Problemes de Geometria Diferencial 1

Llicenciatura de Matemàtiques

Departament de Matemàtica Aplicada IV Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya

1998 / revisat 14 setembre 2009

Sumari

Varietats 3 Corbes 7 Superfícies 13

VARIETATS

1. Considereu la corba plana α(t) = (sin t, cos t + log tan \frac{t}{2}), on 0 < t < π.

(a) Demostreu que la corba és diferenciable a tot arreu, i que és regular excepte a t = π/2. Dibuixeu la seva traça.

(b) Comproveu que la distància entre un punt de la corba i el punt on la recta tangent corresponent talla l’eix OY és constant i val 1. (Per aquest motiu, la corba s’anomena tractriu.)

2. Sigui α(t) = (e^{− \frac{1}{t^{2}}} cos \frac{1}{t}, e^{− \frac{1}{t^{2}}} sin \frac{1}{t}) si t ≠ 0, i α(0) = (0, 0).

(a) Proveu aquest lema: lim_{t→0} e^{−1/t^{2}}/t^{n} = 0, per a qualsevol n ∈ N.

(b) Demostreu que α: R → R^{2} és una funció de classe C^{∞}.

(c) És α una corba regular?

3. Considereu les superfícies s_{1}(u, v) = (u, v, 0) i s_{2}(u, v) = (u^{3}, v^{3}, 0), on (u, v) ∈ R^{2}.

(a) Mostreu que la imatge d’ambdues és el pla de R^{3} d’equació z = 0.

(b) Demostreu que s_{1} és regular però que s_{2} no ho és.

4. Sigui f: R^{2} ⟶ R^{3} donada per f(u, v) = (u cos v, u sin v, u^{2} + v^{2}). Trobeu un obert A ⊂ R^{2} tal que f(A) sigui una superfície regular. Trobeu el vector normal a la superfície en tots els punts corresponents a paràmetres de A.

5. Trobeu l’equació de la recta tangent a les corbes següents en el punt especificat:

(a) r(t) = (6t, 3t^{2}, t^{3}), t = 0.

(b) α(t) = (sin 3t, cos 3t, 2t^{3/2}), t = 0.

6. Trobeu l’equació del pla tangent a les superfícies en els punts que s’indiquen:

(a) z = x^{2} + 2y^{2} en (1, 2, 9).

(b) 2y − z^{3} − 3xz = 0 en (1, 7, 2).

(c) s(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) en s(π/4, −π/4).

7. Sigui σ una corba de R^{2} tal que σ(0) = (0, 0) i σ′(0) = (1, 1). Sigui f(x, y) = (e^{x+y}, e^{x−y}). Calculeu el vector tangent de la corba γ = f ∘ σ en el punt γ(0).

8. Considereu el sistema d’equacions

\{ \begin{matrix}x + y + z & = & 3 \\ −3x^{2} + y^{2} + 2z^{2} & = & 0 \end{matrix} .

Defineix una corba regular al voltant del punt p = (1, 1, 1)? Demostreu que és possible posar aquesta corba en forma paramètrica al voltant de p agafant com a paràmetre o bé z o bé x. Trobeu els vectors tangents a la corba en p respecte a cadascuna d’aquestes parametritzacions. Són iguals? Són iguals les rectes tangents respecte a cadascuna de les parametritzacions? Per què?

9. Comproveu que la corba definida en forma implícita per l’equació (x^{2}+y^{2})^{2}−(x^{2}−y^{2}) = 0 és simètrica respecte als eixos i respecte a l’origen. Determineu, si n’hi ha, els punts on la tangent a la corba és paral.lela a l’eix OY i els punts on és paral.lela a l’eix OX.

10. (a) Sigui f(x, y, z) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} , amb a > 0, b > 0, c > 0. Demostreu que el conjunt de nivell f^{−1}(1) és una superfície implícita regular. S’anomena el.lipsoide. Comproveu que

s(u, v) = (a cos u cos v, b sin u cos v, c sin v),

amb 0 < u < 2π, −π/2 < v < π/2, és una parametrització de l’el.lipsoide llevat de mitja el.lipse.

(b) Sigui f(x, y, z) = z^{2} + (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − a)^{2}. Demostreu que el conjunt de nivell f^{−1}(r^{2}), quan 0 < r < a, és una superfície implícita regular. S’anomena tor. Comproveu que

s(u, v) = ((r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sin v, r sin u),

amb 0 < u < 2π, 0 < v < 2π, és una parametrització del tor llevat de dues circumferències.

(c) Sigui f(x, y, z) = −x^{2} − y^{2} + z^{2}. Demostreu que el conjunt de nivell f^{−1}(1) és una superfície implícita regular. S’anomena hiperboloide de dos fulls. Trobeu-ne una parametrització.

11. Dins l’espai vectorial M_{n}(R) ≃ R^{n^{2}} de les matrius n × n amb coeficients reals, demostreu que els conjunts següents són subvarietats de dimensions n^{2}, n^{2} − 1 i n(n − 1)/2, respectivament.

(a) El grup lineal GL_{n}(R), format per les matrius invertibles.

(b) El grup unimodular SL_{n}(R), format per les matrius amb determinant 1.

(c) El grup ortogonal O_{n}(R), format per les matrius ortogonals, és a dir, les matrius X tals que X^{⊤}X = I.

12. Trobeu els canvis de coordenades π^{−1} ∘ ϕ on ϕ i π són parametritzacions locals de S^{2} del tipus (x, y) ↦ (x, y, (1 − x^{2} − y^{2})^{1/2}) i (x′, z′) ↦ (x′, (1 − x^{′2} − z^{′2})^{1/2}, z′).

13. Considereu l’esfera S^{2} = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} i el seu pol nord N = (0, 0, 1). Definim l’aplicació π_{N}: S^{2} −{N} → R^{2}, anomenada projecció estereogràfica des del pol nord, de la manera següent: π_{N}(x, y, z) = (u, v), essent (u, v, −1) el punt d’intersecció de la recta que passa per N i p = (x, y, z) amb el pla tangent a l’esfera en el pol sud, {(x, y, z) ∈ R^{3} | z = −1}.

(a) Demostreu que π_{N}^{−1}: R^{2} → S^{2} és

π_{N}^{−1}(u, v) = (\frac{4u}{u^{2} + v^{2} + 4}, \frac{4v}{u^{2} + v^{2} + 4}, \frac{u^{2} + v^{2} − 4}{u^{2} + v^{2} + 4})

i que així s’obté una parametrització local de l’esfera.

(b) Anàlogament es defineix la projecció estereogràfica des del pol sud, π_{S}. Determineu π_{S}^{−1}. Així s’obté una altra parametrització local.

(c) Comproveu directament a partir de les seves expressions que els dos canvis de parametritzacions respecte a ambdues projeccions estereogràfiques són efectivament difeomorfismes de classe C^{∞}.

(d) Comproveu que amb les dues parametritzacions es recobreix tota l’esfera.

14. Sigui F l’aplicació antipodal de l’esfera S^{n}, q = (1, 0, …, 0). Considereu, tant en q com en F (q), la carta local donada per la projecció esterogràfica des del pol nord. Calculeu l’expressió en coordenades de F i la matriu de T_{q}F en les bases lligades a les coordenades escollides.

15. Demostreu que l’aplicació antipodal és un difeomorfisme de S^{n} en S^{n}.

16. Donada una aplicació f: R^{n−1} → R de classe C^{∞}, es defineix

\begin{matrix}g: R^{n} & ⟶ & R \\ (x_{1}, …, x_{n}) & ⟼ & f(x_{1}, …, x_{n−1}) − x_{n} \end{matrix}

(a) Proveu que M = g^{−1}(0) és una varietat diferenciable.

(b) Proveu que M és difeomorfa a R^{n−1}.

(c) Proveu que un paraboloide el.líptic i un d’hiperbòlic són difeomorfs.

17. Siguin M = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} = 1, |z| < 1} i F l’aplicació

\begin{matrix}F: R^{3} & ⟶ & R^{3} \\ (x, y, z) & ⟼ & (x^{2} − y^{2}, 2xy, z) \end{matrix}

(a) Proveu que M és una varietat diferenciable.

(b) Proveu que F indueix una aplicació de classe C^{∞} de M en M. És un difeomorfisme, F |_{M}?

18. Proveu que és un difeomorfisme de S^{2} en S^{2} la restricció a l’esfera de l’aplicació

F: R^{3} ⟶  R^{3}
(x, y, z) ⟼ (x cos z − y sin z, x sin z + y cos z, z)

19. Demostreu que l’aplicació π: R → S^{1} definida per π(t) = (cos t, sin t) és diferenciable.

20. Proveu que l’el.lipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 és difeomorf a l’esfera x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1.

Ordre de contacte

21. Sigui I ⊂ R^{m} un obert. Dues aplicacions α, β: I → R^{n} de classe C^{∞} es diu que tenen un ordre de contacte ≥ k en un punt s_{0} ∈ I si α(s) − β(s) = o(|s − s_{0}|^{k}). Dues varietats m-dimensionals de R^{n} tenen ordre de contacte ≥ k en un punt p si existeixen parametritzacions regulars α, β: I → R^{n} de les varietats en un veïnat de p = α(s_{0}) = β(s_{0}) tals que α, β tenen un ordre de contacte ≥ k en s_{0}.

(a) Observeu que α, β: I → R^{n} tenen ordre de contacte ≥ k en s_{0} si i només si els polinomis de Taylor de grau ≤ k centrats en s_{0} de α i de β són iguals; això és el mateix que afirmar que són iguals totes les derivades parcials d’ordre ≤ k de α i β en s_{0}.

(b) Sigui f: A → R de classe C^{∞}, on A ⊂ R^{n} és obert. Observeu que l’aplicació A → R^{n+1} definida per x ↦ (x, f(x)) té ordre de contacte ≥ k en (x_{0}, f(x_{0})) amb l’aplicació definida per x ↦ (x, T (x)), on T és el polinomi de Taylor de f de grau ≤ k centrat en x_{0}.

(c) Demostreu que si α, β: I → R^{n} tenen ordre de contacte ≥ k en s_{0} i h: J → I és un difeomorfisme, llavors α ∘ h, β ∘ h: J → R^{n} tenen ordre de contacte ≥ k en h^{−1}(s_{0}).

(d) Sigui H: A → B un difeomorfisme entre oberts de R^{n}. Demostreu que si α, β: I → R^{n} tenen ordre de contacte ≥ k en s_{0} i α(I), β(I) ⊂ A, llavors H ∘ α, H ∘ β: I → R^{n} tenen ordre de contacte ≥ k en s_{0}.

(e) Sigui una varietat implícita regular F^{−1}(0) dins R^{n} que passa per p, i una varietat paramètrica regular γ, ambdues de dimensió n − 1, amb p = γ(s_{0}). Proveu que ambdues varietats tenen ordre de contacte ≥ k en p si i només si el polinomi de Taylor de F ∘ γ de grau ≤ k centrat en s_{0} és idènticament nul.

22. Considereu la cissoide x = 2 sin^{2}θ, y = 2 sin^{2}θ tan θ, −π/2 < θ < π/2. Reparametritzeula mitjançant el canvi de paràmetre t = 2 sinθ. Calculeu els dos primers termes no nuls dels desenvolupaments de x i y en potències de t al voltant del punt singular t = 0.

23. Una corba C i una superfície S amb un punt comú p tenen ordre de contacte ≥ k en p si existeix una corba C̃ ⊂ S que passa per p i tal que C̃ i C tenen ordre de contacte ≥ k en p. Demostreu que una superfície regular implícita f(x, y, z) = 0 té orde de contacte ≥ k en γ(0) si i només si (f ∘ γ)^{(i)}(0) = 0 per a 0 ≤ i ≤ k.

CORBES

Representació gràfica, llocs geomètrics i punts singulars

24. Representeu gràficament la traça de les corbes planes següents, on (r, ϕ) són les coordenades polars habituals, i a > 0 és una constant.

(a) r = aϕ (espiral d’Arquimedes).

(b) r^{2} = a^{2} cos 2ϕ (lemmiscata de Bernouilli).

(c) r = a(1 + cos ϕ) (cardioide).

(d) r = a sin 3ϕ (rosa de tres pètals).

25. Representeu gràficament la traça de les corbes planes següents, on (x, y) són les coordenades cartesianes habituals.

(a) (x, y) = (a cos^{3} t, a sin^{3} t) (astroide).

(b) (x, y) = (\frac{3at}{1 + t^{3}} , \frac{3at^{2}}{1 + t^{3}} ) (folium de Descartes).

(c) (x, y) = (\frac{t^{4}}{4} − \frac{t^{2}}{2} − 2, t^{3} − \frac{27}{4}t).

(d) (x, y) = (\frac{1}{1 + t^{2}} , \frac{2t}{4 + t^{2}} ).

26. Representeu gràficament la traça de les corbes planes següents, on (x, y) són les coordenades cartesianes habituals. Estudieu-ne els punts singulars, si n’hi ha.

(a) y^{2} − x(x − a)^{2} = 0, on a > 0.

(L’únic punt singular és (a, 0), on les tangents a la corba es creuen; s’anomena node.)

(b) y^{2} − x^{3} = 0.

(L’únic punt singular és l’origen, on hi ha recta tangent respecte a la qual la corba es disposa a tots dos costats; el punt singular s’anomena punt de retrocés, o cúspide, de primera espècie, i és el cas límit de l’anterior quan a → 0.)

(c) (y − x^{2})^{2} − x^{5} = 0.

(L’únic punt singular és l’origen, on hi ha recta tangent respecte de la qual la corba es disposa localment en un sol dels costats que determina; el punt singular s’anomena punt de retrocés de segona espècie.)

(d) y^{2} − x^{4} + x^{6} = 0.

(L’únic punt singular és l’origen; s’anomena tacnode.)

(e) y^{2} − x^{2}(x − 1) = 0.

(L’únic punt singular és l’origen; s’anomena punt singular aïllat o acnode.)

27. Cerqueu exemples de parametritzacions de corbes tancades no simples en R^{2}. Què representa la corba

\{ \begin{matrix}x(t) = cos t \\ y(t) = sin 2t sin t \end{matrix} t ∈ [0, 2π] ?

28. Parametritzeu els llocs geomètrics següents.

(a) La corba descrita per un punt fix sobre una circumferència que gira sense lliscar sobre un pla (cicloide).

(b) La corba descrita per un punt fix sobre una circumferència que gira sense lliscar sobre l’exterior d’una altra circumferència (epicicloide).

(c) La corba descrita per un punt fix sobre una circumferència que gira sense lliscar sobre l’interior d’una altra circumferència (hipocicloide).

Dibuixeu aproximadament aquests llocs geomètrics i, en el cas de l’epicicloide i la hipocicloide, doneu condicions sobre els radis de les circumferències a fi que les corbes siguin tancades.

Longitud

29. Demostreu que les fórmules següents calculen la longitud dels arcs de corbes planes regulars respectius:

(a) y = f(x), x ∈ [a, b], té longitud ∫_{a}^{b} \sqrt{1 + f′(x)^{2}} dx.

(b) r = r(ϕ), ϕ ∈ [a, b] (corba en coordenades polars), té longitud ∫_{a}^{b} \sqrt{r(ϕ)^{2} + r′(ϕ)^{2}} dϕ

30. Trobeu l’expressió del paràmetre arc del tros de paràbola y = x^{2}, x ∈ [0, 1], i calculeu-ne la longitud total.

31. Sigui α una corba de classe C^{1} en R^{n}. Siguin α(a) = P, α(b) = Q.

(a) Si v⃗ és un vector unitari qualsevol, demostreu que P⃗ Q · v⃗ ≤ ∫_{a}^{b} |α′(t)| dt.

(b) Demostreu que |P⃗ Q| ≤ ∫_{a}^{b} |α′(t)| dt. Per tant, la corba més curta que uneix dos punts de R^{n} és el segment de recta determinat pels dos punts.

Arc i reparametritzacions

32. Siguin α una corba en R^{3} parametritzada per l’arc, i β una reparametrització de α. Proveu les fórmules següents.

(a) k = |α′′| = \frac{|β′ ∧ β′′|}{|β′|^{3}}.

(b) τ = −\frac{1}{k^{2}} (α′ ∧ α′′) · α′′′ = −\frac{(β′ ∧ β′′) · β′′′}{|β′ ∧ β′′|^{2}} .

(c) n = \frac{α′′}{|α′′|} = \frac{(β′ ∧ β′′) ∧ β′}{|(β′ ∧ β′′) ∧ β′|}.

(d) b = \frac{α′ ∧ α′′}{|α′′|} = \frac{β′ ∧ β′′}{|β′ ∧ β′′|}.

33. Calculeu la curvatura, torsió i els vectors tangent, normal i binormal de la corba γ(t) = (e^{t} cos t, e^{t} sin t, e^{t}).

34. Demostreu que si α és una corba parametritzada per l’arc es verifica:

(a) α′α′′ = 0,

(b) α′α′′′ = −k^{2},

(c) α′′α′′′ = kk′,

(d) |α′′′|^{2} = k^{4} + k^{2}τ^{2} + k^{′2},

(e) (t ∧ b)b′ = −τ,

(f) (b′ ∧ b′′)b′′′ = τ^{5} (k/τ)′,

(g) (t′ ∧ t′′)t′′′ = −k^{5} (τ/k)′, essent k, τ, t, n i b les seves curvatura, torsió, vectors tangent, normal i binormal, respectivament.

35. Sigui r = r(ϕ) una corba plana en les coordenades polars habituals. Demostreu que la

seva curvatura és k = |\frac{2r′^{2} − rr′′ + r^{2}}{(r′^{2} + r^{2})^{3/2}} |.

Com a aplicació, calculeu la curvatura de l’espiral d’Arquimedes (exercici 24a) i comproveu que, per a valors grans de ϕ, la curvatura és aproximadament la mateixa que la d’una circumferència de radi aϕ.

36. Sigui α una corba regular connexa tal que totes les tangents passen per un punt fix. Proveu que α és un segment de recta. Seria això cert si la corba tingués punts no regulars?

37. Proveu que per a una corba regular connexa les tres afirmacions següents són equivalents. (a) La curvatura no és enlloc nul.la, i les seves normals passen per un punt fix.

(b) La curvatura és constant no nul.la, i la torsió és zero.

(c) La corba és un arc de circumferència. (Compareu amb l’exercici 36.)

38. Sigui γ una corba regular de R^{2}. Demostreu que si |γ| assoleix un valor màxim en t = t_{0}

aleshores |k(t_{0})| ≥ \frac{1}{|γ(t_{0})|}.

Coordenades canòniques i estructures locals distingides

39. Sigui α: I → R^{3} una corba tal que τ(s_{0}) ≠ 0, k(s_{0}) ≠ 0. Demostreu que el pla osculador de α en s_{0} és l’únic pla que satisfà les dues condicions següents.

(a) El pla conté la tangent a α en s_{0}.

(b) Donat qualsevol veïnat J de s_{0} dins I, existeixen punts de α(J) a ambdós costats del pla (és a dir, el pla és travessat per la corba en s_{0}).

40. Sigui α: I → R^{3} una corba tal que k(s_{0}) ≠ 0. Demostreu que el pla osculador és la posició límit de Π(s_{1}, s_{2}) quan s_{1}, s_{2} → s_{0}, essent Π(s_{1}, s_{2}) el pla que passa pels punts α(s_{i}), i = 0, 1, 2. (Vegeu problema 45.)

41. Demostreu que la curvatura d’una corba en un punt de paràmetre t tal que k(t) ≠ 0 coincideix amb la curvatura en t de la corba plana obtinguda en projectar la corba sobre el seu pla osculador en t.

42. Suposeu que γ: I → R^{3} satisfà k(s) ≠ 0 i τ(s) ≠ 0 per a tot s ∈ I. Proveu que les afirmacions següents són equivalents.

(a) γ(I) està continguda en una esfera de radi r.

(b) R^{2} + Ṙ^{2}T^{2} = r^{2}, on R = 1/k, T = 1/τ.

Evolutes, cercle osculador i esfera osculadora

43. Si γ és una corba plana amb curvatura k enlloc nul.la i vector normal n, la corba ev_{γ} =

γ + \frac{1}{k}n s’anomena evoluta de γ, i és el lloc geomètric dels centres de curvatura. Demostreu que la tangent a l’evoluta en ev_{γ}(t) és normal a γ en γ(t).

44. Comproveu que:

(a) L’evoluta de y^{2} = 2px (paràbola) és y^{2} = \frac{8}{27p}(x − p)^{3} (semicúbica).

(b) L’evoluta de (a cos t, b sin t) (el.lipse) és ((a − \frac{b^{2}}{a} ) cos^{3} t, (b − \frac{a^{2}}{b} ) sin^{3} t) (astroide).

(Observeu doncs que l’evoluta d’una corba regular pot no ser-ho.)

45. El cercle osculador a la corba plana γ en un punt γ(t) tal que k(t) ≠ 0 és el cercle de centre ev_{γ}(t) i radi 1/k(t). Siguin t_{1} < t_{2} < t_{3}, i C(t_{1}, t_{2}, t_{3}) el cercle que determinen els punts γ(t_{1}), γ(t_{2}), γ(t_{3}) (suposant-los no alineats).

(a) Demostreu que el cercle osculador a γ en γ(t) és el límit de C(t_{1}, t_{2}, t_{3}) quan t_{i} → t.

(b) Demostreu que el cercle osculador a γ en γ(t) és l’únic cercle que té ordre de contacte ≥ 2 amb γ en el punt γ(t).

(Vegeu el problema 40.)

46. L’esfera osculadora a una corba de l’espai en un punt p és l’esfera que té amb la corba un ordre de contacte ≥ 3. Demostreu que:

(a) Si E(s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}) és l’esfera que passa pels punts γ(s_{i}), i = 1, …, 4, llavors l’esfera osculadora a γ en γ(s) és la posició límit de E(s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}) quan s_{i} → s.

(b) Si la corba γ està parametritzada per l’arc i p = γ(0), demostreu que el centre de

l’esfera osculadora és γ(0) + \frac{1}{k}n + \frac{k′}{k^{2}τ} b.

47. Sigui α(t) = \{ \begin{matrix}(t, e^{−1/t^{2}}, 0) & si t < 0, \\ (0, 0, 0) & si t = 0, \\ (t, 0, e^{−1/t^{2}}) & si t > 0. \end{matrix}

(a) Demostreu que α és diferenciable.

(b) Demostreu que α és regular, que k(t) ≠ 0 si t ≠ 0 o t ≠ ±\sqrt{2/3}, i que k(0) =

k(±\sqrt{2/3}) = 0.

(c) Demostreu que, quan t → 0+, el pla osculador tendeix al pla y = 0, però que, quan t → 0−, ho fa al pla z = 0. Això mostra que n té una discontinuïtat a t = 0.

(d) Demostreu que, malgrat que la corba no és plana, τ = 0 per a tot s.

Hèlixs

48. Una corba s’anomena hèlix (o hèlice) si les seves tangents formen un angle constant amb una direcció fixa. Demostreu que, per a una corba γ: I → R^{3} amb curvatura i torsió enlloc nul.les, les propietats següents són equivalents.

(a) γ és una hèlix.

(b) \frac{k}{τ} és constant.

(c) Les normals a γ són paral.leles a un pla donat.

(d) Les binormals a γ formen un angle constant amb una direcció fixa.

(e) (γ′′ ∧ γ′′′)γ^{(ıv)} = 0.

49. Demostreu que

γ(s) = (\frac{a}{c} ∫_{0}^{s} sin θ(u) du, \frac{a}{c} ∫_{0}^{s} cos θ(u) du, \frac{b}{c}s) ,

amb a, b, c > 0 constants tals que a^{2} + b^{2} = c^{2}, i θ′(s) ≠ 0 per a tota s, és una hèlix, i que

\frac{k}{τ} = \frac{a}{b}.

50. Per a quins valors de a, b la corba γ(t) = (at, bt^{2}, t^{3}) és una hèlix?

Trobeu la direcció de les generatrius del corresponent cilindre.

51. Una hèlix s’anomena circular si les seves curvatura i torsió són ambudes constants. Demostreu que una corba és una hèlix circular si i només si admet una parametrització γ(s) = (a cos s, a sin s, cs).

52. Demostreu que l’evoluta d’una hèlix circular és una hèlix circular amb el mateix pas.

SUPERFÍCIES

53. Calculeu el camp normal a S^{2} utilitzant les parametritzacions de l’exercici 12. Feu el mateix per a les parametritzacions de l’exercici 13. Comproveu directament a partir de les expressions obtingudes que si N_{1} i N_{2} són els camps normals obtinguts amb dues d’aquestes parametritzacions, llavors N_{1} = ±N_{2}.

54. Proveu que si N_{1} i N_{2} són els vectors normals a una superfície en un punt calculats respecte a dues parametritzacions, llavors N_{1} = ±N_{2} en un veïnat del punt.

Superfícies reglades

55. Una família diferenciable de rectes és una aplicació diferenciable I → R^{3} × (R^{3} − {0}), u ↦ (γ(u), w(u)). Per a cada u, la recta corresponent de la família és la que passa per γ(u) i té vector director w(u). La superfície reglada generada per la família de rectes és

σ(u, v) = γ(u) + v w(u) .

Les rectes coordenades u = u_{0} s’anomenen generatrius, i la corba coordenada v = 0 directriu.

(a) Observeu que la superfície tangent a una corba regular (vegeu el problema 56) és una superfície reglada.

(b) Observeu que la superfície reglada generada per (γ, w), essent γ una corba plana i w = const, és un cilindre.

(c) Observeu que la superfície reglada generada per (γ, w), on γ és una corba plana i tal que totes les generatrius passen per un punt fix no coplanari amb γ, és un con.

(d) Sigui γ(t) = (cos t, sin t, 0). Demostreu que la superfície reglada generada per la família de rectes (γ, γ′ + (0, 0, 1)) és l’hiperboloide circular. Comproveu que la superfície reglada generada per la família (γ, −γ′ + (0, 0, 1)) és el mateix hiperboloide circular (així, l’hiperboloide circular té dos sistemes de generatrius).

(e) Comproveu que la superfície reglada generada per la família ((u, 0, 0), (0, k^{−1}, u)) (u ∈ R), on k ≠ 0 és una constant, és el paraboloide hiperbòlic z = kxy. Comproveu que té dos sistemes de generatrius.

(f) Comproveu que la banda de Möbius és una superfície reglada.

56. Sigui γ: I → R^{3} una corba parametritzada regular. La superfície reglada generada per la família de rectes (γ, γ′), σ(u, v) = γ(u) + v γ′(u), s’anomena superfície tangent de γ.

(a) Si k(u) no s’anul.la enlloc, proveu que la restricció de σ a W = {(u, v) ∈ I×R | v ≠ 0} és una superfície regular la traça de la qual té dos components connexos, la vora dels quals és la directriu.

(b) Proveu que els plans tangents al llarg d’una generatriu són iguals.

(Aquest és un cas particular de superfície desenvolupable, vegeu el problema 58.)

57. Siguin γ_{1}, γ_{2} dues corbes regulars tals que la superfície σ(u, v) = γ_{1}(u)+γ_{2}(v) sigui regular. Demostreu que tots els plans tangents al llarg d’una corba coordenada són paral.lels a una recta.

58. Una superfície reglada s’anomena desenvolupable si al llarg d’una generatriu qualsevol els plans tangents són constants. Demostreu que la superfície reglada generada per la família de rectes (γ, w) és desenvolupable si i només si (γ′ ∧ w)w′ = 0. (La superfície tangent del problema 56 és desenvolupable.)

Superfícies tubulars

59. Sigui γ: I → R^{3} una corba parametritzada per l’arc, amb curvatura mai nul.la i amb vectors normal i binormal n i b, respectivament. La superfície tubular de radi r > 0 associada és

σ(s, v) = γ(s) + r(n(s) cos v + b(s) sin v).

Proveu que, si σ és regular, el seu vector normal unitari és N(s, v) = n(s) cos v+b(s) sin v.

Superfícies de revolució

60. Una superfície de revolució S és l’obtinguda fent girar una corba plana C (anomenada generatriu) al voltant d’un eix coplanari (anomenat eix de rotació). Els cercles descrits pels punts de C s’anomenen paral.lels, i les diferents posicions de C meridians.

(a) Demostreu que tota superfície de revolució es pot parametritzar de la forma

σ(s, α) = (f(s) cos α, f(s) sin α, g(s)).

(b) Trobeu una parametrització de (part de) l’esfera com a superfície de revolució. (Compareu amb l’exercici 13.)

(c) La pseudoesfera és la superfície de revolució la generatriu de la qual és la tractriu (problema 1) i l’eix de la qual és l’asímptota de la tractriu. Escriviu-ne una parametrització. Reparametritzeu la pseudoesfera emprant com a paràmetres l’arc d’un meridià i l’angle de rotació.

(d) Trobeu una parametrització de (part) del tor com a superfície de revolució.

Plans tangents

61. Demostreu que els plans tangents a la superfície z = x φ (\frac{y}{x}), on φ és una funció fixada, passen tots per l’origen.

62. Demostreu que els plans tangents a xyz = a, on a ∈ R^{∗} és una constant, formen amb els plans coordenats triedres de volum constant.

Càlcul de la primera forma fonamental

63. Calculeu la primera forma fonamental de la superfície de revolució

σ(s, α) = (f(s) cos α, f(s) sin α, g(s))

i demostreu que σ admet una parametrització respecte a la qual la primera forma fonamental és

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & f^{2} \end{matrix} ) .

64. Les coordenades d’una superfície s’anomenen isotèrmiques quan la matriu de la primera forma fonamental és múltiple de la identitat. Comproveu que les parametritzacions següents són isotèrmiques.

(a) La catenoide σ(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av) (superfície de revolució la generatriu de la qual és la catenària x = a cosh \frac{z}{a}).

(b) L’helicoide σ(u, v) = (a sinh v cos u, a sinh v sin u, au) (superfície reglada generada per la família de rectes (γ, w), essent γ(u) = (cos u, sin u, au) i w(u) = (cos u, sin u, 0); vegeu exercici 73a).

(c) La pseudoesfera (exercici 60c).

65. Considereu la superfície tangent σ(u, v) = γ(u) + vγ′(u) d’una corba parametritzada regular γ (exercici 56). Demostreu que, si γ està parametritzada per l’arc, la primera forma fonamental de σ és

I(u, v) = ( \begin{matrix}1 + v^{2}k^{2}(u) & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ,

on k és la curvatura de γ.

66. Les corbes que tallen els meridians d’una superfície de revolució amb un angle constant s’anomenen loxodròmies. Trobeu les seves equacions.

67. Comproveu que la corba γ és una loxodròmia de la superfície de revolució σ en els casos següents:

(a) γ = σ ∘ α on α(t) = (exp \frac{t cot β}{\sqrt{2}} , t), t ∈ [0, π], β una constant, i σ(u, v) =

(u cos v, u sin v, u). Comproveu que l’angle de tall és β.

(b) γ = σ ∘ α on α(t) = (log t, 2 arctan t) i σ(u, v) = (sin v cos u, sin v sin u, cos v).

68. Trobeu la longitud de la corba γ de l’exercici 67a.

69. Calculeu la longitud de l’arc (ϕ(t), θ(t)) = (∫_{π/4}^{t} \frac{dτ}{sin τ} , t), t ∈ [π/4, π/2], contingut dins

l’esfera σ(ϕ, θ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ).

70. Demostreu que si la primera forma fonamental és

I(u, v) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & G(u, v) \end{matrix} )

aleshores les corbes de paràmetre v constant determinen arcs de la mateixa longitud entre dues corbes de paràmetre u constant.

71. Les corbes coordenades d’una superfície es diu que defineixen una xarxa de Txebixev si les longituds dels costats oposats dels quadrilàters que formen són iguals.

(a) Proveu que això passa si i només si ∂_{v}E = ∂_{u}G = 0.

(b) Demostreu que llavors es pot trobar una parametrització tal que E = 1, G = 1, i que llavors F = cos θ, on θ és l’angle entre les corbes coordenades.

72. Siguin E, F i G els coeficients de la primera forma fonamental d’una superfície regular S respecte a una parametrització σ: A ⊂ R^{2} → S. Siguin φ(u, v) = const i ψ(u, v) = const dues famílies de corbes regulars en σ(A). Demostreu que aquestes dues famílies són ortogonals (és a dir, sempre que dues corbes de famílies diferents es tallen ho fan ortogonalment) si i només si

Eφ_{v}ψ_{v} − F (φ_{u}ψ_{v} + φ_{v}ψ_{u}) + Gφ_{u}ψ_{u} = 0.

73. L’helicoide és la superfície reglada obtinguda traçant sobre cada punt de l’hèlix directriu (cos u, sin u, au) la recta paral.lela al pla XY que talla l’eix OZ.

(a) Comproveu que admet la parametrització

σ(u, v) = (v cos u, v sin u, au), 0 < u < 2π, −∞ < v < ∞.

Compareu-la amb la parametrització de l’exercici 64b.

(b) Vegeu que, respecte a la parametrització anterior, la primera forma fonamental ve donada per E = v^{2} + a^{2}, F = 0, G = 1.

(c) Demostreu que, sobre l’helicoide, les dues famílies de corbes regulars

v cos u = const, v ≠ 0
(v^{2} + a^{2}) sin^{2} u = const, v ≠ 0, u ≠ π

són ortogonals.

74. Sobre una superfície parametritzada pels paràmetres (u, v) considereu la família de corbes

que satisfan

A(u, v) du + B(u, v) dv = 0.

Demostreu que les corbes de la família ortogonal a la donada satisfan l’equació diferencial

(BE − AF) du + (BF − AG) dv = 0.

75. Demostreu que les corbes que en cada punt bisequen l’angle format per les corbes coordenades satisfan l’equació diferencial

\sqrt{E} du ± \sqrt{G} dv = 0.

76. (a) Trobeu la relació entre les matrius que representen la primera i segona forma fonamental d’una superfície respecte a dues parametritzacions.

(b) Demostreu que la curvatura de Gauss d’una superfície orientada no depèn de cap reparametrització de la superfície (independentment que la reparametrització canviï o no l’orientació fixada).

(c) Demostreu que la curvatura mitjana d’una superfície orientada no depèn de les reparametritzacions que conserven l’orientació.

(d) Demostreu que la curvatura mitjana d’una superfície orientada canvia de signe quan la reparametrització de la superfície canvia l’orientació fixada.

Àrees

77. Demostreu que l’àrea d’una regió fitada R de la superfície regular explícita z = f(x, y) és

∫_{Ω} \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}} dxdy,

essent Ω la projecció ortogonal de R sobre el pla XY.

78. Sigui S una superfície de revolució amb generatriu C parametritzada per l’arc s, i sigui ρ(s) la distància entre el punt de C de paràmetre s i l’eix de rotació.

(a) Demostreu el teorema de Pappus que afirma que l’àrea de S és 2π ∫_{0}^{l} ρ(s) ds, essent l la longitud de C.

(b) Calculeu l’àrea d’un tor.

79. Demostreu que l’àrea de la superfície tubular de radi r al voltant de la corba γ (exercici 59) és 2πr vegades la longitud de γ.

Segona forma fonamental

80. Donada la superfície de revolució

σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)),

on u és el paràmetre arc de la corba plana (f(u), g(u)), i on suposem f > 0, calculeu la segona forma fonamental i les curvatures de Gauss i mitjana en un punt qualsevol.

81. Demostreu que la curvatura normal en una direcció que forma un angle θ amb la direcció principal corresponent a k_{1} és

k_{n}(θ) = cos^{2} θ k_{1} + sin^{2} θ k_{2} (fórmula d’Euler).

82. Proveu que en un punt hiperbòlic les direccions principals bisequen les direccions asimptòtiques.

83. Si k_{n}(θ) és la curvatura normal en un punt en una direcció que forma un angle θ amb una direcció fixada, demostreu que la curvatura mitjana en el punt val

H = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} k_{n}(θ) dθ.

84. Calculeu la curvatura de Gauss d’una pseudoesfera.

(Indicació: utilitzeu la parametrització en què E = 1, F = 0.)

85. Calculeu les curvatures K i H per al paraboloide hiperbòlic z = axy. Quant valen a l’origen (0, 0, 0)?

86. Determineu les corbes asimptòtiques i les línies de curvatura de l’helicoide x = v cos u, y = v sin u, z = cu, on c > 0.

87. Demostreu que en una superfície reglada (problema 55) es té K ≤ 0.

88. Demostreu que una superfície reglada és desenvolupable (problema 58) sii K = 0.

89. Demostreu que en un punt umbílic no pla, si w⃗_{1} i w⃗_{2} són ortogonals, aleshores són conjugats.

90. Demostreu que els punts de la superfície x⃗(u, v) = (u, v, u^{2} + v^{3}) són el.líptics allà on v > 0, hiperbòlics on v < 0, i parabòlics on v = 0.

91. Demostreu que si tots els punts d’una superfície són umbílics aleshores la superfície és un tros de pla o de superfície esfèrica.

92. Sigui C la corba intersecció de dues superfícies, i siguin k_{n1} i k_{n2} les curvatures normals de les superfícies en la direcció de C en un punt P donat. Si les dues normals en el punt P formen un angle α, demostreu que

k^{2} sin^{2} α = k_{n1}^{2} + k_{n2}^{2} − 2k_{n1}k_{n2} cos α,

on k és la curvatura de C en P.

93. Demostreu que en un punt d’una línia asimptòtica que no sigui una recta, la torsió τ

satisfà

τ^{2} = −K,

on K és la curvatura de Gauss en el punt considerat (teorema de Beltrami–Enneper).

94. Considereu la superfície d’Enneper

σ(u, v) = (u − \frac{u^{3}}{3} + uv^{2}, v − \frac{v^{3}}{3} + vu^{2}, u^{2} − v^{2}) .

Demostreu que tots els seus punts són hiperbòlics, que les línies de curvatura són corbes coordenades, i que les corbes asimptòtiques són u + v = const i u − v = const.

95. Siguin S_{1} i S_{2} les superfícies obtingudes per rotació de la corba y = x^{3}, −1 < x < 1, al voltant dels eixos x = 1 i y = 1, respectivament. Demostreu que els punts obtinguts per rotació de l’origen són plans i parabòlics, respectivement.

96. Demostreu que l’el.lipsoide \frac{x^{2}}{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{5} = 1 té exactament quatre punts umbílics. (Indicació Considereu la parametrització

σ(u, v) = (\sqrt{2} cos u cos v, cos u sin v, \sqrt{5} sin u),

−π/2 < u < π/2, 0 < v < 2π, d’un obert d’aquest el.lipsoide, i trobeu-ne tots els punts umbílics. Deduïu després, sense usar coordenades, que cap dels punts de l’el.lipsoide no coberts per aquesta parametrització no pot ser un punt umbílic; els pols s’han de raonar a part.)

97. Demostreu que si les coordenades són isotèrmiques (és a dir, si E = G = λ(u, v), F = 0; problema 64) llavors

K = −\frac{1}{2λ}Δ(log λ).

(Calculeu-ne els símbols de Christoffel.)

98. Demostreu que si una esfera S_{1} talla uns superfície S_{2} en una corba β, de manera que l’angle ϕ que formen els respectius plans tangents és constant sobre β i 0 < ϕ < π, aleshores β és una línia de curvatura de la superfície S_{2}.

Isometries

99. Demostreu que el cilindre {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} = 1} i el pla són localment isomètrics, tot i que no són isomètrics.

100. Demostreu que el semicon sense vèrtex, \{(x, y, z) ∈ R^{3} | z = k\sqrt{x^{2} + y^{2}}\} − \{(0, 0, 0)\}, on k = cotg α, essent α l’angle entre l’eix del con i una generatriu, és localment isomètric al pla.

101. La catenoide és la superfície de revolució amb generatriu la catenària x = a cosh v, z = av (v ∈ R) (exercici 64a). Demostreu que la catenoide és localment isomètrica a l’helicoide. (Indicació: feu servir la parametrització de l’helicoide de l’exercici 73a.)

102. Demostreu que les superfícies

σ(u, v) = (u cos v, u sin v, log u),  σ̃(u, v) = (u cos v, u sin v, v),

tenen la mateixa curvatura de Gauss en els punts σ(u, v) i σ̃(u, v), tot i que σ̃ ∘ σ^{−1} no és una isometria. (Això prova que el “recíproc” del teorema de Gauss no és cert.)

103. Siguin S i S′ dues superfícies, p ∈ S i φ una isometria local de S en S′ definida en un veïnat de p. Demostreu que existeixen parametritzacions σ i σ′ de S i S′ en veïnats de p i de φ(p) tals que les coordenades dels vectors ∇_{γ′}(w), w ∈ T_{p}S, respecte a la base σ_{u}, σ_{v}, són les mateixes que les de ∇_{(φγ)}(d_{p}φ w) respecte a la base σ′_{u}, σ′_{v}.

104. Sigui γ una corba sobre una superfície. Demostreu que el transport paral.lel al llarg de γ, τ_{γ(t_{1}),γ(t_{2})}^{γ}: T_{γ(t_{1})}S → T_{γ(t_{2})}S, és una isometria lineal.

105. Justifiqueu que l’esfera, el cilindre i el paraboloide hiperbòlic no són localment isomètrics dos a dos.

Símbols de Christoffel

106. Calculeu els símbols de Christoffel d’un obert del pla en coordenades cartesianes i en polars. En ambdós casos calculeu la curvatura de Gauss.

107. Calculeu els símbols de Christoffel i la curvatura de Gauss de:

(a) l’helicoide

σ(u, v) = (v cos u, v sin u, du),

(b) el con

σ(u, v) = (u cos v sin α, u sin v sin α, u cos α),

(c) la superfície d’Enneper

σ(u, v) = (u − u^{3}/3 + uv^{2}, v − v^{3}/3 + vu^{2}, u^{2} − v^{2}),

(d) la pseudoesfera

σ(u, v) = (a sin u cos v, a sin u sin v, a(cos u + log tan u/2)),

(e) una superfície de revolució

σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)),

amb f′^{2} + g′^{2} = 1, f > 0.

108. (a) Demostreu que, en un punt no umbílic, les corbes coordenades són línies de curvatura

sii f = F = 0.

(b) Demostreu que, si no hi ha punts umbílics i les corbes coordenades són línies de curvatura, les equacions de Codazzi-Mainardi equivalen a

∂_{v}e = \frac{∂_{v}E}{2} (\frac{e}{E} + \frac{g}{G}) ,
∂_{u}g = \frac{∂_{u}G}{2} (\frac{e}{E} + \frac{g}{G}) .

Transport paral.lel

109. Si τ_{γ(t_{1})γ(t_{2})} és el transport paral.lel al llarg de la corba γ des de γ(t_{1}) fins a γ(t_{2}), i X és un camp vectorial la llarg de γ, proveu que

(∇γ̇X)_{γ(0)} = lim_{t→0} \frac{τ_{γ(t),γ(0)}^{γ}X_{α(t)} − X_{α(0)}}{t} .

110. Demostreu que el camp vectorial tangent a un meridià de l’esfera parametritzat per l’arc és un camp paral.lel.

111. Sigui C un paral.lel de l’esfera de colatitud ϕ parametritzat per l’arc, i X_{0} un vector unitari tangent a C en un punt p ∈ C. Determineu gràficament τ_{p,q}^{C}X_{0}.

112. (a) Demostreu que, si en una superfície el transport paral.lel entre dos punts qualssevol és independent de la corba que els uneix, llavors la curvatura de Gauss de la superfície és 0 arreu.

(b) Doneu un exemple de superfície amb curvatura de Gauss nul.la però on el transport paral.lel depengui de la corba.

113. Donats el tor T parametritzat per

σ(u, v) = ((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, r sin u) ,

0 < u, v < 2π, el seu paral.lel γ(t) = σ(3π/2 + π/4, t), el punt P = γ(0), i el vector X_{0} = (σ_{v})_{P}, calculeu l’angle que forma aquest vector amb el seu transportat paral.lel al llarg de γ quan s’ha fet una volta completa a γ.

Geodèsiques

114. Demostreu que la curvatura geodèsica d’un paral.lel de l’esfera de colatitud ϕ satisfà k_{g}^{2} = cotg ^{2}ϕ.

115. Demostreu que les geodèsiques d’un cilindre circular recte són exactament les circumferències obtingudes en tallar el cilindre per plans perpendiculars al seu eix, les generatrius i les hèlixs sobre el cilindre.

116. Considereu la superfície de revolució σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).

(a) Proveu que els meridians parametritzats per l’arc són geodèsiques.

(b) Proveu que un paral.lel és geodèsica sii està generat per la rotació d’un punt de la generatriu on la tangent de la qual és paral.lela a l’eix de rotació.

117. Considereu la superfície de revolució del problema 116.

(a) Demostreu que si θ ∈ [0, π/2] és l’angle de tall entre una geodèsica i un paral.lel de radi r, llavors r cos θ = const (relació de Clairaut).

(b) Demostreu que, per a una geodèsica γ(t) definida en un veïnat de t_{∘}, no hi pot haver una successió t_{n} → t_{∘} tal la geodèsica sigui tangent a un paral.lel no geodèsic en els punts γ(t_{n}).

118. Calculeu la curvatura geodèsica del paral.lel superior (o sigui, u = π/2) del tor

σ(u, v) = ((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, r sin u) .

119. Demostreu que si una geodèsica és línia de curvatura (resp., línia asimptòtica), llavors és plana (resp., un segment de recta). Doneu algun exemple de corba plana que sigui línia de curvatura però no pas geodèsica.

120. La primera forma fonamental d’una superfície parametritzada σ(u, v) té matriu

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & (e^{k u} + e^{−k u})^{2} \end{matrix} ) ,

on k > 0 és una constant.

(a) Proveu que la curvatura de Gauss de S és constant i val K = −k^{2}.

(b) Proveu que les parametritzacions per l’arc de les corbes σ(0, t) i σ(t, v_{0}) (v_{0} constant) són geodèsiques.

121. Considerem una superfície parametritzada que tingui com a primera forma fonamental la matriu

I = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & e^{2u} \end{matrix} ) .

(a) Calculeu la seva curvatura de Gauss.

(b) Esbrineu si les corbes coordenades són geodèsiques.

(c) Pot ser que la superfície tingui com a segona forma fonamental una matriu del tipus

II = ( \begin{matrix}0 & f \\ f & 0 \end{matrix} ) ,

per a alguna funció f(u, v)?