qualsevol punt p ∈ M, proveu que existeix una secció local s de F tal que p pertany a la imatge de s.

(b) Suposem que F és una submersió suprajectiva. Proveu que se satisfà la propietat següent: donada una varietat P i una aplicació qualsevol g: N → P, si g ∘ F és diferenciable, llavors també ho és g.

(c) Continuem amb una submersió suprajectiva F: M → N, i sigui G: M → P una aplicació diferenciable que és constant sobre les fibres de F (és a dir, F (p_{1}) = F (p_{2}) implica que G(p_{1}) = G(p_{2})). Proveu que existeix una única aplicació diferenciable g: N → P tal que G = g ∘ F.

2. Sigui ℙ_{2} el pla projectiu sobre ℝ. És a dir, ℙ_{2} = (ℝ^{3} − {0})/ ∼, on la relació d’equivalència ∼ està definida per: x ∼ y si i només si existeix λ ∈ ℝ−{0} tal que x = λy. Posem [x_{1}, x_{2}, x_{3}] ∈ ℙ_{2} per la classe d’equivalència del vector (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}. Posem U_{i} = {[x_{1}, x_{2}, x_{3}] ∈ ℙ_{2} : x_{i} ≠ 0} i considerem l’atles de ℙ_{2} format per les tres cartes:

• φ_{1}: U_{1} ⊂ ℙ_{2} → ℝ^{2}, on φ_{1}[x_{1}, x_{2}, x_{3}] = (x_{2}/x_{1}, x_{3}/x_{1}) = (u_{1}, u_{2}).

• φ_{2}: U_{2} ⊂ ℙ_{2} → ℝ^{2}, on φ_{2}[x_{1}, x_{2}, x_{3}] = (x_{1}/x_{2}, x_{3}/x_{2}) = (v_{1}, v_{2}).

• φ_{3}: U_{3} ⊂ ℙ_{2} → ℝ^{2}, on φ_{3}[x_{1}, x_{2}, x_{3}] = (x_{1}/x_{3}, x_{2}/x_{3}) = (w_{1}, w_{2}).

(a) Proveu que l’aplicació π: 𝕊_{2} → ℙ_{2} definida per π(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = [x_{1}, x_{2}, x_{3}] és un difeomorfisme local suprajectiu.

(b) Considerem el camp vectorial X ∈ 𝔛(ℙ_{2}) que, en la carta (U_{1}, φ_{1}), s’expressa com X =

−u_{2} \frac{∂}{∂u_{1}} + u_{1} \frac{∂}{∂u_{2}} . Trobeu el flux d’aquest camp. En particular, trobeu la corba integral

que passa pel punt [0, 0, 1]. És complet aquest camp? Pot existir algun camp vectorial en ℙ_{2} que no sigui complet?

(c) A partir de les aplicacions π: 𝕊_{2} → ℙ_{2} i G: 𝕊_{2} → ℝ^{4}, que està definida per G(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}^{2} −x_{2}^{2}, x_{1}x_{2}, x_{1}x_{3}, x_{2}x_{3}), trobeu un embedding de ℙ_{2} en ℝ^{4}. (Podeu utilitzar els resultats del problema 1.)

3. Considerem en ℝ^{4} el conjunt M = {(x, y, z, t) ∈ ℝ^{4} : x^{2} + y^{2} = z^{2} + t^{2} = 1} i les formes diferencials ω_{1} = dx ∧ dy + dz ∧ dt ∈ Ω^{2}(ℝ^{4}), ω_{2} = dx ∧ dz + dy ∧ dt ∈ Ω^{2}(ℝ^{4}).

(a) Proveu que M és una subvarietat de ℝ^{4}.

(b) Considerem la carta local (U, ϕ) de M definida per ϕ^{−1}: ] − π, π[ ×] − π, π[→ U ⊂ M on ϕ^{−1}(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v). Sigui i: M → ℝ^{4} la injecció canònica. Expresseu les formes diferencials i^{∗}ω_{1}, i^{∗}ω_{2} ∈ Ω^{2}(M) en la carta (U, ϕ).

(c) Considerem el camp vectorial X = −y \frac{∂}{∂x} + x\frac{∂}{∂y} − t\frac{∂}{∂z} + z \frac{∂}{∂t} ∈ 𝔛(ℝ^{4}). Proveu que aquest

camp restringeix a un camp X̃ ∈ 𝔛(M), tangent a M. Calculeu L_{X}ω_{2} i LX̃i^{∗}ω_{2}.