Prácticas de Finite Element Methods (GETI)

Segundo Cuatrimestre del Curso 2019-2020

Cada script y cada función contienen al principio una explicación que se puede ver sin editar el fichero. Basta teclear en la ventana de comandos de MATLAB la instrucción 'help nombre_script' o 'help nombre_funcion'.
Muchos de los programas que hay a continuación realizan llamadas a algunas funciones para dibujar y/o cargan algunos ficheros con mallados. Debéis descargar esas funciones (respectivamente, esos mallados) del apartado Plot (respectivamente, Mesh) que hay en la esquina inferior izquierda de las páginas de la asignatura en el blog Numerical Factory. Para que las funciones y los scripts que hay a continuación funcionen es necesario implementar la siguiente estructura de directorios (carpetas):
1. Escoger un nombre para la carpeta general donde guardaréis todas las prácticas del curso;
2. Una vez descargado el fichero additionalFiles.zip (respectivamente, meshFilesAll.rar), debéis desempaquetarlo y guardar todo su contenido en una subcarpeta que se llame additionalFiles (respectivamente, meshFilesAll) y que cuelgue de la anterior carpeta general.
3. Antes de cada práctica, crear usa subcarpeta que cuelgue de la carpeta general donde guardar los ficheros de esa práctica. Yo, por ejemplo, llamo 2-1 a la carpeta específica de la práctica 2.1.
4. De esta manera, no hace falta copiar antes de cada práctica las funciones para dibujar y los mallados que necesitamos en la carpeta de la práctica en cuestión. Basta añadir la línea addpath ../additionalFiles/ ../meshFilesAll/ al principio de cada script o escribirla en la ventana de comandos antes de invocar a una función. Esta línea le dice a MatLab que también busque ficheros en esas carpetas. Es decir, añade esas carpetas al cámino (path) de búsqueda.
Práctica 1.1: La función p11_exercise.m calcula los errores (en valor absoluto) promedio y máximo de unos ajustes polinomiales de grados dados de una función dada definida en un intervalo dado, con un sampling equidistribuido dado.
Práctica 1.2:
- La página de Wikipedia Barycentric coordinate system.
- Ficheros importantes:
  - El script baryCoord_draw.m calcula las coordenadas baricéntricas de un punto dado en un triángulo dado y hace un dibujo.
  - La función baryCoord.m calcula las coordenadas baricéntricas de un punto dado en un triángulo dado.
  - El script Tk2TR.m calcula la correspondencia entre un triángulo general y el triángulo de referencia y hace un dibujo.
  - El script severalTriangles.m comprueba en qué triángulo de una malla con cinco nodos y cuatro triángulos está un punto dado.
  - El script triangularMesh.m comprueba en qué triángulo de la malla meshHole.m está un punto dado.
  - La función interpolateFunction.m calcula la interpolación lineal del valor de una cierta función en un punto dado a partir de los valores de la función en los nodos de de un mallado triangular.
- Ficheros opcionales (interacción con el ratón):
  - La función Tk2TR_mouse.m hace lo mismo que la función Tk2TR.m, pero el punto se escoge con el ratón.
  - La función Tk2TR_continuousmouse.m hace lo mismo que la función Tk2TR.m, pero el punto se escoge con el ratón y el dibujo se mueve si movemos el ratón mientras mantenemos apretado un botón.
  - La función interpolateFunction_mouse.m hace lo mismo que la función interpolateFunction.m, pero el punto se escoge con el ratón.
  - La función interpolateFunction_continuousmouse.m hace lo mismo que la función interpolateFunction.m, pero el punto se escoge con el ratón y el dibujo se mueve si movemos el ratón mientras mantenemos apretado un botón.
Práctica 1.3:
- Ficheros importantes:
  - El script baryCoordQuad_draw.m calcula las coordenadas baricéntricas de un punto dado en un cuadrilátero dado y hace un dibujo.
  - La función baryCoordQuad.m calcula las coordenadas baricéntricas de un punto dado en un cuadrilátero dado.
  - La función interpolateFunctionQuad.m calcula la interpolación lineal del valor de una cierta función en un punto dado a partir de los valores de la función en los nodos de de un mallado cuadrangular.
- Ficheros opcionales (interacción con el ratón):
  - La función interpolateFunctionQuad_mouse.m hace lo mismo que la función interpolateFunctionQuad.m, pero el punto se escoge con el ratón.
  - La función interpolateFunctionQuad_continuousmouse.m hace lo mismo que la función interpolateFunctionQuad.m, pero el punto se escoge con el ratón y el dibujo se mueve si movemos el ratón mientras mantenemos apretado un botón.
Práctica 1.4:
- El script fillTriangle.m rellena un triángulo por interpolación lineal de los tres colores-valores asignados a sus vértices.
- El script fillMesh.m rellena un mallado triangular por interpolación lineal de los valores en sus nodos.
- El script p14_exercise3_amano.m resuelve el ejercicio 3 de la práctica 1-4 sobre detección y dibujo de los nodos de la frontera de un mallado triangular.
- El script p14_exercise3.m resuelve el ejercicio 3 de la práctica 1-4 sobre detección y dibujo de los nodos y elementos de la frontera de un mallado triangular mediante el uso de la función boundaryNodes.m.
- El script p14_exercise4.m resuelve el ejercicio 4 de la práctica 1-4 sobre detección y dibujo de los nodos y elementos de la frontera de un mallado cuadrangular mediante el uso de la función boundaryNodes.m.
- La función plotBoundaryNodesElements.m detecta y dibuja los nodos y elementos de la frontera de un mallado triangular o cuadrangular dado mediante el uso de la función boundaryNodes.m.
Práctica 2.1:
- El script p21_example.m calcula los desplazamientos en una columna homogénea bajo cargas constantes. El término homogéneo significa que EA es constante, donde E es el modulo de Young y A es el área de la sección.
- El script p21_exercise1.m resuelve el ejercicio 1 de la práctica 2-1, donde se modifica el número de nodos del ejemplo anterior.
- El script p21_exercise2.m resuelve el ejercicio 2 de la práctica 2-1, donde se modifican los parámetros E y A de un elemento de la columna.
Práctica 2.2:
- El script p22_example.m resuelve una ecuación modelo 1D con coeficientes constantes pero término no homogéneo lineal en el intervalo [0,1] con condiciones de frontera esenciales cuya solución exacta es conocida. Aplicamos el FEM con un número creciente de elementos lineales, para comprobar que el error disminuye cuando el número de elementos crece.
- El script p22_exercise1.m resuelve el ejercicio 1 de la práctica 2-2, donde se modifica el coeficiente a₁ de la ecuación modelo 1D. Concretamente, a₁ deja de ser constante y pasa a ser lineal, luego ya no conocemos la solución exacta. Nos piden calcular el promedio de la solución en los nodos.
- El script p22_exercise2.m resuelve el ejercicio 2 de la práctica 2-2, donde se modifica el tipo de elementos usados. Concretamente, usamos elementos cuadráticos.
Práctica 2.3:
- La función planeLinkStiffMatrix.m calcula la matriz de rigidez local de un elemento concreto de una estructura tipo truss en el plano (2D). Esta función se invocará en varios scripts posteriores.
- La función spatialLinkStiffMatrix.m calcula la matriz de rigidez local de un elemento concreto de una estructura tipo truss en el espacio (3D). Esta función se invocará en un script posterior.
- El script p23_LoadedBridge.m calcula los deformación bajo unas cargas dadas de una estructura (truss) de barras 1D en el plano que tiene la forma de un puente.
- El script p23_exercise1.m resuelve el ejercicio 1 de la práctica 2-3, donde se dobla el área seccional de tres elementos de la estructura anterior.
- El script p23_HoweRoof.m calcula los deformación bajo unas cargas dadas de una estructura (truss) barras 1D en el plano que tiene la forma de un techo de Howe.
- El script p23_3Dtruss.m calcula los deformación bajo unas cargas dadas de una estructura (truss) de barras 1D en el espacio con cuatro nodos, tres de ellos fijos.
Práctica 2.4:
- El script p24_PoissonTriangle.m resuelve la ecuación de Poisson en el cuadrado [0,1]² con dos condiciones de frontera esenciales y dos condiciones de frontera naturales usando cuatro elementos lineales triangulares después de reducir el problema a un triángulo usando la simetría del problema original.
- La función linearTriangElement.m calcula la matriz de rigidez local y el vector columna de fuerzas local de un elemento concreto de un mallado triangular dado en el caso de la ecuación modelo 2D con todos sus coeficientes constantes.
  Nota: El código de esta función se ha compactificado respecto al código publicado en Numerical Factory. Gana en elegancia, aunque pierde un poco de claridad.
- El script p24_PoissonTriangleExtended.m es una extensión del primer script. Este nuevo script estudia mallas triangulares con 4, 9, 16 o 591 triángulos y dibuja una figura adicional con las curvas de nivel de la solución.
  Nota: Este script invoca a la función anterior para calcular los objetos locales.
Práctica 2.5: El script p25_HeatHoledSquare.m resuelve la ecuación de Laplace en el cuadrado [-1,1]² con un agujero central circular de radio 1/2 y las siguientes condiciones de frontera:
- Esenciales en la frontera circular interior: u=50;
- Esenciales en los dos lados horizontales del cuadrado: u=10; y
- Naturales en los dos lados verticales del cuadrado: u_n = 0.
Práctica 2.6: El script p26_SquareChimneyConvection.m resuelve la ecuación de Laplace en el cuadrado [-0.2,0.2]² con un agujero central en el cuadrado [-0.1,0.1]² y las siguientes condiciones de frontera:
- Esenciales en la frontera interior: u=100; y
- Convección en la frontera exterior con beta=20 y T_inf=30.
Usamos tres elementos lineales triangulares después de reducir el dominio original a una octava parte usando las simetrías del problema.
Práctica 2.7:
- El script p27_HoledSquareConvection.m resuelve la ecuación de Laplace en el cuadrado [-1,1]² con un agujero central circular de radio 1/2 y las siguientes condiciones de frontera:
  - Esenciales en la frontera circular interior: u=15;
  - Esenciales en el lado inferior del cuadrado: u=50;
  - Convección en el lado superior del cuadrado con beta=2 y T_inf=-5; y
  - Naturales en los dos lados verticales del cuadrado: u_n = 0.
  Este script también resuelve el ejercicio 1 propuesto al final de la práctica.
- La función applyConstantNaturalBCTriang.m modifica el vector columna de variables secundarias global aplicando una condición de frontera natural constante.
  Importante: Se recomienda practicar el uso de esta función. Por ejemplo, resolviendo el segundo apartado del segundo problema del segundo quiz.
Práctica 2.9:
- La función bilinearQuadElement.m calcula la matriz de rigidez local y el vector columna de fuerzas local de un elemento concreto de un mallado cuadrangular dado en el caso de la ecuación modelo 2D con todos sus coeficientes constantes.
  Nota: El código de esta función se ha modificado ligeramente respecto al código publicado en Numerical Factory para evitar el uso de variables tipo cell.
- El script p29_FourSquares.m resuelve la ecuación u - u_xx - u_yy = 1 en el cuadrado [0,1]² con dos condiciones de frontera esenciales homogéneas y dos condiciones de frontera naturales homogéneas usando un mallado uniforme de 4=2×2 subcuadrados iguales.
- El script p24_exercise2.m resuelve el ejercicio 2 de la práctica 2-9, que es una variación del problema anterior. En este caso, estudiamos mallados uniformes cuadrangulares con 16=4×4 y 64=8×8 subcuadrados iguales del cuadrado inicial [0,1]², cambiamos los coeficientes de la ecuación y también las condiciones de frontera esenciales (que dejan de ser homogéneas).
  Nota: Los dos scripts invocan a la función anterior para calcular los objetos locales.
Práctica 2.10:
- El script p210_HoledRectangConvection.m resuelve la ecuación de Laplace en el rectángulo [0,5]×[0,2] con un agujero circular de radio 1/2 centrado en el punto (1,1) y las siguientes condiciones de frontera:
  - Esenciales en la frontera circular interior: u=50;
  - Esenciales en el lado inferior del cuadrado: u=10;
  - Convección en el lado superior del cuadrado con beta=2 y T_inf=-5; y
  - Naturales en los dos lados verticales del cuadrado: u_n = 0.
  Este script también resuelve el ejercicio 1 propuesto al final de la práctica.
- La función applyConstantNaturalBCQuad.m modifica el vector columna de variables secundarias global aplicando una condición de frontera natural constante.
  Importante: Se recomienda practicar el uso de esta función.
Práctica 2.13:
- El script p213_firstmesh.m detecta y dibuja ciertos nodos específicos de la frontera de un mallado triangular descritos al principio de la práctica 2-13.
- El script p213_exercises1and2.m resuelve los ejercicios 1 y 2 de la práctica 2-13 sobre detección y dibujo de ciertos nodos específicos de otro mallado triangular.
- El script p213_exercise3.m resuelve el ejercicio 3 de la práctica 2-13 sobre detección y dibujo de ciertos nodos específicos de la frontera de un mallado cuadrangular.
Práctica 4.2:
- La función planeElastTriangStiffMatrix.m calcula la matriz de rigidez local de un elemento concreto en problemas de elasticidad plana con elementos triangulares lineales. Esta función se invocará en un script posterior.
- La función applyLoadsTriang.m modifica el vector global Q según unas condiciones de frontera naturales provenientes de aplicar una tracción dada en algunos nodos de la frontera. Esta función se invocará en un script posterior y solo funciona con mallados triangulares.
- El script p42_HoledSquareStress.m calcula los deformación bajo unas tracciones dadas de una plancha delgada (luego es un problema de tensiones) con la forma del cuadrado [-1,1]² con un agujero central circular de radio 1/2. Consideramos las siguientes condiciones de frontera:
  - Esencial homogénea en el lado izquierdo del cuadrado: u=0;
  - Natural constante en el lado derecho del cuadrado; y
  - Naturales homogéneas en el resto de fronteras.
Práctica 4.3:
- El script p42_HoledRectangleStress.m calcula los deformación bajo unas tracciones dadas de una plancha delgada (luego es un problema de tensiones) con la forma del rectángulo [0,5]²×[0,2]² con un agujero circular de radio 1/2 centrado en el punto (1,1). Consideramos las siguientes condiciones de frontera:
  - Esencial homogénea en la frontera circular: u=0;
  - Natural constante en el lado derecho del rectángulo; y
  - Naturales homogéneas en el resto de fronteras.