INTRODUCCIÓN A LAS FORMAS MODULARES

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Índice

-Introducción .............19 -Superficies de Riemann .............21 -Grupos Fuchsianos .............26 -SL_{2}(ℤ) y subgrupos de congruencias .............31 -Funciones periódicas, elípticas y modulares .............41 -Formas modulares para SL_{2}(ℤ) .............55 -Formas modulares para subgrupos de congruencias .............68 -Operadores de Hecke .............82 -Aplicaciones .............89 -Bibliografía .............95

1. Introducción

En la actualidad las formas modulares tienen gran influencia en diferentes contextos de naturaleza bien diferenciada, lo que hace más dificil expresar en pocas palabras el porqué de su interés. A pesar de ello, podemos encontrar su origen en el contexto de las superficies de Riemann de una manera bastante natural.

Vagamente, una superficie de Riemann es una superficie equipada con estructura analítica. Consideremos el siguiente problema de ámbito general:

Problema:.

Estudiar todas las funciones holomorfas de todas las superficies de Riemann. En particular, antes de atacar este problema, uno debería tener cierta clasi-

ficación de todas las superficies de Riemann. Este problema es en realidad más sencillo de lo que parece, gracias al teorema de uniformización de Riemann que, de hecho, clasifica todas las simplemente conexas en solo tres ℂ, H = {z ∈ ℂ : Im(z) > 0} y ℂ̂ = ℂ ∪ {∞}.

Este teorema, junto con la teoría de recubrimientos, nos permite deducir que cualquier superficie de Riemann es de hecho X/G donde X es una de las tres superficies mencionadas y G un grupo de aplicaciones cubrimiento.

Las funciones modulares serán las correspondientes a X = H, en cuyo caso G va a ser un subgrupo de SL_{2}(ℝ); las elípticas son las que aparecen con X = ℂ con G = Λ un subgrupo de transformaciones de rango 2.

Esta conexión entre funciones modulares y elípticas es en realidad mucho más profunda. Efectivamente, cada retículo Λ con generadores {w_{1}, w_{2}} corresponde a una curva elíptica E(Λ) determinada, siendo éstas isomorfas si vienen de retículos dilatados Λ = cΛ′. Así pues, reescalando el retículo, podemos normalizarlo de forma que los generadores sean {1, z} con z ∈ H.

Dos retículos Λ(z), Λ(z′) serán iguales sólo si existe una matriz ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈

SL_{2}(ℤ) tal que Az = (az + b)/(cz + d) = z′. De esta forma, se da una inyección entre H/SL_{2}(ℤ) y curvas elípticas, lo que nos permite entender funciones modulares sobre H/SL_{2}(ℤ) como funciones sobre curvas elípticas, y por tanto valores especiales de estas funciones corresponderán en realidad a propiedades especiales para la curva.

Así por ejemplo veremos que si E es una curva elíptica definida sobre ℚ que corresponde a z_{0} ∈ H, la función modular para H/SL_{2}(ℤ), j(z) es una función trascendente tal que j(z_{0}) es racional!!

Aparte de esta relación con las curvas elípticas, actualmente las funciones modulares desempeñan un papel muy importante en relación con ciertas funciones aritméticas como la función τ de Ramanujan, o la función partición. Esta relación, que en principio puede parecer realmente sorprendente, nos permitirá deducir resultados en cuanto a propiedades de congruencia, acotación o multiplicatividad de las funciones aritméticas.

Una vez desarrollada la teoría veremos que, por ejemplo, las conjeturas de Ramanujan para la función τ son en realidad casos particulares que se siguen de manera inmediata.

Un estudio más concreto nos permitirá además establecer nuevas aplicaciones para la función partición claramente generalizables a otras funciones aritméticas generadas por formas modulares.

2. Superficies de Riemann

Vamos a dedicar esta sección a presentar los aspectos más básicos de la teoría de estas superficies, lo que hará más directa la lectura de proximos capítulos.

Definicion 1.

Una superficie de Riemann es un espacio Hausdorff conexo X con una estructura compleja {U_{α}, P_{α}}, donde U_{α} es un recubrimiento por abiertos de X y P_{α} : U_{α} ⟶ U ⊂ ℂ es un homeomorfismo de U_{α} en el abierto U tal que

P_{β} ∘ P_{α}^{−1} : P_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) ⟶ P_{β}(U_{α} ∩ U_{β})

son analíticas.

Así por ejemplo, ℂ, Δ = {z ∈ ℂ : |z| < 1}, H = {z ∈ ℂ : Im(z) > 0}, la recta proyectiva ℙ^{1} o ℂ̂ = ℂ ∪ {∞} son superficies de Riemann.

Definicion 2.

Dada una superficie de Riemann X, decimos que una función f : X ⟶ ℂ es holomorfa (meromorfa) si lo son cada una de las funciones f ∘ P_{α}^{−1}.

De la misma forma podemos definir aplicaciones entre dos superficies de Riemann X y X′.

Definicion 3.

Una aplicación f : X ⟶ X′ es un morfismo entre superficies de Riemann cuando P_{α}^{−1} ∘ f ∘ P′_{α} son holomorfas. Si el morfismo tiene un inverso entonces es un isomorfismo.

Las superficies H y Δ son isomorfas, siendo el isomorfismo z ⟶ (z−i)/(z+i). Por otra parte ℙ^{1} y ℂ̂ son tambien isomorfas mediante (z_{1}, z_{2}) ⟶ z_{1}/z_{2} y (1, 0) ⟶ ∞.

Proposicion 4. Mor(X, ℙ^{1}) ≡funciones meromorfas en X.

Demostración.

Las cartas en ℂ̂ son z o 1/z; así pues, o bien f ∘ P_{α}^{−1} o bien 1/f ∘ P_{α}^{−1} son holomorfas.

q.e.d

La anterior proposición nos permite dotar a Mor(X, ℙ^{1}) de una estructura de cuerpo conmutativo que denotaremos por ℂ(X).

Proposición 5.

(1) ℂ(ℙ^{1}) = ℂ(z) ≡el cuerpo de las funciones racionales.

(2) Aut(ℙ^{1}) = P SL_{2}(ℂ) = SL_{2}(ℂ)/{±1}.

(3) Aut(ℂ) = {az + b}.

(4) Aut(Δ) = \{z ⟶ exp(iθ)\frac{z−α}{1−ᾱz} : | |α| < 1\}.

(5) Aut(H) = P SL_{2}(ℝ).

Demostración.

(1) Sea f ∈ ℂ(ℙ^{1}) y supongamos que f(∞) ≠ ∞ (en otro caso basta considerar 1/f). El conjunto de polos es aislado, por tanto tiene un número finito a_{1}, ⋯, a_{n}. Consideremos g = f −(h_{1} +⋯+h_{n}), siendo h_{i} la parte principal de f en a_{i}. La función g es holomorfa en ℂ̂; por tanto, por el teorema de Lioville, constante. Luego f es racional.

(2) Basta observar que para que f en (1) sea biyectiva debe ser una fracción

lineal f(z) = \frac{az+b}{cz+d}, y la matriz ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) debe tener determinante distinto de

cero si queremos que la función no sea constante.

(3) Si f ∈ Aut(ℂ) extiende a un automorfismo en ℙ^{1}, el resultado es consecuencia de (2). Si no extiende es porque tiene una singularidad esencial en ∞, pero en ese caso la función no puede ser biyectiva por el teorema grande de Picard.

(4) [Teorema 12.6, R]

(5) Se deduce del apartado (4) mediante el isomorfismo (z − i)/(z + i).

Proposición 6. Sea X compacta y conexa. Entonces toda aplicación holomorfa es constante y cualquier morfismo no constante f : X ⟶ X′ con X′ conexa es sobreyectivo.

Demostración.

Para probar la primera parte basta observar que una aplicación holomorfa alcanza el máximo sobre compactos. Aplicando el principio del máximo deducimos entonces que la aplicación es constante en un entorno, y por el principio de identidad la función es constante.

La segunda parte se sigue de observar que una aplicación holomorfa no constante es abierta. Por otro lado, la imagen de un compacto es un compacto. Además es un subconjunto de un espacio Hausdorff, luego es cerrado. Por ser conexo debe ser el total. En particular se deduce que si hay una aplicación sobreyectiva, entonces X′ es compacta.

En lo que sigue (U_{α}, P_{α}) será una superficie de Riemann. Para cada p ∈ U_{α} ∩ U_{β} escribimos dz_{α}/dz_{β} = (P_{α} ∘ P_{β}^{−1})′P_{β}(P).

Definición 7.

Una diferencial holomorfa (meromorfa) ω es una colección de funciones holomorfas (meromorfas) f_{α} : U_{α} ⟶ ℂ tales que f_{β} = f_{α}dz_{α}/dz_{β} en todo punto de U_{α} ∪ U_{β}. En ese caso se suele escribir ω_{|U_{α}} = f_{α}dz_{α}.

Para cada función meromorfa f se puede definir una diferencial meromorfa df de la siguiente forma

df = \{\frac{∂f}{∂z_{α}}_{|p} = (f ∘ P_{α}^{−1})′(P_{α}(p))\} .

Una simple aplicación de la regla de la cadena demuestra que dicha definición corresponde a una forma diferencial. En efecto,

(f ∘ P_{α}^{−1})′(P_{α}(p))} = (f ∘ P_{β}^{−1})′(P_{β}(p))}(P_{β} ∘ P_{α}^{−1})′(P_{α}(p))}.

Proposición 8. Dada una función meromorfa f, cualquier diferencial meromorfa es de la forma ω = gdf, donde g es alguna función meromorfa.

Demostración.

Sean ω_{1} = {f_{α,1} : U_{α} ⟶ ℂ}, y ω_{2} = {f_{α,2} : U_{α} ⟶ ℂ} dos diferenciales meromorfas. Entonces,

\frac{ω_{1}}{ω_{2}}_{|p} = \frac{f_{α,1}(p)}{f_{α,2}(p)} = \frac{f_{α,1}(p)(dz_{β}/dz_{α})_{|p}}{f_{α,2}(p)(dz_{β}/dz_{α})_{|p}} = \frac{f_{β,1}(p)}{f_{β,2}(p)},

para p ∈ U_{α} ∩ U_{β}. Por tanto es independiente de la elección de entornos coordenados y define una función meromorfa. Así pues, basta tomar g = ω/df para demostrar el resultado.

Definición 9.

Se dice que

(1) el orden de un cero (polo) de una función meromorfa en p es n, v_{p}f = ord_{p}f = n, si existe a_{n} ≠ 0 tal que en un entorno de P_{α}(p) = 0

f ∘ P_{α}^{−1}(z) = a_{n}z^{n} + a_{n+1}z^{n+1} + ⋯

(2) El orden de cero (polo) de una diferencial meromorfa ω = {f_{α}} en p ∈ U_{α}

es v_{p}ω = ord_{p}ω = ord_{p}f_{α}. Obsérvese que las definiciones son independientes de la elección de cartas, ya que P_{α} ∘ P_{β}^{−1}(z) = az + ⋯ con a ≠ 0 y dz_{β}/dz_{α} ≠ 0.

La teoría de espacios recubridores y el teorema de uniformización de Riemann nos permiten clasificar las superficies de Riemann dentro de tres grandes grupos. Enunciamos ahora los resultados necesarios para dicha clasificación.

Definición 10.

Una aplicación continua π de X en X′ es una aplicación cubrimiento si para cada x′ ∈ X′ existe un abierto V conteniendo a x′ tal que π^{−1}(V) = ⋃_{α} U_{α} y π : (U_{α}) ⟶ V es un homeomorfismo. En este caso a X se le llama un espacio recubridor de X′.

Observar que en este caso π^{−1}(x′) es un conjunto discreto.

Así, por ejemplo, la hélice X = (exp(2πit), t) es un espacio recubridor de la circunferencia X = exp(2πit), siendo la aplicación cubrimiento la proyección.

=4cmcubrim.eps Fig.1 Cubrimiento de S^{1} Teorema 11. Sea X una superficie de Riemann.

(1) Existe un único X̃ revestimiento simplemente conexo de X, salvo homeomorfismo. A X̃ se le llama el revestimiento universal de X.

(2) Aut_{π}(X̃) = {f ∈ Aut(X̃) : π ∘ f = π} ≡ π_{1}(X).

(3) Aut_{π} actúa libremente (es decir, sin puntos fijos) y X̃/Aut_{π} ≃ X.

Demostración.

(Ver [G])

Teorema 12. Toda superficie de Riemann simplemente conexa es isomorfa a ℂ, H o ℙ^{1}.

Demostración.

[9.2, B]

Ambos resultados nos permiten deducir

Corolario 13. Toda superficie de Riemann compacta X es de la forma ℙ^{1}, ℂ/Λ o H/Γ, donde Λ es un retículo en ℂ y Γ un subgrupo discreto, libre, de P SL_{2}(ℝ).

Demostración.

Si la superficie es de género 0, es simplemente conexa, luego es ℙ^{1}.

Si es de género 1, X = X̃/Aut_{π}(X̃) para X̃ = ℙ^{1} o ℂ o H. En primer lugar, observamos que Aut_{π}(X̃) ≡ π_{1}(X), luego es un grupo abeliano libre de rango 2. Por la Proposición 5 sabemos que no puede ser el primer caso, pues toda transformación de Möbius tiene puntos fijos en la esfera de Riemann. La misma proposición nos permite deducir que tampoco puede ser H, pues P SL_{2}(ℝ) no tiene grupos de esas características [Ejer 5.7,G]. Así pues X̃ = ℂ y los generadores de Aut_{π} son f_{1} = z + w_{1}, f_{2} = z + w_{2}, ya que cualquier aplicación az + b con a ≠ 1 tiene puntos fijos. Además w_{1}, w_{2} son ℝ linealmente independientes para que el cociente sea compacto.

Si la superficie tiene género g ≥ 2 entonces X̃ debe ser H. ℙ^{1} se descarta por la misma razón que en el apartado anterior, y ℂ no puede ser pues Aut_{π}(ℂ) sería un grupo de traslaciones, y por lo tanto abeliano, lo cual contradice que es el grupo fundamental de una superficie de género mayor que 1.

El resultado anterior nos permite entender cualquier superficie de Riemann como cociente por un grupo. Sin embargo podemos relajar un poco las condiciones del grupo y todavía obtener una superficie de Riemann.

En particular la condición de que el grupo actúe libremente es demasiado fuerte, y no se cumple en los ejemplos de los grupos aritméticos en los que estamos interesados.

Así pues buscamos subgrupos discretos de P SL_{2}(ℝ) tal que, a pesar de no actuar libremente, sean tales que su acción en los puntos fijos sea “controlable” como para que todavía el cociente dé como resultado una superficie de Riemann.

3. Grupos Fuchsianos

Sea Γ un subgrupo de P SL_{2}(ℝ) y γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ. Se define la acción de

γ en H mediante la identidad γ(z) = (az + b)/(cz + d). Es fácil comprobar que γ_{1}(γ_{2}(z)) = (γ_{1}γ_{2})(z) e Id(z) = z.

Al espacio de órbitas Γz lo denotamos por H/Γ y π : H ⟶ H/Γ será la proyección natural. Dotaremos a este espacio con la topología cociente, es decir, S ⊂ H/G será abierto cuando π^{−1}(S) sea abierto. Con esta topología π es una aplicación continua y abierta, pues π^{−1}(π(U) = ∪_{γ∈Γ}γU es abierto para cada U abierto de H.

Todavía no hemos elegido la topología con la que equipar H. Si nos fijamos en el hecho de que \frac{dγz}{dz} = (cz + d)^{−2} e Im(γz) = |cz + d|^{−2}Im(z), observamos que considerando en H la métrica derivada de la diferencial \frac{|dz|}{Im(z)}, permite que la acción de γ ⊂ P SL_{2}(ℝ) en H como transformación lineal sea una isometría.

Observemos que la distancia entre dos puntos z, w viene dada en este caso por

∫_{0}^{1} |z′(t)|\frac{dt}{Im(z(t))},

mientras que la distancia entre γ(z), γ(w) es

∫_{0}^{1} |γ(z(t))′|\frac{dt}{Im(γ(z(t)))} = ∫_{0}^{1} |γ′(z(t)||z′(t)|\frac{dt}{Im(γ(z(t)))}.

Este resultado nos va a permitir que la acción del grupo, en tanto en cuanto sea discreto, separe puntos, lo cual es una condición necesaria si queremos que el cociente sea un espacio Hausdorff. Más concretamente:

Definición 14.

Dado un grupo Γ ⊂ P SL_{2}(ℝ), y z ∈ H se define el subgrupo de isotropía, o de estabilidad, de z mediante Γ_{z} = {γ ∈ Γ : γz = z}.

Si nos restringimos a grupos discretos se tiene:

Proposición 15. Sea Γ ⊂ P SL_{2}(ℝ) discreto. Para todo z ∈ H existe z ∈ U abierto tal que {γ ∈ Γ : γ(U) ∩ U ≠ ∅} = Γ_{z}.

Demostración.

Una idea de la demostración la obtenemos sin más que pensar que Γ es un grupo discreto de isometrías.

Para una demostración completa y más general ver [Sh, Prop 1.7].

Nota.

A los subgrupos discretos de P SL_{2}(ℝ) se les conoce en la literatura como grupos Fuchsianos.

El estudio del conjunto de puntos fijos lo haremos por medio de una clasificación general de las transformaciones de Möbius.

En general, cualquier elemento α de GL_{2}(ℂ) se puede reducir a su forma canónica de Jordan mediante conjugación, es decir α = ργρ^{−1} donde ρ ∈ GL_{2}(ℂ) y γ es uno de los tres siguientes tipos:

( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ) ,  ( \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} ) ,  ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ) .

Así pues, las transformaciones esencialmente se dividen en tres posibilidades, la identidad, z ⟶ z + 1/λ ó z ⟶ cz.

A cualquier matriz en el primer caso la llamaremos una matriz escalar.

Las matrices en el segundo caso, se llaman parabólicas y en el tercer caso diremos que son elípticas si |c| = 1, hiperbólicas si c > 0, y loxodrómicas en cualquier otro caso. Si imponemos que las matrices tengan determinante 1, α ∈ SL_{2}(ℂ), se tiene el siguiente resultado:

Proposición 16.

(1) α es parabólico si y sólo si trα = ±2.

(2) α es elíptico si y sólo si −2 < trα < 2.

(3) α es hiperbólico si y sólo si trα > 2 o trα < −2.

(4) α es loxodrómico si y sólo si trα ∈ ℂ.

Demostración.

Basta probar en cada uno de los apartados la implicación ⇒.

(1) La traza y el determinante son invariantes, por tanto, λ^{2} = 1.

(2) μ = 1/λ,|λ| = 1 y tr(α) = 2 cos(θ) para algún θ real.

(3) λ = cμ, cμ^{2} = 1, |tr(α)| = |(1 + c)μ| = \frac{1+c}{\sqrt{c}} > 2.

(4) Si la traza es real, el polinomio característico tiene, o bien las raíces reales λ y 1/λ, en cuyo caso hemos visto que es hiperbólico, o las tiene complejas conjugadas, en cuyo caso tienen módulo 1 y el elemento es elíptico.

Si además restringimos nuestras matrices a SL_{2}(ℝ), podemos dar una clasificación de las transformaciones de Möbius en función de sus puntos fijos.

Proposición 17.

(1) α es parabólico si y sólo si tiene un único punto fijo situado en ℝ ∪ {∞}.

(2) α es elíptico si y sólo si tiene dos puntos fijos (uno en H y su conjugado).

(3) α es hiperbólico si y sólo si tiene dos puntos fijos, ambos en ℝ ∪ {∞}.

(4) No existen elementos loxodrómicos.

Demostración.

Es claro que como mucho puede tener dos puntos fijos, pues son las soluciones de un polinomio de segundo grado. Supongamos que α(i) = i. Entonces α =

( \begin{matrix}p & q \\ −q & p \end{matrix} ) con p^{2} + q^{2} = 1, es decir α ∈ SO(2), condición que en realidad

también es suficiente.

En general, si α(z) = z con z = u + iv ∈ H entonces α = τ^{−1}SO(2)τ con τ(i) = z. Así pues, tr(α) = 2p con lo que, o bien es la identidad o es un elemento elíptico. En este caso, es claro que z̄ es su segundo punto fijo.

Supongamos ahora s ∈ ℝ ∪ {∞} y α(s) = s. Llamamos

F (∞) ={γ ∈ P SL_{2}(ℝ) : γ(∞) = ∞},
P (∞) ={γ ∈ P SL_{2}(ℝ) : γ(∞) = ∞ , γ parabólico }

Cualquier elemento de F (∞) es de la forma γ = ± ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & 1/a \end{matrix} ), por lo que α

debe ser α = τγτ^{−1}, donde τ(∞) = s.

Si a = 1 la transformación sólo tiene a ∞ como punto fijo. Si a ≠ 1, la transformación además tendrá un punto fijo en ℝ.

A partir de ahora, salvo que se indique lo contrario, Γ será un grupo Fuchsiano. Observar que éstos no sólo actúan en H, sino también en la recta real completada.

Definición 18.

Sea z tal que γ(z) = z para algún γ ∈ Γ. Si z ∈ H, entonces se dice que es un punto elíptico para Γ. Si z ∈ ℝ ∪ {∞} y γ es parabólico, entonces es una cúspide, o punto parabólico.

Nota:.

Obsérvese que si z es un punto elíptico, (parabólico) para Γ, también lo es cualquier Γ-equivalente suyo.

Proposición 19. Si z es un punto elíptico de Γ, entonces Γ_{z} es un subgrupo cíclico finito.

Demostración.

Sea σ ∈ Γ_{z}. Como en la demostración de la Proposición 17, se tiene τστ^{−1} ∈ SO(2). Así pues σ ∈ τSO(2)τ^{−1} ∩ Γ. SO(2) es un subgrupo compacto. Intersecado con un subgrupo discreto debe ser finito.

Por otro lado SO(2) ≃ ℝ/ℤ, con lo cual cualquier subgrupo finito es cíclico.

Proposición 20. Si z es una cúspide, entonces Γ_{z}/{Γ ∩ ±Id} ≃ ℤ. Además, si γ ∈ Γ_{z}, o bien es parabólico, o es la identidad.

Demostración.

Sabemos que P (∞) ≃ ℝ × {±Id}; por tanto, si τ(∞) = z, Γ ∩ τΓ_{z}τ^{−1} es un subgrupo discreto de ℝ, luego isomorfo a ℤ.

Por otra parte, supongamos que z = ∞ y que σ = ( \begin{matrix}1 & h \\ 0 & 1 \end{matrix} ) es un generador

de Γ_{z}. Sea γ = ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) un elemento hiperbólico de Γ_{z}. Entonces γσγ^{−1} =

( \begin{matrix}1 & a^{2}h \\ 0 & 1 \end{matrix} ) está en el estabilizador de z con |a^{2}h| < |h| (si |a| > 1, tomamos

τ^{−1}), contradiciendo que σ era generador.

Si z ≠ ∞ el resultado se deduce de manera análoga conjugando con τ.

Ejercicio: Probar que todo subgrupo discreto de ℝ es isomorfo a ℤ.

Ya podemos probar que, incluso relajando un poco las condiciones del Corolario 13, todavía podemos obtener una superficie de Riemann.

Sea Γ un subgrupo discreto de SL2_{(}ℝ) y H^{∗} la unión de H con las cúspides de Γ. Vamos a dotar a H^{∗}/Γ de la siguiente topología:

Los entornos de z ∈ H los definimos mediante la métrica hiperbólica. Para z = ∞ un sistema de entornos vendrá dado por U_{c} = {Im(z) > c} ∪ {∞}. Estos entornos son la imagen inversa de bolas centradas en cero mediante el cambio z ⟶ q = e^{2πiz} que lleva el semiplano superior en el disco unidad.

Por último, si z ∈ ℝ es una cúspide, entonces los entornos serán la imagen por τ de los entornos de infinito, siendo τ una transformación lineal que manda infinito a la cúspide. Esta topología en la recta no coincide con la topología usual de ℝ.

Una vez definida la topología en H^{∗}, en H^{∗}/Γ tomaremos como es habitual la topología cociente. Llamaremos π : H^{∗} ⟶ H^{∗}/Γ a la proyección natural.

Teorema 21. H^{∗}/Γ es una superficie de Riemann.

Demostración.

Sea z ∈ H^{∗} y U el entorno de z que asegura^{1} la Proposición 15. En dicho entorno, por tanto, {γ(U) ∩ U ≠ ∅} = Γ_{z} y se tiene que P : U/Γ_{z} ⟶ H^{∗}/Γ es inyectiva (los únicos γ que relacionan puntos de U están en Γ_{z}) y P (U/Γ_{z}) = π(U) es un abierto de H^{∗}/Γ que contiene a z.

1La Proposición 15 sólo está establecida para z ∈ H. Para una demostración en las cúspides ver [Sh, Lemma 1.26].

Si z ∈ H no es elíptico, entonces Γ_{z} = ±Id y π es el homeomorfismo requerido. Así pues tomamos (U/Γ_{z}, π^{−1}) como carta.

Sea ahora z elíptico y sea τ un isomorfismo de H en Δ tal que τ(z) = 0. Entonces, por la Proposición 5, el grupo τΓ_{z}τ^{−1} es un grupo finito de rotaciones, digamos de orden n. Por tanto, la aplicación P : U/Γ_{z} ⟶ ℂ definida por P (π(z)) = τ(z)^{n}, define el homeomorfismo requerido. Incluimos (U/Γ_{z}, P) en la estructura compleja.

Por último, fijemos z parabólico. En este caso sabemos que

Γ_{z} ≃ \{( \begin{matrix}1 & h \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{m} : m ∈ ℤ\}

para algún h ∈ ℝ. Sea τ ∈ SL_{2}(ℝ) tal que τ(z) = ∞. El homeomorfismo ahora viene definido por P : U/Γ_{z} ⟶ ℂ tal que P (π(z)) = exp(2πiτ(z)/h).

4. SL_{2}(ℤ) y subgrupos de congruencias.

A partir de ahora denotaremos Γ = SL_{2}(ℤ), salvo que se indique lo contrario. Este es el primer ejemplo de grupo Fuchsiano de interés para la aritmética. Tambien se conoce como grupo modular.

Observemos que la acción de Γ sobre H es como la de Γ̄ = P SL_{2}(ℝ), en el sentido de que la correspondencia entre Γ̄ y las transformaciones z ⟶ γ(z) es uno-uno, pues −Id actúa como la identidad.

En general vamos a denotar Γ̄ = Γ/{±Id} para cualquier grupo Γ.

En este caso veremos que la superficie H/Γ es en realidad la esfera de Riemann.

Definición 22.

F ⊂ H es un dominio fundamental para H/Γ si cualquier z en el semiplano es Γ−equivalente a algún z_{0} ∈ F siendo este único si esta en el interior de F.

Nota:.

el dominio fundamental nos proporciona una forma de visualizar la superficie de Riemann.

Teorema 23. El conjunto {z = x + iy : |x| ≤ 1/2, |z| ≥ 1} es un dominio fundamental para Γ.

Demostración.

Sea z = x + iy ∈ H. Sin pérdida de generalidad podemos suponer −1/2 ≤

x ≤ 1/2, ya que T = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) es una traslación paralela al eje x de longitud 1.

Para cada elemento de Γ, γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), escribimos j(γ, z) = cz + d. Por ser

Γ discreto, min_{γ} |j(γ, z)| se alcanza. En efecto, si |c| > 1/|y| o si |c| < 1/|y| y |d| > 1 + |x/y|, entonces |j(γ, z)| > 1. Luego basta considerar el mínimo entre j(Id, z) = 1 y {|j(γ, z) : |c| < 1/|y|, |d| < 1 + |x/y|}.

Sea entonces γ_{0} tal que j(γ_{0}, z) es mínimo. Entonces Im(γ_{0}(z)) es máxima, puesto que

Im(γ(z)) = \frac{Im(z)}{|j(γ, z)|^{2}} ≤ \frac{Im(z)}{|j(γ_{0}, z)|^{2}} = Im(γ_{0}(z)).

Sea ahora w = γ_{0}(z), entonces |w| > 1, ya que si |w| < 1,

Im(Sw) = \frac{Im(w)}{|w^{2}|} > Im(w)

para S = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ).

Supongamos ahora que hay dos elementos z_{1}, z_{2} ∈ F con Im(z_{2}) ≥ Im(z_{1}) tales que γz_{1} = z_{2} para γ ∈ Γ con j(γ, z) = cz + d. En este caso, Im(z_{2}) = Im(z_{1})/|j(γ, z_{1})|^{2} ≥ Im(z_{1}), por lo que

(e1)  |c|Im(z_{1}) ≤ |j(γ, z_{1})| ≤ 1.

Por otra parte, Im(z_{1}) ≥ \sqrt{3}/2 pues z_{1} ∈ F; luego o bien c = 0 o bien |c| = 1. Supongamos que c = 0. γ tiene determinante 1, por lo que debe ser de la

forma γ = ± ( \begin{matrix}1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix} ); es decir, es una traslación de longitud entera, con lo que

z_{2} = z_{1} ± 1 están en la frontera de F .

Si |c| = 1, entonces |d| < 2 por (e1). Vamos a dividir este caso según los posibles d:

Si |c| = 1, d = 0, entonces γ = ±T^{a}S para algún a. Un elemento de este estilo lleva puntos de F en puntos de F sólo cuando a = 0, z_{1} está en la circunferencia unidad y z_{2} es el simétrico respecto el eje y; o bien a = ±1 y z_{1} = z_{2} = 1/2 + \sqrt{−3}/2 = w_{1} o bien z_{1} = z_{2} = −1/2 + \sqrt{−3}/2 = w_{2}.

Si c = d = ±1 entonces γ = ±T^{a}ST para algún a, que sólo es posible si a = 0 y z_{1} = z_{2} = w_{2} ó a = 1 y z_{2} = z_{1} + 1 = w_{1}

Por último, si c = −d = ±1, entonces γ = ±T^{a}ST^{−1} con a = 0 y z_{1} = z_{2} = w_{1} ó a = −1 y z_{2} = z_{1} − 1 = w_{2}, lo que termina la demostración.

En la prueba ha sido esencial el uso de T y S. De hecho, uno puede modificar un poco la demostración para probar que en realidad basta considerar “palabras” en T y S para llegar desde cualquier punto del semiplano superior a un punto de F. Éste no es un hecho casual, ya que en realidad el grupo generado por T y S, y Γ, son esencialmente el mismo. Éste va a ser un hecho crucial en la construcción de formas modulares.

Teorema 24. Sea Γ′ el grupo generado por T y S. Entonces ±Γ′ = Γ, es decir, cualquier elemento de Γ se puede escribir como una palabra en T y S salvo el signo.

Demostración.

Sea γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) , un elemento de Γ. Se tiene que

T^{n}γ = ( \begin{matrix}a + nc & b + nd \\ c & d \end{matrix} ) y
Sγ = ( \begin{matrix}−c & −d \\ a & b \end{matrix} ) ,

con lo cual la acción de T reduce la esquina superior derecha al resto de dividir a entre c, mientras que S intercambia filas. Combinar ambas es, pues, lo mismo que desarrollar el algoritmo de Euclides. Así pues, eventualmente la esquina superior derecha será 0. En ese caso, como |γ| = 1, la matriz resultante será de

la forma ( \begin{matrix}0 & ∓1 \\ ±1 & d \end{matrix} ) = εST^{εd}, para ε = ±1, lo que demuestra el resultado.

En cualquier caso, la prueba del Teorema 23 nos permite deducir un resultado más fuerte que el enunciado del teorema, en el sentido de que identifica exactamente los puntos de F que están relacionados por Γ y cuál es su relación concreta.

Proposición 25. Sean z_{1} y z_{2} dos puntos distintos de la clausura de F. Entonces, γz_{1} = z_{2} si y sólo si z_{1} = z_{2} ± 1, Re(z_{1}) = ∓1/2 ó z_{1} = −1/z_{2} y z_{1} está en la circunferencia unidad.

En particular, nos permite identificar cuáles son los puntos elípticos del grupo:

Proposición 26. Sea z ≠ i, w_{1}, w_{2} un punto de F. Entonces Γ_{z} = ±Id. Además,

Γ_{i} = ± {Id, S},
Γ_{w_{1}} = ± {Id, T S, (T S)^{2}},
γ_{w_{2}} = ± {Id, ST, (ST)^{2}}.

De la proposición deducimos

Corolario 27. Los únicos puntos elípticos son i, w_{1}, w_{2}, o sus Γ-equivalentes.

Nuestro siguiente paso va a ser determinar las cúspides del grupo modular.

Proposición 28. Un punto r ∈ ℝ ∪ {∞} es parabólico para Γ si y sólo si r ∈ ℚ ∪ {∞}. Además Γ actua de forma transitiva sobre las cúspides.

Demostración.

Un punto r sera cúspide si (ar +b)/(cr +d) = r para algunos enteros a, b, c, d, tales que a+d = ±2 por la Proposición 16. Esta condición es lo mismo que decir que la ecuación cr^{2} + dr = ar + b tenga una única solución r = (a − d)/2c ∈ ℚ. Por otra parte, el punto r = c/d es invariante por la matriz parabólica de Γ

( \begin{matrix}1 − cd & c^{2} \\ −d^{2} & 1 + cd \end{matrix} ) , lo que termina la primera parte de la proposición.

Para demostrar la segunda parte, no hay más que observar que por el algo-

ritmo de Euclides, la matriz de Γ ( \begin{matrix}a & b \\ −d & c \end{matrix} ) , manda r = c/d a ∞ para cualquier

r ∈ ℚ.

Nota.

La matriz que deja fija la cúspide r en la primera parte no es más que γ^{−1}T γ, donde γ(∞) = r.

Así pues, no hay más que identificar en F Re(z) = 1/2 con Re(z) = −1/2, las dos ramas del arco de la circunferencia unidad de forma simétrica respecto Re(z) = 0 y añadir la cúspide ∞, para obtener una representación de H^{∗}/Γ como la esfera de Riemann.

Otros ejemplos de grupos Fuchsianos interesantes para la aritmética los encontramos en los subgrupos de congruencias. Éstos se definen de la siguiente forma: sea

Γ(N) = {γ ∈ Γ : γ ≡ Id (mod N)}.

Definición 29.

Decimos que Γ′ ⊂ Γ es un subgrupo de congruencias de nivel N si contiene a Γ(N).

Obsérvese que un subgrupo de congruencias de nivel N también lo es de nivel M para M|N.

Los subgrupos de congruencias a los que nos dedicaremos serán fundamentalmente a

Γ_{0}(N) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ⊂ Γ : c ≡ 0 (mod N)\} ,

y

Γ_{1}(N) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ⊂ Γ_{0}(N) : a ≡ 1 (mod N)\} .

El interés de cada uno de estos grupos aparecerá de forma más palpable en secciones posteriores.

De la misma manera que hicimos para el grupo modular vamos a dar un método para encontrar un dominio fundamental para cada uno de estos subgrupos.

Encontrar un dominio fundamental es, de alguna manera, encontrar el mínimo subconjunto de H que contiene un representante de cada clase de H/Γ′. Ahora bien, Γ′ es de índice finito sobre Γ, con lo cual podemos dividir Γ en un número finito de clases en función del subgrupo considerado. Esta división nos permite restringirnos a cada clase para encontrar el dominio fundamental. Más concretamente, supongamos que [Γ : Γ′] = n y que Γ = ∪_{i=1}^{n}α_{i}Γ′, tal que α_{i}Γ′_{i}∩α_{j}Γ′_{j} = ∅. En estas condiciones se tiene:

Proposición 30. Sea F un dominio fundamental para Γ. Entonces F′ = ∪_{i=1}^{n}α^{−1}F es un dominio fundamental para Γ′.

Demostración.

Sea z ∈ H. Tenemos que encontrar γ ∈ Γ′ y z′_{0} ∈ F′ tal que γ′z = z′_{0}. Ahora bien, sea γ ∈ Γ y z_{0} ∈ F tal que γz = z_{0}. Para algunos α_{i} y γ′ ∈ Γ′ se tiene que γ = α_{i}γ′; con lo que γ′z = α_{i}^{−1}z_{0} lo que demuestra que cualquier punto en H tiene un Γ′-equivalente en F′.

Veamos ahora que dos puntos interiores a F′ no están relacionados por Γ′. Supongamos que z_{1} = γ′z_{2} y que z_{1} está en el interior de α_{i}^{−1}F para algún

1 ≤ i ≤ n. Entonces α_{i}^{−1}z̃_{2} = z_{2} = γ′z_{1} = γ′α_{j}^{−1}z̃_{1} para algunos z̃_{1}, z̃_{2} en el interior de F, lo que no puede ser.

Así pues, sea F_{i} = ∂α_{i}^{−1}F. Para que z_{2} ≠ w_{1}, w_{2} sea interior a F′ sin ser interior en ninguna de las clases, debe ocurrir z_{2} ∈ F_{i} ∩ F_{j}. De la relación z_{2} = γ′z_{1} se deduce que z_{2} ∈ F_{k}, lo que contradice las proposiciones 25 y 26. Si z_{2} = w_{1} ó z_{2} = w_{2}, el razonamiento es análogo. En este caso para ser punto interior debe pertenecer a la intersección de seis clases F_{i}, mientras que la relación con otro punto de F′ nos daría una más.

El resultado anterior reduce el cálculo del dominio fundamental de un subgrupo a encontrar los representantes α_{i}. Un primer paso es, por tanto, encontrar el índice del subgrupo en cuestión.

Este es fácil de calcular en general para los subgrupos de Γ que estamos considerando. Así,

Proposición 31.

(1) [Γ : Γ(N)] = N^{3} ∏_{p|N} (1 − \frac{1}{p^{2}} ).

(2) [Γ : Γ_{0}(N)] = N ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p}).

(3) [Γ : Γ(N)] = N^{2} ∏_{p|N} (1 − \frac{1}{p^{2}} ).

Demostración.

(1) Sea f : Γ ⟶ SL_{2}(ℤ/Nℤ) la reducción modulo N de los coeficientes. Es claro que f es un homomorfismo sobreyectivo con núcleo Γ(N). Por tanto,

0 ⟶ Γ(N) ⟶^{i} Γ ⟶^{f} SL_{2}(ℤ/Nℤ) ⟶ 0

es una sucesión exacta, donde i es la inyección canónica. De esta forma,

Γ/Γ(N) ≃ SL_{2}(ℤ/Nℤ),

con lo que [Γ : Γ(N)] = |SL_{2}(ℤ/Nℤ)|. Ahora bien, si N = ∏_{j} p_{j}^{e_{j}}, entonces se tiene SL_{2}(ℤ/Nℤ) ≃ ∏_{j} SL_{2}(ℤ/p_{j}^{e_{j}}ℤ) por el teorema chino del resto pues la reducción modulo N es un homomorfismo de anillos. Así pues, basta encontrar |SL_{2}(ℤ/p_{j}^{e_{j}}ℤ)| para obtener el resultado.

Sean a, b, c, d (mod p^{e}) tales que ad − bc ≡ 1 (mod p^{e}). Si p |̸a entonces d ≡ a^{−1} + a^{−1}bc (mod p^{e}) tiene solución para cualesquiera b, c, es decir, existen ϕ(p^{e})p^{2e} elementos tales que p |̸a.

Si p|a entonces p |̸b con lo que c ≡ −b^{−1} + b^{−1}ad (mod p^{e}) tiene solución para cualesquiera a, d. Por tanto hay p^{e−1} múltiplos de p con lo que tenemos ϕ(p^{e})p^{2e−1} elementos con p|a. Combinando ambos resultados y teniendo en cuenta que ϕ(p^{e}) = p^{e} − p^{e−1}, tenemos que

|SL_{2}(ℤ/p^{e}ℤ)| = (p^{e} − p^{e−1})p^{2e} + (p^{e} − p^{e−1})p^{2e−1} = p^{3e} (1 − \frac{1}{p^{2}} ) ,

de donde se obtiene el resultado sin más que multiplicar.

(2) Se tiene que [Γ : Γ(N)] = [Γ : Γ_{0}(N)][Γ_{0}(N) : Γ(N)]. Por tanto, basta calcular [Γ_{0}(N) : Γ(N)] para obtener el resultado. Ahora bien, dos elementos γ_{1}, γ_{2} son Γ(N)-equivalentes cuando γ_{1} ≡ γ_{2} (mod N), así que el índice buscado es el número de elementos de Γ_{0}(N) no congruentes módulo N. Ahora bien,

módulo N se tiene para γ ∈ Γ_{0}(N), que γ = ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) (mod N). En total hay

ϕ(N)N clases distintas, es decir [Γ_{0}(N) : Γ(N)] = ϕ(N)N = N^{2} ∏_{p|N}(1 − 1/p), que junto con el apartado anterior nos da el resultado.

(3) Razonando como en el apartado anterior obtenemos que, para cualquier

γ ∈ Γ_{1}(N), γ = ( \begin{matrix}1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix} ) (mod N), luego [Γ_{1}(N) : Γ(N)] = N, lo que termina

el resultado.

Encontrar ahora el dominio fundamental pasa por encontrar los representantes de cada uno de los co-conjuntos. Vamos a centrar nuestro estudio al caso del subgrupo Γ_{0}(N), dejando un poco más a un lado el resto de los subgrupos.

Proposición 32. El conjunto

H = \{( \begin{matrix}v & ∗ \\ u & ∗ \end{matrix} ) , con v|N, u (mod \frac{N}{v} ) , (u, v) = 1\} ,

es un conjunto^{2} de representantes de Γ sobre Γ_{0}(N).

Demostración.

Dado α = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ, los elementos en su mismo co-conjunto son de la

forma

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x & y \\ Nz & t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ax + bNz & ay + bt \\ cx + dNz & cy + dt \end{matrix} ) .

2La notación ∗ quiere decir que no es necesario saber qué coeficientes exactos son los de la matriz con tal de que el resultado esté en SL_{2}(ℤ).

Variando x y z deducimos que en cada clase existe un elemento con la esquina superior izquierda ax_{0}+bNz_{0} = (a, N) = v. Todas las posibles soluciones x, z de la ecuación producen en la esquina inferior izquierda cx + dNz ≡ cx_{0} + dNz_{0} ≡ cx_{0} = u (mod N/v). De (x, N) = 1 deducimos el resultado, ya que dos elementos con la primera columna igual están claramente relacionados, pues

( \begin{matrix}v & b \\ u & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & y \\ 0 & t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}v & b′ \\ u & d′ \end{matrix} )

tiene solución en y, t.

Nota:.

es claro que para cualquier α ∈ Γ, αH es también un conjunto de representantes.

Corolario 33.

∑_{v|N} # \{(u, v) = 1 , u (mod \frac{N}{v} )\} = N ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p}) .

Una vez que tenemos los representantes de las diferentes clases, uno puede dibujar el dominio fundamental. Obviamente la elección de los representantes no es única. En particular, vamos a intentar que cúspides equivalentes vayan a parar al mismo número racional en el dominio fundamental. Así pues, nuestro siguiente paso es reconocer cuáles son las cúspides Γ_{0}(N)-equivalentes.

Proposición 34. Un conjunto de cúspides no equivalentes para Γ_{0}(N) viene dado por

\{\frac{u}{v} : v|N , u (mod (v, N/v)) , (u, v) = 1\} .

Por tanto, el número de cúspides no equivalentes h verifica

h = ∑_{vw=N} ϕ((v, w)).

Demostración.

Toda cúspide r es Γ-equivalente a ∞, por tanto será Γ_{0}(N)-equivalente a α^{−1}(∞) para algún α en un conjunto de representantes. Vamos a escoger como conjunto de representantes

SH = \{( \begin{matrix}−u & ∗ \\ v & ∗ \end{matrix} ) , con v|N, u (mod \frac{N}{v} ) , (u, v) = 1\} .

Supongamos que dos cúspides son Γ_{0}(N)-equivalentes, es decir, α_{i}^{−1}(∞) = γ_{0}α_{j}^{−1}(∞) para ciertos α_{i}, α_{j} ∈ SH, γ_{0} ∈ Γ_{0}(N). Entonces^{3} α_{i}γ_{0}α_{j}^{−1} = T^{n} ∈ P (∞) para algún n. Es decir,

( \begin{matrix}−u & ∗ \\ v & ∗ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x & ∗ \\ Nz & ∗ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−u′ & ∗ \\ v′ & ∗ \end{matrix} ) ,

con lo que ux = u′ − nv′ − Nz∗ y vx + Nz∗ = v′. De la segunda ecuación deducimos que v = v′, pues ambos dividen a N. Sustituyendo entonces en la primera obtenemos u = u′ + zN/v − nv, que tiene solución en n, z si y sólo si u ≡ u′ (mod (v, N/v)); así concluye la primera parte de la proposición. Para ver la segunda observamos que

h = ∑_{v|N} #{u (mod (v, N/v)) , (u, v) = 1}.

El resultado se deduce del hecho de que existe k ∈ ℤ tal que (u+k(v, N/v), v) = 1 si y sólo si (u, (v, N/v)) = 1, por ejemplo por el teorema de Dirichlet.

Así pues, a cada cúspide no equivalente ϱ de Γ′, para Γ′ un subgrupo de índice finito de Γ, le asociamos un número m_{ϱ} de representantes α_{1} ⋯, α_{m_{ϱ}}, independiente de los representantes escogidos, tal que para cada i = 1 ⋯, m_{ϱ} se tiene γ_{0}α_{i}^{−1}(∞) = r para algún γ_{0} ∈ Γ_{0}. Este número se le conoce por la anchura de ϱ, y se puede calcular explícitamente de la siguiente forma: sea α_{ϱ} un elemento de Γ tal que α_{ϱ}(ϱ) = ∞. De esta forma,

α_{ϱ}Γ′_{ϱ}α_{ϱ}^{−1} ⊂ Γ_{(}∞) = \{± ( \begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) : n ∈ ℤ\} ≃ ℤ.

Los subgrupos no triviales de ℤ son los múltiplos de un cierto número, luego

α_{ϱ}Γ′_{ϱ}α_{ϱ}^{−1} = \{± ( \begin{matrix}1 & m′_{ϱ}n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) : n ∈ ℤ\} .

Veremos que en realidad m′_{ϱ} = m_{ϱ}. En efecto, si llamamos Γ′_{ϱ,∞} = α_{ϱ}Γ′_{ϱ}α_{ϱ}^{−1}, se

tiene [Γ_{∞} : Γ′_{ϱ,∞}] = m′_{ϱ}, es decir Γ_{∞} = ∪_{i=1}^{m′_{ϱ}}β_{i}Γ′_{ϱ,∞} para β_{i} ∈ Γ_{∞}.

Supongamos que para 1 ≤ i, j ≤ m_{ϱ} α_{i}α_{ϱ}^{−1} y α_{j}α_{ϱ}^{−1} están en la misma clase módulo Γ′_{ϱ,∞}. Entonces α_{i}α_{ϱ}^{−1} = α_{j}α_{ϱ}^{−1}α_{ϱ}γ′α_{ϱ}^{−1}, de donde α_{i} = α_{j}γ′. Por tanto, m_{ϱ} ≤ m′_{ϱ}. Por otra parte, escogiendo convenientemente los representantes β_{i}, el elemento de Γ β_{i}α_{ϱ} = α_{i}, pues manda ϱ a ∞. Si α_{i}, α_{j} están en la misma clase módulo Γ′, entonces α_{i} = α_{j}γ′_{0}, con lo que β_{i}α_{ϱ} = β_{j}α_{ϱ}γ′_{0} es decir β_{i},β_{j} están en la misma clase modulo Γ′_{ϱ,∞}, y m′_{ϱ} ≤ m_{ϱ}, como queríamos ver.

3Si el elemento de P (∞) está multiplicado por −1, el razonamiento es el mismo.

Además se tiene, en general, Γ′_{ϱ} = {α_{ϱ}^{−1}Γ_{∞}α_{ϱ} ∩ Γ′}; y en particular, para Γ_{0}(N) y ϱ = u/v,

Γ_{0}(N)_{ϱ} = \{( \begin{matrix}u & ∗ \\ v & ∗ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ −v & u \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 − nuv & nu^{2} \\ −nv^{2} & 1 + nuv \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(N)\} ,

lo cual es cierto cuando N|nv^{2} o bien N/(N, v^{2})|n. Es decir, m_{ϱ} = N/(N, v^{2}).

Nota:.

obsérvese que m_{ρ} define el parámetro local exp(α_{ρ}z/m_{ρ}) en la cúspide ρ.

Del párrafo anterior deducimos la siguiente fórmula aritmética:

Corolario 35.

N ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p}) = [Γ : Γ_{0}(N)] = ∑_{v|N} \frac{N}{(N, v^{2})}ϕ((v, N/v)).

La demostración es clara pues [Γ : Γ′] = ∑_{ϱ} m_{ϱ} donde la suma es en las cúspides no equivalentes de Γ′.

Nota:. observemos que dicha fórmula es trivial para libres de cuadrados.

Pasamos a describir el anterior estudio en el ejemplo particular Γ_{0}(3). En este caso tenemos 2 cúspides no equivalentes según la Proposición 34, mientras que la Proposición 32 nos permite considerar como conjunto de representantes a

( \begin{matrix}3 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Multiplicando por S como en la Proposición 34 obtenemos

( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 3 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

El primer representante está en Γ_{0}(3), así que podemos escoger la matriz identidad en su lugar, que corresponde a la cúspide ∞; las otras tres corresponden a 0. En efecto, las transformaciones inversas correspondientes son α_{1}^{−1}z = Idz = z, α_{2}^{−1}z = ST^{2}z = −1/(z + 2), α_{3}^{−1}z = ST z = −1/(z + 1) y α_{4}^{−1}z = Sz = −1/z, con lo que el dominio fundamental queda

=6cmregion.eps Fig.2 Dominio para Γ_{0}(3)

5. Funciones Periódicas, Elípticas y Modulares.

Como ya dijimos, las funciones modulares son funciones que viven en la superficie de Riemann dada por un cociente del semiplano superior módulo un grupo Fuchsiano, H/Γ′. En particular, son funciones invariantes por la acción de un grupo. En general es difícil encontrar funciones con “simetrías”, tanto más según sea el grupo de complejo.

Vamos pues a abordar antes los casos análogos que aparecen en el Corolario 13.

Funciones Periódicas.

Las funciones en ℙ^{1} están totalmente entendidas en la Proposición 5; sin embargo, allí utilizamos el isomorfismo con ℂ̂ para determinar que eran las funciones racionales. En este punto conviene que veamos detenidamente la acción de las funciones en ℙ^{1} propiamente.

Por definición,

ℙ^{1} = {(z_{1}, z_{2}) ≠ (0, 0) ∈ ℂ × ℂ}/ ∼

donde (z_{1}, z_{2}) ∼ (z′_{1}, z′_{2}) si z′_{1} = λz_{1} y z′_{2} = λz_{2} para algún λ ∈ ℂ \ {0}.

Así pues, una función en ℙ^{1} debe cumplir f(λz_{1}, λz_{2}) = f(z_{1}, z_{2}). Ahora bien, mediante el isomorfismo con ℂ̂, observamos que dado P_{m}(z) un polinomio de grado m,

f(z_{1}, z_{2}) = P_{m}(z_{1}/z_{2}),

es una función en ℙ^{1}. Definimos P_{m}(z_{1}, z_{2}) = z_{2}^{m}P_{m}(z_{1}/z_{2}). Claramente, para todo λ ∈ ℂ distinto de 0 se cumple P_{m}(λz_{1}, λz_{2}) = λ^{m}P_{m}(z_{1}, z_{2}) condición obviamente cierta para M(z_{1}, z_{2}) = z_{2}^{m}. De esta forma hemos escrito una función en ℙ^{1} como cociente de dos funciones que tienen dicha propiedad para el mismo m. Ésta es de hecho una condición suficiente para encontrar funciones en ℙ^{1}.

Más en general sea X un espacio, G un grupo actuando en X, (G′, ∗) un grupo conmutativo y f_{1} : X ⟶ G′, f_{2} : X ⟶ G′ tales que f_{1}(gx) = F (g, x) ∗ f_{1}(x), f_{2}(gx) = F (g, x) ∗ f_{2}(x), para todo g ∈ G, x ∈ X. Entonces f_{1} ∗ f_{2}^{−1} es una función en X/G. Vamos a llamar a este método separación de variables.

Antes de tratar el caso en el que el recubrimiento universal es el plano complejo, es decir, encontrar funciones en ℂ/Λ o, dicho de otra forma, encontrar funciones en ℂ que sean periódicas respecto al retículo Λ, vamos a ver el caso real análogo ℝ/ℤ, es decir, funciones reales periódicas, o que cumplen f(x+n) = f(x) para cualquier x ∈ ℝ y n ∈ ℤ.

Es trivial encontrar funciones periódicas en la recta real.

Por completitud vamos a mostrar un ejemplo de separación de variables en este contexto, aunque en este caso el resultado sea algo evidente.

Así, escogiendo f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = [x], la parte entera de x, ambas cumplen f(x + n) = n + f(x), luego f_{1} − f_{2} es una función en ℝ/ℤ, en este caso, la parte fraccionaria de x. Sin embargo, es interesante desarrollar nuevas alternativas para encontrar funciones periódicas.

Quizás el ejemplo más conocido de función periódica en los reales es la función sen(x). Por otra parte, el conjunto de las funciones periódicas forma un cuerpo sobre los reales. Además, es un conjunto cerrado por diferenciación, lo que nos permite construir, dada una, infinitas funciones periódicas. Así, por ejemplo, cos(x) y cot(x) = cos(x)/sen(x) = (log(sen(x)))′ son funciones periódicas.

Es interesante mirar más detenidamente esta ultima función, la cotangente. Sabemos que

sen(πx) = πx ∏_{n=1}^{∞} (1 − \frac{x^{2}}{n^{2}} ) ,

por lo que

π cot(πx) =\frac{1}{x} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{−2x}{n^{2} − x^{2}} = \frac{1}{x} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n + x} − \frac{1}{n − x}

(e2)  =\frac{1}{x} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{x + n} − \frac{1}{n} + \frac{1}{x − n} + \frac{1}{n} = \frac{1}{x} + ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{x + n} − \frac{1}{n}.

Evaluando las sumas parciales S_{M,K}(x) = 1/x + ∑_{n=−K}^{M} 1/(x + n) − 1/n, en un trasladado^{4} m > 0, obtenemos

S_{M,K}(x + m) =\frac{1}{x + m} + ∑_{\begin{matrix}−K \\ n≠0 \end{matrix}}^{M} \frac{1}{x + m + n} − \frac{1}{n} = \frac{1}{x + m} + ∑_{\begin{matrix}m−K \\ n≠m \end{matrix}}^{M+m} \frac{1}{x + n} − ∑_{\begin{matrix}−K \\ n≠0 \end{matrix}}^{M} \frac{1}{n}

=\frac{1}{x} + ∑_{\begin{matrix}m−K \\ n≠0 \end{matrix}}^{M} \frac{1}{x + n} − \frac{1}{n} − ∑_{−K}^{m−K} \frac{1}{n} − ∑_{M+1}^{M+m} \frac{1}{x + n},

lo que demuestra la periodicidad de la función, ya que los dos últimos términos tienden a cero con M y K.

Esencialmente uno puede interpretar el anterior resultado como una consecuencia del hecho de que, dado un grupo G, para todo g ∈ G se tiene gG = G de manera obvia. En este sentido, trasladar por m deja invariante el grupo de traslaciones. En el ejemplo anterior, hay un factor 1/n que hace más oscuro el razonamiento, y que sin embargo es necesario por cuestiones de convergencia. Si nos olvidamos por un momento de dicho factor, entonces tendríamos 1/x + ∑_{n≠0} 1/(x + n) = ∑_{n∈ℤ} f(x + n), donde es clara la invariancia de la acción del grupo.

4Para m < 0 se razona de manera análoga.

Hemos encontrado pues un segundo método de construcción de funciones periódicas, que llamaremos el método del promedio. Así, siempre que la suma converja, la función g(x) = ∑_{n∈ℤ} f(x + n) es una función periódica. Basta pues tomar como f, por ejemplo, cualquier función de decaimiento rápido. Si además f es suficientemente regular, entonces la serie de Fourier de g nos va a proporcionar la primera aplicación a la aritmética de nuestra construcción.

Efectivamente, para cualquier función h ∈ C^{1}([0, 1]), se tiene que

h(x) = ∑_{n∈ℤ} a_{n}e^{2πinx}

uniformemente, donde

a_{n} = ∫_{0}^{1} h(x)e^{−2πinx}dx.

Usando esta fórmula para g obtenemos

a_{n} = ∫_{0}^{1} ∑_{m∈ℤ} f(x + m)e^{−2πinx}dx = ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−2πinx}dx = f̂(n),

fórmula cierta siempre que f ∈ L^{1}(ℝ). En ese caso se tiene

∑_{n∈ℤ} f(x + n) = ∑_{n∈ℤ} f̂(n)e^{2πinx}.

Esta identidad se conoce como fórmula de sumación de Poisson. Haciendo x = 0 obtenemos

∑_{n∈ℤ} f(n) = ∑_{n∈ℤ} f̂(n).

Vamos a aplicar el anterior resultado a la función f(x) = e^{−πx^{2}}.

Derivando bajo el signo integral se tiene

f̂′(y) = −2πi ∫_{−∞}^{∞} e^{−πx^{2}}xe^{−2πixy}dx.

Integrando por partes,

f̂′(y) = ie^{−πx^{2}}e^{−2πixy}|_{−∞}^{∞} + 2πi ∫_{−∞}^{∞} iye^{−πx^{2}}xe^{−2πixy}dx
= − 2πy ∫_{−∞}^{∞} e^{−πx^{2}}e^{−2πixy}dx = −2πyf̂(y).

Por tanto f̂′(y) = −2πyf̂(y), o lo que es lo mismo f̂(y) = Ce^{−πy^{2}}. Teniendo en cuenta que

C = f̂(0) = ∫_{−∞}^{∞} e^{−πx^{2}}dx = 1,

obtenemos f(y) = f̂(y).

Si definimos

θ(t) = ∑_{n∈ℤ} e^{−πtn^{2}},

para cualquier t > 0, el anterior resultado nos permite deducir

Teorema 36.

θ(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}θ(1/t).

Demostración.

Para cada t > 0 fijo, es fácil ver que la función g_{t}(x) = e^{−πtx^{2}} cumple ĝ_{t}(y) = t^{−1/2}g_{1/t}(y). Una simple aplicación de la fórmula de sumación de Poisson nos da el resultado.

Nota:.

de hecho esta fórmula no sólo es válida para t > 0, sino para cualquier z en el semiplano Re(z) > 0 por continuación analítica de identidades.

Funciones Elípticas.

Es el momento de construir funciones para ℂ/Λ, también conocidas como funciones doblemente periódicas o elípticas. Conviene observar que éste no es el caso bidimensional que acabamos de tratar, ya que estaremos tratando con funciones de variable compleja, por lo que podremos usar la teoría de funciones meromorfas.

Sea Λ = mw_{1} + nw_{2} el retículo generado por w_{1}, w_{2} números complejos linealmente independientes sobre ℝ y tales que Im(w_{1}/w_{2}) > 0. Observemos que Λ no determina unívocamente los generadores, ya que cualesquiera w′_{1}, w′_{2} tales que

( \begin{matrix}w′_{1} \\ w′_{2} \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) ,

para alguna matriz A ∈ SL_{2}(ℤ), generan el mismo retículo.

Proposición 37. Π = {z = xw_{1} + yw_{2} : 0 ≤ x, y ≤ 1} es un dominio fundamental para ℂ/Λ.

Basta enviar el paralelogramo definido por w_{1}, w_{2} al cuadrado unidad. Allí la demostración es evidente.

Este teorema nos permite visualizar ℂ/Λ como un toro sin más que identificar los lados del paralelogramo.

Definición 38.

Dado un retículo Λ, se dice que una función f : ℂ ⟶ ℂ meromorfa es elíptica si f(z + w) = f(z) para todo z ∈ ℂ y w ∈ Λ. Las funciones elípticas son justamente las funciones en ℂ/Λ.

Nota:. Observar que basta comprobar que f(z + w_{1}) = f(z + w_{2}) = f(z) para deducir la invariancia sobre Λ.

Sea E_{Λ} el conjunto de funciones elípticas sobre Λ. De la misma manera que en el caso real, E_{Λ} es un subcuerpo del cuerpo de las funciones meromorfas en ℂ, cerrado por el operador \frac{d}{dz}. En principio este hecho puede darnos a entender que dicho cuerpo es en algún sentido grande. Sin embargo, la simetría de las funciones, y su condición meromorfa van a ser muy restrictivas.

Así por ejemplo se tiene:

Proposición 39. Toda f ∈ E_{Λ} holomorfa en Π es constante.

La demostración es consecuencia de la Proposición 6.

El estudio de los polos de las funciones elípticas va a ser fundamental para su comprensión.

Proposición 40. Sea Π_{α} = α+Π un trasladado del paralelogramo fundamental para Λ. Si f ∈ E_{Λ} no tiene polos en la frontera C_{α} de Π_{α}, entonces la suma de los residuos en Π_{α} es cero.

Demostración.

Es una aplicación del teorema de los residuos.

Nota:. siempre es posible encontrar un α en esas condiciones.

Corolario 41. Las funciones elípticas no pueden tener un único polo simple.

Teniendo en cuenta el operador \frac{d}{dz} podemos decir todavía un poco más:

Proposición 42. En las condiciones de la proposición anterior, si además f no tiene ceros en C_{α} y m_{i} son los órdenes de los ceros y n_{i} los órdenes de los polos, entonces ∑ m_{i} = ∑ n_{i}.

Basta aplicar la proposición anterior a la derivada logarítmica de la función f, f′/f, que tiene como suma de los residuos la suma de los órdenes de la función con el signo correspondiente.

Es el momento de dar un ejemplo de función elíptica. Para ello intentaremos generalizar el método del promedio desarrollado en el caso real. De esta forma, un primer intento sería considerar la serie

f(z) = \frac{1}{z} + ∑_{\begin{matrix}l∈Λ \\ l≠0 \end{matrix}} \frac{1}{z + l} − \frac{1}{l}.

Sin embargo, la suma doble ahora hace que la función no sea convergente. Así pues, consideremos

P(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{\begin{matrix}l∈Λ \\ l≠0 \end{matrix}} \frac{1}{(z + l)^{2}} − \frac{1}{l^{2}} ,

suficiente para asegurar convergencia.

Proposición 43. La función P converge absoluta y uniformemente sobre compactos en ℂ \ Λ.

Demostración.

Es claro que para |l| suficientemente grande, y para cualquier z en un compacto K ∈ ℂ \ Λ, se tiene

|\frac{1}{(z + l)^{2}} − \frac{1}{l^{2}} | ≪ \frac{1}{|l|^{3}} ,

Basta pues asegurar la convergencia de ∑ 1/|l|^{3} y aplicar el criterio de convergencia de Weirstrass para terminar la demostración.

Lema 44. Sea Λ un retículo en ℂ. Para todo s > 2, la serie S = ∑_{l∈Λ} 1/|l|^{s}, l ≠ 0, converge.

Demostración.

Basta considerar retículos de la forma am + n con m, n ∈ ℤ y a ∈ ℂ fijo. En este caso, consideramos las dos sumas

S = ∑_{|n/m|<2|a|} 1/|(am + n)|^{s} + ∑_{|n/m|>2|a|} 1/|(am + n)|^{s} = S_{1} + S_{2}.

Para la primera suma se tiene

S_{1} ≪ ∑_{m∈ℤ} 1/|m|^{s} ∑_{n=−2|am|}^{2|am|} 1 < ∞,

mientras que en S_{2}, |ma + n| > |n|/2, así que

S_{2} ≪ ∑_{m∈ℤ} ∑_{n=2|am|}^{∞} \frac{1}{n^{s}} < ∞,

lo que termina la demostración del lema y de la proposición.

De hecho, la misma demostración nos permite deducir:

Proposición 45. Para cada l ∈ Λ,

P(z) − \frac{1}{(z − l)^{2}}

es una función continua en z = l.

Así, la función P(z) es meromorfa con polos dobles en l ∈ Λ. Todavía tenemos que probar que la función es invariante por Λ.

Teorema 46. P(z) ∈ E_{λ}.

Demostración.

En primer lugar observamos que P(z) = P(−z). Además,

P′(z) = −2 ∑_{l∈Λ} \frac{1}{(z − l)^{3}}

es trivialmente periódica en Λ por el método del promedio. Definimos la función g(z) = P(z + l) − P(z) que cumple g′(z) = P′(z + l) − P′(z) = 0, con lo que g(z) =cte. El resultado se concluye observando que g(−l/2) = 0, por la simetría de la función P(z).

Nota:. la función P(z) se suele conocer como función P de Weierstrass. Si le aplicamos la Proposición 42, podemos concluir que la función tiene dos ceros en un dominio fundamental de la forma Π_{α}. Lo mismo se puede decir de la función P(z) − u para todo u ∈ ℂ, con lo que concluimos que la función toma todos los valores de ℂ̂ exactamente dos veces contando multiplicidad es en el toro. Los únicos valores dobles son ∞ y los tres ceros de la derivada, P(w_{1}/2),P(w_{2}/2) y P((w_{1} + w_{2})/2) (aplicar la Proposición 42 a P′(z)).

La función P no sólo es el primer ejemplo de función elíptica, sino que en realidad es el único, en el sentido de que, como veremos, toda función elíptica se genera a partir de ella. De esta forma, si llamamos E_{Λ}^{+} al comjunto de las funciones elípticas simétricas respecto del origen, se tiene el siguiente resultado:

Teorema 47. E_{Λ}^{+} = ℂ(P).

Antes de probar el teorema, observamos que en realidad el resultado caracteriza todas las funciones doblemente periódicas sin más que añadir la derivada de la función.

Corolario 48. Si f(z) ∈ E_{Λ}, entonces f(z) = g(P(z)) + P′(z)h(P(z)), con g, h funciones racionales.

Demostración.

Las funciones g(z) = (f(z) + f(−z))/2, y h(z) = (f(z) − f(−z))/2P′(z) son pares y f(z) = g(z) + P′(z)h(z).

Demostración del Teorema 47.

Sea f(z) ∈ E_{Λ}^{+}. El teorema se basa en la Proposición 39: si conseguimos construir una función racional en P con los mismos ceros y polos que f, el cociente entre ambas sería constante, lo que probaría el resultado. Para ello vamos a listar los ceros y polos de f de la siguiente forma: sea Π′ el conjunto que queda al quitar los segmentos x = 1, y = 1 de Π, de forma que cada z ∈ ℂ tiene un único representante en Π′ modulo Λ. Para cada cero a de f, f(l − a) = 0 por simetría. Sea −a su representante en Π′. Definimos el conjunto C = {a ∈ Π′ , f(a) = 0} de ceros a ≠ −a tal que a ∈ C si y sólo si −a ∉ C, contados tantas veces como su multiplicidad. Sea Z = {b ∈ Π′ , 1/f(b) = 0} el conjunto de polos análogo a C. A estos conjuntos les añadimos los ceros y polos respectivamente que cumplen a = −a ≠ 0 contados la mitad de su multiplicidad. Al conjunto resultante lo llamamos, de nuevo C, Z respectivamente. Es decir, en C hemos incluido uno de cada par de ceros de f (a y −a), procediendo de manera análoga en la construcción de Z y sin incluir el 0 en ninguno de los conjuntos.

Antes de nada, debemos notar que el procedimiento es correcto en el sentido de que a y −a son ceros del mismo orden, y si a = −a es un cero, tiene multiplicidad par.

En efecto, si a es un cero de multiplicidad m, f(z) = c_{m}(z − a)^{m} + ⋯, y f(z) = f(−z) = c_{m}(−z−a)^{m}+⋯ = c_{m}(−1)^{m}(z+a)^{m}+⋯, de donde se deducen ambos resultados sin más que imponer a = −a en el caso correspondiente.

Consideramos ahora la función

g(z) = \frac{∏_{a∈C}(P(z) − P(a))}{∏_{b∈Z}(P(z) − P(b))},

que tiene sentido pues a, b ∉ Λ.

Dicha función tiene los mismos ceros y polos que f, contando multiplicidades. En efecto, esto es claro para los ceros y polos de f distintos de 0 pues los únicos ceros y polos de g vienen de los ceros de numerador y denominador respectivamente, que son los de f por construcción, teniendo en cuenta la nota después del Teorema 46. Así pues faltaría comprobar el posible cero o polo en el cero. Sin embargo, la Proposición 42 da cuenta de este caso, pues si m_{f}, m_{g} denotan el orden de cero o polo en el cero de f y g respectivamente, entonces, para algún Π_{α}, m_{f}+resto de órdenes de f = m_{g}+resto de órdenes de g = 0. Así pues, f = cg para alguna constante c, lo que concluye el resultado.

Es importante observar que tanto el Teorema 47 como su corolario nos proporcionan un método constructivo de encontrar la expresión racional en términos de P(z) de una función elíptica dada, sin más que hacer una lista de sus ceros y polos. Como ejemplo vamos a considerar la función par P′(z)^{2}. Dicha función tiene un único polo en z = 0 con multiplicidad 3, y tres ceros en los puntos P(w_{1}/2), P(w_{2}/2), P((w_{1} + w_{2})/2). Por tanto, razonando como en el teorema se tiene

(e3) P′(z)^{2} = c(P(z) − P(w_{1}/2))(P(z) − P(w_{2}/2))(P(z) − P((w_{1} + w_{2})/2)),

para alguna constante c. De hecho se pueden encontrar explícitamente las cuatro constantes involucradas en la ecuación, desarrollando P(z) en serie de potencias alrededor del cero. Así, derivando respecto de z la serie geométrica de razón z/l, se obtiene

\frac{1}{(z − l)^{2}} = \frac{d}{dz} (\frac{1}{l − z} ) = \frac{1}{l} \frac{d}{dz} ∑_{j=0}^{∞} (\frac{z}{l} )^{j} = ∑_{j=0}^{∞} \frac{j + 1}{l^{j+2}}z^{j},

de donde se deduce, para |z| < rc (donde r es cualquier número menor que 1, y c = min_{l∈Λ} |l|),

∑_{\begin{matrix}l∈Λ \\ l≠0 \end{matrix}} \frac{1}{(z − l)^{2}} − \frac{1}{l^{2}} = ∑_{\begin{matrix}l∈Λ \\ l≠0 \end{matrix}} ∑_{j=1}^{∞} \frac{j + 1}{l^{j+2}}z^{j} = ∑_{j=1}^{∞}(j + 1)G_{j+2}z^{j},

donde G_{j} = ∑_{l∈Λ} 1/l^{j} las igualdades se justifican por convergencia absoluta en el dominio considerado, gracias al Lema 44.

Observemos que G_{2k+1} = 0 para todo k ≥ 1 pues se cancelan los términos de l y −l, lo cual debía ser cierto por la paridad de la función P. De esta forma,

P(z) = \frac{1}{z^{2}} + 3G_{4}z^{2} + 5G_{6}z^{4} + 7G_{8}z^{6} + · · · .

con lo que

P^{2}(z) =\frac{1}{z^{4}} + 6G_{4} + ⋯,
P^{3}(z) =\frac{1}{z^{6}} + \frac{9}{z^{2}} G_{4} + 15G_{6} + · · · .

Y derivando,

P′(z) =\frac{−2}{z^{3}} + 6G_{4}z + 20G_{6}z^{3} + 42G_{8}z^{5} + ⋯, y
P′(z)^{2} =\frac{4}{z^{6}} − \frac{24}{z^{2}}G_{4} − 80G_{6} + · · · .

Teniendo en cuenta estas identidades, la ecuación (e3) queda

P′(z)^{2} = 4P(z)^{3} − 60G_{4}P(z) − 140G_{6},

sin más que recordar que una función elíptica sin polos es constante.

Igualando coeficientes en el desarrollo en z para la anterior ecuación obtenemos relaciones entre los G_{i}. En particular, G_{8} = 3/7G_{4}^{2} y en general es fácil ver que G_{k} ∈ ℚ[G_{4}, G_{6}].

La ecuación (e3) de hecho nos proporciona un isomorfismo analítico entre ℂ/Λ y la curva

y^{2} = P (x) = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3},

en ℙ^{2}(ℂ), donde g_{2} = 60G_{4} y g_{3} = 140G_{6}, definido por

z ⟶ (P(z), P′(z), 1) si z ≠ 0,
0 ⟶ (0, 1, 0),

ya que, como vimos para cualquier valor x existe z tal que P(±z) = x, siendo por tanto y = P′(z) las dos raíces cuadradas de P (x), salvo que x sea una raíz de P, en cuyo caso z ∈ Λ/2 y P′(z) = 0. Obsérvese que, cerca del 0, la aplicación (P(z)/P′(z), 1, 1/P′(z)) es analítica.

A las curvas no singulares del estilo y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} se les llama por este motivo curvas elípticas. Uno de los hechos más notables de la existencia del isomorfismo es que la curva elíptica hereda de manera natural la estructura de grupo en ℂ/Λ. De esta form,a si P_{1}, P_{2} son dos puntos de la curva definidos por P(z_{1}) y P(z_{2}) respectivamente, entonces P(z_{1} + z_{2}) define P_{1} + P_{2}. De esta estructura se puede deducir la ley de adición

P(z_{1} + z_{2}) + P(z_{1}) + P(z_{2}) = \frac{1}{4} (\frac{P′(z_{1}) − P′(z_{2})}{P(z_{1}) − P(z_{2})})^{2} .

Sin embargo, en este punto todavía no podemos asegurar que toda curva elíptica tenga una estructura de grupo, ya que no sabemos que venga de un retículo de la forma descrita anteriormente, es decir, que los coeficientes que la definen sean en realidad g_{2} = g_{2}(Λ), g_{3} = g_{3}(Λ) para algún Λ. Éste va a ser un corolario sencillo una vez introduzcamos las formas modulares.

En [S] se puede encontrar un estudio muy detallado sobre curvas elípticas.

Funciones Modulares.

En la medida de lo posible vamos a intentar trasladar las ideas desarrolladas en las anteriores secciones para encontrar funciones en H/Γ con H el semiplano superior y Γ un subgrupo Fuchsiano. En este caso, por tanto, estamos buscando funciones meromorfas en H que sean invariantes por la acción del grupo Γ.

En este caso, para utilizar el método de separación de variables en este caso, debemos encontrar una colección de funciones tales que

f_{i}(γ, z) = F (γ, z)f_{i}(z),

para todo γ ∈ Γ, z ∈ H. En primer lugar debemos pensar en algún factor F que se adapte a nuestro contexto. En principio puede parecer algo complejo encontrar la forma de un tal F; sin embargo, como veremos, aparecerá de manera natural como consecuencia de la regla de la cadena.

Efectivamente, encontrar funciones en H/Γ, como hemos visto, es encontrar funciones en una superficie de Riemann. Dentro de estas superficies, vimos que existen dos objetos íntimamente relacionados, las funciones y las diferenciales. Vamos a fijar nuestra atención por un momento en las diferenciales.

Consideramos una diferencial meromorfa ω = f(z)dz en H. ¿Cuándo esta diferencial es invariante por Γ? Si escribimos γ(z) = \frac{az+b}{cz+d}, debe cumplirse

γ^{∗}ω = f(γz)d(γz) = f(γz)(cz + d)^{−2}dz = ω,

es decir, la función que define la diferencial debe cumplir f(γz) = (cz + d)^{2}f(z), o de otra forma, el factor F debe ser F (γ, z) = (cz + d)^{2}, ya que así encontrar aplicaciones del estilo f(γ, z) = F (γ, z)f(z) será como encontrar las diferenciales de la superficie de Riemann. Las aplicaciones f con dicha propiedad son lo que llamaremos formas modulares.

En general se definen las k-diferenciales en una superficie de Riemann como ω = f(z)(dz)^{k}, lo que da lugar a las formas diferenciales de peso 2k.

Vamos pues a dar una definición más concreta de forma modular en donde, como siempre, nos limitaremos a subgrupos Γ′ < Γ de índice finito.

Para ello, necesitamos hacer antes algunas observaciones e introducir ciertas notaciones.

Para cada γ ∈ GL_{2}^{+}(ℚ) sea [γ]_{k} el operador que a cada función meromorfa f le asocia f|[γ]_{k} mediante

f(z)|[γ]_{k} = |γ|^{k/2}j(γ, z)^{−k}f(γz),

donde |γ| denota el determinante de la matriz.

Es importante observar que, como consecuencia de la regla de la cadena, obtenemos f|[γ_{1}γ_{2}]_{k} = (f|[γ_{1}]_{k})|[γ_{2}]_{k}. Por otra parte, con esta notación no es lo mismo f(2z)|[γ]_{k}, es decir la imagen por [γ]_{k} de f evaluada en el punto 2z, que g(z)|[γ]_{k} para g(z) = f(2z), es decir la imagen por el operador de la función en un dilatado.

Si γ es cualquier matriz escalar, se tiene f|[γ]_{k} = f, salvo que tr(γ) < 0 y k impar, en cuyo caso f|[γ]_{k} = −f.

Definición 49.

Sea k un entero. Una función meromorfa en H se dice que es una forma modular meromorfa de peso k para Γ′ si

(1) f|[γ]_{k} = f para todo γ ∈ Γ′.

(2) Para cada cúspide ρ de Γ′ y α_{ρ}^{−1}(∞) = ρ se tiene f|[α_{ρ}^{−1}]_{k} = ∑ a_{n}q^{n} con a_{n} = 0 para todo n ≪ 0, donde q = exp(z/m_{ρ}) define un parámetro local de la superficie de Riemann para la cúspide.

(3) Si f es holomorfa en H y a_{n} = 0 para n < 0, entonces se dice que la forma modular es holomorfa, o simplemente forma modular.

(4) Si además a_{n} = 0 para n ≤ 0 entonces se dice que f es una forma cuspidal, o parabólica.

En las condiciones (2), (3) y (4) decimos que la forma modular es: meromorfa, holomorfa, o se anula en las cúspides, respectivamente. Al conjunto de formas modulares de peso k para Γ′ se le denota por M_{k}(Γ′), y al de formas cuspidales, S_{k}(Γ′). Si la forma modular meromorfa es de peso 0, entonces se dice que es una función modular.

Vamos a explicar un poco más detenidamente el significado de estos apartados: sea ρ una cúspide de Γ′ y α_{ρ}^{−1}(∞) = ρ. Se tiene que

α_{ρ}Γ′_{ρ}α_{ρ}^{−1} · \{±1\} = \{± ( \begin{matrix}1 & m_{ρ}n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) : n ∈ ℤ\} .

Así pues, por (1), f|[α_{ρ}^{−1}]_{k} es invariante por [α]_{k} para cualquier α ∈ Γ′_{ρ,∞}. En particular si k es par, f|[α_{ρ}^{−1}]_{k} es invariante por z ⟶ z + m_{ρ} y por tanto existe una función Φ(q), meromorfa en U ⊂ Δ \ 0, tal que

f|[α_{ρ}^{−1}]_{k} = Φ(e^{2πiz/m_{ρ}}).

En este caso las condiciones (2), (3) y (4) quieren decir que Φ es meromorfa, holomorfa, o se anula en el 0.

Si k es impar, entonces −Id ∉ Γ′, ya que en otro caso no habría formas modulares de peso k para Γ′ por la propia definición de [ ]_{k}.

Así pues tenemos que diferenciar dos casos:

a) Si Γ′_{ρ,∞} se genera por ( \begin{matrix}1 & m_{ρ}n \\ 0 & 1 \end{matrix} ), en cuyo caso la definición coincide con

el caso en que k es par.

b) Γ′_{ρ,∞} se genera por − ( \begin{matrix}1 & m_{ρ}n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) . En este caso la función f|[α_{ρ}^{−1}]_{k} es

invariante por z ⟶ z + 2m_{ρ} y la condición (2) quiere decir que existe una función Φ meromorfa en un entorno del 0 tal que

f|[α_{ρ}^{−1}]_{k} = Φ(e^{πiz/m_{ρ}}).

Las condiciones (3) y (4) son análogas.

Observar que, en este caso, Φ es una función impar.

La cuspide se llamará regular o irregular según estemos en el primero o segundo de estos dos casos.

Por último, resaltar que el comportamiento de f|[α_{ρ}^{−1}]_{k} cuando q ∼ 0 es como z ∼ ∞, y refleja el comportamiento de f en la cúspide por la definición del operador [ ]_{k}.

En el caso en que Γ′ sea un subgrupo de congruencias de nivel N, el desarrollo en cualquier cúspide se puede hacer en la variable de uniformización q_{N} = e^{2πiz/N}, ya que al ser Γ(N) un subgrupo normal, α_{ρ}^{−1}γ_{N}α_{ρ} ∈ Γ(N) para todo γ_{N} ∈ Γ(N). En particular T^{N} = α_{ρ}γ_{N}α_{ρ}^{−1}, con lo que si f es una forma modular meromorfa para Γ(N), se tiene que

f|[α_{ρ}^{−1}]_{k}|[T^{N}]_{k} = f|[α_{ρ}^{−1}]_{k};

es decir, la función es periódica de periodo N, lo que demuestra el resultado.

Antes de proseguir debemos asegurarnos de que nuestra definición es compatible con la Γ′-equivalencia. Siguiendo la notación anterior,

Proposición 50. Tanto el orden como el valor de Φ en 0, salvo quizá el signo, coinciden para cúspides Γ′-equivalentes.

Demostración.

Efectivamente, sean las cúspides α_{ρ_{1}}^{−1}∞ = γ′α_{ρ_{2}}^{−1}∞ para algún γ′ en Γ′ y sea g = f|[α_{ρ_{1}}^{−1}]_{k} = ∑ a_{n}q^{n}. Entonces α_{ρ_{1}}γ′α_{ρ_{2}}^{−1} ∈ Γ_{∞} y

f|[α_{ρ_{2}}^{−1}]_{k} = f|[γ′]_{k}|[α_{ρ_{1}}^{−1}]_{k}|[±T^{m}]_{k} = (±1)^{k}g(z + m) = (±1)^{k} ∑ a_{n}e^{2πi_{\frac{nm}{mρ_{1}}}} q^{n},

lo que demuestra ambas afirmaciones a la vez.

q.e.d

A la expansión de Φ en el cero se le llama el desarrollo de Fourier de f en la cúspide correspondiente. Después de la anterior proposición, podemos entender a las condiciones (2), (3) o (4) en realidad como un conjunto finito de condiciones, cada una para una cúspide de Γ′. Así por ejemplo, si Γ′ = Γ_{0}(p) para p primo, entonces tiene sólo dos cúspides no relacionadas, 0 e ∞, con lo que ese conjunto de condiciones se refiere a

f(z) = ∑ a_{n}q^{n}, f(−1/z) = z^{k} ∑ b_{n}q_{p}^{n},

donde q = exp(2πiz) y q_{p} = q^{1/p}. El primero es el desarrollo de Fourier en q en el infinito, mientras que el segundo el q_{p}-desarrollo en el cero. A veces se denota a_{0} = f(∞), b_{0} = f(0), sin que esto quiera decir que f(0) = lim_{z→0} f(z).

De la proposición deducimos que, dada una forma modular meromorfa f, la función f|[γ]_{k} admite un desarrollo de Fourier con parte principal finita cualquiera que sea el γ ∈ Γ.

Es conveniente hacer algunas observaciones despues de nuestra definición:

Observaciones.

(1) En primer lugar, resaltar que no existen formas modulares meromorfas de peso impar en ningun subgrupo tal que −Id ∈ Γ′, ya que f|[−Id]_{k} = −f(z) por definición.

(2) Teniendo en cuenta que [ ]_{k} opera de manera asociativa, se concluye que basta comprobar la propiedad (1) para generadores del grupo.

(3) M_{k}(Γ′) y S_{k}(Γ′) son espacios vectoriales sobre ℂ.

(4) Si f ∈ M_{k_{1}}(Γ′), (S_{k_{1}}(Γ′)) y g ∈ M_{k_{2}}(Γ′), (S_{k_{2}}(Γ′)) entonces el producto fg ∈ M_{k_{1}+k_{2}}(Γ′), (S_{k_{1}+k_{2}}(Γ′)). Además, el producto de una forma modular por una cuspidal es una forma cuspidal de peso la suma de los pesos. Por otra parte, el cociente de formas modulares es una forma modular meromorfa de peso la diferencia de los pesos. En particular si ambas tienen el mismo peso, se obtiene una función modular. Este resultado nos permite concluir que las funciones modulares para Γ′ son un cuerpo.

(5) Si f es una forma modular meromorfa para Γ′ y Γ′′ ⊂ Γ′, entonces f es forma modular meromorfa para Γ′′. Las diferentes condiciones en las cúspides también las hereda el subgrupo.

Estamos en disposición de mostrar los primeros ejemplos de formas modulares.

Empezaremos haciendo un estudio detallado de las formas modulares en todo el grupo Γ.

6. Formas modulares para SL_{2}(ℤ).

Vamos a restringirnos por un momento a la condición (1) en la definición de forma modular.

Nuestro propósito es encontrar objetos que, de alguna forma, se comporten bien bajo la acción del grupo Γ. Esta situación no es sin embargo la primera vez que se nos presenta. Así, a la hora de buscar funciones elípticas, observábamos que a cada retículo le correspondía un número complejo z = w_{1}/w_{2} en el semiplano superior, módulo la acción del grupo modular. Esta relación entre las funciones elípticas y SL_{2}(ℤ) será la llave para encontrar funciones modulares.

Efectivamente, dado un retículo Λ = {w_{1}, w_{2}} consideramos, para cada λ ∈ ℂ \ {0}, la aplicación λΛ = {λw_{1}, λw_{2}}. De esta forma, haciendo corresponder a cada z ∈ H el retículo Λ_{z} = {z, 1}, y teniendo en cuenta que

\{γz, 1\} = m\frac{az + b}{cz + d} + n = (cz + d)^{−1}\{z, 1\},

vemos que a cada aplicación de retículos f tal que f(λΛ) = λ^{−k}f(Λ) le corresponde de manera natural una forma modular.

Dichas aplicaciones sin embargo ya nos han aparecido en los coeficientes de la función elíptica P(z). Efectivamente, los coeficientes G_{k}(Λ) = ∑_{l∈Λ} l^{−k} son de hecho aplicaciones de retículos que de manera evidente tienen la propiedad buscada.

Del razonamiento anterior concluimos que para cualquier k ≥ 4 la función

G_{k}(z) = ∑_{\begin{matrix}\{m,n\}∈ℤ \\ \{m,n\}≠\{0,0\} \end{matrix}} \frac{1}{(mz + n)^{k}} ,

cumple G_{k}|[γ]_{k} = G_{k} para todo γ ∈ Γ ya que la suma doble es absoluta y uniformemente convergente sobre compactos K ∈ H y se puede sumar en cualquier orden. Además, esto asegura que la función es analítica en todo el semiplano.

Nota:. de la correspondencia z = w_{1}/w_{2}, vemos que retículos dilatados caen en el mismo z. Por otra parte sabemos que dos curvas elípticas ℂ/Λ_{1} y ℂ/Λ_{2}, son isomorfas sobre ℂ cuando Λ_{1} = λΛ_{2}. Por tanto, H/Γ es un espacio de parámetros para curvas elípticas salvo isomorfismo, y las funciones f en dicha superficie de Riemann son de hecho funciones sobre curvas elípticas. De esta forma, propiedades aritméticas de f se pueden traducir a propiedades aritméticas sobre la curva elíptica.

Una vez cumplida la condición (1), ahora tenemos que demostrar que nuestras funciones son meromorfas en las cúspides. En este caso, como ya vimos, el único punto parabólico es el infinito, con lo que bastaría demostrar que lim_{z→i∞} G_{k}(z) ≠ ∞ para deducir que la función es de hecho una forma modular. Ahora bien,

lim_{z→i∞} G_{k}(z) = 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{k}} = 2ζ(k) ≠ ∞.

Todo lo anterior nos permite deducir que G_{k}(z) ∈ M_{k}(Γ). De hecho, podemos encontrar su desarrollo de Fourier en el infinito en la variable q = exp(2πiz), lo que nos permitirá encontrar nuestra primera conexión entre formas modulares y funciones aritméticas tales como la función divisor.

Proposición 51. G_{k}(z) = 2ζ(k) (1 − \frac{2k}{B_{k}} ∑_{n=1}^{∞} σ_{k−1}(n)q^{n}), para todo k ≥ 4 par, donde B_{k} son los números de Bernoulli, definidos mediante la serie

\frac{x}{e^{x} − 1} = ∑_{n=0}^{∞} B_{k} \frac{x^{k}}{k!} ,

y σ_{k}(n) = ∑_{d|n} d^{k}.

Demostración.

Teniendo en cuenta que cot(πz) = i(e^{πiz} + e^{−πiz})/(e^{πiz} − e^{πiz}), la identidad (e2), válida para cualquier z ∈ H, se puede escribir como

πi + \frac{2πi}{e^{2πiz} − 1} = \frac{1}{z} + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{z + n} + \frac{1}{z − n}) .

Desarrollando en serie de potencias y teniendo en cuenta la definición de los números de Bernoulli, obtenemos

πi + \frac{1}{z} ∑_{k=0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} (2πi)^{k}z^{k} = πi + \frac{2πi}{e^{2πiz} − 1} = \frac{1}{z} + \frac{1}{z} ∑_{k=1}^{∞} −2ζ(2k)z^{2k},

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann. De esta forma obtenemos la conocida fórmula

\frac{B_{k}}{k!} (2πi)^{k} = −2ζ(k),

para cualquier k > 0 par.

De la definición se sigue que los números de Bernoulli de índice impar son cero a partir del tercero; los primeros son B_{0} = 1, B_{1} = −1/2, B_{2} = 1/6, B_{4} = −1/30, B_{6} = 1/42 y, en general,

∑_{k=0}^{n−1} B_{k}\binom{n}{k} = 0,

de donde se deduce que todos son racionales. En particular ζ(k) es transcendente para todo k par. Es un problema abierto entender el valor de la función zeta para los enteros impares.

Derivando sucesivamente la serie geométrica,

\frac{1}{e^{2πiz} − 1} = − ∑_{n=0}^{∞} e^{2πinz},

lo que es posible para cualquier z ∈ H, obtenemos

(− ∑_{n=0}^{∞} e^{2πinz})^{(k)} = −(2πi)^{k} ∑_{n=0}^{∞} n^{k}e^{2πinz},

mientras que la derivada k-esima de (e2) produce

(π cot(πz))^{(k)} = (−1)^{k}k! ∑_{−∞}^{∞} \frac{1}{(z + n)^{k+1}} .

Evaluando en mz y sumando en m ≥ 1 queda

H_{k}(z) = ∑_{m=1}^{∞} ∑_{−∞}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}(k − 1)!}{(mz + n)^{k}} = −(2πi)^{k} ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n=0}^{∞} n^{k−1}e^{2πimnz},

luego

G_{k}(z) =\frac{2(−1)^{k−1}}{(k − 1)!} H_{k}(z) + 2ζ(k)
=2ζ(k) + \frac{(−1)^{k}}{(k − 1)!}(2πi)^{k}2 ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n=0}^{∞} n^{k−1}e^{2πimnz}

=2ζ(k) + \frac{(−1)^{k}}{(k − 1)!}(2πi)^{k}2 ∑_{l=1}^{∞} (∑_{d|l} d^{k−1}) q^{l}

=2ζ(k) (1 − \frac{2k}{B_{k}} ∑_{l=1}^{∞} σ_{k−1}(l)q^{l}) .

Obsérvese que G_{k}(z) es una función par.

Es útil definir la series normalizadas de G_{k}(z)

E_{k}(z) = \frac{1}{2ζ(k)}G_{k}(z) = 1 − \frac{2k}{B_{k}} ∑_{l=1}^{∞} σ_{k−1}(l)q^{l},

conocidas como series de Eisestein, cuyos coeficientes en el desarrollo en el infinito son números racionales.

Es fácil ver que estas series admiten la representación

E_{k}(z) = \frac{1}{2} ∑_{\begin{matrix}\{m,n\}∈ℤ \\ (m,n)=1 \end{matrix}} \frac{1}{(mz + n)^{k}} .

Las series de Eisenstein nos proporcionan ejemplos de formas modulares para cualquier peso par k ≥ 4 pero, ¿qué pasa con k = 2? En este caso no podemos definir el análogo G_{2}(z) pues la serie no converge absolutamente, y no se puede intercambiar el orden de sumación para asegurar la invariancia por [ ]_{2}. Sin embargo, la serie análoga E_{2}(z) converge condicionalmente, y la función que define también tiene una ecuación funcional que, aunque un poco más complicada, será de gran utilidad.

Proposición 52. La serie

E_{2}(z) = 1 + \frac{6}{π^{2}} ∑_{m≥1} ∑_{−∞}^{∞} \frac{1}{(mz + n)^{2}} ,

define una función holomorfa en H y en el infinito, invariante por T ∈ Γ.

Demostración.

Consideramos la función

Ẽ_{2}(z) =1 + \frac{6}{π^{2}} ∑_{m≥1} ∑_{n=−∞}^{∞} (\frac{1}{(mz + n)^{2}} − a_{m,n}(z))

=1 + \frac{6}{π^{2}} ∑_{m≥1} ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{(mz + n)^{2}(mz + n − 1)},

para a_{m,n}(z) = \frac{1}{mz+n−1} − \frac{1}{mz+n}. Por el Lema 44 la serie es uniformemente convergente en compactos K ∈ H, por lo que define una función holomorfa en el semiplano. Por otra parte,

Ẽ_{2}(z) = E_{2}(z) + \frac{6}{π^{2}} ∑_{m≥1} ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{mz + n} − \frac{1}{mz + n − 1},

de donde se deduce Ẽ_{2}(z) = E_{2}(z) sin más que sumar la serie telescópica.

Para demostrar el resultado en el infinito, procedemos como en el resto de series de Eisestein, obteniendo

∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{(mz + n)^{2}} = −\frac{4}{B_{2}} ζ(2) ∑_{d=1}^{∞} dq^{dm},

con lo que

(e4)  E_{2}(z) = 1 − 24 ∑_{m≥1} ∑_{d≥1} dq^{dm} = 1 − 24 ∑_{n≥1} σ_{1}(n)q^{n},

lo que termina el resultado. Observemos que la periodicidad de la función se deduce inmediatamente de la definición.

Así pues, el único punto que aleja a E_{2}(z) de ser una forma modular para el grupo Γ es la invariancia por S, es decir la ecuación funcional z^{−2}E(−1/z) = E_{2}(z). A pesar de que dicha ecuación no es cierta, la función no está muy lejos de cumplirla. En la siguiente proposición analizamos el error que se comete.

Proposición 53.

z^{−2}E_{2} (\frac{−1}{z}) = E_{2}(z) + \frac{12}{2πiz} .

Demostración.

Es claro que

E_{2}(z) = 1 + \frac{3}{π^{2}} ∑_{m≠0} ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{(mz + n)^{2}} ,

con lo que

E_{2} (\frac{−1}{z}) =1 + \frac{3}{π^{2}} z^{2} ∑_{m≠0} ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{(m + nz)^{2}}

=z^{2} (1 + \frac{3}{π^{2}} ∑_{m=−∞}^{∞} ∑_{n≠0} \frac{1}{(m + nz)^{2}} ) .

Por otra parte, podemos reordenar la serie en Ẽ_{2}(z) para obtener

E_{2}(z) = 1 + \frac{3}{π^{2}} ∑_{n=−∞}^{∞} ∑_{m≠0} (\frac{1}{(mz + n)^{2}} − a_{m,n}(z)) ,

de donde

E_{2}(z) = z^{−2}E_{2} (\frac{−1}{z}) − \frac{3}{π^{2}} ∑_{n=−∞}^{∞} ∑_{m≠0} a_{m,n}(z).

Queda por tanto evaluar la última suma. Ahora bien ∑_{n} ∑_{m≠0} a_{m,n}(z) se diferencia de ∑_{n} ∑_{m≠0} \frac{1}{(mz+n)^{2}} en una serie absolutamente convergente. Por otra parte, razonando como en (e4), obtenemos para n > 0

∑_{m≠0} \frac{1}{(mz − n)^{2}} = −\frac{1}{n^{2}} − \frac{4π^{2}}{z^{2}} ∑_{d=1}^{∞} de^{−2πind/z},

de donde se deduce que

∑_{n=−∞}^{∞} ∑_{m≠0} a_{m,n}(z) = lim_{N→∞} ∑_{−N+1}^{N} ∑_{m≠0} a_{m,n}(z) = lim_{N→∞} ∑_{m≠0} ∑_{−N+1}^{N} a_{m,n}(z),

por convergencia absoluta de la suma en la variable n.

Cancelando términos en la suma interior queda 1/(mz − N) − 1/(mz + N) y teniendo en cuenta (e2) obtenemos

∑_{m≠0} (1/(mz − N) − 1/(mz + N)) = \frac{2}{z} (π cot (−\frac{πN}{z} ) + \frac{z}{N} ) .

Tomando límites cuando N → ∞ se obtiene

cot(−πN/z) = i(e^{−2πiN/z} + 1)/(e^{−2πiN/z} − 1) → −i,

que concluye el resultado.

Nota:. en realidad no es por casualidad que la función E_{2}(z) no se transforme bien mediante S, ya que, como veremos, M_{2}(Γ) = 0.

La identidad (e4) nos va a proporcionar una de las funciones más importantes dentro de la teoría de formas modulares. Efectivamente, si definimos η(z) = q^{1/24} ∏_{d=1}^{∞} (1 − q^{d}) para q = exp(2πiz) se cumple:

Proposición 54.

η(z) = \sqrt{i/z}η (\frac{−1}{z}) .

La serie ∑_{n=1}^{∞} q^{n} es uniformemente convergente sobre compactos en H con lo que η(z) es holomorfa y distinta de cero en todo el semiplano. Tomando la derivada logaritmica obtenemos

\frac{η′(z)}{η(z)} =\frac{2πi}{24} − 2πi ∑_{n=1}^{∞} \frac{nq^{n}}{1 − q^{n}}

=\frac{2πi}{24} (1 − 24 ∑_{n=1}^{∞} σ_{1}(n)q^{n}) = \frac{2πi}{24}E_{2}(z).

La Proposición 53 nos permite deducir por tanto que

\frac{1}{z^{2}} \frac{η′(−1/z)}{η(−1/z)} = \frac{2πi}{24}E_{2}(−1/z) = \frac{2πi}{24} (E_{2}(z) + \frac{12}{2πiz} )

= \frac{2πi}{24}E_{2}(z) + \frac{1}{2z} = \frac{η′(z)}{η(z)} + \frac{1}{2z} ,

luego (log(η(−1/z)))′ = (log(\sqrt{z}η(z)))′ y η(−1/z) = C\sqrt{z}η(z) para alguna constante C. Evaluando en z = i obtenemos el resultado.

η(z) es conocida como la función eta de Dedekind.

Si nos olvidamos por un momento de la potencia 1/24 en el primer factor, la propia definición de la función eta nos muestra su desarrollo en el infinito, siendo su valor en la cúspide 0. No es por tanto de extrañar que dicha función nos proporcione el primer ejemplo de forma cuspidal.

Proposición 55.

D(z) = q ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n})^{24}

es una forma cuspidal de peso 12 para el grupo modular.

Demostración.

Es claro que la función D(z) es holomorfa en H y en el infinito, siendo D(∞) = 0. Así pues basta con probar invariancia del operador [ ]_{12} para los elementos T y S. Ahora bien, la función es trivialmente periódica. Por último, elevando a 24 en la Proposición 54 obtenemos

D(−1/z) = z^{12}D(z)

como queríamos ver.

Existen otras maneras de construir formas cuspidales. Efectivamente, no tenemos más que observar que si dos formas modulares tienen el mismo valor en el infinito, su diferencia será una forma cuspidal. Ahora bien, hasta ahora no tenemos más que un ejemplo de forma modular para cada peso; sin embargo, todas las series de Eisestein normalizadas tienen desarrollo en el infinito que empieza en 1. Si ahora tenemos en cuenta que el producto de formas modulares es también una forma modular, deducimos:

Proposición 56.

Δ(z) = \frac{(2π)^{12}}{1728} (E_{4}^{3}(z) − E_{6}^{2}(z)) = g_{2}^{3}(z) − 27g_{3}^{2}(z),

es una forma cuspidal de peso 12 para el grupo modular.

Nota:. la constante es una normalización de la función delta de forma que se obtenga la última identidad del enunciado, siendo por otra parte irrelevante.

A esta función se le conoce como función delta.

A primera vista puede parecer más útil la función D(z) ya que se tiene D(z) ≠ 0 en todo el semiplano superior; sin embargo veremos que en realidad ambas funciones son la misma. En cualquier caso, podemos aprovechar que D(z) no se anula en todo el semiplano para construir un cociente de funciones con D(z) en el denominador y así obtener formas modulares de menor peso. En particular, para k = 0 en donde todavía no tenemos ningun ejemplo.

De esta forma, debemos buscar otra forma modular de peso 12 aparte de D(z) para completar el numerador. Una primera posibilidad es por tanto Δ(z); sin embargo se tiene:

Proposición 57.

D(z) = (2π)^{−12}Δ(z).

Demostración.

El cociente Δ(z)/D(z) es una función holomorfa en la superficie de Riemann H^{∗}/Γ ya que ord_{∞}Δ(z) ≥ 1 = ord_{∞}D(z). Por la Proposición 6 es constante. El resultado se deduce comparando el desarrollo en el infinito de ambas funciones.

Así pues, si queremos encontrar una función modular no constante para Γ deberemos utilizar en el numerador otra forma modular de peso 12 que no se anule en el infinito. En particular,

Proposición 58. El cociente

j(z) = \frac{E_{4}^{3}(z)}{D(z)} = \frac{1}{q} + 744 + ⋯,

es una función modular para Γ.

Todos nuestros ejemplos salieron de una relación directa con la teoría de funciones y curvas elípticas. Éste sin embargo no es el único motivo que las hace tan importantes. En realidad éstas son, en algún sentido, todas las formas modulares que existen para todo SL_{2}(ℤ).

De hecho, nuestro siguiente objetivo será caracterizar los espacios M_{k}(Γ) y S_{k}(Γ) en términos de las series de Eisestein.

Ya vimos un ejemplo de cómo conseguir un resultado de este estilo al caracterizar el cuerpo de las funciones elípticas en términos de la función P(z). En este caso, intentaremos seguir una línea análoga de razonamiento.

Para ello vamos a considerar una integral a lo largo del dominio fundamental para el grupo Γ.

Proposición 59. Sea f(z) una forma modular meromorfa de peso k sobre Γ. Sea v_{p}f el orden de cero o polo de f en el punto p y v_{∞}f el índice del primer término no nulo del desarrollo de la función en el infinito. Entonces,

(e5)  v_{∞}f + \frac{1}{2}v_{i}f + \frac{1}{3}v_{w_{2}}f + ∑_{p∈H/Γ} v_{p}f = \frac{k}{12}.

(Nota: observemos que v_{p}f no varía si cambiamos el representante de p en H/Γ.)

Demostración.

Sea C el contorno de la figura.

=6cmjorge1.eps Fig.3 Recinto de Integración

El borde superior es el segmento de H = 1/2 + iT a A = −1/2 + iT para T suficientemente grande de forma que la función no tenga ni ceros ni polos por encima del segmento. Esto es posible ya que la función es meromorfa en el infinito. El resto del contorno sigue la frontera del dominio fundamental F salvo por pequeños arcos de circulo de forma que sólo un representante de cada cero o polo de f quede dentro del contorno, salvo por los puntos elípticos que, en caso de ser ceros o polos de f, quedarán fuera del contorno.

Por el Teorema de los residuos se tiene

\frac{1}{2πi} ∫_{C} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = ∑_{\begin{matrix}p∈H/Γ \\ p≠i,w_{1} \end{matrix}} v_{p}f.

La integral sobre AB se cancela con GH por la periodicidad de la función, ya que dichas curvas van en sentidos opuestos.

Haciendo el cambio de variable q = exp(2πiz) se tiene para g(q) = f(z), f′(z) = \frac{d}{dq} g(q)\frac{dq}{dz}, con lo que si C_{0} es la circunferencia centrada en el origen de radio exp(−2πT) obtenemos

\frac{1}{2πi} ∫_{HA} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = \frac{1}{2πi} ∫_{C_{0}} \frac{q′(q)}{q(q)}dq = −v_{∞}f,

por el Teorema de los residuos, ya que la circunferencia se recorre en el sentido de las agujas del reloj.

Sea ahora f′(z)/f(z) = v_{w_{2}}f/(z − w_{2}) + h(z) para alguna función h(z) holomorfa en un entorno de w_{2}. Entonces

\frac{1}{2πi} ∫_{BC} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = −\frac{v_{w_{2}}f}{6} + \frac{r}{2π} ∫_{π/2}^{π/6} h (w_{2} + re^{iθ}) e^{iθ}dθ ⟶^{r→0} −\frac{v_{w_{2}}f}{6} .

ya que el ángulo que barre el arco de círculo considerado es de π/3. De la misma forma obtenemos para la integral sobre F G el valor −\frac{v_{w_{1}} f}{6} = −\frac{v_{w_{2}} f}{6} , mientras que para DE el ángulo se aproxima a π con lo cual se obtiene en ese caso −\frac{v_{i}f}{2} .

Teniendo en cuenta que los arcos que faltan por considerar son Γ equivalentes, S(CD) = −EF, el resultado estará completo una vez que probemos el siguiente lema:

Lema 60. Sea γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ con c ≠ 0 y sea f(z) meromorfa en H sin ceros

o polos en un contorno C ∈ H. Supongamos además que f(γz) = (cz + d)^{k}f(z). Entonces

∫_{C} \frac{f′(z)}{f(z)}dz − ∫_{γC} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = −k ∫_{C} \frac{dz}{z + d/c}.

Demostración.

Haciendo el cambio de variable z = γz, obtenemos

∫_{γC} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = ∫_{C} \frac{f′(γz)}{f(γz)}(γz)′dz = ∫_{C} \frac{(f(γz))′}{f(γz)} dz
= ∫_{C} \frac{((cz + d)^{k}f(z))′}{(cz + d)^{k}f(z)} dz = ∫_{C} \frac{f′(z)}{f(z)}dz + k ∫_{C} \frac{dz}{z + d/c}.

En nuestro caso S(CD) = −EF, con lo que

\frac{1}{2πi} ∫_{CD} \frac{f′(z)}{f(z)}dz + \frac{1}{2πi} ∫_{EF} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = −\frac{k}{2πi} ∫_{CD} \frac{dz}{z} .

Haciendo tender ε → 0 obtenemos el resultado pues

\frac{1}{2πi} ∫_{CD} \frac{dz}{z} → \frac{1}{2πi} ∫_{2π/3}^{π/2} \frac{ie^{iθ}}{e^{iθ}dθ} = −\frac{1}{12}.

Como ya anunciamos, los ceros y polos de las formas modulares caracterizan a la función. Así, Teorema 61. Sea k un entero par.

(1) M_{0}(Γ) = ℂ.

(2) M_{k}(Γ) = 0 si k < 0 o k = 2.

(3) M_{k}(Γ) = ℂE_{k} para k = 4, 6, 8, 10, 14.

(4) S_{k}(Γ) = 0 si k < 12 o k = 14 y S_{k}(Γ) = Δ(z)M_{k−12}(Γ) en el resto.

(5) M_{k}(Γ) = S_{k}(Γ) ⊕ ℂE_{k} si k > 2.

Demostración.

Obsérvese que en el caso de formas modulares todos los términos a la izquierda de (e5) son positivos.

(1) Es consecuencia de la Proposición 6. De otra forma, si toma un valor c entonces f(z) − c tiene un cero, mientras que la derecha de (e5) es cero.

(2) La suma a la izquierda de (e5) es como mínimo 1/3.

(3) En los casos descritos, existe una única combinación de v_{p}f que hace posible (e5), por ejemplo, para k = 4 v_{p}f = v_{∞}f = v_{i}f = 0, v_{w_{2}} = 1. El resultado se deduce ahora de que el cociente de dos formas del mismo peso con los mismos órdenes de ceros y polos es una función holomorfa y por tanto constante.

(4) El resultado se sigue del apartado anterior si k < 12 o k = 14. En el resto, es suficiente observar que si f(z) ∈ S_{k}(Γ) entonces v_{∞}f ≥ 1, luego f/Δ es una forma modular de peso k − 12, pues Δ(z) no se anula en el semiplano.

(5) Si f ∈ M_{k}(Γ) con f(∞) = a_{0}, entonces f − a_{0}E_{k} ∈ S_{k}(Γ).

Hemos probado por tanto que toda forma modular es una combinación lineal de series de Eisestein y la función Δ(z). Sin embargo todavía se puede probar algo más.

Corolario 62. Toda forma modular f ∈ M_{k}(Γ) se puede escribir

f(z) = ∑_{4i+6j=k} c_{ij}E_{4}^{i}E_{6}^{j}.

Demostración.

Es cierto para k ≤ 6 y para k = 8, 10, 14 por (3) del Teorema 61, ya que E_{4}^{2},E_{4}E_{6} y E_{4}^{2}E_{6} son formas del peso correspondiente. Para k > 14 se deduce combinando (5), (4), la definición de la función Δ, y el hecho de que para cualquier k par existen i, j tal que 4i + 6j = k.

Corolario 63. La función j(z) es una biyección entre H^{∗}/Γ y ℂ̂.

Demostración.

El único polo de la función está en el infinito, lo cual es también cierto para j(z) − c. Así pues, (e5) sólo puede ser cierto si la función tiene un único cero en el dominio fundamental, lo que prueba el resultado. (Observemos que la Proposición 6 nos aseguraba la sobreyectividad de j(z).)

Es de resaltar la importancia que un hecho como el anterior va a tener dentro de las curvas elípticas:

Corolario 64. Dados cualesquiera g_{2}, g_{3} números complejos tal que g_{2}^{3}−27g_{3}^{2} ≠ 0, entonces existe un retículo L = λΛ_{z} tal que g_{2} = g_{2}(L),g_{3} = g_{3}(L).

Demostración.

Si g_{2} = 0 el resultado es trivial teniendo en cuenta que g_{3}(λz) = λ^{−6}g(z). En otro caso, sea z tal que

j(z) = \frac{1728}{1 − 27g_{3}^{2}/g_{2}^{3}} .

De las proposiciónes 56,57 y 58 deducimos que, en ese caso,

\frac{g_{3}^{2}(z)}{g_{2}^{3}(z)} = \frac{g_{3}^{2}}{g_{2}^{3}} .

Teniendo en cuenta que g_{2}(λz) = λ^{−4}g_{2}(z), podemos escoger λ de forma que g_{2}(λz) = g_{2}. De esta forma, como g_{3}^{2}(λz)/g_{2}^{3}(λz) = g_{3}^{2}(z)/g_{2}^{3}(z), se tiene o bien g_{3}(λz) = g_{3}, en cuyo caso habríamos terminado, o g_{3}(λz) = −g_{3} y la elección λ′ = iλ nos daría el resultado.

La función j(z) desempeña en realidad un papel análogo al de la función elíptica P en el sentido siguiente:

Proposición 65. Toda función modular para Γ es una función racional en j(z).

Demostración.

Podemos restringirnos a funciones sin polos en H, ya que si f(z) es una función modular para Γ con polos z_{1}, ⋯ z_{n} en H contados con multiplicidad, entonces f ∏_{i}(j(z) − j(z_{i})) es una función modular sin polos en el semiplano. Por otra parte, el polo de la función en el infinito se puede eliminar multiplicando por Δ^{k}(z) para k suficientemente grande, con lo que Δ^{k}(z)f(z) ∈ M_{12k}(Γ).

El Corolario 62 en este caso, es una suma sobre i, j tal que 12|4i + 6j, con lo que 3|i, 2|j, y dividiendo por Δ^{k}(z) se obtiene el resultado sin más que observar que E_{4}^{3}/Δ(z) = j, E_{6}^{2}/Δ(z) = j − 1.

Los anteriores resultados nos han permitido clasificar completamente las formas modulares para todo el grupo modular. En la siguiente sección, si no algo tan ambicioso, al menos presentaremos algunos de los ejemplos más importantes de formas modulares para ciertos subgrupos de congruencias.

7. Formas modulares para subgrupos de congruencias

En este caso se definen de manera análoga los ℂ-espacios vectoriales M_{k}(Γ′), y S_{k}(Γ′) para cualquier subgrupo Fuchsiano. En cualquier caso, nos limitaremos básicamente a los subgrupos de congruencias Γ_{1}(N), Γ_{0}(N). En este último caso usaremos la notación M_{k}(N) = M_{k}(Γ_{0}(N)). Aparte de estos dos espacios, nos interesaremos por unos espacios intermedios que complementan M_{k}(N) en M_{k}(Γ_{1}(N)). Para su definición necesitamos introducir los llamados caracteres de Dirichlet.

Definición 66.

Un carácter de Dirichlet módulo m es una función χ : ℤ ⟶ ℂ que cumple

\begin{matrix}χ(n + m) = & χ(n) \\ χ(n_{1}n_{2}) = & χ(n_{1})χ(n_{2}) \end{matrix} \} .

Es decir, es completamente multiplicativa, y periódica de periodo m, siendo χ(n) = 0 para todo (n, m) > 1.

Por ejemplo, la función

χ(n) = \{ \begin{matrix}1 si n ≡ 1 (mod 4) \\ −1 si n ≡ 3 (mod 4) \\ 0 si n par, \end{matrix}

es un carácter módulo 4.

Dado cualquier módulo m siempre se tiene el carácter trivial χ_{0}(n) = 1 si (n, m) = 1 y cero en otro caso. Si el módulo p es primo, el símbolo de Legendre, función que vale 1 en los residuos cuadráticos, −1 en los no cuadráticos, y cero en los múltiplos de p, es un carácter para el primo p.

Se puede probar que dado un entero m el conjunto de caracteres módulo m es un grupo de orden ϕ(m), donde ϕ es la función de Euler.

Cada uno de los distintos caracteres tiene las siguientes propiedades:

Proposición 67. Dado un carácter χ módulo m se tiene (1) χ(1) = 1.

(2) χ(n) es una ϕ(m)-ésima raíz de la unidad.

(3)

∑_{χ(mod m)} χ(n) = \{ \begin{matrix}ϕ(m) si n ≡ 1 (mod m) \\ 0 en el resto. \end{matrix}

(4)

∑_{n(mod m)} χ(n) = \{ \begin{matrix}ϕ(m) si χ = χ_{0} \\ 0 en el resto. \end{matrix}

Demostración.

(1) es evidente, mientras que (2) se deduce del Teorema de Euler-Fermat. Para probar la cuarta, basta observar que si n recorre todas las clases módulo m, entonces kn también para cualquier (k, m) = 1, con lo que

S = ∑_{n(mod m)} χ(n) = ∑_{n(mod m)} χ(nk) = χ(k)S.

(3) Sea A la matriz cuadrada a_{i,j} = χ_{i}(n_{j}), donde χ_{i} recorre los ϕ(m) caracteres distintos módulo m, y n_{j} las distintas clases. En ese caso, AĀ^{t} es la matriz con coeficientes

b_{i,j} = ∑_{r} χ_{i}(n_{r})\overline{χ_{j}(n_{r})} = ∑_{r}(χ_{i}χ_{j}^{−1})(n_{r}).

Por la propiedad (4) aplicada al carácter χ_{i}χ_{j}^{−1} se obtiene Id = \frac{1}{ϕ(m)}AĀ^{t} = \frac{1}{ϕ(m)} Ā^{t}A, que prueba el resultado sin más que desarrollar los coeficientes c_{i,j} de Ā^{t}A ya que

c_{i,j} = ∑_{r} \overline{χ_{r}(n_{i})}χ_{r}(n_{j}) = ∑_{r} χ_{r}(n_{i}^{−1}n_{j}).

La siguiente tabla muestra todos los caracteres módulo 5

0 1 2 3 4
χ_{0} 0 1 1 1 1
χ_{1} 0 1 -1 -1 1
χ_{2} 0 1 i -i -1
χ_{3} 0 1 -i i -1

Definición 68.

Se dice que un carácter módulo m no es primitivo cuando es periódico módulo un entero d|m al restringirnos a los (n, m) = 1.

Así por ejemplo, de los cuatro caracteres módulo 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
χ_{0} 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
χ_{1} 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 -1
χ_{2} 0 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 -1
χ_{3} 0 1 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 1

solo χ_{3} es un carácter primitivo, siendo χ_{1} el carácter inducido por el único carácter módulo 4 no trivial y χ_{2} el análogo módulo 6.

Relacionados con los caracteres de Dirichlet están las sumas de Gauss,

τ(χ) = ∑_{n=0}^{m−1} χ(n)e^{2πin/m},

donde m es el módulo del carácter.

El siguiente teorema lo enunciamos sin demostración.

Teorema 69. Si χ es un carácter primitivo, entonces |τ(χ)| = m^{1/2}

Demostración.

Ver por ejemplo [H].

Nota:. en particular, el teorema demuestra que las sumas de Gauss de caracteres primitivos son no nulas, hecho que será de nuestro interés para nuestro posterior desarrollo.

Pasamos ahora a definir los espacios M_{k}(N, χ) para χ un carácter módulo N. Estos son los subespacios de M_{k}(Γ_{1}(N)) tal que f|[γ]_{k} = χ(d)f para todo

γ_{d} = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(N). De esta forma, si χ_{0} es el carácter trivial, se tiene

M_{k}(N, χ_{0}) = M_{k}(N).

De alguna manera los espacios M_{k}(N, χ) son el complemento de M_{k}(N) en M_{k}(Γ_{1}(N)), así como las diferentes clases de d (mod N) lo son de Γ_{1}(N) en Γ_{0}(N). Esto lo reflejamos en la siguiente proposición:

Proposición 70. M_{k}(Γ_{1}(N)) = ⊕_{χ}M_{k}(N, χ), donde χ recorre los caracteres módulo N.

Demostración.

Es evidente que cada subespacio M_{k}(N, χ) tiene intersección trivial con el resto.

La ortogonalidad de los caracteres de Dirichlet nos servirá para expresar cualquier forma modular para Γ_{1}(N) f como suma de formas en los subespacios. Consideramos

f_{χ} = \frac{1}{ϕ(N)} ∑_{(d,N)=1} χ̄(d)f|[γ_{d}]_{k}.

Para cualquier γ_{d_{1}} ∈ Γ_{0}(N) se tiene

f_{χ}|[γ_{d_{1}}]_{k} = \frac{1}{ϕ(N)} ∑_{(d,N)=1} χ̄(d)f|[γ_{dd_{1}}]_{k}.

Llamando dd_{1} = d obtenemos

f_{χ}|[γ_{d_{1}}]_{k} = \frac{1}{ϕ(N)} ∑_{(d,N)=1} χ̄(dd_{1}^{−1})f|[γ_{d}]_{k} = χ(d_{1})f_{χ},

con lo que f_{χ} ∈ M_{k}(N, χ). Si ahora sumamos en χ, se obtiene

∑_{χ} f_{χ} = \frac{1}{ϕ(N)} ∑_{χ} ∑_{(d,N)=1} χ̄(d)f|[γ_{d}]_{k} = \frac{1}{ϕ(N)} ∑_{(d,N)=1} f|[γ_{d}]_{k} ∑_{χ} χ̄(d) = f,

por el apartado 3 en la Proposición 67.

A los espacios M_{k}(N, χ) se les llama espacios con Nebentipo χ.

Observar que si χ(−1) ≠ (−1)^{k} entonces M_{k}(N, χ) = 0. Por otra parte, para que una cierta f ∈ M_{k}(Γ_{1}(N)) esté en algún subespacio con Nebentipo, basta comprobar la condición para generadores de Γ_{0}(N) por multiplicidad del carácter y del operador [ ]_{k}.

De la proposición anterior deducimos que

M_{k}(Γ_{1}(4)) = \{ \begin{matrix}M_{k}(4) si k par \\ M_{k}(4, χ) si k impar , \end{matrix}

donde χ es el único carácter no trivial módulo 4, resultado que usaremos para dar nuestro primer ejemplo de una forma modular de peso impar, en este caso en Γ_{1}(4). Así, definiendo la función Θ(z) = θ(−2iz), se tiene:

Proposición 71. Θ^{2}(z) ∈ M_{1}(Γ_{1}(4)) = M_{1}(4, χ), donde χ(d) = (−1)^{(d−1)/2}.

Demostración.

Basta con probar la ecuación funcional para los generadores de Γ_{0}(4). La aplicación

Γ(N) ⟶ Γ_{1}(N^{2})
( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}a & b/N \\ Nc & d \end{matrix} ) ,

es un isomorfismo, lo que reduce el cálculo de generadores de Γ_{0}(4) = ±Γ_{1}(4) a los del subgrupo Γ(2). Estos son T^{2} y ST^{2}S, por lo que los generadores para Γ_{0}(4) serán −Id, T, ST^{4}S.

La invariancia de Θ^{2}(z) por esas tres aplicaciones se sigue del Teorema 36. Vamos a ver ahora la condición en las cúspides. Es inmediato que Θ^{2}(∞) = 1,

y usando el Teorema 36, es fácil probar Θ^{2}(0) = \frac{−i}{2}. Por último, usando la ecuación funcional Θ(z) + Θ(z + 1/2) = 2Θ(4z), que se deduce inmediatamente de la definición, y el Teorema 36, llegamos a Θ^{2}(1/2) = 0.

Ejercicio.

Probar que T^{2}, ST^{2}S son generadores de Γ(2). Para ello, probar que multiplicando por la izquierda cualquier palabra en S, T por dichos elementos, se puede llegar a los representantes de las clases de [Γ : Γ(2)]. Usar que ST S = (T ST)^{−1}, S^{2} = Id.

Después, desarrollar el razonamiento hecho en la proposición para calcular el valor en las cúspides, teniendo en cuenta que S y ST^{−2}S mandan infinito a 0 y 1/2 respectivamente.

Nota:. el desarrollo en el infinito de la función Θ^{2}(z) tiene como coeficientes el número de representaciones de un entero como suma de cuadrados.

Para encontrar nuevos ejemplos basta con recordar que las formas modulares para un grupo también lo son para cualquiera de sus subgrupos, con lo que ya tenemos todas las formas consideradas en la sección anterior.

Aparte de estas formas triviales, vamos a dar un método que nos permite construir nuevos ejemplos de formas modulares partiendo de unas dadas.

Proposición 72. Sea Γ′ un subgrupo de congruencias, α ∈ GL_{2}^{+}(ℚ) y Γ′′ = α_{−1}Γ′α ∩ Γ.

(1) Γ′′ es un subgrupo de congruencias y la aplicación [α]_{k} lleva M_{k}(Γ′) en M_{k}(Γ′′) y S_{k}(Γ′) en S_{k}(Γ′′).

(2) Sea χ un carácter de Dirichlet módulo M y χ_{1} un carácter primitivo módulo N. Si f(z) = ∑ a_{n}q^{n} ∈ M_{k}(M, χ), entonces la función f_{χ_{1}} = ∑ a_{n}χ_{1}(n)q^{n} ∈ M_{k}(MN^{2}, χχ_{1}^{2}). Si f es cuspidal, también lo es f_{χ_{1}}.

La prueba necesita de dos lemas previos

Lema 73. Sea α ∈ GL_{2}^{+}(ℤ), D = |α|. Si Γ(N) ∈ Γ′, entonces Γ(ND) ∈ α^{−1}Γ′α.

Demostración.

Ejercicio.

Lema 74. Si f(z)|[γ]_{k} = ∑_{n≥n_{0}} a_{n}q_{N}^{n} para todo γ ∈ Γ, y α ∈ GL_{2}^{+}(ℚ), entonces f|[α]_{k} = ∑_{n≥an_{0}} b_{n}q_{DN}^{n} para ciertos a, D > 0.

Nota:. los desarrollos que se piden en el enunciado del lema son suficientes para que las funciones cumplan la propiedad en las cúspides, por tratarse de un subgrupo de congruencias.

Demostración.

La matriz α se puede multiplicar por un escalar, sin alterar la acción del operador [α]_{k}, por lo que se puede suponer que α tiene coeficientes enteros. En ese caso, es fácil ver que se puede escribir como α = γ ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) para alguna

γ ∈ SL_{2}(ℤ), de forma que a, d > 0 ya que ad = |α| > 0. Si ambos son negativos multiplicamos por (−Id)^{2}.

De esta forma,

f|[α]_{k} =f|[γ]| [ \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ]_{k} = (\frac{a}{d})^{k/2} ∑_{n≥n_{0}} a_{n}e^{2πin \frac{az+b}{dN}}

= (\frac{a}{d})^{k/2} ∑_{n≥n_{0}} a_{n}e^{2πi \frac{nb}{dN}} e^{2πi \frac{anz}{dN}} .

Demostración de la Proposición 72.

(1) Por el Lema 73 Γ′′ es un subgrupo de congruencias de nivel ND. Sea f(z) ∈ M_{k}(Γ′), y γ ∈ α^{−1}Γ′α, entonces para algún γ′ ∈ Γ′ se tiene

f|[α]_{k}|[γ]_{k} = f|[γ′α]_{k} = f|[α]_{k}.

Además, por el Lema 74,

f|[α]_{k}|[γ]_{k} = f|[αγ]_{k} = ∑_{n≥an_{0}} b_{n}q_{Nd}^{n},

donde ad = D, por lo que claramente d|D. Por último, si f es cuspidal también lo es f|[α]_{k}|[γ]_{k}.

(2) Teniendo en cuenta que χ_{1} es primitivo, podemos escribir

f_{χ_{1}} = \frac{1}{τ(χ̄_{1})} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}χ_{1}(n)τ(χ̄_{1})e^{2πim/N}e^{2πinz},

donde τ(χ) es la suma de Gauss correspondiente.

Es fácil ver que χ(n)τ(χ̄) = ∑_{m=0}^{N−1} χ̄(m)e^{2πinm/N}. Así pues,

f_{χ_{1}} =\frac{1}{τ(χ̄_{1})} ∑_{m=0}^{N−1} χ̄_{1}(m) ∑_{n=0}^{∞} a_{n}e^{2πin(z+m/N)}

=\frac{1}{τ(χ̄_{1})} ∑_{m=0}^{N−1} χ̄_{1}(m)f(z + m/N) = \frac{1}{τ(χ̄_{1})} ∑_{m=0}^{N−1} χ̄_{1}(m)f(γ_{m}z),

donde γ_{m} = ( \begin{matrix}1 & m/n \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

Para que f_{χ_{1}} sea forma modular debemos encontrar una relación del estilo f_{χ_{1}}|[γ]_{k} = f_{χ_{1}}, para ciertos γ. Dicha relación es como encontrar una entre f_{χ_{1}}(γz) y f_{χ_{1}}(z). Ahora bien,

f_{χ_{1}}(γz) = \frac{1}{τ(χ̄_{1})} ∑_{m=0}^{N−1} χ̄_{1}(m)f(γ_{m}γz),

fórmula que sugiere buscar γ de forma que γ_{m}γ reordene la suma. Ahora bien, si

γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) es tal que c ≡ 0 (mod N^{2}M), entonces la matriz γ_{m}γγ_{m′}^{−1} ∈ Γ_{0}(M)

siempre que dm ≡ am′ (mod N), lo cual es cierto dado m para un único m′ ya que (a, N) = (d, N) = 1. Eligiendo ese m′ tenemos, para toda γ ∈ Γ_{0}(N^{2}M),

f(γ_{m}γz) = f(γ_{m}γγ_{m′}^{−1}γ_{m′}z) = χ(d)(cz + d)^{k}f(γ_{m′}z),

ya que c ≡ 0 (mod M), f ∈ M_{k}(M, χ) y j(γ, z) es multiplicativo.

De esta forma,

f_{χ_{1}}(γz) = \frac{1}{τ(χ̄_{1})} ∑_{m′=0}^{N−1} χ(d)χ̄_{1}(m)(cz + d)^{k}f(γ_{m′}z).

Teniendo en cuenta que ad ≡ 1 (mod N), dm ≡ am′ (mod N), obtenemos la relación m = d^{−2}m′ (mod N), con lo que

f_{χ_{1}}(γz) = \frac{χ(d)χ_{1}^{2}(d)}{τ(χ̄_{1})} ∑_{m′=0}^{N−1} χ̄_{1}(m′)(cz + d)^{k}f(γ_{m′}z),

de donde se deduce

f_{χ_{1}}|[γ]_{k} = (cz + d)^{−k}f_{χ_{1}}(γz)χ(d)χ_{1}^{2}(d)f_{χ_{1}}(z),

como queríamos ver.

Corolario 75.

(1) Si f ∈ M_{k}(Γ), entonces g = f(Nz) ∈ M_{k}(N) es tal que f(∞) = g(∞), f(0) = N^{k}g(0).

(2) Para f ∈ M_{k}(M), χ_{1} cuadrático f_{χ_{1}} ∈ M_{k}(MN^{2}).

En algún sentido es natural la existencia de un resultado como la proposición anterior en el que formas modulares generan nuevas formas modulares en espacios mas grandes.

Esto no es posible si nos restringimos a peso 0, pues ya sabemos que no existen funciones modulares holomorfas que no sean constantes.

Proposición 76. M_{0}(Γ′) = ℂ para todo subgrupo de congruencias Γ′ .

Demostración.

Proposición 6.

Como en el caso del grupo modular, la anterior proposición nos permite deducir resultados para formas modulares de peso positivo:

Proposición 77. Sea f(z) ∈ S_{k}(N), para (N + 1)k = 24, k = 2, 4, 6, 8. Entonces f(z) = C (η(z)η(Nz))^{k}.

Demostración.

Sea g(z) = (η(z)η(Nz))^{k}. Nuestro objetivo es demostrar que el cociente f/g es holomorfo, para después usar la proposición anterior. La función g no tiene ceros en el semiplano, por lo que sólo tenemos que preocuparnos por el comportamiento en las cúspides. Consideramos g^{N+1} = Δ(z)Δ(Nz) de forma que se tiene g^{N+1} ∈ S_{24}(N) por el Corolario 75. Por ser N primo en cada uno de los casos considerados, las únicas cúspides no equivalentes son cero e ∞. No hay más que mirar a la definición de la función Δ para observar que g tiene un cero de orden N + 1 en el infinito.

El desarrollo de Fourier en el 0 se obtiene aplicando el operador [S]_{k}. De esta forma,

g^{N+1}|[S]_{k} =z^{−24}Δ(−1/z)Δ(−N/z) = N^{−12}Δ(z)Δ(z/N)
=N^{−12}q ∏ (1 − q^{n})^{24} q^{1/N} ∏ (1 − q^{n/N})^{24}
=N^{−12}q_{N}^{N+1} ∏ (1 − q_{N}^{nN})^{24} ∏ (1 − q_{N}^{n})^{24} ,

con lo que la función tiene un cero de orden N + 1 en el cero. Teniendo en cuenta que f^{N+1} tiene orden al menos N + 1 en cada cúspide, concluimos que la función (f/g)^{N+1} es holomorfa en toda la superficie de Riemann y por tanto constante, como queríamos ver.

Es importante observar que la anterior proposición no demuestra que g(z) ∈ S_{k}(N), salvo que se demuestre la existencia de alguna f forma cuspidal. De hecho, la demostración es válida si permitimos el caso k = 3, N = 7. Sin embargo, en ese caso −Id ∈ Γ_{0}(7) y k es impar, luego no hay formas modulares meromorfas!

En los otros casos es sabido que S_{k}(N) tiene dimensión 1. Como ejemplo veremos el caso N = 2.

Proposición 78. La función g = (η(z)η(2z))^{8} ∈ S_{8}(2).

g es holomorfa en el semiplano. Desarrollando como en la proposición anterior obtenemos g(0) = 0, g(∞) = 0. Así pues, para demostrar el resultado necesitamos probar invariancia por los elementos de Γ_{0}(2).

Teniendo en cuenta que T^{2} y ST^{2}S generan Γ(2) y que la identidad y T es un conjunto de representantes de Γ̄_{0}(2)/Γ(2), deducimos que Γ_{0}(2) está generado por −Id, T y ST^{2}S. La invariancia por los dos primeros es evidente. Por otra parte razonando como en la proposición anterior se tiene g|[S]_{8} = z^{−8}g(−1/z) = 2^{−4}g(z/2). Aplicando ahora T^{2} queda invariante pues la función g es periódica. Por último, 2^{−4}g(z/2)|[S]_{8} = z^{−8}2^{−4}g(−1/2z) = z^{−8}2^{−4} ((2z)^{8}2^{−4}g(z)) = g(z), como queríamos demostrar.

Éste es el primer ejemplo de lo que vamos a llamar productos η.

Definición 79.

Dado N entero, un producto η de nivel N es una función de la forma

f(z) = ∏_{δ|N} η(δz)^{r_{δ}},

para ciertos enteros r_{δ}.

Ya hemos visto ejemplos en donde los productos eta aparecen como únicas formas modulares para algunos subgrupos de congruencias.

Por simple comparación de coeficientes se puede demostrar que

E_{4}(z) =η^{16}(z)η^{−8}(2z) + 2^{8}η^{−8}(z)η^{16}(2z) y
E_{6}(z) =η^{24}(z)η^{−12}(2z) − 2^{5} · 3 · 5η^{12}(2z) − 2^{9} · 3 · 11η^{−8}(z)η^{12}(2z)η^{8}(4z)
+ 2^{13}η^{−12}(2z)η^{24}(4z).

Por tanto, toda forma modular en Γ se puede escribir como un un polinomio en productos eta, llamados polinomios eta.

Es posible encontrar bases formadas por polinomios eta incluso para ciertos subgrupos de congruencias, ver [N1].

Nuestro interés en este tipo de funciones radica en el hecho de que sus coeficientes, números enteros, son los valores de ciertas funciones aritméticas como número de representaciones como suma de cuadrados, particiones de un número, etc. El hecho de aparecer como coeficientes de funciones con tanta simetría permite deducir hechos realmente espectaculares, como multiplicatividad o propiedades de congruencia. Ver por ejemplo [E-O, G-S,J,O] y muchos otros en la literatura.

Nuestro siguiente objetivo es probar que una amplia gama de productos eta son de hecho formas modulares para subgrupos de congruencias.

Teorema 80. Sea N un entero y

f(z) = ∏_{δ|N} η(δz)^{r_{δ}},

un producto η. Si (1) v(i∞) = \frac{1}{24} ∑_{δ|N} δr_{δ} ∈ ℤ,

(2) v(0) = \frac{1}{24} ∑_{δ|N} \frac{N}{δ} r_{δ} ∈ ℤ,

(3) k = \frac{1}{2} ∑_{δ|N} r_{δ} ∈ ℤ,

entonces f es una forma modular meromorfa de peso k para Γ_{0}(N) con Neben-

tipo, definido para cada γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(N), (a, 6) = 1, a > 0, mediante

f|[γ]_{k} = μ(γ)f,

con μ(γ) = ∏_{δ|N} (\frac{δ}{a})^{r_{δ}}.

Antes de la demostración necesitamos establecer una serie de lemas previos. Sea s(h, k) la suma de Dedekind

s(h, k) = ∑_{n=1}^{k} \frac{h}{k} ((\frac{hn}{k})) ,

donde

((x)) = \{ \begin{matrix}x − [x] − 1/2 & si x no es entero, \\ 0 & en el resto. \end{matrix}

Los siguientes resultados son bien conocidos y los enunciamos sin demostración.

Proposición 81.

(p1) s(a + cm, c) = s(a, c).

(p2) s(a, c) + s(c, a) = −\frac{1}{4} + \frac{1}{12} (\frac{a}{c} + \frac{1}{ca} + \frac{c}{a}).

(p3) s(−c, a) = −s(c, a).

(p4) Sean ad − bc = 1 con c > 0, a > 0 y (a, 6) = 1. Entonces,

s(a, c) − (a + d)/12c ≡ \frac{1}{12}a(c − b − 3) − \frac{1}{2} \{1 − (\frac{c}{a})\} (mod 2)

Para una demostración de las propiedades (p1-p3), así como un amplio estudio de las sumas de Dedekind, ver [H-G]. La propiedad (p4) junto con otras está en [N2].

Lema 82. Sea γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ. Se cumple

η(γz) = ε(γ)(−i(cz + d))^{1/2}η(z),

donde

ε(γ) = \{ \begin{matrix}i^{1/2}e^{πib/12} si c = 0, \\ e^{−πiα(γ)} si c > 0, \end{matrix}

para α(γ) = s(a, c) − (a + d)/12c.

Demostración.

El caso c = 0 es evidente por la definición de la función η.

Supongamos entonces c ≠ 0. Razonaremos por inducción en el número n de letras en S, T en las que se compone γ.

Del caso c = 0 y de la Proposición 54, el resultado es cierto para n = 1.

Supongámoslo cierto para n−1 letras, y sea γ_{1} con n letras. Entonces, o bien

a) γ_{1} = T^{m}γ o bien b) γ_{1} = Sγ, para γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) de n − 1 letras.

a)Por hipótesis se tiene

η(T^{m}γz) =e^{πim/12}η(γz) = e^{πim/12}ε(γ)(−i(cz + d))^{1/2}η(z)
=e^{−πi(α(γ)+cm/c12}(−i(cz + d))^{1/2}η(z).

El resultado se deduce de la identidad s(a, c) = s(a+cm, c) sin más que observar

que γ_{1} = ( \begin{matrix}a + cm & b + dm \\ c & d \end{matrix} ).

b) En este caso γ_{1} = ( \begin{matrix}−c & −d \\ a & b \end{matrix} ). El caso a = 0 ya lo hemos probado, así

que suponemos a ≠ 0. De esta forma,

η(Sγz) =(−iγz)^{1/2}η(γz) = (−iγz)^{1/2}ε(γ)(−i(cz + d))^{1/2}η(z)
=(−i)(az + b)^{1/2}ε(γ)η(z).

Las propiedades (p2) y (p3) de las sumas de Dedekind nos permiten escribir α(γ) = s(−c, a) − \frac{1}{4} + \frac{c}{12a} + \frac{1−ad}{12ac}. Teniendo en cuenta que ad − bc = 1, queda α(γ) = −\frac{1}{4} + s(−c, a) − (\frac{−c+b}{12a}) = −\frac{1}{4} + α(γ_{1}), lo que termina el resultado.

Lema 83. El orden del producto η, f(z), en la cúspide c/d es

v (\frac{c}{d}) = \frac{1}{24} ∑_{δ|N} \frac{N}{(d, N/d)} \frac{(d, δ)^{2}}{dδ} r_{δ}.

Demostración.

Sea α^{−1} = ( \begin{matrix}c & −a \\ d & −b \end{matrix} ). Para cada δ, d divisores de N escribimos d = ud_{1},δ = uδ_{1} con (d_{1}, δ_{1}) = 1. Entonces, usando la descomposición del Lema 74,

δα^{−1}z = ( \begin{matrix}cδ & −aδ \\ d & −b \end{matrix} ) z = ( \begin{matrix}cδ_{1} & −aδ \\ d_{1} & −b \end{matrix} ) uz = ( \begin{matrix}cδ_{1} & m \\ d_{1} & n \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & δ_{1} \end{matrix} ) uz,

para m, n, x enteros. Si ahora consideramos la función Δ_{δ}(z) = Δ(δz) se tiene

Δ_{δ}(α^{−1}z) =Δ (( \begin{matrix}cδ_{1} & m \\ d_{1} & n \end{matrix} ) \frac{uz + x}{δ_{1}}) = (d_{1} \frac{uz + x}{δ_{1}} + n)^{12} Δ (\frac{uz + x}{δ_{1}})
= (\frac{dz − b}{d_{1}})^{12} Δ (\frac{uz + x}{δ_{1}}) .

Así pues,

f|[α^{−1}]_{k} =(dz − b)^{−k}f(α^{−1}z) = (∏_{δ|N} (Δ_{δ}(α^{−1}z))^{r_{δ}} )^{1/24}
=d_{1}^{−k} ∏_{δ|N} η (\frac{uz + x}{δ_{1}})^{r_{δ}} = Cq_{m_{ρ}}^{v(c/d)} ∏_{δ|N} ∏_{n=1}^{∞} (1 − c_{n}q_{m_{ρ}}^{unm_{ρ}/δ_{1}})^{r_{δ}} ,

donde m_{ρ} = \frac{N/d}{(d,N/d)} es la anchura de la cúspide ρ = c/d, como queríamos ver. Lema 84. Sean m, N enteros distintos de 0. El conjunto

K = K(m, N) = \{( \begin{matrix}a & b \\ Nc & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(N) : (a, m) = 1\}

genera Γ_{0}(N). Demostración.

Sea M ∈ Γ_{0}(N). Por el Teorema de Dirichlet existe un k tal que la matriz T^{k}M tiene como coeficiente a_{1,1} = a+kcN primo con m. El resultado se deduce sin más que observar que M = T^{−k}(T^{k}M). Demostración del Teorema 79.

Sea γ = ( \begin{matrix}a & b \\ Nc & d \end{matrix} ). El teorema es trivialmente cierto si c = 0. Así pues, multiplicando por −Id y por T^{k} para k suficientemente grande, y usando el lema anterior, podemos suponer a y Nc positivos y (a, 6) = 1.

Para cada δ|N podemos escribir

δγz = ( \begin{matrix}a & δb \\ δ′c & d \end{matrix} ) δz = γ_{δ}δz,

donde δδ′ = N. De esta forma,

f(γz) = ∏_{δ|N} η(γ_{δ}δz)^{r_{δ}} = ∏_{δ|N} ε(γ_{δ})^{r_{δ}}(−i(Ncz + d))^{r_{δ}/2}η(δz)^{r_{δ}}

=(−i)^{k}(Ncz + d))^{k} exp (−πi ∑_{δ|N} α(γ_{δ})r_{δ}) f(z).

Usando (p4) con los coeficientes de γ_{δ}, obtenemos, módulo 2,

∑_{δ|N}α(γ_{δ})r_{δ} ≡ ∑_{δ|N} (\frac{1}{12}a (δ′c − δb − 3) − \frac{1}{2} \{1 − (\frac{δ′c}{a})\}) r_{δ}

=2acv(0) − 2abv(i∞) − \frac{a}{2}k + ((\frac{Nc}{a}) − 1) k + (\frac{Nc}{a}) ∑_{δ|N} \frac{(\frac{δ}{a}) − 1}{2}r_{δ}

≡ − \frac{a}{2}k + (\frac{Nc}{a}) ∑_{δ|N} \frac{(\frac{δ}{a}) − 1}{2}r_{δ},

ya que ((\frac{Nc}{a}) − 1) k ≡ 0 (mod 2).

Por otra parte, para todo m entero e^{−πim} = e^{πim}. Por tanto,

exp (−πi ∑_{δ|N} α(γ_{δ})r_{δ}) = (−i)^{−ak} ∏_{δ|N} (\frac{δ}{a})^{r_{δ}} ,

lo que nos da el resultado sin más que observar que (−i)^{(1−a)k} = (\frac{(−1)^{k}}{a} ).

Si N es impar, uno puede usar la ley de reprocidad cuadrática para obtener μ(γ) = ∏_{δ|N} (\frac{a}{δ})^{r_{δ}}.

El Lema 83 nos permite concluir que la función es meromorfa en las cúspides y terminar la demostración.

Observemos que (1) y (2) en el teorema son justamente las condiciónes necesarias para que la función tenga orden entero en infinito y 0 respectivamente. De aquí inmediatamente se deduce que la función tiene orden entero o semientero en todas las cúspides, siendo el último caso sólo posible cuando μ(γ) = −1 para γ un elemento del estabilizador de la cúspide, en cuyo caso la cúspide es irregular.

Como nota curiosa resaltamos el siguiente corolario, con la notación del Teorema 80 y el Lema 83:

Corolario 85. Si v(i∞) y v(0) son enteros, entonces v(c/d) es entero o semientero.

Nota:. Observar que este resultado en particular prueba que, para cualesquiera d, δ divisores de N,

\frac{N(d, δ)^{2}}{(d, N/d)dδ}

es un entero.

En cualquier caso, los productos η no son la única forma de construir formas modulares para subgrupos de congruencias. De hecho, existen en estos subgrupos la generalización natural de las series de Eisestein vistas en la sección anterior. Para la construcción de estas series, remitimos al lector al capítulo 3 de [K].

Nuestro siguiente objetivo será la construcción de los operadores de Hecke. Disponer de unos operadores que actúan en espacios de formas modulares, junto con la dimensión finita de estos espacios, nos permitirá obtener identidades entre las formas que se traducen a otras entre sus coeficientes que, como ya hemos visto, en muchos casos son funciones aritméticas.

8. Los Operadores de Hecke

Antes de introducir estos operadores, vamos a hacer una simple construcción de operadores sobre funciones en ℝ/ℤ.

El operador lineal T_{n}f(x) = f(nx) actúa de forma trivial sobre funciones periódicas para cada n ∈ ℤ. Es más, podemos permitir n ∈ ℚ, y todavía obtendremos un resultado que no está lejos de ser periódico. Así por ejemplo, si consideramos T_{1/2}f, obtenemos una función periódica en los pares. No tenemos más que completar con los impares para obtener una nueva función periódica. De esta forma, si consideramos T′_{1/2}f(x) = f(x/2 + 1/2), podemos construir el nuevo operador T = T_{1/2} + T′_{1/2} que actúa sobre funciones periódicas. A este operador lo llamaremos la traza. Es importante observar que en realidad basta definir el operador sobre los puntos en ℝ/ℤ, para luego extenderlo a funciones en el espacio.

La generalización más simple al caso que nos concierne, H/Γ, es considerar el operador f(z) → g(z) = f(nz) para n ∈ ℤ. Sin embargo en este caso la función deja de ser periódica ya que para f una función modular para Γ se tiene g(Sz) = f(−n/z) = f(z/n) ≠ g(z). Observemos que, en esta situación, multiplicar o dividir por n la variable tiene el mismo resultado, ya que estamos

considerando los elementos ( \begin{matrix}n & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ó ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & n \end{matrix} ) ninguno de ellos en Γ.

Así pues, de la misma forma que para el caso real, queremos completar con el resto de operadores “módulo” n para obtener un nuevo operador traza sobre H/Γ.

En general, si α ∈ Gl_{2}(ℚ)^{+}, podemos definir la aplicación del semiplano superior z → αz y querríamos extenderla a H/Γ′ → H/Γ′, de forma que αΓ′z = Γ′αz. Desafortunadamente, Γ′αz depende del representante z que se escoja. De hecho αΓ′z no es ni siquiera una Γ′-órbita. Para llevar a cabo el esquema, tendremos que completar con todas las órbitas que se juntan en αΓ′z, es decir, tendremos que mirar al conjunto Γ′αΓ′z. Ahora bien, cualquier co-conjunto (por la derecha o por la izquierda) de Γ′ en Gl_{2}(ℚ)^{+} que toca Γ′αΓ′ está contenido en él, con lo que podemos escribir la unión disjunta Γ′αΓ′ = ∪Γ′α_{i}. En particular se pueden definir aplicaciónes Γ′z → {Γ′α_{i}z}. No tenemos más que considerar la traza f → ∑ f ∘ α_{i} para obtener nuestro operador.

Vamos a desarrollar nuestro esquema para α la multiplicación por n. Como de costumbre, denotaremos por Γ el grupo modular.

En este caso, podemos restringirnos al subconjunto de GL_{2}(ℤ)^{+}

G_{n} = \{α = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : |α| = n\} ,

para el cual se tiene:

Lema 86. [G_{n} : Γ] = σ(n) y el subconjunto de G_{n}

D_{n} = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) : 0 ≤ b < d\} ,

es un conjunto de representantes, es decir, se tiene la union disjunta

G_{n} = ⋃_{α∈D_{n}} Γα.

Demostración.

Como vimos en el Lema 74, toda matriz en G_{n} está relacionada con otra de

la forma ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ). Basta con multiplicar por T^{k} para algún k para asegurar la

condición en b. Por otra parte, es inmediato comprobar que los elementos de D no están Γ relacionados.

Obsérvese que |D_{n}| = σ(n).

Es claro que ΓG_{n}Γ = G_{n}, de donde se deduce que para cada α ∈ D_{n}, γ ∈ Γ existen únicos α′ ∈ D_{n}, γ′ ∈ Γ tales que αγ = γ′α′.

Explícitamente,

(e6)  ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x & y \\ z & t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x′ & y′ \\ z′ & t′ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a′ & b′ \\ 0 & d′ \end{matrix} ) ,

donde a′ = (xa + zb, dz), d′ = n/a′, x′ = (xa + zb)/a′, z′ = dz/a′, ya que (x′, z′) = 1. De la misma forma se pueden escribir explícitamente los demás coeficientes, pero no serán necesarios.

Vamos a considerar nuestros operadores no sólo en espacios de funciones modulares, sino que haremos un desarrollo más general en espacios M_{k}(N, χ). Por este motivo nuestros operadores no serán exactamente la traza, sino que nos aparecerán factores extra dependiendo de k y χ. En particular, sea χ tal que χ(−1) = (−1)^{k}, ya que como sabemos, en otro caso M_{k}(N, χ) = 0.

Para cada matriz α = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(ℤ), definimos χ(α) = χ̄(a).

Definición 87.

Dados χ un carácter en las condiciones anteriores y un entero k, llamaremos operador de Hecke T_{n} al operador lineal definido sobre funciones en el semiplano mediante

T_{n}(f) = n^{k/2−1} ∑_{α∈D_{n}} χ̄(α)f|[α]_{k} = \frac{1}{n} ∑_{ad=n} χ(a)a^{k} ∑_{0≤b<d} f (\frac{az + b}{d}) .

Formalmente podemos escribir

T_{n}(f) = \frac{1}{n} ∑_{ad=n} χ(a)a^{k} ∑_{0≤b<d} ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) .

Funciones Periódicas.

Por completitud, vamos a empezar estudiando la acción de los operadores de Hecke sobre el grupo Γ_{∞}.

Sea M_{k}(Γ_{∞}, χ) el espacio de las funciones holomorfas en H ∪ ∞ tales que f|[γ]_{k} = χ(γ)f para toda γ ∈ Γ_{∞}. Teorema 88. T_{n} : M_{k}(Γ_{∞}, χ) → M_{k}(Γ_{∞}, χ) Demostración.

La identidad

( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & v \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b′ \\ 0 & d \end{matrix} ) ,

donde b′ = b + au − dv, nos permite deducir que si αγ = γ′α′ es la identidad en (e6), para γ ∈ Γ_{∞}, α ∈ D_{n}, entonces α′ tiene a′ = a, d′ = d, con lo que f|[αγ]_{k} = f|[γ′α′]_{k} = χ(γ′)f|[α′]_{k} y χ̄(α)χ(γ′) = χ̄(α′)χ(γ). De esta forma,

T_{n}(f)|[γ]_{k} =n^{k/2−1} ∑_{α∈D_{n}} χ̄(α)f|[αγ]_{k}
=n^{k/2−1} ∑_{α′∈D_{n}} χ(γ)χ̄(α′)f|[α′]_{k} = χ(γ)T_{n}(f).

La condición en la cúspide se sigue directamente de la definición. Sin embargo, es posible dar explícitamente el desarrollo de Fourier de T_{n}(f) en el infinito. Proposición 89. Sea f = ∑_{m≥0} c(m)q^{m}, entonces T_{n}(f) = ∑_{m≥0} c_{n}(m)q^{m}, donde

c_{n}(m) = ∑_{d|(m,n)} χ(d)d^{k−1}c(mnd^{−2}).

Demostración.

Por definición,

(T_{n}f)(z) = \frac{1}{n} ∑_{m≥0} c(m) ∑_{ad=n} χ(a)a^{k} ∑_{b(mod d)} e^{2πim(az+b)/d}

= ∑_{l≥0} ∑_{ad=n} χ(a)a^{k−1}c(dl)q^{al}

= ∑_{m≥0} ( ∑_{\begin{matrix}ad=n \\ al=m \end{matrix}} χ(a)a^{k−1}c(dl)) q^{m},

como queríamos ver.

En particular se tiene c_{n}(m) = c_{m}(n) y

Corolario 90. Para todo n ≥ 1, c_{n}(0) = ∑_{d|n} χ(d)d^{k−1}c(0).

Uno de los hechos mas notables de la teoría relativa a los operadores de Hecke es que forman un álgebra conmutativa:

Teorema 91. Para todo m, n ≥ 1 se tiene que

T_{m}T_{n} = ∑_{d|(m,n)} χ(d)d^{k−1}T_{mnd^{−2}}.

Demostración.

Por definición,

mnT_{m}T_{n} = ∑_{\begin{matrix}a_{1}d_{1}=m \\ a_{2}d_{2}=n \end{matrix}} χ(a_{1}a_{2})(a_{1}a_{2})^{k} ∑_{\begin{matrix}b_{1}(mod d_{1}) \\ b_{2}(mod d_{2}) \end{matrix}} ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ 0 & d_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a_{2} & b_{2} \\ 0 & d_{2} \end{matrix} ) .

Sea δ = (a_{1}, d_{2}). Multiplicando y teniendo en cuenta que la acción de una matriz y la de un múltiplo escalar suyo es la misma, obtenemos

mnT_{m}T_{n} = ∑_{\begin{matrix}δ|(m,n) \\ (a_{1},d_{2})=1 \end{matrix}} χ(δ)δ^{k} ∑_{\begin{matrix}a_{1}d_{1}=m/δ \\ a_{2}d_{2}=n/δ \end{matrix}} χ(a_{1}a_{2})(a_{1}a_{2})^{k} ∑_{\begin{matrix}b_{1}(mod d_{1}) \\ b_{2}(mod δd_{2}) \end{matrix}} ( \begin{matrix}a_{1}a_{2} & b \\ 0 & d_{1}d_{2} \end{matrix} ) ,

donde b = a_{1}b_{2} + b_{1}d_{2}.

Ahora bien, según variamos b_{1}, b_{2} módulo d_{1}, δd_{2}, b toma todas las clases módulo (d_{1}d_{2}), δ veces cada una. En efecto, b determina b_{2} ≡ ba^{−1} (mod d_{2}) y entonces b_{1} ≡ (b − a_{1}b_{2})/d_{2} (mod d_{1}). Por tanto,

mnT_{m}T_{n} = ∑_{\begin{matrix}δ|(m,n) \\ (a_{1},d_{2})=1 \end{matrix}} χ(δ)δ^{k+1} ∑_{\begin{matrix}a_{1}d_{1}= \frac{m}{δ} \\ a_{2}d_{2}= \frac{n}{δ} \end{matrix}} χ(a_{1}a_{2})(a_{1}a_{2})^{k} ∑_{b(mod d_{1}d_{2})} ( \begin{matrix}a_{1}a_{2} & b \\ 0 & d_{1}d_{2} \end{matrix} ) .

Sea ahora a = a_{1}a_{2}, d = d_{1}d_{2} con lo que ad = mnδ^{−2}. Esta factorización es única. Efectivamente, mnδ^{−2} = ad con a = a_{1}a_{2}, d = d_{1}d_{2} tal que (a_{1}, d_{2}) = 1 y a_{1}d_{1} = m/δ y a_{2}d_{2} = nδ sólo cuando a_{1} = m/(m, δd), d_{2} = δd/(m, δd). Por tanto, se tiene que

mnT_{m}T_{n} = ∑_{δ|(m,n)} χ(δ)δ^{k+1} ∑_{ad=mnδ^{−2}} χ(a)(a)^{k} ∑_{b(mod d)} ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) ,

lo que demuestra el resultado.

Corolario 92. Los operadores de Hecke conmutan: para todo n, m ≥ 1, T_{m}T_{n} = T_{n}T_{m}.

Corolario 93. Si (m, n) = 1, entonces T_{m}T_{n} = T_{mn}.

Corolario 94. Para todo p primo, T_{p^{l+1}} = T_{p^{l}}T_{p} − χ(p)p^{l−1}T_{p^{l−1}}.

Demostración.

Basta tomar en el teorema m = p^{l}, n = p.

Estos tres corolarios se pueden resumir en una fórmula producto para los operadores. Efectivamente, el Corolario 94 nos permite escribir formalmente la serie de potencias

∑_{l=0}^{∞} T_{p^{l}}X^{l} = (1 − T_{p}X + χ(p)P^{l−1}X^{2})^{−1}.

Sustituyendo X = p^{−s} y multiplicando en los p primos, se obtiene por los corolarios 92 y 93, que

(e7) ∑_{n=0}^{∞} \frac{T_{n}}{n^{s}} = ∏_{p primo} ∑_{l=0}^{∞} T_{p^{l}}p^{−ls} = ∏_{p primo} (1 − T_{p}p^{−s} + χ(p)p^{l−1−2s})^{−1}.

El Teorema 91 por tanto nos permite deducir que los operadores de Hecke forman un álgebra conmutativa T generada por T_{p}, con p primo,

T_{p} = \frac{1}{p} ∑_{b(mod p)} ( \begin{matrix}1 & b \\ 0 & p \end{matrix} ) + χ(p)p^{k−1} ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Una vez desarrollada la teoría ya podemos demostrar nuestro resultado principal, y es que de hecho los operadores de Hecke son operadores sobre formas modulares.

Teorema 95. Sea Γ el grupo modular. Para todo n ≥ 1 se tiene que

T_{n} : M_{k}(Γ) → M_{k}(Γ) y
T_{n} : S_{k}(Γ) → S_{k}(Γ),

es decir, mandan formas modulares en formas modulares, y formas cuspidales en formas cuspidales.

Demostración.

Por la correspondencia (e6), αγ = γ′α′, se tiene

T_{n}f|[γ] = n^{k/2−1} ∑_{α∈D_{n}} f|[αγ]_{k} = n^{k/2−1} ∑_{α′∈D_{n}} f|[α′]_{k} = T_{n}f.

Por otra parte, si f es cuspidal, T_{n}f también lo es sin más que mirar el desarrollo en el infinito.

Por último vamos a demostrar el teorema análogo cuando nos restringimos a espacios M_{k}(N, χ). En este caso χ(α) = 0 salvo que (a, N) = 1. Por tanto, podemos reducir el grupo de representantes D_{n} a

D_{n}^{N} = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) ∈ D_{n} : (a, N) = 1\} .

En este caso la correspondecia (e6) proyecta sobre Γ_{0}(N), es decir, si αγ = γ′α′, entonces α′ ∈ D_{n}^{N} y γ′ ∈ Γ_{0}(N) ya que (a′, N) = 1 y z′ ≡ 0 (mod N). Además, ax ≡ a′x′ (mod N), con lo que χ(α)χ(γ) = χ(γ′)χ(α′).

Teorema 96. Para todo n ≥ 1 se tiene que

T_{n} : M_{k}(N, χ) → M_{k}(N, χ) y
T_{n} : S_{k}(N, χ) → S_{k}(N, χ).

Demostración.

La prueba es análoga a la del teorema anterior. En este caso, para γ ∈ Γ_{0}(N),

χ̄(α)f|[αγ]_{k} = χ̄(α)f|[γ′α′]_{k} = χ̄(α)χ(γ′)f|[α′]_{k} = χ(γ)χ̄(α′)f|[α′]_{k},

de donde T_{n}f|[γ] = χ(γ)T_{n}f.

Por otra parte, una forma modular es cuspidal si y sólo si tiene decaimiento exponencial cuando z se acerca a cualquier punto parabólico. Dicha condición se preserva claramente por el operador [ ]_{k}.

En este caso, los generadores de T , T_{p} se reducen cuando p|N a

T_{p} = \frac{1}{p} ∑_{b(mod p)} ( \begin{matrix}1 & b \\ 0 & p \end{matrix} ) ,

mientras que T_{p^{l}} = (T_{p})^{l} en ese caso.

Es importante destacar el caso en el que f es una autofunción para los operadores de Hecke.

Proposición 97. Sea f = ∑ a(n)q^{n} ∈ M_{k}(N, χ) una autofunción para todos los operadores de Hecke, con autovalores T_{n}f = λ_{n}f. Entonces, para todo n ≥ 1, a(n) = λ_{n}a(1), y si a(0) ≠ 0 entonces

λ_{n} = ∑_{d|n} χ(d)d^{k−1}.

Demostración.

De T_{n}f = λ_{n}f se obtiene λ_{n}a(1) = a_{n}(1). No hay más que aplicar la Proposición 89 para obtener el resultado. La segunda parte se obtiene de λ_{n}a(0) = a_{n}(0) y el Corolario 90.

Multiplicando por una constante la autofunción f podemos obtener a_{1} = 1. Éstas se llaman autofunciones normalizadas. En ese caso, los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito son justamente los autovalores de los operadores. Además, si aplicamos la identidad de operadores (e7) a f obtenemos

∑_{n=1}^{∞} a(n)n^{−s} = ∏_{p}(1 − a_{p}p^{−s} + χ(p)p^{k−1−2s})^{−1}.

Ejemplo.

Si escogemos N = 1, las series de Eisestein E_{k}(z) son autofunciones para todos los operadores de Hecke. Efectivamente, basta comprobarlo para los operadores T_{p} con p primo. Ahora bien, en ese caso, de la Proposición 89 obtenemos

a_{p}(m) = a(pm) + p^{k−1}a(n/p),

donde a(n/p) = 0 si p ≠ |0. Teniendo en cuenta que a(n) = ∑_{d|n} d^{k−1} y que

∑_{d|mp^{l}} d^{s} = ∑_{j=0}^{l} p^{js} ∑_{d|m} d^{s}, se obtiene el resultado. En este caso a(0) = 1, y λ_{m} = σ_{k−1}(m).

9. Aplicaciones

La función τ de Ramanujan.

Una de las series más famosas en Teoría de números es la descrita en el desarrollo de Fourier en el infinito para la función D(z) = q ∏_{n≥1}(1 − q^{n})^{24} = ∑_{n=1}^{∞} τ(n)q^{n}. La función aritmética τ(n) se conoce como función τ de Ramanujan. Fue conjeturado por él mismo que dicha función tenía las siguientes propiedades:

(1) τ(nm) = τ(n)τ(m) si (n, m) = 1 y τ(p^{n})τ(p) = τ(p^{n+1}) + p^{11}τ(p^{n−1}).

(2) τ(n) ≡ σ_{11}(n) (mod 691)

(3) τ(n)/n^{6} = O (1).

De hecho, Ramanujan conjeturó algo más fuerte que (3): en particular, que |τ(n)| < n^{11/2}σ_{0}(n).

La propiedad (1) fue probada por Mordell en 1917 (en este trabajo apareció el primer ejemplo de operadores de Hecke).

Con las herramientas que hemos desarrollado nos será francamente fácil probar (1) y (2), mientras que para (3) nos hará falta un lema previo sobre acotación de coeficientes para formas cuspidales.

Lema 98. Sea f una forma cuspidal de peso k para Γ con desarrollo en el infinito f = ∑_{n≥1} a(n)q^{n}. Para todo m ≥ 1 se tiene que

∑_{n≤m} |a(n)|^{2} ≪ m^{k}.

Demostración.

Es fácil ver que la función F (z) = y^{k/2}f(z) es Γ-periódica. Por otra parte, F (z) tiene decaimiento exponencial al acercarse a cualquier punto parabólico, de donde concluimos que F (z) es acotada en todo el semiplano superior. De esta forma, |f(z)| ≪ y^{−k/2}, con lo que, usando la identidad de Parseval, obtenemos

∑_{n≥0} |a(n)|^{2}e^{−4πny} = ∫_{0}^{1} |f(z)|^{2}dx ≪ y^{−k}.

Por tanto,

∑_{n≤m} |a(n)|^{2} ≪ y^{−k}e^{−4πmy}.

El resultado se concluye sin más que elegir y = 1/m.

Proposición 99. Las conjeturas de Ramanujan son ciertas.

Demostración.

(1) La Proposición 55 y el Teorema 61 nos permiten deducir que D(z) es la única forma cuspidal, salvo constantes, en S_{12}(Γ). El Teorema 95 entonces nos dice que es una autofunción para todos los operadores de Hecke T_{n} de autovalor τ(n) por la Proposición 55. Los corolarios 93 y 94 terminan el resultado.

Observemos que en este caso tenemos una fórmula producto para la serie de Dirichlet

∑_{n≥1} τ(n)n^{−s} = ∏_{p primo} \frac{1}{1 − τ(p)p^{−s} + p^{11−2s}} .

(2) Ejercicio: Probar primero que E_{12} − E_{6}^{2} = cD(z) para c = 2^{6} · 3^{5} · 7^{2}/691. Derivar entonces la fórmula

τ(n) = \frac{65}{756}σ_{11}(n) + \frac{691}{756}σ_{5}(n) − \frac{691}{3} ∑_{0<m<n} σ_{5}(m)σ_{5}(n − m).

(3) No es más que una aplicación del Lema 98 a la función D(z).

La función Partición.

Una partición de un entero positivo n es cualquier sucesión no decreciente de enteros positivos cuya suma es n. Por ejemplo, {6}, {1, 2, 3} ó {1, 1, 4} son particiones de 6.

La función partición p(n) cuenta el número de particiones del entero n. Por convenio se suele tomar p(0) = 1 y p(α) = 0 si α < 0 o no es entero.

Desde Ramanujan la función p(n) ha sido extensamente estudiada desde muy diversos puntos de vista. En nuestro caso nos limitaremos a estudiar ciertas propiedades de congruencia, descritas en [J].

El propio Ramanujan probó las siguientes congruencias para la función partición: para todo n,

p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5) ,
p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7) ,
p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11) ,

y conjeturó otras similares. Desde entonces, encontrar congruencias del estilo anterior ha sido el objeto de estudio de numerosos autores.

Para hacernos una idea de lo esquivo del problema diremos que incluso hoy en día todavía no se ha conseguido demostrar si p(n) ≡ 0 (mod 3) para infinitos n.

A pesar de ello, en la actualidad se han conseguido grandes avances, (ver [O]), fundamentalmente utilizando la relación existente entre la función partición y las formas modulares. Más concretamente, se tiene que

\frac{q^{1/24}}{η(z)} = ∏_{n≥1} \frac{1}{(1 − q^{n})} = ∑_{n≥0} p(n)q^{n},

sin mas que desarrollar la serie geométrica en cada factor y multiplicar.

Este es un caso simple de una profunda teoría dedicada a encontrar identidades entre productos y sumas infinitas formales conocidas como q-identidades. Una de las más notables es el Teorema de los números pentagonales de Euler, que asegura que

∏_{n=1}^{∞}(1 − q^{n}) = ∑_{−∞}^{∞}(−1)^{n}q^{n(3n+1)/2}.

Esta identidad nos será útil en el desarrollo de nuestra teoría. Existen varias demostraciones desde la original de Euler. Para una relacionada con la función partición,ver [A, Corolario 1.7].

Nuestro siguiente objetivo es dar una fórmula de recurrencia para congruencias, módulo primos, de la función partición.

Una tal fórmula nos producirá un método para determinar una posible congruencia de la función p(n) en progresiones aritméticas sin más que comprobarla en los primeros términos.

Concretamente,

Teorema 100. Sea m ≥ 5 primo. Si r ≡ 24^{−1} (mod m), 1 ≤ r < m, entonces

p(mn + r) ≡ 0 (mod m)

para todo entero no negativo si y sólo si la congruencia se cumple para todo n ≤ δ(m), donde δ(m) := (m + 1)(m − 1)/24.

Demostración.

Vamos a definir los operadores U(m) cuya acción sobre series formales viene dada por ∑ a(n)q^{n}|U(m) = ∑ a(nm)q^{n}. Es fácil ver que

(∑ a(n)q^{n} ∑ b(n)q^{mn}) |U(m) = ∑ a(n)q^{n}|U(m) ∑ b(n)q^{n}.

Aplicando este resultado a la función η obtenemos

\frac{η^{m}(mz)}{η(z)}|U(m) = \{∑_{n=0}^{∞} p(n)q^{n+δ(m)} ∏_{n=1}^{∞}(1 − q^{m}n)^{m}\} |U(m)

= ∑_{n=0}^{∞} p(mn + β(m))q^{n+ \frac{δ(m)+β(m)}{m}} ∏_{n=1}^{∞}(1 − q^{n})^{m},

donde 1 ≤ β(m) ≤ m − 1 y 24β(m) ≡ 1 (mod m).

Sustituyendo q por q^{24} y llamando l = 24n + (24β(m) − 1)/m, queda

\frac{η^{m}(24mz)}{η(24z)}|U(m) = ∑_{n=0}^{∞} p (\frac{lm + 1}{24}) q^{l+m} ∏_{n=1}^{∞}(1 − q^{24n})^{m}.

Nuestro objetivo es buscar congruencias módulo m, y es de esperar que tratando el problema en ℤ/mℤ obtengamos una mayor flexibilidad en las identidades. Efectivamente, de la Proposición 89 deducimos que, módulo m, los operadores U(m) y T_{m} coinciden. De esta forma, el lado izquierdo se puede escribir como D^{δ(m)}(24z)|T_{m} sin más que observar que (1 − x^{m}) ≡ (1 − x)^{m} (mod m). Esta congruencia en el lado derecho, junto con el Teorema de los números pentagonales, nos permite deducir que

D^{δ(m)}(24z)|T_{m} ≡ ∑_{n≥0} ∑_{l=−∞}^{∞}(−1)^{l}p (\frac{mn + 1}{24}) q^{n+m+12ml(3l+1)}

= ∑_{k≥0} ( ∑_{l=−∞}^{∞}(−1)^{l}p (\frac{m(24k − m − 12ml(3l + 1)) + 1}{24})) q^{24k}.

Así pues, si D^{δ(m)}(24z)|T_{m} = ∑_{n≥0} a_{m}(n)q^{n} tenemos, módulo m,

(e8) a_{m}(k) ≡ p (mk − δ(m)) + ∑_{l≠0}(−1)^{l}p (mk − δ(m) − m^{2} \frac{l(3l + 1)}{2}) .

Es fácil ver por inducción que si a_{m}(k) ≡ 0 (mod m) para todo k, entonces p (mk − δ(m)) ≡ 0 (mod m) para todo k.

La prueba terminará si probamos que a_{m}(k) ≡ 0 (mod m) para todo k si y sólo si a_{m}(k) ≡ 0 (mod m) para k ≤ δ(m).

Ahora bien, por el Teorema 95 tenemos D^{δ(m)}(z)|T_{m} ∈ S_{12δ(m)}(Γ). Además, teniendo en cuenta (4) en el Teorema 61, el Corolario 62 y la definición de la función D(z) = c(E_{4}^{3} − E_{6}^{2}), deducimos que

(e9)  {D(z)^{j}E_{4}(z)^{3(d−j)} : 1 ≤ j ≤ d} .

es una base para S_{12d}(Γ). Por tanto,

D^{δ(m)}(z)|T_{m} = ∑_{j≥1} α_{m}(j)D(z)^{j}E_{4}^{3(δ(m)−j)}.

Sean c_{j,m}(n) dados por

D(z)^{j}E_{4}^{3(δ(m)−j)} = ∑_{n≥0} c_{j,m}(n)q^{n}.

Claramente c_{j,m}(n) = 0 para n < j y c_{j,m}(j) = 1. Así pues, la matriz C con c_{j,m}(i) como coeficiente (i, j) es una matriz triangular inferior con 1 en la diagonal. Además,

( a_{m}(1) ; ⋮ ; a_{m}(δ(m)) ) = C ( α_{m}(1) ; ⋮ ; α_{m}(δ(m)) ) .

De esta forma podemos escribir α_{m}(i) para 1 ≤ i ≤ δ(m) en términos de a_{m}(k) para k ≤ δ(m) y los coeficientes c′_{j,m}(i) de C^{−1}.

Teniendo en cuenta la forma específica de la matriz C, c′_{j,m}(i) son enteros, y si a_{m}(k) ≡ 0 (mod m) para k ≤ δ(m). Entonces α_{m}(i) = 0 para todo i, con lo que a_{m}(k) ≡ 0 (mod m) para todo entero k, como queríamos ver.

Por otra parte, (e8) nos permite escribir la siguiente fórmula de recurrencia para la función partición para cualquier primo m ≥ 5:

p (mk − δ(m)) + ∑_{l≠0}(−1)^{l}p (mk − δ(m) − m^{2} \frac{l(3l + 1)}{2}) ≡ a_{m}(k)

≡ ∑_{j=1}^{δ(m)} α_{m}(j)c_{j,m}(k) (mod m) .

Ejemplos.

Es un ejercicio trivial en MAPLE encontrar la relación de recurrencia explícita para un primo dado. En particular para m ≤ 24 se puede obtener lo siguiente: α_{5}(1) ≡ 0 (mod 5), α_{7}(1) ≡ α_{7}(2) ≡ 0 (mod 7) y α_{11}(1) ≡ ⋯ ≡ α_{11}(5) ≡ 0 (mod 11), lo que nos permite deducir sin más el siguiente resultado:

Corolario 101.

p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5) ,
p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7) ,
p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11) .

Por otra parte, módulo 13 se tiene

p (13k − 7) + ∑_{l≠0}(−1)^{l}p (13k − 7 − 169\frac{l(3l + 1)}{2}) ≡ ∑_{j=1}^{7} α_{13}(j)c_{j,13}(k),

con (α_{13}(1), ⋯, α_{13}(7)) = (11, 8, 4, 8, 9, 8, 2), módulo 17;

p (17k − 12) + ∑_{l≠0}(−1)^{l}p (17k − 12 − 289\frac{l(3l + 1)}{2}) ≡ ∑_{j=1}^{12} α_{17}(j)c_{j,17}(k),

con (α_{17}(1), ⋯, α_{17}(12)) = (7, 11, 15, 15, 3, 8, 2, 10, 7, 0, 0, 0), módulo 19;

p (19k − 15) + ∑_{l≠0}(−1)^{l}p (19k − 15 − 361\frac{l(3l + 1)}{2}) ≡ ∑_{j=1}^{15} α_{19}(j)c_{j,19}(k),

con (α_{19}(1), ⋯, α_{19}(15)) = (5, 14, 18, 15, 4, 4, 17, 11, 11, 6, 16, 8, 6, 14, 14). Y, por último, módulo 23,

p (23k − 22) + ∑_{l≠0}(−1)^{l}p (23k − 22 − 529\frac{l(3l + 1)}{2}) ≡ ∑_{j=1}^{22} α_{23}(j)c_{j,23}(k),

con

(α_{23}(1), ⋯, α_{23}(22)) = = (1, 3, 16, 5, 16, 22, 6, 18, 7, 4, 14, 21, 3, 9, 7, 9, 12, 16, 0, 0, 0, 0).

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