Los Números Reales

§ 1.0 \underline{Introducción}

Vamos a dedicar este capítulo a construir un conjunto que, de alguna forma, represente los números que de una manera intuitiva debieran reflejar la realidad en la que nos movemos, es decir, un conjunto de números suficientes como para medir cualquier cantidad fisica que nos pueda aparecer. De acuerdo con esto, a este conjunto lo llamaremos el conjunto de los números reales.

§ 1.1 \underline{Propiedades}

Intuitívamente el conjunto de los números reales tiene que cumplir las siguientes propiedades:

1)  a + (b + c) = (a + b) + c Asociativa
2)  a + 0 = 0 + a = a  Existencia de elemento neutro, 0
3)  a + (−a) = 0  Existencia de elemento simétrico, (−a)
4)  a + b = b + a  Conmutativa

Un conjunto con estas propiedades se dice que es un grupo conmutativo respecto de la suma.

Los números reales también deben formar un grupo conmutativo respecto de la multiplicación:

5)  a · (b · c) = (a · b) · c  Asociativa
6)  a · 1 = 1 · a = a  Existencia de elemento neutro 1
7)  a · (a^{−1}) = (a^{−1}) · a = 1 Existencia de elemento simétrico a^{−1}
8)  a · b = b · a  Conmutativa

Además, deberá ser cierta la propiedad distributiva

9)  a · (b + c) = a · b + a · c Distributiva.

Desde ahora, siempre que no haya lugar a confusión, la multiplicación a · b la denotaremos por ab.

Un conjunto que cumpla estas nueve propiedades se dice que es un cuerpo. Así pues, el conjunto de los números reales debe ser un cuerpo.

Es claro que si el objetivo principal de nuestro conjunto va a ser medir, además de las propiedades anteriores debemos tener una forma de comparar los elementos. Dados dos elementos cualquiera del conjunto, ver cual es mayor y cual menor es posible obervando si su diferencia es o no positiva. Las siguientes propiedades nos permiten discutir este particular. Cualquiera que sean a y b

Typeset by AMS-TEX

números reales se cumple:

10) O bien a > 0, o a < 0, o a = 0, lo que se llama ley de Tricotomía
11) Si a > 0 y b > 0 entonces a + b > 0
12) Si a > 0 y b > 0 entonces ab > 0

Dichas propiedades nos permiten comparar cualesquiera dos números ya que, o bien a − b > 0, ó a − b < 0 ó a − b = 0 y por tanto a sería mayor, menor, o igual que b respectivamente.

Del hecho de suponer que nuestro conjunto cumple las doce propiedades anteriores ya podemos deducir algunos resultados que, necesariamente, deberán cumplir nuestros números.

Teorema 1.1.1. Cualquier número real a cumple a^{2} ≥ 0.

Para demostrarlo, iremos estableciendo ciertas propiedades que se deducen de las anteriores:

(1) Si a > b entonces a + c > b + c, pues 0 < a − b = (a + c) − (b + c).

(2) Si a ≠ 0, uno y sólo uno entre a y −a puede ser positivo. En efecto, si a > 0, entonces −a = −a + 0 < −a + a = 0. El caso a < 0 es análogo.

(3) a0 = 0 pues a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 restando a0 a cada lado se obtiene el resultado.

(4) −(ab) = (−a)b pues (−a)b + ab = b(−a + a) = b0 = 0

(5) (−a)(−b) = ab pues (−a)(−b)+(−(ab)) = (−a)(−b)+(−a)b = −a(−b+

b) = −a0 = 0 El resultado del teorema es ahora claramente cierto pues si un número es positivo, su cuadrado es positivo al ser cerrado respecto del producto —-propiedad 12)—, y si un número a es negativo, entonces −a es positivo y a^{2} = aa = (−a)(−a) = (−a)^{2} > 0.

Corolario 1.1.2. 1 > 0

No hay más que observar que 1 = 1^{2}. El teorema anterior nos da el resultado.

Estas no son por supuesto las únicas propiedades que, necesariamente van a tener que cumplir nuestros números, pero serán suficientes para hacernos una idea de la forma algebraica de tratar números. Ahora bien, tenemos una idea del como, !’pero no sabemos que es lo que hay que tratar!, es decir, ¡no tenemos ningún conjunto candidato a ser el cuerpo de los números reales!.

Como hemos indicado, el principal objetivo de nuestro conjunto será reflejar aquello que ocurre a nuestro alrededor. Lo primero que observamos es que los números reales deben ser capaces de medir la cantidad de objetos que tenemos, es decir, !’deben permitirnos contar!. Por tanto, el candidato más fácil a tener en cuenta, es el conjunto de los números naturales ℕ = {1, 2, 3, ⋯ }. Es inmediato observar, que este conjunto es insuficiente para representar los números reales. Efectivamente, no hay que mirar mucho para darse cuenta de que -1 debe ser un número real, y sin embargo −1 ∉ ℕ, pues es negativo, y todos los números en ℕ salen de sumar unas cuantas veces 1, que como hemos visto es positivo, y por tanto son todos positivos.

De todas formas, el conjunto ℕ va a cumplir una propiedad que merece que nos paremos a estudiarla más detenidamente. Es lo que llamaremos el principio de inducción.

§ 1.2 \underline{El principio de inducción}

Vamos a llamar P a cierta propiedad de los números naturales, y vamos a decir que se cumple P (n) cuando queramos decir que el número n cumple la propiedad P. El principio de inducción dice lo siguiente:

Principio de Inducción.

a) Supongamos que se cumple P (1).

b) Supongamos además que siempre que se cumple P (k) se cumple P (k + 1), entonces se cumple P (n) cualquiera que sea n ∈ ℕ.

Ejemplo 1.2.1.

Vamos a imaginarnos una hilera infinita de fichas de dominó puestas una tras de otra, de tal forma que al tirar una caiga la siguiente. Si tiramos la primera, por el principio de inducción podremos deducir que cualquier ficha de la hilera caerá en algún momento.

Efectivamente, sea P la propiedad “La ficha ha caido”. Si tiramos la primera ficha claramente se tiene P (1). Además, por cómo están colocadas, es evidente el apartado b) del principio de induccíon. Así, concluimos el resultado.

Ejemplo 1.2.2. Demostrar que 1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)/2.

En primer lugar observamos que, para n = 1, la ecuación es cierta, y por tanto a) es cierto. Ahora tenemos que probar b). Para ello, debemos suponer que P (k) se cumple, es decir, en nuestro caso suponemos que 1+2+3+⋯+k = k(k+1)/2, y debemos demostrar que se cumple P (k + 1), o lo que es lo mismo, debemos ver si 1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2. Para la demostración tenemos que hacer uso, !’fundamentalmente!, de las hipótesis en que estamos, es decir, en este caso debemos utilizar el hecho de que P (k) se cumple. Una forma de utilizar dicha hipótesis es intentar que, en la ecuación relativa a P (k + 1), aparezca P (k). En nuestro ejemplo

1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ⋯ + k) + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1), en donde hemos utilizado la hipótesis de inducción, es decir que P (k) era cierta. Ahora no hay más que sumar k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2, para obtener el resultado.

Con esto hemos probado b), y el principio de inducción nos asegura que la fórmula es cierta, cualquiera que sea n.

Observación 1.2.3.

El apartado b) del principio de inducción, es una manera analítica de decir que siempre que la propiedad P sea cierta para un número, entonces lo es para el siguiente, pero esa no es la única forma de enunciarlo. Es decir, se puede probar la hipótesis de inducción de la siguiente forma: comprobamos que el primer caso es cierto, y después probamos que si el caso m − 1 es cierto, entonces el caso m también, o incluso podemos probar que si el caso m − 30 es cierto, también lo es el caso m − 30 + 1, es decir el caso siguiente.

Ejemplo 1.2.4.

Sea

a_{n} = ∑_{m=1}^{n} \frac{1}{m(m − 1)}.

Probar por inducción que a_{n} = 1 − 1/n.

El caso n = 1 es cierto, así que suponemos que el caso n − 1 es cierto, y tenemos que probar el caso n. Ahora bien, por definición de a_{n} se tiene

a_{n} = ∑_{m=1}^{n−1} \frac{1}{m(m − 1)} + \frac{1}{n(n − 1)} = a_{n−1} + \frac{1}{n(n − 1)},

y usando la hipótesis de inducción queda

a_{n} = 1− \frac{1}{n − 1} + \frac{1}{n(n − 1)} = 1− \frac{1}{n − 1} (1 − \frac{1}{n}) = 1− \frac{1}{n − 1} (\frac{n − 1}{n}) = 1− \frac{1}{n},

como queriamos demostrar.

Teorema 1.2.5 (El binomio de Newton).

(a + b)^{n} = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j}a^{n−j}b^{j} donde \binom{n}{j} = \frac{n!}{j!(n − j)!}.

Probaremos el resultado por inducción.

El caso n = 1 es claramente cierto, así que supongamos que es cierto el caso k, y demostremos el caso k + 1. Como siempre intentaremos que en el caso k + 1 aparezca el caso k.

(1)  (a + b)^{k+1} = (a + b)(a + b)^{k} = (a + b) ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}a^{k−j}b^{j} =

= a ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}a^{k−j}b^{j} + b ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}a^{k−j}b^{j} =

= ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}a^{k+1−j}b^{j} + ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}a^{k−j}b^{j+1}.

La segunda suma se puede escribir como

∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}a^{k−j}b^{j+1} = ∑_{j=1}^{k+1} \binom{k}{j − 1}a^{k+1−j}b^{j},

por tanto, usando que

\binom{n}{j} + \binom{n}{j − 1} = \frac{n!}{j!(n − j)!} + \frac{n!}{(j − 1)!(n + 1 − j)!}

= \frac{n!}{(n − j)!(j − 1)!} (\frac{1}{j} + \frac{1}{(n + 1 − j)}) = \frac{n}{(n − j)(j − 1)}\frac{n + 1}{j(n + 1 − j)} = \binom{n + 1}{j},

(1) nos queda

= a^{k+1} + ∑_{j=1}^{k} \binom{k}{j}a^{k+1−j}b^{j} + ∑_{j=1}^{k} \binom{k}{j − 1}a^{k+1−j}b^{j} + b^{k+1}

=\binom{k + 1}{0}a^{k+1} + ∑_{j=1}^{k} \binom{k + 1}{j}a^{k+1−j}b^{j} +\binom{k + 1}{k + 1}b^{k+1} = ∑_{j=0}^{k+1} \binom{k + 1}{j}a^{k+1−j}b^{j}.

§ 1.3 \underline{Los Números Reales}

El siguiente conjunto candidato a ser los números Reales se consigue completando ℕ con los elementos simétricos −n, para obtener ℤ, el conjunto de todos los Enteros. Dado un número Real, debiera existir la mitad de ese número y ser de nuevo un número Real, sinembargo no existe ningun a ∈ ℤ tal que 2a = 1, (se puede probar este hecho viendo que un tal a debe ser positivo, y luego probando que el producto de dos números mayores que 1 es mayor que 1), lo que nos lleva a concluir que el conjunto de los enteros no es suficiente.

La extensión clara entonces de ℤ es ℚ, o cocientes de números Enteros. A este conjunto se le llama los números Racionales.

Ni siquiera este conjunto de cocientes es suficiente para englobar todos los números Reales. Para convencerse de este hecho vamos a probar la existencia de números, o cantidades, que vienen de la geometría, a las que nos gustaría incluir en nuestro conjunto de números Reales, y que no pueden ser Racionales.

Teorema 1.3.1. \sqrt{2} No es Racional.

Supongamos que \sqrt{2} = p/q para algunos Enteros p y q. De esta forma 2 = p^{2}/q^{2}, o bien 2q^{2} = p^{2}.

Una primera observación, es que p y q se pueden escoger sin factores comunes, con lo cual 2 es un factor de p^{2}. Es facil ver que si p^{2} es par, también p tiene que serlo, de donde deducimos que para algún entero r, se tiene p^{2} = (2r)^{2} = 4r^{2}, y en ese caso q^{2} = 2r^{2}, o de otra forma 2 es un factor de q, lo que contradice el hecho de que p y q eran primos entre sí, y por tanto no puede ser cierta la hipótesis inicial, es decir \sqrt{2} no puede ser racional.

El conjunto de los números Reales se construirá completando el conjunto de los Racionales mediante números muy proximos a estos. Estos números, es decir, los Reales que no son Racionales, se les llama Irracionales.

Por tanto, lo primero que debemos hacer para completar ℚ es dar una noción de proximidad.

Definición 1.3.2.

Sea ℝ el conjunto de los números reales, y sea el conjunto A ⊂ ℝ. Se dice que A está acotado superiormente, si existe un K ∈ ℝ tal que a ≤ K para todo a ∈ A. Analogamente se dice que esta acotado inferiormente si existe un k ∈ ℝ tal que a ≥ k para todo a ∈ A. Si ambas son ciertas se dice simplemente que el conjunto es acotado.

A la cota superior mínima de un conjunto A se le llama supremo de A, y se denota como sup A. A la cota inferior máxima se le llama ínfimo y se escribe inf A.

La complección de ℚ consistira en incluir en nuestro conjunto ℝ además de los números racionales, los supremos e ínfimos de los conjuntos acotados C, C ⊂ ℚ. Para ello debemos garantizar la existencia de tales números sup C e inf C. Por tanto a nuestro conjunto ℝ le pediremos una nueva propiedad

13) Todo conjunto con cota superior (inferior) tiene supremo (ínfimo).

Un conjunto que cumple estas 13 propiedades se llama cuerpo ordenado y completo.

En las propiedades 1-13, esta claro qué es lo que queremos pedirle a nuestro conjunto ℝ, lo que no esta tan claro es que exista algún conjunto que cumpla estas propiedades. En realidad si que existe, y enunciaremos el teorema por su importancia, pero sin dar la demostración.

Teorema 1.3.3. Existe un cuerpo ℝ ordenado y completo.

Además dicho cuerpo es de verdad una complección de ℚ, es decir

Teorema 1.3.4. ℚ esta incluido en ℝ.

La demostración consiste en construir una aplicación biyectiva de ℚ a un subconjunto de ℝ utilizando que ambos cumplen las propiedades 1-12.

El siguiente teorema nos asegura que la complección que hemos hecho mediante la propiedad 13 es, de alguna manera, mínima, es decir no hemos metido elementos de más.

Teorema 1.3.5. ℕ no está acotado superiormente en ℝ

Demostración.

Supongamos que esta acotado, entonces, por la propiedad 13 tiene supremo, que llamaremos α, por tanto α ≥ n cualquiera que sea n ∈ ℕ, pero en ese caso también se cumple α ≥ n + 1, o bien α − 1 ≥ n cualquiera que sea n. Esto contradiría el hecho de que α era el supremo, pues hemos encontrado α − 1 cota superior de ℕ y menor que α, y por tanto ℕ no esta acotado.

Observar que si hubiese muchos más elementos en ℝ, podríamos encontrar una cota de ℕ.

A cualquier conjunto B tal que ℕ ⊂ B no es un subconjunto acotado, se le llama arquimediano. Así, ℝ es un cuerpo ordenado, arquimediano y completo.

Ser arquimediano es equivalente a decir que, por pequeño que sea ϵ ∈ ℝ, existe un número natural n tal que 1/n < ϵ, pues sabemos que por grande que sea 1/ε, se cumple n > 1/ε para algún n.

Esta propiedad nos sirve para demostrar

Teorema 1.3.6. Entre dos números reales cualesquiera existe tanto un número racional como un irracional.

Demostración.

Si puedo meter un racional, 1/n, entre ϵ y 0, ¿por que no entre x e y?. Por otra parte, la existencia de irracionales entre cualesquiera reales se deriva de la existencia de racionales. Considerar el racional m/n en el intervalo x/\sqrt{2} < m/n <, y/\sqrt{2}, y multiplicar por \sqrt{2} obteniendo el irracional \sqrt{2}m/n en el intervalo adecuado x < \sqrt{2}m/n < y.

El siguiente teorema nos proporciona una forma de representar los números reales.

Teorema 1.3.7. Sea x un número real. Para todo n ∈ ℕ existen n + 1 únicos enteros a_{0}, ⋯, a_{n} tal que

\frac{a_{0}10^{n} + a_{1}10^{n−1} + ⋯ + a_{n}}{10^{n}} ≤ x < \frac{a_{0}10^{n} + a_{1}10^{n−1} + ⋯ + a_{n} + 1}{10^{n}}

De forma que x = a_{0}, a_{1}a_{2} ⋯ a_{n} · · ·.

La demostración se consigue por inducción.

La representación decimal de los números reales, nos permite deducir la existencia de raices m-esimas de cualquier x real. Otra demostración de este hecho se puede conseguir, como veremos, mediante las funciones continuas.

A partir de ahora, ya tenemos una forma explícita de hablar de los números reales. serán las sucesiones {a_{n}} de su representación decimal. Pero si queremos hablar de números reales como sucesiones, más vale que definamos lo que queremos dar a entender con “sucesiones”. Este, y otros motivos nos llevan a desarrollar un poco la teoría de sucesiones.

Sucesiones

§ 2.1 \underline{Definiciones}

Por sucesión entendemos cualquier aplicación con dominio de definición ℕ, y que va a parar a ℝ.

f : ℕ ⟶ ℝ Tal que f(n) = a_{n}

Al escribir una sucesión escribiremos {a_{n}} . Dicha aplicación puede venir dada de forma explícita, mediante su término general,

a_{n} = 1/n,  b_{n} = 1/n + (−1)^{n},  c_{n} = e^{n},

o de forma recursiva,

d_{n} = 2d_{n−1} + 3, e_{n} = e_{n−1} + e_{n−2},

o de cualquier otra forma, que defina cuál es la imagen del natural n por dicha sucesión. Cualquiera que sea la manera de la que nos aparezca definida la sucesión, uno puede intentar recuperar cuál sera la fórmula explícita del término general. Así, se puede demostrar por inducción que la sucesión {e_{n}} de nuestro ejemplo cumple

e_{n} = \frac{α^{n} − β^{n}}{α − β} donde α y β son las raices de x^{2} − x − 1 = 0.

Podemos definir suma, multiplicación o división de sucesiones, simplemente operando término a término,

{a_{n}} + {b_{n}} = {a_{n} + b_{n}} {a_{n}} {b_{n}} = {a_{n}b_{n}}

\frac{1}{\{a_{n}\}} = \{\frac{1}{a_{n}} \} ,

donde el cociente lo haremos siempre que a_{n} ≠ 0. Gracias a estas definiciónes, podemos reducir la prueba de resultados sobre sucesiones a casos más sencillos, de la misma forma que si algo es cierto para el 1 y para la suma, sera cierto para todos los números enteros.

Entender una sucesión pasa por controlarla, es decir, de alguna manera queremos ”acotar” el espacio de la recta real por donde se mueve a_{n}.

Definición 2.1.1.

Diremos que una sucesión está acotada si existe algún K ∈ ℝ tal que |a_{n}| ≤ K. Estara acotada superiormente si a_{n} ≤ K, y acotada inferiormente si a_{n} ≥ K.

De esta forma, a_{n} = 1/n es acotada, 0 ≤ a_{n} ≤ 1, b_{n} = n es acotada inferiormente, 0 ≤ b_{n}, y no superiormente, y c_{n} = log (1/n) es acotada superiormente c_{n} ≤ 0 pero no inferiormente. Teorema 2.1.2. La suma y producto de sucesiones acotadas es acotada.

La prueba consiste en encontrar una cota para la sucesión definida como suma o producto de {a_{n}} y {b_{n}} , en términos de las cotas para cada una de ellas. Ejemplo.

c_{n} = 1/n + (−1)^{n} es acotada pues tanto a_{n} = 1/n como b_{n} = (−1)^{n} lo son. Definición 2.1.3.

Se dice que una sucesión {a_{n}} es creciente si a_{n} ≤ a_{n+1}, estrictamente creciente si a_{n} < a_{n+1}, decreciente si a_{n} ≥ a_{n+1} y estrictamente decreciente si a_{n} > a_{n+1}. Si cumple alguna de estas 4 propiedades se dice que la sucesión es monótona.

Una definición como esta, nos permite controlar toda sucesión (monótona), sin más que mirar a uno de sus elementos. Ejemplo 1.

a_{n} = 1/n es estrictamente decreciente. Así, sabiendo el primer término, a_{1} = 1, podemos deducir que toda la sucesión esta a la izquierda de 1.

En general puede no ser fácil probar que una sucesión es monótona, o simplemente acotada ya que nos pide comparar, en general, números que pueden venir dados por fórmulas realmente complicadas de entender. Ejemplo 2.

b_{n} = (1 + 1/n)^{n} es monótona creciente, (de hecho es estrictamente creciente). Desarrollando por el binomio de Newton se tiene

b_{n} =\binom{n}{0} + \binom{n}{1}\frac{1}{n} + \binom{n}{2}\frac{1}{n^{2}} + ⋯ + \binom{n}{n}\frac{1}{n^{n}}
=1 + 1 + \frac{1}{2} (1 − \frac{1}{n}) + ∑_{k=3}^{n} \frac{1}{k!} (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{k − 1}{n})
≥1 + 1 + \frac{1}{2} (1 − \frac{1}{n}) + ∑_{k=3}^{m} \frac{1}{k!} (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{k − 1}{n}) ,

para cualquier m ≤ n. Ahora bien, usando que para todo 1 ≤ j ≤ m, y m ≤ n se tiene 1 − j/n ≥ 1 − j/m se deduce b_{n} ≥ b_{m} si n ≥ m, luego la sucesión es creciente. Además, observamos que b_{n} ≤ ∑_{0≤k≤n} 1/k!. Si a esto le unimos la cota trivial

c_{n} = ∑_{0≤k≤n} 1/k! ≤ 1 + ∑_{1≤k≤n} (\frac{1}{2})^{k−1} = 1 + \frac{1 − 1/2^{n}}{1 − 1/2} = 3 − 1/2^{n−1} ≤ 3,

deducimos que b_{n} es acotada superiormente, mientras que trivialmente b_{n} ≥ 0 luego b_{n} es acotada.

Pero la definición más importante asociada a las sucesiones, es la de límite.

Definición 2.1.4.

Sea {a_{n}} una sucesión de números reales. Se dice que l es el límite de la sucesión si:

Para todo ε > 0 existe un N ∈ ℕ tal que si n ≥ N entonces |a_{n} − l| < ε.

Esencialmente, lo que dice la definición, es que a partir de un cierto N suficientemente grande, todos los elementos de la sucesión estan más cerca de l que ϵ, por pequeño que este sea, o de otra forma, casi todos los elementos de la sucesión estan tan cerca de l como queramos.

Si una sucesión tiene límite finito, l, se dice que es convergente, y se escribe lim_{n→∞} a_{n} = l, o también a_{n} → l. En otro caso, la sucesión sera divergente.

Ejemplos.

La sucesión 1/n es convergente con límite 0, pues para todo ϵ > 0, |1/n| < ϵ si n es suficientemente grande. Es útil observar que este hecho es, como ya vimos, equivalente a decir que ℝ es arquimediano.

La sucesión \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} es convergente. Sea ϵ > 0, y sea n > N, entonces

a_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} ≤ \frac{1}{\sqrt{N + 1} + \sqrt{N}} < \frac{1}{2\sqrt{N}} ,

por tanto si escogemos N = 1/(4ϵ^{2}), queda |a_{n} − 0| = a_{n} < ϵ, luego lim a_{n} = 0.

Teorema 2.1.5. El límite de una sucesión es único

Es claro que casi todos los elementos de la sucesión no pueden estar tan cerca como queramos de dos números distintos, luego el límite debe ser único.

§ 2.2 \underline{Algunos teoremas sobre sucesiones} Teorema 2.2.1. Sean {a_{n}} y {b_{n}} dos sucesiones convergentes tal que a_{n} → l_{1} y b_{n} → l_{2}. Entonces a_{n} + b_{n} → l_{1} + l_{2}, para cualquier λ ∈ ℝ λa_{n} → λl_{1} y a_{n}b_{n} → l_{1}l_{2}. Si además l_{2} ≠ 0 entonces a_{n}/b_{n} → l_{1}/l_{2}.

No hay más que observar que la suma, producto o cociente de elementos que estan cerca de l_{1} y l_{2} respectivamente, nos da elementos que deben estar cerca de la suma, producto o cociente de l_{1} y l_{2}.

Ejemplo.

El anterior teorema nos permite calcular el límite de cualquier cociente de polinomios en n, sin más que saber que lim n = ∞ y lim 1/n = 0, con lo que lim 1/n^{k} = lim(1/n)^{k} = lim(1/n) ⋯ (1/n) = 0. Así por ejemplo, escribiendo

a_{n} = \frac{n^{3} − 7n^{2} + 3n − 1}{n^{3} + n − 1} = \frac{1 − 7/n + 3/n^{2} − 1/n^{3}}{1 + 1/n^{2} − 1/n^{3}} ,

y calculando el límite del numerador y el denominador, obtenemos lim a_{n} = 1.

Teorema 2.2.2. Si una sucesión {a_{n}}, es convergente, a_{n} → l, entonces es acotada.

Observar que todos los a_{n} salvo unos pocos estan cerca de l luego un número cercano a l acotara a casi todos, y los pocos que quiza no esten cerca de l, como son un número finito, habra uno de ellos que sea el máximo, y otro el mínimo que acotaran a todos los demas.

El inverso del Teorema 2.2.2 no es cierto, es decir, hay sucesiones acotadas que no son convergentes, por ejemplo a_{n} = (−1)^{n}.

A pesar de que una sucesión acotada no sea convergente, todavía podemos definir dos cantidades que nos ayudarán a controlar su comportamiento.

Definición 2.2.3.

Sea {a_{n}} una sucesión acotada. A l_{1} = lim_{n→∞} (sup_{m≥n} a_{m}) se le llama límite superior, y a l_{2} = lim_{n→∞} (inf_{m≥n} a_{m}) límite inferior de la sucesión {a_{n}} respectivamente.

Teorema 2.2.4. Tanto l_{1} como l_{2} están bien definidos.

Es decir, el límite que aparece en la Definición 2.2.3, existe y es finito. La demostración pasa por observar que la sucesión y_{n} = sup_{m≥n} a_{m} es decreciente, mientras que z_{n} = inf_{m≥n} a_{m} es creciente, y ambas son acotadas pues lo es la sucesión original.

Como veremos en el siguiente teorema, estos dos hechos, monótona y acotada, son condiciones suficientes para asegurar la convergencia de una sucesión.

Teorema 2.2.5. Una sucesión monótona acotada es convergente

La demostración es observar que hay elementos a_{n} tan cerca como queramos del supremo de una sucesión acotada, por definición de supremo. Por otra parte, la monotonía asegura que en cuanto un elemento esté cerca del supremo, a partir de él todos estarán cerca del supremo.

Ejemplo.

Vimos que la sucesión b_{n} = (1 + 1/n)^{n} es monótona creciente, y acotada por c_{n} = ∑_{0≤m≤n} 1/m! ≤ 3, y por tanto es convergente. Por otra parte c_{n} es claramente creciente, luego también es convergente. Más adelante veremos que en realidad ambas convergen al mismo número que llamaremos e.

Teorema 2.2.6. a) Sean a_{n} → a y b_{n} → b dos sucesiones convergentes, y sea N tal que a_{n} ≤ b_{n} para n ≥ N. Entonces a ≤ b.

b) Sean a_{n} → a y b_{n} → a dos sucesiones convergentes al mismo límite, y sea {c_{n}} tal que a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} para algún N y todo n ≥ N, entonces {c_{n}} es convergente y tiene límite a.

La demostración no es más que consecuencia de la definición de límite y la desigualdad triangular. Si a_{n} esta cerca de a y b_{n} esta cerca de b, ¿como podría darse b < a?, por otra parte si ambas estan cerca de a y c_{n} esta entre los dos, también debe estar cerca de a.

Ejemplo1.

Sea a_{n} = (n)/(2n^{2} + 1). Entonces, a_{n} ≤ n/2n^{2} = 1/2n → 0, mientras que a_{n} ≥ n/(2n^{2} + n) = 1/(2n + 1) → 0, luego a_{n} → 0.

Ejemplo2.

Sean b_{n} → b y c_{n} → c las sucesiones del ejemplo después del Teorema 2.2.5. Por el Teorema 2.2.6, b ≤ c. Por otra parte, del Ejemplo 2 despues de la Definición 2.1.3, deducimos que

(1 + \frac{1}{n})^{n} ≥ 1 + 1 + \frac{1}{2} (1 − \frac{1}{n}) + ⋯ + \frac{1}{m!} (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{m − 1}{n})

para m ≤ n. Por tanto,

b = lim_{n→∞} b_{n}

≥ lim_{n→∞}(1 + 1 + \frac{1}{2} (1 − \frac{1}{n}) + ⋯ + \frac{1}{m!} (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{m − 1}{n}))

= 1 + 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m!}

para todo m, luego tomando límites en m nos queda

b ≥ lim_{m→∞} (1 + 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m!}) = c.

De ambas desigualdades deducimos b = c. A este límite se le suele llamar ”el número e”.

§ 2.3 \underline{Infinito}

Un caso particular de límite de sucesiones será cuando a_{n} → ∞ o a_{n} → 0, es decir, que la sucesión se haga grande o pequeña en valor absoluto sin cota alguna.

A diferencia del caso general, en estos casos las operaciones no se comportan bien con el límite. En efecto, dos sucesiones pueden hacerse grandes al mismo tiempo, y sin embargo su diferencia o su cociente pueden ser pequeños, y de la misma forma dos sucesiones pueden ser pequeñas, y su cociente ser grande. Dicho de otra forma ∞ − ∞, ∞/∞ o 0/0 son indeterminaciones. Vamos a establecer algunas definiciones que haran todas estas ideas más concretas.

Definición 2.3.1.

Se dice que a_{n} → ∞ si para todo K > 0 existe un N ∈ ℕ tal que si n ≥ N entonces |a_{n}| ≥ K. Analogamente se define a_{n} → +∞ si a_{n} ≥ K y a_{n} → −∞ si a_{n} ≤ −K. Por otra parte, definimos a_{n} → 0 si para todo ε > 0 existe un N ∈ ℕ tal que si n ≥ N entonces |a_{n}| < ε.

Ejemplos.

-La sucesión a^{n} → ∞ si |a| > 1.

Supongamos que no. Entonces, por ser |a_{n}| una sucesión creciente, si no tiene límite infinito es que esta acotada. En ese caso, llamemos α al ínfimo de las cotas superiores. Entonces |a^{n}| ≤ α para todo n, de donde |a^{n+1}| ≤ α, o bien |a^{n}| ≤ α/a < α y α no sería el ínfimo contradiciendo nuestra hipótesis. Así, la sucesión no puede ser acotada, es decir tiene límite infinito.

De este ejemplo podemos deducir dos nuevos resultados.

(1) Si a < 1 entonces a^{n} → 0. Esto es claro ya que (1/a)^{n} → ∞.

(2) Para todo a > 0 se cumple a^{1/n} → 1.

Observamos que es suficiente probarlo para el caso a > 1, ya que si ese caso esta probado y a < 1 entonces

(1/a) > 1 y |1 − a^{1/n}| < |(1/a)^{1/n} − 1| < ε.

Supongamos entonces que a > 1 y que no es cierta la conclusión. En ese caso se tendria a^{1/n} − 1 > ε, es decir a > (1 + ε)^{n}. Ahora bien, esto no puede ser ya que a es una constante, y hemos visto que (1 + ε)^{n} → ∞ , lo que contradice la hipótesis, es decir, a^{1/n} → 1.

Todavía un caso algo más fuerte es el siguiente,

lim_{n→∞} n^{1/n} = 1.

Supongamos que no es cierto. Entonces para algunos n, tan grande como queramos, se cumple n^{1/n}−1 > ε, o bien n > (1+ε)^{n}. Desarrollando la parte derecha de la desigualdad por el binomio de Newton, es fácil obtener n > εn(n − 1)/2, lo cual no es cierto para n suficientemente grande, lo que contradice la hipótesis y concluye el resultado.

La demostración de este último límite, en realidad se basa en que cualquiera que sea el número a > 1 se cumple a^{n} > n para n suficientemente grande. De hecho, se tiene para alguna constante c, a^{n}/n > cn → ∞, lo que nos sirve para probar que cualquiera que sea a > 1 y k ∈ ℕ se tiene

\frac{a^{n}}{n^{k}} → ∞.

En efecto, a^{1/k} > 1, por tanto

\frac{(a^{1/k})^{n}}{n} → ∞

por otra parte

\frac{(a^{1/k})^{n}}{n} = \frac{a^{n/k}}{n} = (\frac{a^{n}}{n^{k}} )^{1/k} ,

de donde (a^{n}/n^{k}) → ∞.

Los ejemplos anteriores, son los primeros casos de resolución de indeterminaciones del tipo ∞/∞ pues a^{n} → ∞ y n^{k} también. En general no es fácil resolver este tipo de indeterminaciones, y va a depender de comparar muy bien el crecimiento de las sucesiones en el numerador y el denominador.

Comparar el crecimiento, va a ser la clave en realidad para resolver cualquier tipo de indeterminaciones. De esta forma nos sera útil introducir una notación que nos facilite tal comparación

Definición 2.3.2.

Sean {a_{n}} y {b_{n}} dos sucesiones ambas tendiendo a 0 o a infinito a la vez. Se dice que a_{n} = O (b_{n}) si a_{n} ≤ kb_{n} para alguna constante k y n suficientemente grande. Definimos a_{n} ∼ b_{n} si se cumple a la vez a_{n} = O (b_{n}) y b_{n} = O (a_{n}). Por último decimos que a_{n} = o (b_{n}) si a_{n}/b_{n} → 0 Ejemplos.

Ya hemos probado que n^{k} = o(a^{n}), pues n^{k}/a^{n} → 0. Probaremos ahora que a^{n} = o(n!) y que n! = o(n^{n}).

En primer lugar vemos que, cogiendo los n/2 primeros términos de n! = n(n − 1)(n − 2) ⋯ 3 · 2 · 1, cada uno de ellos es mayor que n/2, y el resto es mayor que 1, por tanto

n! > (n/2)^{n/2} = \begin{matrix}(\sqrt{n}) & n \\ (\sqrt{2}) & n \end{matrix} .

De esta forma se tiene

\frac{a^{n}}{n!} < \begin{matrix}(a\sqrt{2}) & n \\ (\sqrt{n}) & n \end{matrix} = (\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{n}})^{n} .

Para n suficientemente grande se tiene a\sqrt{2}/\sqrt{n} < 1, y por tanto

(\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{n}})^{n} < \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{n}} → 0,

o bien a^{n} = o(n!).

Por otra parte el primer término de n! es 1, luego n! < n^{n−1} y por tanto n!/n^{n} < 1/n → 0 es decir n! = o(n^{n}).

Vamos a establecer un criterio que nos permitirá resolver algunas indeterminaciones de forma relativamente sencilla.

Teorema 2.3.3 (Criterio de Stolz). Sean {a_{n}} y {b_{n}} dos sucesiones tal que, o bien b_{n} es estrictamente creciente y b_{n} → ∞, o bien b_{n} es estrictamente decreciente y b_{n} → 0 y en ese caso a_{n} → 0. Si

Δ_{n} = \frac{a_{n+1} − a_{n}}{b_{n+1} − b_{n}} , y lim_{n→∞} Δ_{n} = l,

entonces a_{n}/b_{n} → l.

Omitiremos la prueba, y sólo vamos a hacer mención a que la forma de relacionar el cociente incremental Δ_{n} con el propio cociente de las sucesiones se basa en las desigualdades

\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}

ciertas siempre que b y d sean positivos y cb − ad > 0.

Ejemplo.

Supongamos que c_{n} → l, entonces

\frac{c_{1} + ⋯ + c_{n}}{n} → l.

Para probarlo no hay más que aplicar el criterio de Stolz a las sucesiones a_{n} = c_{1} + ⋯ + c_{n−1} y b_{n} = n.

Este resultado se puede resumir diciendo que una sucesión convergente, converge al mismo límite que sus medias aritméticas. Sin embargo el opuesto no es cierto, es decir, puede existir el límite de las medias aritméticas, y no existir el límite de la propia sucesión. Este es el caso de c_{n} = 1 si n es par y c_{n} = −1 si n es impar. Claramente las medias aritméticas (c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n})/n = 0 o −1/n dependiendo de la paridad de n y en cualquier caso tienen límite 0, mientras que la sucesión no tiene límite.

§ 2.4 \underline{Subsucesiones}

Anteriormente hemos utilizado en alguna ocasión la desigualdad triangular para concluir la cercania de tres elementos entre sí, cuando sabemos que estan cerca dos a dos. Esta idea nos va a dar una nueva forma de buscar sucesiones convergentes. Así, si una sucesión es convergente, los elementos estan cerca del límite. Veremos que el inverso también es cierto, es decir, que si los elementos estan cerca entre sí, entonces estan cerca de un límite. Para ello tenemos que introducir el concepto de subsucesión, o sucesión parcial. Dicho concepto, por otra parte, tiene una utilidad mucho más general dentro de la teoría de sucesiones.

Definición 2.4.1.

Sea {a_{n}} una sucesión de números reales, y {n_{k}} otra de números naturales estrictamente creciente. Entonces a la sucesión {a_{n_{k}}} se le llama sucesión parcial de la sucesión {a_{n}}.

Claramente la definición consiste en ir quitando unos cuantos elementos de la sucesión original para formar la subsucesión.

Ejemplos.

De la sucesión de todos los naturales 1, 2, 3, 4, ⋯ etc, podemos quedarnos con los impares 1, 3, 5, ⋯ etc. En este caso a_{n} = n y n_{k} = 2k − 1.

Si consideramos a_{n} = 1/n y n_{k} = k^{2}, estaremos escogiendo como subsucesión los inversos de los cuadrados 1, 1/4, 1/9, etc.

Nuestro objetivo es probar la convergencia de la sucesión mediante sucesiones parciles, y la idea es la siguiente: si los elementos de la sucesión estan cerca unos de otros, entonces estan cerca de los elementos de la subsucesión, y si esta converge, entonces también convergerá la sucesión. Esta idea está basada en que parece más fácil probar la convergencia de una subsucesión, ya que tenemos cierta flexibilidad a la hora de escogerla, y podremos hacerlo en base a que cumpla unas propiedades:

Lema 2.4.2. Toda sucesión tiene una subsucesión monótona

Vamos a escoger de entre los elementos de la sucesión, aquellos que cumplen a_{n} ≥ a_{m} para todo m ≥ n. Estos a_{n} son los que se llaman puntos de sombra. Si hay infinitos puntos de sombra, entonces claramente la subsucesión formada por ellos es una sucesión monótona decreciente. Si no hay infinitos, es porque sólo hay un número finito, es decir, a partir de N para cualquier n ≥ N existe un m_{n} > n tal que a_{n} < a_{m_{n}}, y por tanto la subsucesión formada por los elementos a_{N}, luego el a_{m_{N}}, después el correspondiente elemento mayor que a_{m_{N}} y así sucesivamente, es estrictamente creciente.

Teorema 2.4.3 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

Esto es claro despues del lema anterior, pues dicha sucesión tendrá una sucesión parcial monótona y acotada, y por tanto convergente.

Definición 2.4.4.

Decimos que una sucesión es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un N tal que si n ≥ N y m ∈ ℕ entonces |a_{n+m} − a_{n}| < ε.

Es decir una sucesión es de Cauchy si a partir de un momento dado N, todos los elementos estan tan cerca como queramos unos de otros. Y como deciamos al principio, queremos concluir que en este caso, todos los elementos estarán cerca de uno fijo l que será el límite de la sucesión. Observar que el problema aquí es asegurar la existencia de ese l, lo que sera posible gracias a que estamos trabajando en ℝ que es completo, es decir, no tiene agujeros.

Lema 2.4.5. Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Observamos que al estar todos los elementos, salvo unos pocos, cerca de a_{N} estos deben ser acotados, y el resto es un número finito, luego se acotaran por el máximo de ellos.

Teorema 2.4.6. Toda sucesión de Cauchy es convergente.

Por ser de Cauchy es acotada, y por Bolzano-Weierstrass tiene una subsucesión convergente. (¡ya hemos encontrado el l que buscabamos!). Ahora bien por ser de Cauchy todos los elementos de la sucesión estan cerca unos de otros, y por tanto estaran cerca de los elementos de la subsucesión convergente, estos a su vez esta cerca de l, luego por la desigualdad triangular todos estarán cerca de l, y la sucesión es convergente.

Para terminar el tema de subsucesiones, aprovecharemos este lenguaje para dar definiciones alternativas de límite superior y límite inferior.

Teorema 2.4.7. l_{1} es el límite superior de {a_{n}} si y sólo si existe una sucesión parcial a_{n_{k}} → l_{1} y además toda sucesión parcial convergente cumple a_{n_{j}} → l ≤ l_{1}. De la misma forma l_{2} es el límite inferior de {a_{n}} si y sólo si existe una sucesión parcial a_{n_{k}} → l_{2} y además toda sucesión parcial convergente cumple a_{n_{j}} → l′ ≥ l_{2}.

Teorema 2.4.8. El límite superior es el único número l_{1} tal que para todo ε > 0, a la derecha de l_{1} + ε sólo hay un número finito de elementos de la sucesión. De la misma forma el límite inferior es el único número l_{2} tal que para todo ε > 0, a la izquierda de l_{2} − ε sólo hay un número finito de elementos de la sucesión.

§ 2.5 \underline{La función exponencial}

Como aplicación del tema de sucesiones vamos a construir la definición de una función sobre el conjunto de los números reales.

La función exponencial aparece intentando encontrar una función f(x) que cumpla

(S)  f(x + y) = f(x)f(y).

En primer lugar observamos que f(0) = 0 ó 1, ya que f(0) = f(0 + 0) = f(0)^{2}. Si f(0) = 0, entonces f(1) = f(1 + 0) = f(1)f(0) = 0, y entonces f(n) = 0 cualquiera que sea n ∈ ℕ. Así que vamos a asumir f(0) = 1. Además, si llamamos f(1) = a, entonces f(n) = f(1 + ⋯ + 1) = f(1)^{n} = a^{n}. Por tanto la función exponencial sera f(n) = a^{n} para algún número real a fijo. Si queremos extender la definición a los enteros, usando la propiedad (S) se debe cumplir 1 = a^{0} = a^{n+(−n)} = a^{n}a^{−n}, luego a^{−n} = 1/a^{n}.

La extensión a los racionales de nuevo es muy natural. Sea p/q ∈ ℚ, entonces a^{p/q} = a^{1/q+···+1/q} donde sumamos p veces, luego a^{p/q} = (a^{1/q})^{p}, por tanto basta con definir la función para los inversos de los números naturales. Ahora bien a = a^{1} = a^{1/q+···+1/q} donde esta vez hemos sumado q veces. Por tanto a = (a^{1/q})^{q}, es decir a^{1/q} es la raíz q- esima de a, que sabemos que existe.

Falta por tanto definir la función para los números irracionales. Sea x un número irracional. Sabemos que existe una sucesión de racionales tal que p_{n}/q_{n} → x.

Teorema 2.5.1. Si p_{n}/q_{n} → x entonces la sucesión a^{p_{n}/q_{n}} es convergente, y definiremos a^{x} = lim_{n→∞} a^{p_{n}/q_{n}}.

La demostración consiste en observar que la sucesión a^{p_{n}/q_{n}} es de Cauchy, lo que es posible gracias al hecho más fácil de observar que si p_{n}/q_{n} → 0 entonces a^{p_{n}/q_{n}} → 1.

Se pueden demostrar una serie de propiedades acerca de la función exponencial

Teorema 2.5.2. La función exponencial es: (1) Creciente si a > 1 y decreciente si a < 1.

(2) No acotada. De hecho cumple a^{x} → ∞ cuando x → +∞ si a > 1 y cuando x → −∞ si a < 1.

(3) Es continua, es decir, si lim x_{i} = x entonces lim a^{x_{i}} = a^{x}.

(4) Para x > 0 se cumple a^{x} > 1 si a > 1 y a^{x} < 1 si a < 1.

(5) a^{0} = 1,  a^{x+y} = a^{x}a^{y},  a^{xy} = (a^{x})^{y},  a^{−x} = 1/a^{x}.

Series

§ 3.1 \underline{Introducción}

Vamos a introducir el tema de series mediante un ejemplo ya conocido por los griegos:

La paradoja de Aquiles y la tortuga

El hombre más rápido de Grecia, Aquiles, decide echarle una carrera a 10Km a una tortuga orgullosa y algo avispada. Esta le pide como única condición, que le deje 1Km de ventaja. Aquiles piensa que aun dejandole la mitad del recorrido, todavía sería capaz de ganarla, así que accede. La tortuga sin embargo, antes de que empiece la carrera habla así a Aquiles:

=8cm aquiles.eps

Partiremos, tú desde la salida ,x_{1}, y yo 1Km más allá, x_{2}. Cuando llegues a x_{2}, yo habre avanzado, no se cuanto, pero seguro que estaré en un x_{3} ≠ x_{2}. En general, repitiendo el proceso, cuando tú estes en x_{i}, yo estare en x_{i+1} ≠ x_{i}. Por tanto, si quisieras alcanzarme, tendrías que recorrer las infinitas distancias que nos separan, es decir, la suma de las d_{i} = x_{i+1} − x_{i}. Por ser una suma de infinitas distancias, será una suma de infinitos tiempos, luego no podras alcanzarme nunca.

Estas palabras, a pesar de que Aquiles quedo confuso pues la realidad no solía apoyar esta teoría, fueron suficientes para que Aquiles se retirase, y la tortuga ganase la carrera. ¿Que habría pasado si hubiesen corrido?

Claramente, la practica nos demuestra que si hubiesen corrido, Aquiles habría dado alcanze a la tortuga. Por tanto, la realidad nos muestra algunos casos en los que una suma infinita, que llamaremos serie, puede dar como resultado un número finito. Para entender lo que pasa en esos casos, nos será útil el lenguaje de las sucesiónes.

Veremos las series como casos particulares de sucesiónes, que intentarán generalizar la operación suma al caso en el que le número de sumandos es infinito. Vamos a intentar entender el caso de nuestra paradoja. Nosotros queremos entender D = ∑_{i≥1} d_{i}. Es claro lo que significa D_{n} = ∑_{1≤i≤n} d_{i} para cualquier n fijo. Sólo tendremos que ir sumando los n elementos de la suma y ver cual es el resultado. Definitivamente este proceso no se puede generalizar al caso en que haya infinitos elementos, luego tendremos que buscar otras propiedades para poder generalizar la suma.

Si queremos que D generalize la suma, intuitivamente se deberá cumplir que D será parecido a D_{n} cuando n sea grande, y a medida que n crece se parecerán cada vez más, es decir, a costa de hacer n grande tendremos |D − D_{n}| < ε para todo ε > 0. Esto nos lleva a la siguiente definición Definición 3.1.1.

∑_{i=1}^{∞} d_{i} = lim_{n→∞} ∑_{i_{1}}^{n} d_{i}.

Vista esta definición, parece natural asociarle a la serie D la sucesión de sumas parciales D_{n}, y entonces el problema de entender la serie, se reduce a entender si la sucesión es convergente.

No todas las sucesiónes son sumables en este sentido, es decir, las sumas parciales que aparecen puede que formen una sucesión que no es convergente. Así, supongamos que d_{n} = (−1)^{n}, entonces como no existe lim D_{n}, pues D_{2n} = 0 y D_{2n−1} = −1, la sucesión d_{n} no es sumable. En este caso se dice que la serie es divergente. En el caso de que el límite de las sumas parciales exista, se dice que la serie es convergente.

Hemos visto un caso de una sucesión no sumable, podriamos preguntarnos si en realidad este va a ser el caso de todas las sucesiónes, y entonces la Definición 3.1.1 sería vacia. Esto no va a ser verdad, y de hecho, a cada sucesión convergente se le puede asociar otra que es sumable, es decir para cada sucesión convergente hay una serie convergente.

Efectivamente, supongamos que a_{n} → l, y consideremos la serie dada por A = ∑_{m≥1} (a_{m+1} − a_{m}), entonces

A = lim_{n→∞} ∑_{1≤m≤n} (a_{m+1} − a_{m}) = lim_{n→∞} a_{n+1} = l,

y por tanto la serie es convergente.

Veamos ahora el caso de nuestra paradoja. Supongamos que la tortuga corre a la mitad de velocidad que Aquiles, así V T = V A/2. Entonces, d_{1} = 1 y cuando A recorra 1, T recorrerá 1/2 luego d_{2} = 1/2. Ahora A esta a 1/2 de T, y cuando recorra 1/2, T recorrerá 1/4, y así sucesivamente, por tanto d_{i} = 1/2^{i−1}, y queda la suma de una progresión geométrica, es decir

D = lim_{n→∞} ∑_{i=1}^{n} d_{i} = lim_{n→∞} \frac{1 − 1/2^{n}}{1 − 1/2} = lim_{n→∞} (2 − 1/2^{n−1}) = 2.

Es decir en dos kilometros ambos, Aquiles y la tortuga, estan en el mismo punto al mismo instante. De esta forma hemos encontrado una sucesión de infinitos elementos, pero que sin embargo tienen suma finita.

§ 3.2 \underline{Propiedades de las series}

La anterior paradoja nos proporciona el primer ejemplo explícito de una serie convergente, la serie geométrica.

En general a A = ∑_{n≥0} r^{n} se le llama serie geométrica de razón r, y se tiene

A_{n} = ∑_{m=0}^{n} r^{m} = 1 + r + ⋯ + r^{n}.

Multiplicando por r queda

rA_{n} = r + r^{2} + ⋯ + r^{n+1},

y restando obtenemos (1 − r)A_{n} = 1 − r^{n+1}, o bien A_{n} = (1 − r^{n+1}) /(1 − r). Tomando límites en n obtenemos que la serie geométrica es divergente si |r| > 1 y vale A = 1/(1 − r) cuando |r| < 1. El caso r = 1 se ve directamente que es divergente pues estamos sumando infinitas veces 1, mientras que el caso r = −1 ya vimos que era divergente.

Resumiendo, en el caso de la serie geométrica, no sólo hemos podido determinar el caracter de la serie, es decir, si es o no convergente, sino que además hemos calculado su límite.

En general será muy difícil calcular el valor de una serie, y no hay un criterio general para determinar si es fácil o no calcular su suma. Así por ejemplo, mientras que para calcular el valor de ∑ 1/n^{2} se tardaran muchos años, e incluso tuvo que aparece una nueva teoría mateática para su resolución, para obtener el valor de ∑ 1/n(n + 1), se puede proceder de la siguiente forma: como 1/n(n + 1) = 1/n − 1/(n + 1) queda

S_{M} = ∑_{n=1}^{M} \frac{1}{n(n + 1)} = ∑_{n=1}^{M} (\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1}) = 1 − \frac{1}{M + 1}

ya que al ir sumando, los términos se van cancelando uno con el siguiente con lo que queda sólo el primero y el último. Por tanto, al tomar límite cuando M → ∞, queda

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 1.

Esta enorme diferencia en el estudio de las series, hace que, en nuestro estudio, en general nos conformemos con ver si existe o no el límite de las sumas parciales.

Es claro ahora que la determinación del caracter de una serie, necesita de un tratamiento particular para cada una de ellas, que nos ayude a comprender el comportamiento de la sucesión de sumas parciales. Es decir, no hay una teoría universal muy desarrollada que englobe cualquier serie que se nos pueda presentar. Sin embargo, existen consideraciones que seran útiles para muchos casos particulares, o incluso podremos dar algunos criterios que determinan el comportamiento para una colección de series.

En primer lugar, ya que las series son un caso particular de sucesiónes, podremos trasladar toda la información que tenemos para sucesiónes al caso de series. De esta forma, el caracter de una serie depende de la convergencia de una sucesión, la de sumas parciales, y por tanto podemos utilizar la definición equivalente de convergencia de sucesiónes

Toda sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy

que para series nos quedaría

Teorema 3.2.1. Una serie es convergente si y sólo si para todo ε > 0 existe un N tal que si n ≥ N, y m ∈ ℕ entonces

|a_{n+1} + ⋯ + a_{n+m}| < ε.

Esto es claro pues, que la sucesión de sumas parciales A_{n} = ∑_{1≥i≥n} a_{i}, sea de Cauchy es lo mismo que decir |A_{n+m} − A_{n}| < ε.

Como corolario podemos obtener una condición necesaria para que una serie sea convergente sin más que escoger m = 1, lo que nos quedaría |a_{n+1}| < ε, o lo que es lo mismo

Corolario 3.2.2. Si la serie A = ∑_{n≥1} a_{n} es convergente, entonces lim_{n→∞} a_{n} = 0.

Por otra parte, la condición de Cauchy se seguirá cumpliendo si yo vario un número finito de elementos de la sucesión a_{n}, por tanto se tiene

Teorema 3.2.3. La convergencia de la serie A = ∑_{n≥1} a_{n} no depende de un número finito de términos.

De esta forma, si no hay confusión en la variable de sumación, a partir de ahora escribiremos ∑ a_{n}, sin hacer referencia a donde comenzamos a sumar, siempre que sólo intentemos establecer el caracter de la suma y no su valor, el cual obviamente si dependerá de donde sumemos.

Vamos a ver algunas propiedades de las series respecto de la operación suma.

Teorema 3.2.4. Si

∑_{n=1}^{∞} a_{n} = l_{1}  y  ∑_{n=1}^{∞} b_{n} = l_{2},

entonces

∑_{n=1}^{∞} (a_{n} + b_{n}) = l_{1} + l_{2}  y  ∑_{n=1}^{∞} λa_{n} = λl_{1},

para todo λ ∈ ℝ.

La demostración no es más que observar que la operación de pasar al límite se comporta bien con la suma y multiplicación por constantes.

Este teorema nos asegura una forma particular de disociar series convergentes como suma de otras dos series convergentes. Esta es de hecho, la única manera de proceder, es decir, esta propiedad de disociar series no es cierta en general. De esta forma, si tenemos a_{n} = 0, entonces ∑ a_{n} = 0 es claramente convergente, mientras que podemos disociarla como a_{n} = 1 + (−1) = b_{n} + c_{n}, y ni ∑ b_{n} ni ∑ c_{n} son convergentes, luego en este caso no se tiene ∑ a_{n} = ∑ b_{n} + ∑ c_{n}.

Por el contrario, sí que podremos asociar los elementos de una sucesión, a_{n}, sumable, de la manera que queramos, y el resultado será una sucesión sumable, y con el valor de la suma el mismo que el de la sucesión original.

Teorema 3.2.5. Sea ∑_{n≥1} a_{n} = l, 1 = n_{1} < n_{2} < ⋯ < n_{k} < ⋯ una sucesión estrictamente creciente de números naturales, y consideremos la sucesión asociada a la original

b_{k} = ∑_{j=n_{k}}^{n_{k+1}−1} a_{j},

entonces

∑_{k=1}^{∞} b_{k} = l.

Las sumas parciales b_{k} son en realidad una subsucesión de la sucesión de sumas parciales de a_{n}, y por tanto deben convergen al mismo límite.

La dificultad por tanto que nos aparece es como disociar las series convergentes de forma que no variemos el resultado. Este problema desaparece si sólo nos interesamos por series de términos positivos a_{n} ≥ 0. Es más, en este caso todas las propiedades de la suma de un número finito de términos se extienden al caso de series. Por esta, y otras razones que veremos, nos será útil el restringirnos a este tipo de series, y desarrollar una teoría particular para este caso.

§ 3.3 \underline{Series con términos positivos}

Por tanto, a partir de ahora y hasta que no se diga lo contrario, sólo consideraremos sucesiónes de términos positivos a_{k} ≥ 0, e intentaremos comprobar si la sucesión es sumable, es decir, si la serie ∑ a_{k} converge.

En este caso, la sucesión de sumas parciales A_{n} = ∑_{k≤n} a_{k}, es una sucesión creciente, pues al aumentar n estamos sumando cada vez más términos positivos. Por esta razon, la convergencia de la serie se reduce a ver si la sucesión A_{n} es acotada, pues una sucesión monotona es convergente si y sólo si es acotada. Hemos probado por tanto

Teorema 3.3.1. Si a_{n} ≥ 0, entonces la serie ∑ a_{n} converge si y sólo si la sucesión A_{n} es acotada.

Es decir, estamos reduciendo el carater de la serie a controlar su tamaño y más concretamente, la convergencia de la serie dependera SOLO del tamaño de los elementos. Así, estos deberan ser suficientemente pequeños para poder sumarlos sin que el resultado sea infinito.

El teorema anterior nos servirá para demostrar que, en el caso de series de términos positivos, nuestra definición de suma infinita se acerca más a ser una generalización del caso finito. En particular, en este caso, sí que se va a comportar bien respecto a la operación suma, conservando las propiedades asociativa y conmutativa.

Teorema 3.3.2. Sean a_{n} ≥ 0 y b_{k} como en el Teorema 3.2.5. Entonces, ∑_{n≥1} a_{n} converge si y sólo si ∑_{k≥1} b_{k} converge y en caso de converger las dos sumas son iguales.

La prueba consiste en observar que, en realidad, los elementos en {b_{k}} tienen el mismo tamaño que los de {a_{n}}, ya que de hecho son los mismos.

Teorema 3.3.3. Sea a_{n} ≥ 0 y sea i : ℕ ⟶ ℕ una aplicación biyectiva. Entonces ∑_{n≥1} a_{n} converge si y sólo si ∑_{n≥1} a_{i(n)} converge y en caso de converger las dos sumas son iguales

La aplicación i es una reordenación de los elementos, por tanto este teorema está probando la conmutatividad de la suma infinita cuando son términos positivos. Su prueba es, como en el caso anterior, observar que a pesar de reordenar los elementos, éstos son los mismos.

Vamos a aprovechar nuestra idea de que las series positivas convergen dependiendo sólo de su tamaño, para intentar establecer algún criterio que nos permita decidir la convergencia o divergencia de series particulares.

De esta forma, entender el tamaño de cualquier cosa es, de por si, compararlo con algo conocido, luego si queremos saber si una serie dada es suficientemente pequeña para converger, tendremos que compararla con algo que sepamos que tenga ”caracter” convergente. Ahora bien, lo más fácil que puede presentarsenos para comparar una serie, será otra serie, y en ese caso podremos comparar sus términos uno a uno.

Teorema 3.3.4 (Criterio de comparación). Sean dos sucesiónes a_{n} ≥ 0, b_{n} ≥ 0 tal que existe N con a_{n} ≤ kb_{n} para alguna constante k y para todo n ≥ N. Entonces

(1) Si ∑ b_{n} converge entonces ∑ a_{n} converge,

(2) Si ∑ a_{n} diverge entonces ∑ b_{n} diverge.

Demostración.

De la acotación de ∑ b_{n} se sigue la de ∑ a_{n}, y si esta última no esta acotada, tampoco puede estarlo ∑ b_{n}.

Ejemplos.

Vamos a intentar establecer la convergencia de algunas series: En primer lugar consideramos

∑ \frac{1}{(2^{n} + n^{3} + 1)}.

Como la serie tiene términos positivos, podemos aplicar el teorema anterior. Así tenemos que buscar alguna serie de la que sepamos su caracter, y que además sea fácil de comparar con la que nos piden. A estas alturas en realidad conocemos el caracter de pocas series. En particular sólo sabemos como se comportan las series geométricas, por lo que vamos buscar una geométrica que se le pueda comparar. Ahora bien, si miramos el término general, vemos que

\frac{1}{(2^{n} + n^{3} + 1)} ≤ \frac{1}{2^{n}} = (\frac{1}{2})^{n} ,

luego b_{n} = 1/2^{n} y como ∑ b_{n} es convergente, pues es la serie geométrica de razón 1/2 < 1, también es convergente ∑ a_{n}.

Consideremos ahora la serie

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}.

De la desigualdad n + i ≤ 2n válida para i ≤ n y para todo n, se deduce

\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯ + \frac{1}{2n} ≥ \frac{1}{2n}(n) = \frac{1}{2},

luego

∑_{n=1}^{2^{m+1}} \frac{1}{n} = ∑_{k=0}^{m} ∑_{2^{k}+1}^{2^{k+1}} \frac{1}{n} = ∑_{k=0}^{m} (\frac{1}{2^{k} + 1} + ⋯ + \frac{1}{22^{k}} )

≥ ∑_{k=0}^{m} \frac{1}{2} = \frac{m + 1}{2}.

Por tanto, la suma parcial A_{2^{m+1}} no es acotada, es decir, la serie no es convergente. A esta serie se le suele llamar serie armónica. Dicha serie se puede generalizar considerando ∑ 1/n^{p}. Vamos a ver el caracter de esta familia de series armónicas generalizadas dependiendo del valor de p ∈ ℝ.

De la divergencia de la serie armónica, se deduce la de la serie ∑ 1/n^{p} para cualquier p < 1 sin más que observar que, en ese caso 1/n^{p} > 1/n. Por otra parte, si p ≥ 2, 1/n^{p} < 1/n(n + 1), y por tanto al ser ∑ 1/n(n + 1) convergente, (ejemplo 3 de §1.2), obtenemos la convergencia de ∑ 1/n^{p} para todo p ≥ 2. Sólo falta por estudiar el caso 1 < p < 2 que lo dejaremos para cuando estemos más avanzados en la teoría.

Esta familia nos permite conocer el caracter de una familia mucho más amplia de series. Por poner un ejemplo veamos

∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 1}{\sqrt{n^{3} + 3n + 1}}.

De la desigualdad

\frac{n + 1}{\sqrt{n^{3} + 3n + 1}} > \frac{n}{\sqrt{3}n^{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}n^{1/2}} ,

cierta para todo n ≥ 1, pues en ese caso n^{3} + 3n + 1 < 3n^{3}, y de la divergencia de la serie ∑ 1/n^{1/2} obtenemos la divergencia de la serie original.

En nuestro último ejemplo vamos a considerar sucesiónes que en principio pueden ser muy difíciles de estudiar, pues van a contener incluso funciones trascendentes, y que sin embargo, por el principio de comparación son triviales a la hora de establecer su caracter. Así, series como

S_{1} = ∑ \frac{log n}{n}  o  S_{2} = ∑ \frac{3 + cos n}{n},

son claramente divergentes por comparación con la serie armónica, pues tanto log n como 3 + cos n son ≥ 2 a partir de un n, luego las series son S_{i} ≥ ∑ 2/n, y por tanto divergentes.

Es claro que el criterio de comparación sólo sirve en una dirección, es decir, podemos acotar 1/3^{n} < 1/n, o bien 1/3^{n} < 1/2^{n} luego de la serie geométrica de razón 1/3 no se deduce nada sobre la convergencia o divergencia de una serie que la acota superiormente. Sin embargo, si encontrasemos unos b_{n} tal que para dos constantes k_{1} y k_{2} se cumple k_{1}b_{n} ≤ a_{n} ≤ k_{2}b_{n}, entonces el caracter de la serie ∑ a_{n} si que sería el mismo que el de ∑ b_{n}, es decir, una converge si y sólo si la otra lo hace. Como sólo nos interesa la cota a partir de un cierto N, tendremos que buscar una serie cuyos elementos, en el límite, sean comparables a los de la serie original.

Teorema 3.3.5 (Criterio de comparación al límite). Sean a_{n} ≥ 0 y b_{n} ≥ 0 tal que lim a_{n}/b_{n} = k.

(1) Si k ≠ 0, ∞ entonces ∑ a_{n} converge si y sólo si ∑ b_{n} converge

(2) Si k = 0 y ∑ b_{n} converge, entonces ∑ a_{n} converge.

(3) Si k = ∞ y ∑ b_{n} diverge, entonces ∑ a_{n} diverge.

La prueba resulta de observar, que la condición en el límite nos asegura, a partir de un N, que o bien los tamaños de a_{n} y b_{n} son comparables, y por tanto las series tienen caracteres iguales, en el caso (1), o en el caso (2) dirá que a_{n} son más pequeños que los elementos de una serie convergente y por tanto forman una serie convergente, o bien en el caso (3) a_{n} son más grandes que los elementos de una serie divergente y por tanto forman una serie divergente.

Ejemplos.

∑ \frac{n}{\sqrt[3]{n^{10} + n + 1}}.

Estamos intentando estudiar el comportamiento de la sucesión a_{n} en el infinito, por tanto, para encontrar la sucesión a comparar, sólo tendremos que tener en cuenta los términos de mayor grado, que me daran el tamaño en el infinito de mi sucesión. De esta forma, en este caso, deberemos comparar nuestra sucesión con n/\sqrt[3]{n^{10}} = 1/n^{7/3}, quedando

lim_{n→∞} \frac{n/\sqrt[3]{n^{10} + n + 1}}{1/n^{7/3}} = lim_{n→∞} \sqrt[3]{\frac{n^{10}}{n^{10} + n + 1}} = 1,

por ser un número finito distinto de cero, el caracter de nuestra serie es el mismo que el de ∑ 1/n^{7/3}, que por ser 7/3 > 2 es convergente.

-Sabiendo que lim senx/x = 1 cuando x → 0 deducir el caracter de la serie ∑ sen (1/n^{3}).

Como

lim_{n→∞} \frac{sen (1/n^{3})}{1/n^{3}} = 1,

el caracter de la serie en cuestión es el mismo que el de ∑ 1/n^{3}, y por tanto convergente.

Ya tenemos un método, comparación, para estudiar el caracter de cualquier serie de términos positivos. El problema está en que dicho método sólo es útil una vez que hemos encontrado una serie a comparar, y sin embargo no nos dice como buscar dicha serie en general.

Nos interesan por tanto formas de encontrar series comparables a la dada, sin olvidar que dichas series deben cumplir dos cosas:

(1) La más importante, que sean fáciles de comparar con nuestra serie,

(2) que además sea más fácil de deducir su caracter.

La serie inmediata que cumple la primera condición, es la misma serie de partida, ahora bien ¿como esto puede darnos nueva información?

Nosotros sabemos que las series de términos positivos se comportan bien con las propiedades de la operación suma. Así, cualquier nueva ordenación de la serie, nos dará una nueva serie de idéntico caracter y quizá más fácil de deducir. En el siguiente criterio, utilizaremos para dar nuestro nuevo orden de sumación una información adicional sobre la serie.

Teorema 3.3.6 (Criterio de Condensación). Sea a_{n} ≥ 0 una sucesión decreciente. Entonces ∑ a_{n} converge si y sólo si ∑ 2^{n}a_{2^{n}} converge.

Observar que, en este caso, estamos eligiendo como orden de sumación paquetes de 2^{n} elementos, es decir, los 2 primeros, los 4 siguientes, y así sucesivamente. Despues de elegir este orden, utilizamos la información adicional de que la sucesión es decreciente, para comparar estos paquetes con el número de elementos 2^{n}, multiplicado por uno de ellos a_{2^{n}}, lo que resume la información del tamaño de los elementos de todo el paquete y por tanto ambas series tendrán el mismo caracter.

Ejemplo.

Este criterio sera útil cuando el elemento a_{2^{n}} sea más fácil de manejar que el elemento original. El ejemplo típico es cuando aparecen logaritmos. Así, si nos piden deducir el caracter de

∑ \frac{1}{n log^{2} n},

tenemos una sucesión decreciente de términos positivos, luego se puede aplicar el criterio de condensación. Por tanto, su caracter será el mismo que el de la serie

∑ \frac{2^{n}}{2^{n} log^{2} (2^{n})} = ∑ \frac{1}{n^{2} log^{2} 2} = \frac{1}{log^{2} 2} ∑ \frac{1}{n^{2}} ,

y por tanto convergente.

De todas formas, este criterio es útil en otros casos, a pesar de que no haya logaritmos. Así, nos servirá para acabar de deducir el caracter de las series armónicas generalizadas. En efecto, aplicando el criterio de condensación a la serie

∑ \frac{1}{n^{p}} ,

obtenemos la serie

∑ \frac{2^{n}}{(2^{n})^{p}} = ∑ (\frac{1}{2^{p−1}} )^{n} ,

que es una serie geométrica de razón 2^{1−p} y por tanto convergente siempre que p > 1 y divergente cuando p ≤ 1. Recordar que habiamos deducido la convergencia de las series armónicas para p ≥ 2 y la divergencia para p ≤ 1.

Sigamos buscando series para comparar. Si nos olvidamos por un momento de la condición (1), y nos fijamos en la (2), entonces la serie más fácil de obtener su caracter es la serie geométrica. Veamos pues que series se pueden comparar a esta.

Si queremos comparar la serie ∑ a_{n} con la serie geométrica de razón r, tendrá que cumplirse a_{n} ∼ r^{n}. Ahora bien, el caracter de la serie dependerá de si r > 1 o r < 1. Es decir es una condición en r. Por tanto, nos gustaría saber en términos de mi sucesión original cuál es la razón de la serie geométrica a la que se puede comparar. En otras palabras, deberemos despejar r y ver cuál es su valor.

Hay dos formas de despejar r. Por una parte si a_{n} ∼ r^{n}, entonces \sqrt[n]{a_{n}} ∼ r, luego que la cantidad \sqrt[n]{a_{n}}, (como siempre a partir de un n), sea mayor o menor que 1 nos dirá el caracter de la serie.

Teorema 3.3.7 (Criterio de la raíz). Sea a_{n} ≥ 0.

(1) Si lim sup \sqrt[n]{a_{n}} = λ_{1} < 1, entonces la serie converge.

(2) Si lim inf \sqrt[n]{a_{n}} = λ_{2} > 1, entonces la serie diverge. Si lim \sqrt[n]{a_{n}} = 1, el criterio no es concluyente.

Ejemplos.

Este criterio será conveniente cuando \sqrt[n]{a_{n}} sea fácil de tratar, por ejemplo si a_{n} = b_{n}^{n}.

Sea a_{n} = \frac{1}{n^{n}}, entonces lim \sqrt[n]{1/n^{n}} = lim 1/n = 0, luego la serie

∑ 1/n^{n}

es convergente. De la misma forma para

∑ \frac{n^{2}}{2^{n}} ,

se cumple lim \sqrt[n]{a_{n}} = lim n^{2/n}/2 = 1/2, luego la serie es convergente. Por último si consideramos

∑ (\frac{n + 1}{2^{n} − 5}) ,

se cumple lim \sqrt[n]{a}_{n} = 1/2, y por tanto la serie es convergente. Observar que en este último ejemplo, los términos a_{1} y a_{2} no son positivos, sin embargo el criterio se puede aplicar, pues sabemos que el caracter de la serie no depende de un número finito de términos, y por tanto será el mismo que el de la serie formada a partir de a_{3} que ya si es una serie de términos positivos.

La segunda forma que tenemos de despejar a_{n} de la relación a_{n} ∼ r^{n}, es un poco más ingeniosa. Si se tiene a_{n} ∼ r^{n}, también se tiene a_{n+1} ∼ r^{n+1}, y dividiendo ambas ecuaciones, conseguimos despejar r, a_{n+1}/a_{n} ∼ r.

Teorema 3.3.8 (Criterio del cociente). Sea a_{n} ≥ 0.

(1) Si lim sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = λ_{1} < 1 entonces la serie es convergente

(2) Si lim inf \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = λ_{2} > 1 entonces la serie es divergente.

Si lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 entonces el criterio no es concluyente.

Ejemplos.

El criterio será conveniente, cuando exista alguna relación en la definición de a_{n} y la de a_{n+1}, que haga fácil la expresión de su cociente. Un caso típico para utilizar este criterio es cuando los elementos vienen dados de forma recursiva. Como ejemplo podemos citar las sucesiones en las que aparecen factoriales, ya que el factorial de un número se genera a partir del factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1)n!.

Consideremos la serie ∑ n!/n^{n}, como son términos positivos, podemos aplicar el criterio del cociente, obteniendo

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)!/(n + 1)^{n+1)}}{n!/n^{n}} = \frac{(n + 1)n^{n}}{(n + 1)^{n+1)}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} → \frac{1}{e},

como 1/e < 1, se deduce que la serie

∑ \frac{n!}{n^{n}} ,

es convergente.

Supongamos que los términos de la sucesión se definen mediante la fórmula recurrente a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{n+1}{2n+3}a_{n}. Ver si la serie ∑ a_{n} es convergente. Claramente, los términos de la sucesión son positivos, pues a_{1} lo es. Así, aplicando el criterio del cociente obtenemos, a_{n+1}/a_{n} = (n + 1)/(2n + 3) → 1/2 < 1, y por tanto la serie es convergente.

Sea r > 0 un número fijo, y consideremos a_{n} = r^{n}/n!. Ver si la serie ∑ a_{n} es convergente. De nuevo el criterio del cociente nos da en este caso

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{r^{n+1}/(n + 1)!}{r^{n}/n!} = \frac{r}{n + 1} → 0 < 1,

y por tanto la serie

∑ \frac{r^{n}}{n!} ,

es convergente.

Estos dos últimos criterios, han salido ambos de comparar la serie original con la serie geométrica de razón r. Por tanto, uno podría preguntarse si no seran en realidad iguales, a pesar de tener apariencia distinta. Vamos a ver con un ejemplo, que hay casos en los que un criterio se puede aplicar, mientras que el otro no.

Consideramos la serie formada por los términos a_{n} = r^{n+(−1)^{n}\sqrt{n}} con r ≠ 1 fijo. Entonces, para n par tenemos

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{r^{n+1+\sqrt{n+1}}}{r^{n−\sqrt{n}}} = r^{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.

De la misma forma, si n es impar se obtiene

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = r^{1−\sqrt{n+1}−\sqrt{n}}.

Como r ≠ 1, al menos una de las dos cantidades anteriores no esta acotada con

n, es decir lim sup a_{n+1}/a_{n} = ∞. Sin embargo, \sqrt[n]{a}_{n} = r^{1+ \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}}} → r. Así, por ejemplo escogiendo r = 1/2 el criterio del cociente no es concluyente, mientras que el criterio de la raíz me dice que la serie ∑ a_{n} es convergente. Este va a ser en realidad el caso general, es decir, el criterio del cociente es más restrictivo que el criterio de la raíz. De hecho se puede probar, aunque no lo haremos que

Teorema 3.3.9. Si lim a_{n+1}/a_{n} = l, entonces lim \sqrt[n]{a}_{n} = l

Para terminar con las series de términos positivos vamos a considerar la siguiente preguta: En general, todos los criterios establecidos, se basan esencialmente en comparar una serie con otra conocida. Algunos de ellos, incluso sólo con la serie geométrica. Se podría pensar entonces si existe alguna serie convergente que sea la mayor posible, es decir, que cualquier otra serie se pueda comparar con ella, y si es mayor es divergente, y si es menor es convergente. La respuesta es negativa

Teorema 3.3.10. Para toda serie de términos positivos ∑ a_{n} convergente, existe b_{n} ≥ 0 tal que b_{n}/a_{n} → ∞ y sin embargo ∑ b_{n} también es convergente. Por otra parte, cualquiera que sea la serie ∑ a_{n} divergente, a_{n} ≥ 0, existe otra b_{n} ≥ 0, con b_{n}/a_{n} → 0 y que también es divergente.

Llamando al resto de la serie R_{n} = ∑_{m≥n} a_{m}, se cumple R_{n} → 0 ya que la serie es convergente y además podemos usar dicho resto para obtener la identidad a_{n} = R_{n} − R_{n+1} = (\sqrt{R_{n}} − \sqrt{R_{n+1}}) (\sqrt{R_{n}} + \sqrt{R_{n+1}}). De esta forma, si consideramos la sucesión

b_{n} = \sqrt{R_{n}} − \sqrt{R_{n+1}} = \frac{a_{n}}{\sqrt{R_{n}} + \sqrt{R_{n+1}}} ,

obtenemos por una parte el crecimiento adecuado b_{n}/a_{n} → 0, mientras que en cuestión de convergencia se tiene

∑_{n=1}^{k} b_{n} = ∑_{n=1}^{k} (\sqrt{R_{n}} − \sqrt{R_{n+1}}) = \sqrt{R_{1}} − \sqrt{R_{k+1}} → \sqrt{R_{1}}.

Observar que R_{1} = ∑_{n≥1} a_{n}, luego la suma de los b_{n} es la raíz de la suma original.

En el caso de que ∑ a_{n} sea divergente, consideramos de manera análoga

b_{n} = \sqrt{A_{n}} − \sqrt{A_{n−1}} = \frac{a_{n}}{\sqrt{A_{n}} + \sqrt{A_{n−1}}} ,

donde A_{n} = ∑_{1≤m≤n} a_{m}, ya que en ese caso A_{n} → ∞, y b_{n}/a_{n} → 0, mientras que ∑_{2≤n≤k} = \sqrt{A_{k}} − \sqrt{A_{1}} → ∞.

Vamos a dejar las series de términos positivos, sin más que mencionar que, obviamente, la idea no es en realidad que todos los términos sean positivos, sino que todos los términos tengan el mismo signo, pues de esta forma no hay cancelación. Así, si nos encontramos con una serie cuyos términos a_{n} son todos negativos, podremos de la misma forma aplicar todos los criterios a la serie de términos −a_{n}, y tener en cuenta que ∑ a_{n} y ∑(−a_{n}) tienen el mismo caracter.

§ 3.4 \underline{Series de términos con signo}

En estas series, al ser el signo de los elementos infinitas veces positivo, e infinitas veces negativo, además de estudiar el tamaño de los elementos, tendremos que estudiar la cancelación, es decir, los términos en si pueden ser muy grandes, pero al ser de signos opuestos ir cancelandose para dar como resultado algo sumable. Un ejemplo trivial sería la serie de signos alternantes

1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + ⋯ + 1/n − 1/n + ⋯

Dicha serie es claramente convergente a 0, mientras que los elementos tienen tamaño |a_{2k}| = |a_{2k+1}| = 1/k, que como vimos es demasiado grande para que sean sumables si todos tuviesen el mismo signo.

Supongamos que tenemos una sucesión de elementos a_{n} de distinto signo, y queremos saber si son sumables, es decir, si la serie ∑ a_{n} es convergente. En general es muy difícil medir la cancelación que existe entre infinitos elementos, así que una primera idea podría ser la siguiente: A nosotros nos interesa el caracter de la serie. Ahora bien, quiza estos elementos son lo suficientemente pequeños como para que formen una serie convergente, incluso sin tener en cuenta la cancelación, por lo que al ir cancelandose deben ser más sumables. Es decir, ¿Que pasará si no tenemos en cuenta la cancelación, o lo que es lo mismo, ponemos todos los elementos con el mismo signo?

Para responder a esta pregunta vamos a hacer la siguiente definición:

Definición 3.4.1.

Decimos que una serie ∑ a_{n} es absolutamente convergente, si la serie ∑ |a_{n}| es convergente.

La idea, como hemos mencionado, es que una serie absolutamente convergente, también será convergente. A pesar de que parece intuitivamente cierto, no hay que olvidar que la definición de convergente depende de un límite, y que el comportamiento de las sucesiónes A_{n} = ∑_{m≤n} a_{m} y S_{n} = ∑_{m≤n} |a_{m}| son completamente distintos, por lo que no tiene porque ser una trivialidad el demostrar que en realidad si que se cumple como esperamos.

Teorema 3.4.2. Una serie absolutamente convergente es convergente.

Sin embargo, la prueba del teorema, se reduce sólo a ver que si la serie formada por los valores absolutos cumple la condición de Cauchy, entonces también la cumple la serie original.

Es importante tener claro que el Teorema 3.4.2, nos asegura la convergencia una vez sabida la convergencia absoluta, pero no relaciona en ningun sentido el valor de ∑ |a_{n}| con el de ∑ a_{n}, de hecho ambos valores son completamente diferentes.

Ejemplo.

La serie

∑ \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} ,

es absolutamente covergente, pues la sucesión de valores absolutos |a_{n}| = 1/n^{2} es sumable, así que ∑_{n≥1}(−1)^{n}/n^{2} tiene un valor fijo, que sin embargo no tiene nada que ver con el número ∑ 1/n^{2}.

Ya tenemos una forma, bastante ingenua pero a veces efectiva, de deducir el caracter de una serie con signo. A pesar de la ingenuidad, surge la duda de si no será ese el caso general, es decir, si sólo las series absolutamente convergentes van a ser convergentes. La respuesta es negativa, y como veremos, existen series que son convergentes pero que no son abslutamente convergentes, es decir, hay series en las que en realidad es muy importante medir la cancelación. A estas series, a pesar de que todavía no sabemos si las hay, vamos a llamarlas condicionalmente convergentes.

Por tanto, nuestro problema es encontrar series, con elementos de tamaño no muy pequeño, pero que por sus signos haya mucha cancelación.

Para medir la cancelación en una suma finita, podríamos coger todos los elementos positivos, sumarlos, luego coger los negativos, sumarlos, y luego calcular la diferencia de esas dos cantidades. Vamos a intentar extender esa forma de proceder al caso de las series, para lo que repetiremos el proceso indicado cada una de las sumas parciales.

Definición 3.4.3.

Vamos a llamar

a_{n}^{+} = \{ \begin{matrix}a_{n} & si a_{n} ≥ 0 \\ 0 & si a_{n} ≤ 0 \end{matrix}  ,  a_{n}^{−} = \{ \begin{matrix}−a_{n} & si a_{n} ≤ 0 \\ 0 & si a_{n} ≥ 0 \end{matrix} ,

y S_{N}^{+} = ∑_{1≤m≤N} a_{n}^{+}, S_{N}^{−} = ∑_{1≤m≤N} a_{n}^{−} a las sumas de términos positivos y negativos respectivamente.

Teniendo en cuenta que

∑_{n=1}^{N} |a_{n}| = S_{N}^{+} + S_{N}^{−}  y  ∑_{n=1}^{N} a_{n} = S_{N}^{+} − S_{N}^{−},

podemos dar una condición de convergencia absoluta, y convergencia condicionada en términos de estas sumas. De hecho, de la primera identidad se deduce

Teorema 3.4.4. Una serie es absolutamente convergente si y sólo si ambas sucesiónes S_{N}^{+} y S_{N}^{−} son convergentes.

Además este teorema junto con la segunda de las anteriores identidades, nos permite identificar las series condicionalmente convergentes, como aquellas en las que tanto S_{N}^{+} como S_{N}^{−} divergen, y que sin embargo S_{N}^{+} −S_{N}^{−}, es convergente.

El siguiente teorema nos proporciona una condición equivalente a la convergencia absoluta, en términos de la conmutatividad de las series. Las series que son absolutamente convergentes, como las series de términos positivos se comportan bien con las propiedades de la suma, no es el caso cuando se trata de series condicionalmente convergentes.

Definición 3.4.5.

Una serie se llama incondicionalmente convergente si cualquiera que sea la reordenación {b_{n}} de la sucesión {a_{n}} se cumple ∑ b_{n} = ∑ a_{n}.

Teorema 3.4.6. Una serie es incondicionalmente convergente si y sólo si es absolutamente convergente.

No probaremos el teorema, y sólo vamos a mencionar como parte de la prueba que una reordenación de la sucesión {a_{n}} se puede dividir en una reordenación de los términos positivos y otra de los términos negativos. Estas dos nuevas series por ser de términos positivos, se comportan bien con la suma.

A partir de este teorema, sabemos que series condicionalmente convergentes deben ser no conmutativas, sin embargo todavía no tenemos ninguna prueba de que en realidad exista alguna. De hecho, la única forma que tenemos hasta ahora de reconocer que las series son convergentes, es observar si la sucesión de sumas parciales es monótona y acotada. Este método era útil para series de términos positivos, que garantizaban la monotonía, pero claramente no va a ser útil en caso de series con signo, pues las sumas parciales seran una sucesión oscilante.

Sin embargo, sera útil saber, como de lejos esta una serie ∑ c_{n}, de ser monótona. Esta propiedad dependera de la frecuencia con la que varie el signo de los elementos de la sucesión {c_{n}}. Es por tanto conveniente dividir la sucesión en dos c_{n} = a_{n}b_{n}, y resumir la información sobre la cancelación, es decir el signo, en una a_{n}, y el resto, es decir el tamaño, en la otra b_{n}. Esta división no sólo tiene la ventaja de medir la oscilación de la serie, sino que, al tener el tamaño a parte, podemos comparar elementos que sean más o menos del mismo tamaño. Esto es importante ya que sólo entre estos elementos es en los que habrá más cancelación, ya que claramente, restar un elemento pequeño de uno grande da una cantidad aproximadamente igual al mayor de los elementos y no se produce cancelación.

En vista del anterior esquema, a partir de ahora nos interesaremos en series escritas como ∑ a_{n}b_{n}. Ahora bien, volvamos por un momento a series de términos positivos, es decir, a_{n} ≥ 0, y supongamos que la sucesión b_{n} es decreciente, entonces

b_{M} ∑_{n=N}^{M} a_{n} ≤ ∑_{n=N}^{M} a_{n}b_{n} ≤ b_{N} ∑_{n=N}^{M} a_{n},

es decir, la monotonía puedo sacarla fuera de la suma, e intentar entender el resto de la suma. Este mismo fenómeno esperamos que ocurra, incluso cuando hay cancelación. De esta forma, vamos a intentar comparar las series b_{m} ∑ a_{n} con ∑ a_{n}b_{n}.

En la primera cantidad, aparecen los elementos b_{m} multiplicados por sumas de a_{n}, luego nos interesa que aparezcan cosas de ese estilo. Por tanto, vamos a escribir a_{n} = A_{n} − A_{n−1} donde A_{n} = ∑_{1≤m≤n} a_{n}, para obtener ∑ b_{n}a_{n} = ∑ (A_{n} − A_{n−1}) b_{n}. El siguiente lema será la clave que nos permitira establecer varios criterios de convergencia para series con signo.

Teorema 3.4.7 (Lema de Abel).

∑_{N_{1}}^{N_{2}} a_{n}b_{n} = ∑_{N_{1}}^{N_{2}−1} A_{n} (b_{n} − b_{n+1}) + A_{N_{2}}b_{N_{2}} − A_{N_{1}−1}b_{N_{1}}.

Este lema, que no es más que reescribir la suma de otra forma, nos permite probar los siguientes criterios para series con signo:

Teorema 3.4.8 (Criterio de Abel). Sea b_{n} mont́ona y acotada, y A_{n} = ∑_{m=1}^{n} a_{m}, convergente. Entonces ∑ a_{n}b_{n} es convergente.

Teorema 3.4.9 (Criterio de Dirichlet). Sea b_{n} → 0 decreciente, y A_{n} = ∑_{m=1}^{n} a_{m}, acotada. Entonces ∑ a_{n}b_{n} es convergente.

Uno y otro criterios utilizan el lema de Abel, y el hecho de que una sucesión acotada, (A_{n} en Dirichlet y b_{n} en Abel), por otra que tiende a cero, (b_{n} en Dirichlet y A_{n} en Abel), dan como resultado algo que tiende a cero.

Escogiendo a_{n} = (−1)^{n}, se deduce como caso particular del criterio de Dirichlet,

Corolario 3.4.9 (Teorema de Leibniz). Si b_{n} → 0 es decreciente, entonces ∑(−1)^{n}b_{n} es convergente.

Ejemplos.

La serie

∑ \frac{(−1)^{n}}{n} ,

es convergente, por Leibniz. Si en este caso, consideramos la serie de términos con valor absoluto, nos aparece la serie armónica, que sabemos que no es convergente. Por tanto, acabamos de encontrar una serie que es convergente pero no absolutamente convergente.

-Si intentamos encontrar el caracter de

∑(−1)^{n} \frac{(1 + 1/n)^{n}}{n} ,

podemos intentar aplicar Leibniz directamente, pero en ese caso deberiamos demostrar la monotonía de la serie (1 + 1/n)^{n}/n, lo cual no es sencillo. Sin embargo, sabemos que la sucesión (1 + 1/n)^{n} es monótona creciente, como además acabamos de probar que la serie ∑(−1)^{n}/n es convergente, el producto, es decir nuestra serie también es convergente por el criterio de Abel.

Estos dos criterios, de alguna manera nos han permitido reflejar propiedades de sucesiónes por separado, a_{n} y b_{n}, en la serie producto ∑ a_{n}b_{n}. Para terminar el capítulo de series, intentaremos ver si también es cierto que información no sólo sobre las sucesiónes, sino sobre las series ∑ a_{n} y ∑ b_{n} se puede trasmitir a las series producto de las dos.

Observar que la primera dificultad, es definir la serie producto de las dos, que NO es la serie considerada hasta ahora ∑ a_{n}b_{n}, pues la serie producto de las dos, debe generalizar la forma de multiplicar sumas finitas, en las que se multiplican todos los elementos de la primera suma por todos los de la segunda. Nos sera útil la siguiente definición Definición 3.4.10.

{c_{n}} es una sucesión producto de a_{n} y b_{n}, si c_{n} = a_{i}b_{j} para algunos i y j, y todos los pares i, j aparecen una y sólo una vez.

Así, queremos saber si el producto de dos series ∑ a_{n} ∑ b_{n}, y las series formadas por sucesiónes producto ∑ c_{n} tienen el mismo valor, lo cuál es cierto en el caso finito.

El primer problema estriba, en que el producto de sumas se puede realizar en muchos ordenes distintos, y como sabemos, el orden va a ser muy importante en series que son condicionalmente convergentes. Así, si queremos que se de la igualdad para cualquier sucesión producto c_{n}, no debe de importar el orden, luego parece claro que debemos pedir convergencia absoluta. Esta, de hecho será una condición suficiente para que se de la igualdad.

Teorema 3.4.11. Sean ∑ a_{n} y ∑ b_{n} absolutamente convergentes y sea c_{n} una sucesión producto. Entonces ∑ c_{n} es absolutamente convergente y se cumple

∑ c_{n} = (∑ a_{n}) (∑ b_{n}) .

Como queremos probar convergencia absoluta, sólo tenemos que medir el tamaño de las sumas parciales ∑ |c_{n}|. En particular se observa que dichas sumas parciales están acotadas por el producto de las sumas parciales de las series A_{n} = ∑_{1≤m≤n} |a_{m}| y B_{n} = ∑_{1≤m≤n} |b_{m}|. Por otra parte, el producto de las sumas parciales de ∑ a_{n} y ∑ b_{n}, dara una sucesión producto particular, c_{n} con la que se dara la igualdad. Así, la prueba termina observando que cualquier sucesión producto, es una reordenación de dicha c_{n}, y por tanto converge al mismo número por ser absolutamente convergente.

Funciones

§ 4.1 \underline{Introducción}

Hasta ahora hemos estado estudiando el comportamiento de sucesiones, es decir, aplicaciones que van de ℕ en ℝ. Nos interesa ahora generalizar todos los conceptos asociados a sucesiones, al caso de funciones, dicho de otra forma, queremos trasladar los resultados obtenidos en el caso ”discreto”, (sucesiones), al caso ”continuo”, (funciones).

La diferencia fundamental entre ambos casos, es que en el primero podemos aislar cada uno de los elementos de la sucesión, mientras que el caso ”continuo” toma su nombre de que el dominio de definición es continuo, es decir, no hay espacio entre los elementos del dominio. Nos interesaremos por tanto en aplicaciones

f : D ⊂ ℝ ⟶ ℝ,

y de la misma forma que entonces, veremos si la función es acotada, creciente o no, o si tiene límite.

En realidad, en este caso como en aquel, el concepto más importante es el de límite. De hecho, este concepto es la piedra fundamental de todo el cálculo.

A diferencia de las sucesiones, será justo con el concepto de límite con el que empezaremos el estudio de las funciones, ya que está intimamente relacionado incluso con la propia definición de función.

Efectivamente, si estamos interesados en estudiar aplicaciones con dominio de definición los números reales, estos deberan aparecer de alguna maera en nuestra definición. Ahora bien, los números reales se definían como límite de elementos en ℚ, luego tendremos que entender el comportamiento de la función respecto a límites de sucesiones. Por otra parte, este hecho nos lleva a pensar, que el caso de funciones será análogo al de sucesiones, y que podremos construir la teoría, generalizando y utilizando aquella.

Claramente si D es una colección discreta de puntos, el estudio de la aplicación será análogo al estudio de una sucesión, luego el caso interesante es cuando no hay distancia entre los elementos del dominio. Será conveniente establecer algunas definiciones.

Definición 4.1.1.

Un entorno del punto a de radio r es el conjunto E (a, r) = {x ∈ ℝ , |x − a| < r}.

A veces nos interesa enfatizar que el propio punto no sea un elemento del entorno, por lo que definimos E^{∗} (a, r) = {x ∈ ℝ , 0 < |x − a| < r}.

Definición 4.1.2.

Sea D ⊂ ℝ. Un punto a es de acumulación en D si para todo entorno de a hay un punto del dominio dentro del entorno. Dicho de otra forma si para todo ε > 0 existe un x ∈ D tal que |x − a| < ε.

Un punto que no es de acumulación se dice que es un punto aislado.

Observando detenidamente la definición, vemos que a es un punto de acumulación de D si y sólo si para todo ε > 0, existen infinitos x ∈ D tal que |x − a| < ε.

Esta definición es equivalente a decir que existe toda una sucesión {x_{n}} ⊂ D con x_{n} → a. La equivalencia es consecuencia de la definición de límite por un lado, y por otro la existencia de la sucesión se garantiza escogiendo en la definición original de punto de acumulación, ε = 1/n.

Ejemplos.

-Para el conjunto D = \{±\frac{1}{n}\}, 0 es el único punto de acumulación. Observar que para ser punto de acumulación no tiene porque ser un punto del conjunto, y por otra parte puntos del conjunto no tienen porque ser de acumulación.

-Cualquier número real es un punto de acumulación de ℚ.

-Sea D = (a, b), entonces los puntos de acumulación de D son el intervalo [a, b].

A la vista de la definición de punto de acumulación, y viendo el caso de sucesiones, hay un punto particularmente interesante que podemos decir que también es un punto de acumulación. Este es el punto del infinito, ya que para el conjunto de números naturales, existe una sucesión en el conjunto con límite infinito. Es más este punto es el único punto de acumulación que tiene ℕ.

Si queremos englobar este nuevo punto en las definiciones con entornos, deberemos extender dichas definiciones de la siguiente forma:

Definición 4.1.3.

Un entorno de +∞ es un conjunto de la forma

E(+∞, K) = {x , K < x} .

Análogamente se definen los entornos de −∞ y ∞ como

E(−∞, K) = {x , K > x} y E(+∞, K) = {x , |K| < x} ,

respectivamente.

Vamos entonces a establecer la definición de límite en el contexto de entornos y puntos de acumulación.

§ 4.2 \underline{Límites de Funciones}

Recordemos que la definición de límite de sucesiones, nos decía que si n era suficientemente grande, a_{n} estaba tan cerca como quisieramos del límite l. De otra forma, si n estaba suficientemente cerca del punto de acumulación +∞, entonces a_{n} estaba tan cerca como quisieramos de l.

Vamos a extender la definición al caso de funciones, teniendo en cuenta que ahora podremos establecer una definición para cualquiera que sea el punto de acumulación del dominio en el que queramos entender el límite. Así, siempre que los elementos esten suficientemente cerca del punto de acumulación, (n grande en sucesiones), la imagen estará tan cerca como queramos del límite, (a_{n} cerca de l en sucesiones). Más concretamente

Definición 4.2.1.

Sea a un punto de acumulación de D el dominio de definición de una función f. Entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a será l si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ D y 0 < |x − a| < δ entonces |f(x) − l| < ε.

En ese caso escribiremos

lim_{x→a} f(x) = l.

En términos de entornos estamos diciendo que la imagen de un entorno de a de radio suficientemente pequeño δ, en el que excluimos el propio a, está dentro de un entorno de l de radio ε,

f (E^{∗}(a, δ)) ⊂ E(l, ε).

Como hemos visto antes, parece plausible resumir el caso continuo al caso discreto, ahora bien, si queremos entender el límite de f en a en términos de sucesiones, tendremos que tener en cuenta dos sucesiones a la vez. Por una parte la sucesión de números p_{n} que tiende a a, y por otra la sucesión de imagenes f(p_{n}). ¿Que significará entonces que lim_{x→a} f(x) = l?, pues tendremos que escoger todas las sucesiones que tiendan a a, y todas las sucesiones imagenes deberán tender a l. Como esperamos, esta es de hecho una definición equivalente a la definición de límite

Teorema 4.2.2. Sea a un punto de acumulación de D. lim_{x→a} f(x) = l si y sólo si para toda sucesión {x_{n}} ⊂ D, x_{n} → a, x_{n} ≠ a se tiene f (x_{n}) → l.

Es claro que la condición expuesta en el teorema es necesaria para que sea el límite, pues sabemos que la imagen de todo el entorno de a esta en el entorno de l. Para ver que es suficiente, se procede por reducción al absurdo. Así, si l no fuese el límite, debería haber alguna sucesión tendiendo a a y tal que la sucesión imagen no tendiese a l.

Ejemplos.

-Para la función f(x) = x se cumple lim_{x→a} f(x) = a, pues para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f(x) − a| = |x − a| < ε, no hay más que tomar δ = ε.

-Sea f : ℚ ⟶ ℝ tal que f(x) = 0 para todo x ∈ ℚ, entonces lim_{x→π} f(x) = 0. En primer lugar observamos que π es un punto de acumulación de ℚ, luego se puede intentar calcular el límite en cuestión. Además, cualquiera que sea la sucesión del dominio x_{n} ∈ ℚ y tal que x_{n} → π, claramente f (x_{n}) = 0, luego el límite es 0.

-La función f : ℝ ⟶ ℝ que vale 0 en los racionales, y 1 en los irracionales no tiene límite en ningun número real, ya que si fijamos a ∈ ℝ, existe una sucesión x_{n} → a con x_{n} ∈ ℚ, y por tanto f (x_{n}) = 0, mientras que también existe una sucesión y_{n} → a con y_{n} irracionales, y por tanto f (y_{n}) = 1, luego no se dan las condiciones en el Teorema 4.2.2.

Hemos dado una definición de límite, válida para cualquier punto de acumulación a tal que a < ∞, sin embargo el infinito, al igual que en el caso de las sucesiones, también es un punto de acumulación de ℝ, y nos interesará establecer la definición en particular para este caso.

Definición 4.2.3.

Al igual que en el caso finito, l será el límite de f cuando x → +∞ si

f (E(+∞, K)) ⊂ E(l, ε).

Análogamente se define el límite cuando x → −∞ como

f (E(−∞, K)) ⊂ E(l, ε).

En estos casos, la función tiene una asintota horizontal.

Ejemplo.

- lim_{x→+∞} 1/x = 0, pues si cogemos el entorno de infinito de radio K = 1/ε, entonces si x ∈ E(+∞, 1/ε), x > 1/ε, y por tanto f(x) = 1/x < ε.

Por último nos interesa el caso en el que l = ±∞, es decir, que la función tiende a infinito, o en otras palabras se hace grande, cuando x → a para algún a. Así,

f (E^{∗}(a, δ)) ⊂ E(+∞, K),

o

f (E^{∗}(a, δ)) ⊂ E(−∞, K).

nos dice que la función tiene una asintota vertical en a, y allí la función cada vez se hace más grande y positiva, o negativa respectivamente.

Ejemplo.

lim_{x→0} 1/x^{2} = +∞. Efectivamente, si |x| < 1/K, entonces f(x) = 1/x^{2} > K^{2}. Es decir, en este caso

f (E^{∗}(0, 1/K)) ⊂ E(+∞, K^{2}),

Si no queremos mencionar explicitamente el signo de la función, y sólo nos interesa el tamaño en valor absoluto, diremos que

f (E^{∗}(a, δ)) ⊂ E(∞, K).

Esta definición es, como en el caso finito, equivalente a una en términos de sucesiones: Para todo x_{n} → a, {x_{n}} ⊂ D y x_{n} ≠ a, entonces f (x_{n}) → l, donde ahora tanto l como a pueden ser infinito.

Ejemplo.

- lim_{x→0} 1/x = ∞. En este caso, si escogemos 0 < x < 1/K, entonces f(x) > K, mientras que si 0 > x > −1/K, entonces f(x) < −K. Así, para x > 0, f(x) → +∞, mientras que si x < 0, f(x) → −∞.

Una vez concluida la definición de límite, nos interesa estudiar si de hecho es compatible con nuestra idea de lo que es el límite, y veremos algunas propiedades.

Sea D el dominio de definición de una función f, y sea a un punto de acumulación de D.

Teorema 4.2.4. Si existe lim_{x→a} f(x), éste es único.

Teorema 4.2.5. Si g(x) esta definida en D, y cumple g(x) → l_{2} cuando x → a, entonces f(x)+g(x) → l+l_{2}, λf(x) → λl para cualquier λ ∈ ℝ, f(x)g(x) → l l_{2}, y si l_{2} ≠ 0 entonces f(x)/g(x) → l/l_{2}.

Este teorema nos permite calcular el límite de cualquier función racional, es decir

f(x) = \frac{P (x)}{Q(x)},

donde tanto P como Q son polinomios en x, siempre que el denominador no se anule.

Ejemplos.

Calcular el límite de

f(x) = \frac{x^{2} − 2x + 1}{x − 1},

cuando x → a.

Si a ≠ 1, entonces no habra más que sustituir x por a, pues el denominador no se anula. Si a = 1, entonces, a pesar de que la función no esta definida en ese punto, como para calcular el límite tenemos en cuenta x ≠ 1, podemos utilizar la igualdad x^{2} − 2x + 1 = (x − 1)^{2}, para obtener, cancelando numerador y denominador f(x) = x − 1, luego lim_{x→1} f(x) = 0.

Teorema 4.2.6. Si f(x) → l cuando x → a, entonces f(x) esta acotada en E ⋂ D donde E es un entorno de a.

Teorema 4.2.7. Sean g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x ∈ E(a, r) ⊂ D tal que h(x) → l y g(x) → l cuando x → a, entonces f(x) → l cuando x → a.

La demostración de estos teoremas, como en otros más adelante, utiliza la definición de límite en términos de sucesiones, lo que reduce la prueba a la ya dada en el caso de sucesiones.

Ejemplos.

En general encontrar el límite de funciones requiere un estudio particular de la función que se esta observando.

-Sabiendo que

lim_{x→0} \frac{senx}{x} = 1,

hecho que demostraremos más tarde, encontrar el límite de sen(tan x)/senx.

Nuestra hipótesis nos dice que cualquiera que sea la sucesión x_{n} → 0, entonces sen (x_{n}) /x_{n} → 1, ahora bien cualquiera que sea la sucesión x_{n} tendiendo a 0 se cumple tan x_{n} → 0, luego la sucesión y_{n} = tan x_{n} es otra sucesión tendiendo a cero y por tanto sen(tan x_{n})/ tan x_{n} → 1, de esta forma mutiplicando y dividiendo por tan x en nuestra función original se obtiene

\frac{sen(tan x)}{senx} = \frac{sen(tan x)}{tan x} \frac{tan x}{senx} = \frac{sen(tan x)}{tan x} \frac{1}{cos x}.

Como acabamos de ver, el primer término del producto tiende a 1, así que no hay más que tener en cuenta que cos x → 1 cuando x → 0, y aplicar que el límite del cociente es el cociente de los límites (Teorema 4.2.5) para obtener

lim_{x→0} \frac{sen(tan x)}{senx} = 1.

- Sea f(x) = xE [\frac{1}{x}], y vamos a intentar calcular lim_{x→0} f(x).

La función parte entera E [x] se define como el mayor entero menor que el número, por tanto se cumple E [x] = x − {x}, donde {x} se llama parte fraccionaria y es un número que está entre 0 y 1. De esta forma, f(x) = 1 − x {1/x} y teniendo en cuenta que −x ≤ x {1/x} ≤ x, se obtiene por el Teorema 4.2.7 x {1/x} → 0 ya que tanto x como −x tienden a cero. No hace falta más que observar que el límite de la suma es la suma de los límites, (Teorema 4.2.5), para deducir que lim_{x→0} f(x) = 1.

El ejemplo anterior nos sugiere un resultado un poco más general

Teorema 4.2.8. Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en D, y a un punto de acumulación. Supongamos que g está acotada en un entorno E ⋂ D, y que lim_{x→a} f(x) = 0, entonces lim_{x→a} f(x)g(x) = 0.

De nuevo, el resultado se deduce al observar que cuando |g(x)| ≤ C entonces −f(x)C ≤ f(x)g(x) ≤ Cf(x), y ambas funciones −f(x)C y f(x)C tienden a cero.

El concepto de límite de una función en un punto, nos dice más como se comporta la función en un entorno del punto, que en el propio punto. Es posible que en vez de estar interesados en todo lo que es un entorno del punto, queramos saber lo que ocurre en un subconjunto particular cerca del punto. Para ello, vamos a estudiar los límites según subconjuntos.

Definición 4.2.9.

Sea E ⊂ D un subconjunto del dominio de definición de f, y sea a un punto de acumulación de E. Se dice que l es el límite de f cuando x tiende a a según E, y se escribe

lim_{x→a,x∈E} f(x) = l,

si para todo entorno de U de l, existe un entorno V de a, tal que

f (V^{∗} ⋂ E) ⊂ U.

Es decir, ahora sólo consideramos x que además de pertenecer al dominio de definición, esten en el subconjunto E.

El caso más típico de límite según subconjuntos, son los límites laterales por la derecha y por la izquierda. En este caso, se toma E = D ⋂ {x > a}, y E = D ⋂ {x < a} y se escribe lim_{x→a^{+}} y lim_{x→a^{−}} respectivamente.

Ejemplo.

Sea f(x) = E [x], y vamos a calcular lim_{x→1^{+}}. Entonces deberemos escoger x que sean mayores que 1, y que esten cerca de 1. En ese caso, la parte entera será 1 luego lim_{x→1^{+}} E [x] = 1. Sin embargo, si calculamos lim_{x→1^{−}}, ahora tendremos que coger valores x que sean menores que 1 y que esten cerca de 1, luego en ese caso la parte entera valdrá constantemente 0 luego lim_{x→1^{−}} E [x] = 0.

-lim_{x→0^{+}} 1/x = +∞, mientras que lim_{x→0^{−}} 1/x = −∞.

-lim_{x→1^{+}} x^{2} = lim_{x→1^{−}} x^{2} = 1.

Si intentamos calcular en los anteriores ejemplos, el límite global en cada caso, vemos que mientras que en los dos primeros casos no existe, en el último existe y coincide con el valor de los límites laterales.

Este va a ser el caso general, es decir, si los límites laterales existen ambos y coinciden, entonces el límite global existe y coincide con el valor de los límites laterales. Este es de hecho un caso particular de un resultado más general. Sabemos que el límite según subconjuntos refleja el comportamiento de la función en ese subconjunto, por tanto, si cogemos subconjuntos que rellenen todo el entorno de a, nos dará el comportamiento global alrededor de a.

Teorema 4.2.10. Sea D = E_{1} ⋂ ⋯ ⋂ E_{k}, y a un punto de acumulación de todos los E_{i}. Entonces

lim_{x→a} f(x) = l ⟺ lim_{x→a,x∈E_{i}} f(x) = l,

para todo 1 ≤ i ≤ k.

Como caso particular se da lo que ya hemos anunciado

Corolario 4.2.11.

lim_{x→a^{+}} f(x) = lim_{x→a^{−}} f(x) = l si y sólo si lim_{x→a} f(x) = l.

Este resultado es muy útil, para calcular límites de funciones cuya definición varia a derecha e izquierda de un punto. Por ejemplo, lim_{x→1} E [x] no existe, pues vimos que los límites laterales no coincidian.

Como hemos menciondado, el límite nos proporciona una forma de entender una función alrededor de un punto. Sin embargo, a nosotros nos interesará entender la función en el dominio en general, es decir, no sólo alrededor de un punto, sino también en el propio punto, y cual es la relación entre estas dos cosas. Por otra parte estamos interesados en cuál será el comportamiento de la función de una forma más global, es decir, como varia a lo largo del dominio.

Si estamos buscando funciones ”buenas”, es decir, en las que esa variación en el dominio sea suave, se tendrá que cumplir que el valor de la función en un punto particular, de alguna manera influya en el comportamiento de la función alrededor suyo, y así ir moviendonos por el dominio.

Dicho de otra forma debe existir una relación entre el valor puntual, f(a), y el comportamiento en el entorno que hemos visto que venia dado por lim_{x→a} f(x). Esto nos lleva a un nuevo capítulo sobre funciones.

§ 4.3 \underline{Funciones continuas}

De hecho, la relación que vamos a pedir para llamar a una función buena, es que el valor puntual de la función coincida con el límite en ese punto. A estas funciones las llamaremos continuas.

Definición 4.3.1.

Sea a un punto de acumulación de D. Se dice que una función es continua en a si lim_{x→a} f(x) = f(a), o de otra forma, si para todo entorno U de f(a), existe un entorno V de a, tal que si x ∈ V ⋂ D, entonces f(x) ∈ U, es decir f (V ⋂ D) ⊂ U.

Observar que ahora, a diferencia de la definición de límite, también se incluye el propio punto a en el entorno V.

Por definición, una función es continua en todos los puntos aislados de su dominio.

Una tercera manera de definir la continuidad de una función, viene dada, como en el caso de sucesiones, en términos de ε,δ. Así, se dice que es continua si para todo ε > 0, existe un δ > 0, tal que si |x − a| < δ y x ∈ D, entonces |f(x) − f(a)| < ε.

De nuevo, también se puede dar una definición equivalente en términos de sucesiones, como sigue: una función será continua en a si para toda sucesión x_{n} → a con {x_{n}} ⊂ D se tiene f (x_{n}) → f(a). Observar que, como hemos mencionado anteriormente, en este caso la sucesión si puede incluir el propio punto a.

Por extensión se dice que una función es continua en un conjunto E, si lo es en cada uno de sus puntos.

Ejemplos.

Consideremos la función f(x) = x. Esta función es continua en a cualquiera que sea el punto a, pues lim_{x→a} x = a = f(a).

-La función E [x] no es continua en 1, pues el límite de la función no coincide con el valor de la función en el punto, de hecho ese límite no existe.

-La función f(x) = 0 si x ≠ 0 y f(0) = 1, no es continua en el cero, pues a pesar de que existe el límite de la función cuando x → 0, lim_{x→0} f(x) = 0, no coincide con f(0) = 1.

-La función f(x) = 0 si x ∈ ℚ, y f(x) = 1 para x irracional, no es continua en ningun punto, pues como vimos no existe el límite de la función en ningun punto.

-La función f(x) = 0 si x ∈ ℚ, tomando ℚ como su dominio de definición, SI es continua, pues en la condición de continuidad, estamos considerando sólo aquellos x que pertenezcan al dominio, y por tanto f(x) = 0 siempre.

-La función senx es continua pues, por definición de la función, se cumple |senx − sena| ≤ |x − a|, luego tomando δ = ε se tiene que si |x − a| < δ, entonces |f(x) − f(a)| < ε.

-La función e^{x} es continua, pues ya vimos que si x_{n} → x, entonces e^{x_{n}} → e^{x}, que es exactamente la definición de continuidad.

Como hemos visto, existen diferentes causas por las que una función puede ser discontinua, es decir, no ser continua:

(i) Porque el límite, aunque exista, no coincida con el valor de la función en el punto. En este caso se dice que la función tiene una discontinuidad evitable. El tercer ejemplo anterior coincide con este tipo de discontinuidad.

Observar que una nueva definición del valor de la función en el punto, haría a ésta continua.

(ii) Porque no exista el límite, y esto puede ocurrir porque los límites laterales no coincidan aunque ambos existan, y en este caso se llama discontinuidad de salto. El dibujo tipico es E [x],

o por que no exista alguno de los límites laterales, en cuyo caso se llama discontinuidad esencial. En este caso podemos incluir nuestro cuarto ejemplo anterior, aunque existen muchos tipos de discontinuidad esencial.

Vamos ahora a dar algunos resultados concernientes a la continuidad de funciones.

Hasta ahora, hemos visto que la propiedad de la monotonía era definitiva a la hora de obtener resultados en general. Veremos que, decir que una función es monótona, también tiene consecuencias en la continuidad.

Definición 4.3.2.

Se dice que una función es creciente en un conjunto D ⊂ ℝ si para todo x ≤ y de D se cumple f(x) ≤ f(y). Se aplican análogamente las definiciones de decreciente y crecimiento o decrecimiento estricto.

Una función que cumpla alguna de las anteriores propiedades se dice que es monótona.

Teorema 4.3.2. Si una función es monótona en D, entonces las únicas discontinuidades que puede tener en D, son de salto.

Es decir, siempre existen los límites laterales en una función monótona.

La demostración consiste en observar, que los conjuntos x > a tienen imagen f(x) ≥ f(a), es decir, son acotados inferiormente, lo que garantiza la existencia de un ínfimo, y éste justamente será el límite lateral. Un caso análogo serán los conjuntos x < a.

Teorema 4.3.3. Sean f y g dos funciones continuas en a. Entonces f + g, λf para cualquier λ ∈ ℝ, y fg son continuas en a. Si además g(a) ≠ 0, entonces f/g también es continua en a.

Estas propiedades se deducen del comportamiento del límite frente a las operaciones algebraicas.

Este teorema nos permite deducir la continuidad de las funciones racionales, cocientes de polinomios, o incluso de las funciones racionales de funciones continuas,– funciones racionales en las que sustituimos la variable x por una función continua–, en todos los puntos de su dominio. Sin embargo no todas las funciones son de este tipo. Por ejemplo, podriamos considerar las funciones sen (x^{2}), o e^{senx}.

Estas funciones podremos tratarlas gracias a una nueva operación, la composición de funciones.

Definición 4.3.4.

Sea f : D ⟶ ℝ y g : D′ ⟶ D subconjuntos de ℝ. Definimos la composición de g y f como f ∘ g(x) = f(g(x)), y se lee g compuesto con f.

Observar que la composición es una función que va desde D′ hasta ℝ.

Ejemplo.

-Sean h(x) = e^{x}, g(x) = x^{2}, y f(x) = senx entonces f ∘ g(x) = sen (x^{2}), y h ∘ f(x) = e^{senx}.

Teorema 4.3.5. Si g es continua en a, y f es continua en b = g(a), entonces f ∘ g es continua en a.

La prueba consiste en observar que, por continuidad, g lleva entornos U de a en entornos V de b, por continuidad f llevará estos entornos V en entornos W de f(b), luego la composición llevara U de a en W de f(b).

Los resultados anteriores se refieren a la continuidad de una forma local, es decir, relativa a un punto. Sin embargo, la propiedad de ser continua, es tan fuerte que tiene consecuencias más globales en todo el dominio en el que la función es continua.

Teorema 4.3.6. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces es acotada en [a, b].

Observar que si no fuese acotada, habría una sucesión de x_{n} ∈ [a, b] tal que f (x_{n}) → ∞, pero por otra parte x_{n} → x ∈ [a, b] y por continuidad f (x_{n}) → f(x), por lo que f(x) = ∞ y no podría ser continua en ese punto.

Es importante notar que en el anterior teorema, las condiciones pedidas son las mínimas que se pueden pedir. De esta forma, si por ejemplo la función no fuese continua en un sólo punto, podría darse

o bien si el intervalo no fuese cerrado

Teorema 4.3.7. Si f es continua en [a, b], entonces alcanza el máximo y el mínimo, es decir, existen un c y un d en [a, b] tal que f(c) ≥ f(x) y f(d) ≤ f(x), para todo x ∈ [a, b].

Teniendo en cuenta que la función es acotada por el anterior teorema, el conjunto {f(x) , x ∈ [a, b]} tendra supremo e ínfimo. La prueba se termina observando que la continuidad de f, asegura que las sucesiones f (x_{n}) y f (y_{n}) que tienden al supremo e ínfimo respectivamente, tienen límite f(c) y f(d).

Teorema 4.3.8 (Bolzano). Si f es continua en [a, b] y f(a)f(b) ≤ 0, es decir, son de distinto signo, entonces existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0.

La continuidad asegura que si la función es negativa en un punto x, lo seguirá siendo en todo un entorno alrededor de x, así que cogiendo el supremo S de los x tal que f(x) < 0, entonces f(S) = 0, pues si no fuese 0 habría todo un entorno del mismo signo y no podría ser el supremo.

Una aplicación inmediata de este teorema la encontramos en los polinomios

Teorema 4.3.9. Cualquier polinomio de grado impar tiene una raíz real.

Notar que el polinomio, función continua en todo ℝ, de grado impar se hace grande y positivo si x es grande y positiva, mientras que es grande y negativo para x grande y negativa, por lo que hay un cambio de signo y por tanto una raíz.

Teorema 4.3.10. Si f es continua en [a, b], entonces alcanza todos los valores entre f(a) y f(b), es decir, para todo z con f(a) ≤ z ≤ f(b) existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = z.

No hay más que tomar la función g(x) = f(x)−z entonces g(a) ≤ 0 y g(b) ≥ 0, luego hay un c con 0 = g(c) = f(c) − z.

Corolario 4.3.11. La imagen por una función continua de un cerrado, es un cerrado.

De hecho, el intervalo cerrado imagen será el [m, M], donde m es el mínimo de la función , y M el máximo.

Teorema 4.3.12. Si f es continua y estrictamente creciente en [a, b], entonces la inversa f^{−1} es continua en [m, M].

De hecho se cumple para δ = min (f(x) − f(x − ε), f(x + ε) − f(x)),

f^{−1} (E (f(x), δ)) ⊂ E(x, ε).

Si la función es estrictamente decreciente, el resultado y la prueba son completamente análogos.

Este teorema nos permite probar directamente, la continuidad de funciones como x^{1/n}, para n ∈ ℕ y x > 0, ya que sus inversas x^{n}, son continuas y crecientes en esa parte del dominio.

Otro ejemplo que trata este teorema es la función f(x) = a^{x}, a > 0, pues es una función continua y monótona en todo ℝ. Por tanto su inversa que llamaremos el logaritmo f^{−1}(x) = log_{a} x es continua en todo su dominio.

Las funciones logaritmicas, o inversas de las exponenciales, tienen una importancia especial dentro del análisis, por lo que dedicaremos un momento a ver algunas de sus propiedades.

Como hemos dicho, la función logaritmica, es la función inversa de la exponencial, es decir, log_{a} x = y si y sólo si a^{y} = x. Cumple, entre otras, las siguiente propiedades:

(1) log_{a} a = 1.

(2) log_{a} (x_{1}x_{2}) = log (x_{1}) + log (x_{2}).

(3) log_{a} (x^{z}) = z log_{a} x.

(4) log_{a} b = 1/ log_{b} a.

(5) Para a > 1 log_{a} x es creciente, pues a^{y} lo es, mientras que para a < 1 es decreciente, por serlo a^{y} en ese caso.

(6) Si a > 1, lim_{x→∞} log_{a} x = +∞.

Es interesante observar que, a pesar de la propiedad (6), el crecimiento de la función logaritmica es muy lento. Así, se puede demostrar que para cualesquiera a > 1, k > 0 fijos, se tiene

\frac{x^{k}}{a^{x}} → 0  y  \frac{log_{a} x}{x^{k}} → 0.

Análogamente a la definición hecha para sucesiones, en este caso se dice que x^{k} = o(a^{x}), mientras que log_{a} x = o(x^{k}).

Una aplicación interesante de la función logaritmica, la encontramos en el cálculo de límites. De esta forma, si se nos presenta el cálculo de un límite en a de una función del estilo f(x)^{g(x)}, no tenemos por ahora ninguna forma de atacarlo. Sin embargo, teniendo en cuenta la propiedad (3), el logaritmo transforma las potencias en productos, con lo que se cumple

f(x)^{g(x)} = e^{g(x) log(f(x))},

y por tanto

lim_{x→a} f(x)^{g(x)} = e^{lim_{x→a} g(x) log(f(x))},

con lo que hemos reducido el cálculo del límite original, al límite de un producto de funciones. En general, si ambas funciones son continuas en el punto, para el cálculo del límite bastará con sustituir el valor de la función en el punto. Sin embargo, siempre que el producto que aparezca al tomar logaritmos sea de la forma ∞ · 0, el procedimiento no es concluyente. Existen diversas formas de que aparezca este producto: Si g(x) → 0 y f(x) → +∞.

Ejemplo.

-Sea f(x) = x^{1/x} si queremos calcular lim_{x→+∞} f(x) queda

e^{\frac{log x}{x}} ,

teniendo en cuenta que log x/x → 0 queda lim_{x→+∞} f(x) = e^{0} = 1.

Si f(x) → 0 y g(x) → 0.

Ejemplo.

Vamos a calcular el límite cuando x → 0 de

f(x) = x^{senx}.

Teniendo en cuenta que lim_{x→0} senx/x = 1, queda

lim_{x→0} f(x) = lim_{x→0} e^{senx log x} = e^{lim_{x→0} \frac{senx}{x} x log x} = 1,

ya que lim_{x→0} x log x = − lim_{x→0} log (1/x) / (1/x) = 0.

Si f(x) → 1 y g(x) → ∞.

Ejemplo.

Probar que

lim_{x→0}(1 + x)^{1/x} = e.

Calculamos los límites laterales. Si x > 0, por ser la función exponencial creciente, se tiene para 1/(n + 1) ≤ x < 1/n

(1 + \frac{1}{n + 1})^{n} < (1 + x)^{1/x} ≤ (1 + \frac{1}{n})^{n+1} .

Como ambas sucesiones al principio y al final de la desigualdad, tienden a e cuando n → ∞, se deduce que, el límite cuando x → 0 de la función en el centro, es e.

El límite lateral cuando x < 0 es análogo.

Este límite es útil para deducir un resultado un poco más general. Supongamos que f(x) → 0 cuando x → a, entonces

lim_{x→a} (1 + f(x))^{1/f(x)} → e.

Esto es cierto pues para cualquier sucesión x_{n} → a, entonces f (x_{n}) es una sucesión que tiende a cero, así que por la definición de límite en términos de sucesiones, se deduce

(1 + f (x_{n}))^{1/f(x_{n})} → e,

como queriamos ver.

Por último, tomando logaritmos en el límite anterior se tiene

\frac{log(1 + f(x))}{f(x)} → 1,

cuando x → a. De la misma forma, si suponemos que la función f(x) → 1 cuando x → a tendremos

\frac{log (f(x))}{f(x) − 1} → 1,

es decir las funciones log (f(x)) y f(x)−1 son equivalentes. Este hecho se puede utilizar para facilitar límites de potencias como sigue

Teorema 4.3.13. Si f(x) → 1 y g(x) → ∞ cuando x → a, se tiene

lim_{x→a} f(x)^{g(x)} = e^{lim_{x→a} g(x)(f(x)−1)}.

Ejemplo.

Calcular si existe

l = lim_{x→0} (1 + x)^{\frac{1}{senx}} .

Haciendo f(x) = 1 + x, g(x) = 1/senx en el teorema anterior, queda

l = e^{lim^{x→0} ^{\frac{x}{senx}}} = e,

ya que senx/x → 1 cuando x → 0.

Funciones Derivables

§ 5.1 \underline{Introducción}

Una forma bastante directa, de hacerse una idea del comportamiento de una función definida en los reales, es mediante una gráfica. Vamos por tanto, a hacer un ligero análisis de como esencialmente dibujamos funciones. Supongamos una función cuya gráfica es la de la figura.

Un concepto claro que distingue, al menos en parte, la gráfica como tal, es el crecimiento, es decir, si se nos dice que una función es decreciente hasta a, luego creciente hasta b, en donde empieza de nuevo a decrecer hasta c, y a partir de ahi ya no deja de crecer, el dibujo que nos imaginaremos será más o menos el de la figura. Por tanto, un estudio sobre el crecimiento de la función, nos permitirá obtener un conocimiento más o menos determinante de su comportamiento.

Recordemos que una función es creciente si f(x) > f(y) cuando x > y. Dicho de otra forma, podremos entender el crecimiento de una función, al observar el signo de Δ(f) = f(y) − f(x) relativo al de Δ = y − x, o también, en una sola ecuación, conociendo el signo de

\frac{f(y) − f(x)}{y − x}.

Así, si ese cociente es positivo, la función será creciente, y si es negativo, decreciente.

Esta cantidad se llama cociente incremental. Ahora bien, el cociente incremental, nos da información relativa a dos puntos fijos x e y. Sin embargo, si nosotros queremos deducir el crecimiento de la función en un intervalo [a, b], deberemos comprobar que para cada x del intervalo, el cociente incremetal (f(y) − f(x))/(y − x) es positivo, con y cualquier número del intervalo. Visto de esta forma, se entiende que el crecimiento será una función de x, es decir, es una condición o propiedad, que depende de cada punto.

Como siempre, si queremos entender una condición puntual dentro de un dominio incluido en los números reales, tendremos que usar el concepto de límite.

En este caso, estamos intentando entender el cociente incremental, como una función sólo de x, por lo que vamos a considerar el límite en la variable y.

Definición 5.1.1.

Si

lim_{y→x} \frac{f(y) − f(x)}{y − x}

existe, se dice que la función es derivable en x, siendo el límite la derivada de la función f en el punto x, a lo que denotaremos f′(x). Si el límite no existe, se dice que la función no es derivable en x.

Se dice que una función es derivable en un conjunto D si lo es en cada uno de sus puntos.

Una forma análoga de escribir la derivada es

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} = f′(x).

Ejemplos.

-Si f(x) = c en todo el dominio, con c una constante, entonces f′(x) = 0 en todo el dominio. En efecto, f(x + h) − f(x)/h = 0 cualquiera que sea h ya que la función es constante. Por tanto el límite del cociente incremental existe y vale 0.

-f(x) = x tiene como derivada f′(x) = 1, pues f(x+h)−f(x) = x+h−x = h, y al dividir por h queda constatemente 1.

- La función senx es derivable cualquiera que sea el x ∈ ℝ. Para comprobarlo, tenemos que ver si existe el límite

(senx)′ = lim_{h→0} \frac{sen(x + h) − senx}{h}.

Ahora bien, sen(x + h) = senx cos h + cos xsenh, por lo que podemos escribir

\frac{sen(x + h) − senx}{h} = senx (\frac{cos h − 1}{h}) + cos x\frac{senh}{h}.

Teniendo en cuenta que cos h = cos^{2}(h/2) − sen^{2}(h/2) y que 1 = cos^{2}(h/2) + sen^{2}(h/2), obtenemos

lim_{h→0} \frac{cos h − 1}{h} = lim_{h→0} \frac{−2sen^{2}(h/2)}{h} = − lim_{h→0} \frac{h}{2} (\frac{sen(h/2)}{h/2})^{2} = 0,

ya que senx/x → 0 cuando x → 0. De esta forma, el primer sumando en el cociente incremental de la función seno tiende a cero, y por tanto

(senx)′ = cos x.

-La función e^{x} es derivable en todo x y la derivada es ella misma.

lim_{h→0} \frac{e^{x+h} − e^{x}}{h} = e^{x} lim_{h→0} \frac{e^{h} − 1}{h},

llamando y = e^{h} − 1, entonces h = log(1 + y) y h → 0 ⟺ y → 0 por lo que

lim_{h→0} \frac{e^{h} − 1}{h} = lim_{y→0} \frac{y}{log(1 + y)} = 1.

El valor del último límite lo calculamos en el capítulo anterior.

Vamos a ver ahora el significado geométrico de la derivada. Dados dos puntos (x, f(x)) e (y, f(y)), de la curva y = f(x), consideramos el triangulo rectangulo formado, por esos dos puntos y el (y, f(x). El cociente incremetal relativo a x ey es justamente el cateto opuesto entre el cateto contiguo, es decir,

\frac{f(y) − f(x)}{y − x} = tan α,

donde α es el ángulo que forma, la recta secante que pasa por los dos puntos, y el eje de las x.

Ahora bien, si consideramos el límite cuando y tiende a x, entonces la recta secante se convertirá en la recta tangente, luego la derivada no es más que la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva, y el eje de las x. Esto, como sabemos, es la pendiente de la recta tangente.

La derivada f′(x) es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x, f(x)).

Observando detenidamente la figura anterior, podemos deducir una primera aplicación de la derivada. En efecto, utilizando la notación o pequeña introducida en el capitulo anterior, y que compara el crecimiento de funciones, podemos escribir la derivada como sigue: Si la función es derivable en a, con derivada f′(a), se tiene

lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = f′(a),

y ”multiplicando y dividiendo” por x − a a la derecha de la igualdad obtenemos

lim_{x→a} |\frac{f(x) − f(a) − f′(a)(x − a)}{x − a}| = 0,

o lo que es lo mismo

f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + o(x − a).

Así, cuando x esta suficientemente cerca de a, el término o será muy pequeño, y podemos decir que, aproximadamente f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a). Ahora bien y = f(a) + f′(a)(x − a) es la ecuación de la recta que pasa por el punto (a, f(a)), y tiene pendiente f′(a),y por la observación anterior, sabemos que entonces dicha recta es la recta tangente a la curva f(x) en el punto (a, f(a). Con lo que, para puntos x suficientemente cercanos a a, (de forma que (x − a) sea pequeño), nuestra nueva interpretación nos dice que el valor de la función en esos puntos, será aproximadamente el valor de la recta tangente.

Ejemplo.

-Supongamos que queremos dar un valor aproximado de e. Entonces, sabemos que e^{0} = 1, por otra parte (e^{x})′ = e^{x}, luego f′(0) = 1m, y podemos aproximar el valor de la función e^{x} en x = 1, que será el número e, mediante la recta tangente f(0) + f′(0)(x − 0) = 1 + x para obtener e ≈ 1 + 1 = 2.

Vamos ahora a resumir algunas propiedades de las funciones derivables.

§ 5.2 \underline{Propiedades de las funciones derivables}

Teorema 5.2.1. Una función derivable en a, es continua en a.

Observar que f(x)−f(a) = f′(a)(x−a)+o(x−a), luego lim_{x→a} f(x)−f(a) = 0, que es la definición de continuidad.

El recíproco de este resultado no es cierto, así por ejemplo, la función definida como f(x) = |x|, es continua en el 0 pero no es derivable en ese punto. En efecto , si consideramos h > 0, (f(0 + h) − f(0))/h = 1, mientras que para h < 0 el cociente incremental vale −1, luego no puede existir el límite.

La gráfica de este ejemplo muestra un pico justo en el cero, este es el caso típico de función no derivable. Por supuesto, una función con picos no puede tener recta tangente, y por tanto no puede estar bien definida la derivada.

Teorema 5.2.2. Si f′(a) > 0 para todo a en un intervalo I, entonces f es estrictamente creciente en ese intervalo. Si f′(a) < 0, entonces es estrictamente decreciente. Por último si la función alcanza máximo o mínimo en a y f es derivable en ese punto, entonces f′(a) = 0.

Notar que la derivada es el límite del cociente incremetal, así si la derivada es positiva, el cociente incremental para x cerca de a también es positivo y la función será estrictamente creciente. El caso decreciente es análogo. Por último, si la función tiene un máximo, no puede ser ni creciente ni decreciente, luego tiene que tener derivada 0.

Ejemplo.

-La función e^{x} es creciente en todo ℝ pues la derivada es ella misma y siempre es positiva.

Teorema 5.2.3. Sean f y g dos funciones derivables en a. Entonces (1) f + g es derivable en a y se cumple (f + g)′(a) = f′(a) + g′(a).

(2) λf es derivable en a y se cumple (λf)′(a) = λf′(a) cualquiera que sea λ ∈ ℝ.

(3) fg es derivable en a y se cumple (fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a).

(4) Si además g(a) ≠ 0 entonces f/g es derivable en a y se cumple (f/g)′(a) = (f′(a)g(a) − g′(a)f(a))/g^{2}(a).

La prueba de las dos primeras propiedades es inmediata de la definición de límite. Para demostrar la derivada del producto, basta con fijarnos en la identidad

\frac{f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a)}{h} = g(a + h)\frac{f(a + h) − f(a)}{h} + f(a)\frac{g(a + h) − g(a)}{h},

y tomar límites cuando h → 0.

El cociente se reduce a la multiplicación, derivando en la identidad

1 = g(x)\frac{1}{g(x)},

pues la derivada de una constante es cero, por lo que queda

0 = g′(x)\frac{1}{g(x)} + (\frac{1}{g(x)})′ g(x),

y despejando obtenemos

(\frac{1}{g(x)})′ = −\frac{g′(x)}{g^{2}(x)}.

Ahora no hay más que escribir el cociente f(x)/g(x) = f(x) (1/g(x)), y aplicar la derivada del producto.

Este teorema nos permite deducir que las funciones racionales de funciones derivables, son derivables en todos los puntos salvo donde se anula el denominador.

El siguiente paso es, al igual que en el estudio de la continuidad, ver que ocurre con la composición de funciones.

Teorema 5.2.4 (Regla de la cadena). Sea g una función derivable en a y f derivable en b = g(a). Entonces f ∘ g es derivable en a, y la derivada vale (f ∘ g)′ (a) = f′(g(a))g′(a).

Recordar que la derivada es como el crecimiento relativo de la función respecto a la variable. Así, lo que nos dice este teorema, es que el crecimiento relativo de la función composición respecto de la variable x, es como el crecimiento de f respecto de la ”variable g”, por el crecimiento de g respecto de x.

La demostración se basa en la identidad

\frac{f(g(a + h)) − f(g(a))}{h} = \frac{f(g(a + h)) − f(g(a))}{g(a + h) − g(a)} \frac{g(a + h) − g(a)}{h}.

Ejemplos.

-Sea f(x) = sen (x^{2}), entonces f(x) = g∘h(x) con g(x) = senx y h(x) = x^{2}, y por tanto f′(x) = g′(h(x))h′(x). Ahora bien g′(x) = cos x luego g′(h(x)) = cos (x^{2}). Por otra parte, usando la derivada del producto en x^{2} = xx, y que la derivada de la función x es 1, obtenemos h′(x) = 2x, con lo que f′(x) = cos (x^{2}) 2x.

Supongamos ahora que existe la función inversa, f^{−1} de una dada f, (para ello la función debe ser inyectiva), y que además f es derivable. ¿Se puede deducir algo sobre la derivabilidad de f^{−1}?

En efecto

Teorema 5.2.5. Sea f una función inyectiva y continua en un intervalo I, y derivable en a con f′(a) ≠ 0. Entonces existe la función inversa f^{−1}, es derivable en f(a), y cumple f^{−1} (f(a)) = 1/f′(a).

Por ser la derivada distinta de cero, (o mayor o menor que cero) la función es estrictamente monótona, además es continua, por lo que la inversa es continua y sabemos que tiene por dominio un intervalo [m, M]. Para ver si es derivable, hay que observar que en ese caso y = f(x) para cualquier y de la imagen, y por tanto el cociente incremental

\frac{f^{−1}(y) − f^{−1}(f(a))}{y − f(a)} = \frac{x − a}{f(x) − f(a)} → \frac{1}{f′(a)}.

Uno de los teoremas más importantes concernientes a las funciones derivables, es el teorema del valor medio, que sin embargo resultará ser bastante intuitivo. Vamos a empezar con un caso particular que nos hara ver más claro cuál es el espiritu del teorema, que presentaremos más adelante.

Teorema 5.2.6 (Teorema de Rolle). Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f(a) = f(b), entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f′(c) = 0.

Es decir, si empezamos y terminamos a la misma altura, habrá un punto intermedio donde la tangente sea paralela al eje de las x.

La prueba no es más que observar, que una función continua alcanza el máximo y el mínimo, y en esos puntos la derivada tiene que ser 0.

En este teorema son imprescindibles todas las hipótesis, ya que en cuanto en un punto la función no sea continua o no derivable, puede ocurrir

Una aplicación inmediata de este teorema, la encontramos dentro de los polinomios:

Teorema 5.2.7. Cualquier polinomio de grado n, tiene como mucho n raices reales.

Lo probamos por inducción. Para 1 es claro el resultado, así que lo suponemos cierto para n − 1, y queremos probarlo para n. El caso n lo probaremos por reducción al absurdo. Si un polinomio P (x) de grado n, tuviese n + 1 raices, entonces por el Teorema de Rolle, entre cada dos raices del polinomio habría una raíz de su derivada, P′(x), por tanto P′(x) sería un polinomio de grado n − 1 pero con n raices lo que contradice la hipótesis de inducción, y demuestra el resultado.

Como generalización del Teorema 5.2.6 aparece el teorema del valor medio

Teorema 5.2.8 (Teorema del valor medio de Lagrange). Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un c ∈ (a, b) tal que

f′(c) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}.

Geométricamente, el teorema nos dice que existe un punto donde la pendiente de la tangente a la curva, coincide con la pendiente de la recta que une los extremos del intervalo. De alguna manera, este teorema es exactamente el mismo que el Teorema de Rolle. Para verlo, no hay más que observar el dibujo de forma perpendicular a la recta que une los extremos del intervalo.

La demostración analítica pasa por aplicar el teorema de Rolle a la función g(x) = (f(x) − f(a)) (b − a) − (f(b) − f(a)) (x − a).

Este teorema tiene una serie de consecuencias inmediatas

Corolario 5.2.9.

a) Una función continua en I = [a, b], tal que f′(x) = 0 en (a, b), es constante en [a, b].

b) Si dos funciones f y g continuas en [a, b] y derivables en el abierto cumplen f′(x) = g′(x) entonces f(x) = g(x) + K para alguna constante K.

No hay más que aplicar el anterior teorema a los diferentes intervalos [a, x] con x ∈ I.

Para la parte b), aplicamos la parte a) a la función f(x) − g(x).

Corolario 5.2.10. Si f es derivable en (a, b) y es tal que f′ (x_{1}) < λ < f′ (x_{2}), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f′(c) = λ.

Es decir la derivada de una función no tiene discontinuidades de salto.

Demostración.

Podemos reducir el caso a λ = 0 sin más que considerar la función g(x) = f(x)−λx. Ahora bien, si g es derivable, entonces es continua, y por tanto alcanza el máximo en [x_{1}, x_{2}], y en ese punto g′(c) = 0 como queriamos demostrar.

Corolario 5.2.11. Una función derivable en (a, b), es creciente en el intervalo si y sólo si f′(x) ≥ 0. Si además f′(x) > 0 entonces la función es estrictamente creciente.

Por definición, la derivada de una función creciente será el límite de un cociente que es positivo, y por tanto será positiva. El recíproco se prueba por el teorema del valor medio, pues el signo del cociente incremental es el signo de la derivada en algún punto intermedio.

El teorema del valor medio admite todavía una generalización más, conocida como

Teorema 5.2.12 (Teorema del valor medio de Cauchy). Sean f y g continuas en [a, b] y derivables en (a, b) entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f′(c) (g(b) − g(a)) − g′(c) (f(b) − f(a)) = 0.

Esta identidad se puede escribir, cuando tenga sentido como

\frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(c)}{g′(c)},

por ejemplo si g′(x) ≠ 0 en todo el intervalo, o si g(b) ≠ g(a) y f′(x)g′(x) ≠ 0 cualquiera que sea el x ∈ (a, b), pues en ese caso g′(c) ≠ 0.

La demostración es de nuevo el Teorema de Rolle, esta vez aplicado a la función h(x) = (f(x) − f(a)) (g(b) − g(a)) − (f(b) − f(a)) (g(x) − g(a)).

§ 5.3 \underline{Regla de L’Hopital}

Estamos ahora en condiciones de dar un teorema, que será de gran utilidad a la hora de resolver indeterminaciones en el cálculo de límites.

Teorema 5.3.1 (Regla de L’Hopital). Sean f y g dos funciones tal que lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) = 0, y supongamos que existe

lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = l,

entonces

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = l.

Demostración.

Sin más que redefinir el valor de las funciones en el punto a, podemos suponer que f(a) = g(a) = 0. Ahora bien como existe el límite del cociente de las derivadas, ambas funciones son derivables en un entorno de a, y además g′(x) ≠ 0 en ese entorno. Este hecho implica que g(x) ≠ 0 en ese entorno, pues si fuese 0, como también lo es en a, la derivada entonces tendría una raíz en el entorno. Por tanto, el cociente f(x)/g(x) tiene sentido, y podemos aplicarle el teorema de Cauchy, obteniendo

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)} = \frac{f (′) c_{x}}{g′ (c_{x})} ,

para un c_{x} en el intervalo formado por a y x. Tomando límites cuando x → a, se tiene c_{x} → a y

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{c_{x}→a} \frac{f′ (c_{x})}{g′ (c_{x})} = l.

Ejemplos.

-Calcular

lim_{x→0} \frac{senx}{x}.

Claramente estamos en las condiciones de L’Hopital, es decir, numerador y denominador tienen límite 0, por tanto, tenemos que comprobar si existe el límite del cociente de las derivadas. Ahora bien, dicho cociente queda

lim_{x→0} \frac{cos x}{1} = 1,

por lo que el límite original vale 1.

Observar que si el límite del cociente de las derivadas no existiese, entonces no podriamos concluir que el límite del cociente de las funciones no exista, de hecho hay ejemplos en que ocurre lo contrario. Así, mientras que

lim_{x→0} \frac{x^{2}sen (1/x)}{x} = 0,

pues no hay más que cancelar una x y observar que el seno es una función acotada, si intentamos calcular el cociente de las derivadas queda

\frac{2xsen (1/x) − cos (1/x)}{1},

cuyo límite cuando x → 0 no existe.

Otro caso que puede ocurrir, es que de nuevo el cociente de las derivadas sea una indeterminación del mismo estilo que lo era el cociente original. En este caso, podemos aplicar de nuevo L’Hopital, y si el nuevo límite existe, será el mismo que el del cociente de las derivadas, y por tanto será el mismo que el cociente de las funciones. Este proceso se puede iterar tantas veces como lo permitan las funciones a considerar.

- Calcular

lim_{x→0} \frac{1}{x} − \frac{1}{senx}.

Podemos escribir la función como

\frac{1 − x/senx}{x},

e intentar aplicar a esta última L’Hopital, pues numerador y denominador tienden a 0. Ahora bien, derivando numerador y denominador queda

\frac{− (senx − x cos x) /sen^{2}x}{1},

y tomando límites cuando x → 0 obtenemos de nuevo una indeterminación del mismo estilo. Si de nuevo derivamos numerador y denominador, (en este caso el denominador será sen^{2}x), nos queda

\frac{− (cos x − cos x + xsenx)}{2senx cos x},

cuyo límite es 0, y por tanto el límite original también vale 0.

En este último ejemplo además, hemos reducido una indeterminación del tipo ∞ − ∞ al tipo 0/0. Este proceso puede hacerse en general teniendo en cuenta la identidad

f(x) − g(x) = \frac{1/g(x) − 1/f(x)}{1/f(x)g(x)}.

En realidad, la regla de L’Hopital no sólo es útil en indeterminaciones del tipo 0/0, sino que existe una variedad, mucho más amplia, en la que se puede aplicar de manera eficaz.

Teorema 5.3.2. Sean f y g tal que lim_{x→[]} f(x) = {}, lim_{x→[]} g(x) = {} y

lim_{x→[]} \frac{f′(x)}{g′(x)} = (),

entonces

lim_{x→[]} \frac{f(x)}{g(x)} = (),

donde {} = 0 o ±∞, () = l o ±∞, y [] = a, a^{+}, a^{−} o ±∞.

Ejemplo.

-Calcular el límite cuando x → ∞ de log x/x.

Esta es una indeterminación del tipo ∞/∞, así que podemos aplicar la regla de L’Hopital que acabamos de establecer, con lo que, derivando numerador y denominador, obtenemos 1/x → 0 cuando x → ∞, luego el límite original vale 0.

§ 5.4 \underline{Fórmula de Taylor}

Nuestro siguiente objetivo se centra en una de las herramientas más útiles para el estudio de funciones. La fórmula de Taylor.

Recordemos que la definición de derivada, nos sirvió para dar un valor aproximado de una función, sabiendo el valor verdadero en un punto proximo. Para ello utilizabamos la recta tangente. Ahora bien, es claro que, a medida que nos alejemos del punto conocido, dicha recta dará una aproximación cada vez peor. ¿Será posible aproximar la función mejor que la recta tangente? Observar que esta pregunta es de una gran importancia ya que, como vimos, el verdadero valor de funciones, en principio elementales como e^{x}, o log x, es en realidad una incognita, y es sólo mediante aproximaciones que podemos entender su comportamiento. Ahora bien, el porqué es tan mala la aproximación de la recta es claro, mientras que la función toma cierta curvatura, la recta sigue siempre una misma dirección. Por tanto, tenemos que buscar funciones de aproximación que se curven de la misma forma que lo hace la función original, y por otra parte, que sean fáciles de evaluar.

En realidad funciones factibles de evaluar, sólo tenemos una familia que son las algebraicas, es decir, polinomios o cocientes de polinomios. Si una función es suficientemente buena, en el sentido de que no se va al infinito en ningun punto, entonces es claro que el cociente de polinomios no la va a aproximar bien, pues esta última sí que se irá al infinito en algún punto. Por este motivo, podemos restringir nuestras funciones de aproximación a polinomios. Además, los polinomios tienen la curvatura requerida. Sin embargo, todavía no sabemos si esta será una condición suficiente para que puedan aproximar bien a las funciones.

De esta forma, dada una función f(x), y un punto fijo a, queremos saber si para algún n, existe un polinomio de grado n, P_{n}(x) = ∑_{0≤k≤n} a_{k}x^{k}, que aproxime bien a la función en el punto.

En principio debemos definir que queremos decir con ”aproximar bien”. Esta definición deberá reflejar de alguna manera, que el error cometido al dar el valor del polinomio como verdadero valor de la función, sea pequeño. Es decir que f(x) − P_{n}(x) sea lo más pequeño posible.

Sabemos que, al aproximar cerca de un punto a por la recta tangente podemos conseguir, al menos para funciones derivables, f(x) − P_{1}(x) = o(x − a), y suponemos que esto será posible ”mejorarlo” al darle cierta curvatura al polinomio.

Definición 5.4.1.

Dos funciones f y g definidas en a, tienen orden de contacto superior a n en a, si

f(x) − g(x) = o (|x − a|^{n}) .

Claramente si tienen orden superior a n, entonces tienen orden superior a k para cualquier k ≤ n. En este sentido, para una mejor aproximación de la función, estamos buscando n más grande posible, pues cuando |x − a| < 1, |x − a|^{n} es mucho más pequeño que |x − a|^{k}, es decir el error que cometemos al aproximar f por g es mucho más pequeño según sea más grande n.

Ejemplo.

-Sumando la serie geométrica de razón 0 < x < 1, se obtiene

\frac{1}{1 − x} = 1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n} + x^{n+1} + x^{n+2} + ⋯

= 1 + x + ⋯ + x^{n} + x^{n+1} (1 + x + ⋯) = 1 + x + ⋯ + x^{n} + x^{n+1} (\frac{1}{1 − x})

= 1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n} + o (x^{n}) ,

cuando x → 0, por tanto, el polinomio P_{n}(x) = 1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n} tiene con la función 1/(1 − x) un orden de contacto superior a n en el 0.

Al igual que podemos aproximar la función por la recta tangente sólo cuando existe dicha recta, es decir, cuando la función es derivable, habra que imponer algunas condiciones para poder aproximar la función por un polinomio de mayor grado.

La condición que resulta ser la adecuada en estos casos, tiene que ver de nuevo con la definición de derivada, y de una forma mucho más restrictiva. Tanto es así, que no sólo deberá comportarse bien la función, sino también la derivada de la función, lo que podremos estudiar por medio de la derivada de la derivada.

Definición 5.4.2.

a) Una función es dos veces diferenciable, o derivable en a, si es derivable en un intervalo de a y la derivada f′(x) como función de x es derivable en a.

b) De la misma forma se define una función n veces diferenciable en a si es n−1 veces diferenciable en un entorno de a, y la derivada n−1-esima, f^{(n−1)}(x), es derivable en a.

c)Por último, si una función es n veces diferenciable en a para todo n ∈ ℕ, entonces se dice que es infinitamente diferenciable en a, y se escribe f ∈ C^{∞}(a).

Una función será n veces diferenciable en un conjunto D si lo es en cada uno de sus puntos.

Dicha definición plantea los términos necesarios, para establecer una condición suficiente que nos permite aproximar funciones, por polinomios de mayor grado. En particular se tiene

Teorema 5.4.3. Sea f, n veces diferenciable en a, entonces el polinomio

P_{n}(x) = f(a)+f′(a)(x−a)+ \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2}+ \frac{f′′′(a)}{3!}(x−a)^{3}+⋯+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n},

tiene orden de contacto superior a n con la función f, en a.

Demostración.

Aplicando n − 1 veces la regla de L’Hopital, se cumple

lim_{x→a} \frac{f(x) − P_{n}(x)}{(x − a)^{n}} = lim_{x→a} \frac{f^{(n−1)} − (f^{(n−1)}(a) + f^{(n)}(a)(x − a))}{n!(x − a)}.

Ahora bien, por ser f derivable en a, el último límite es cero, lo que concluye la prueba.

Este teorema nos proporciona, bajo ciertas condiciones, un polinomio que aproxima muy bien a la función en un punto. A dicho polinomio se le llama polinomio de Taylor, y es el único de grado menor o igual que n, que puede aproximar tan bien a la función.

Teorema 5.4.4. Si para una función f, existe un polinomio de grado n que pueda aproximar a f con orden de contacto superior a n, este es único.

En efecto, si dos polinomios aproximan a f con orden de contacto superior a n, entonces entre sí también se aproximan con orden de contacto superior a n, ahora bien por ser ambos de grado menor o igual que n, esto sólo puede ser cierto si su diferencia es 0, es decir son el mismo.

Ejemplos.

-Queremos calcular el polinomio de orden 3 de la función e^{x}, en el punto 0. Esto es posible ya que la función e^{x} ∈ C^{∞}(x) para cualquier x ∈ ℝ, así que deberemos calcular las derivadas sucesivas hasta el orden 3 en el 0. Ahora bien, cualquiera que sea n ∈ ℕ, se cumple f^{(n)}(x) = e^{x}, por tanto f^{(n)}(0) = e^{0} = 1, luego el polinomio de Taylor queda

P_{n}(x) = f(0) + f′(0)x + \frac{f′′(0)}{2!}x^{2} + \frac{f′′′(0)}{3!}x^{3} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} .

De hecho, podríamos haber calculado el polinomio de Taylor de orden n para un n genérico, y nos quedaría

P_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}x^{k}.

-Otra función que es infinitamente diferenciable es senx. Vamos a calcular su polinomio de Taylor de orden 5.

En primer lugar deberemos calcular las sucesivas derivadas. En este caso, f(x) = senx, f′(x) = cos x, f′′(x) = −senx, f′′′(x) = − cos x, f^{(4)}(x) = senx y f^{(5)}(x) = cos x, por lo que f(0) = f′′(0) = f^{(4)}(0) = 0, mientras que f′(0) = 1, f′′′(0) = −1, y f^{(5)}(0) = 1. Sustituyendo en el polinomio de Taylor, queda

P_{n}(x) = f(0)+f′(0)x+\frac{f′′(0)}{2!}x^{2}+\frac{f′′′(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^{5} = x−\frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!} .

Si ahora queremos calcular el polinomio de Taylor de orden n, debemos fijarnos en que f^{(4)}(x) = f(x), por lo que las derivadas sucesivas se irán repitiendo de cuatro en cuatro, es decir, para cualquier k ∈ ℕ, se cumple f^{(4j)}(x) = f(x) = senx, f^{(4j+1)}(x) = f′(x) = cosx, f^{(4j+2)}(x) = f′′(x) = −senx y f^{(4j+3)}(x) = f′′′(x) = − cos x. Por tanto, las derivadas sucesivas en el cero cumplirán f^{(4j)}(0) = f^{(4j+2)}(0) = 0, mientras que f^{(4j+1)}(0) = 1, y f^{(4j+3)}(0) = −1. Dicho de otra forma, las derivadas de orden par valen 0, mientras que las de orden impar valen alternativamente 1 y −1, con lo que nos queda

P_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} = ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}}{(2k + 1)!}x^{2k+1}.

Observación.

El hecho de que el polinomio de Taylor sea único, nos permite dar una nueva forma de calcular las derivadas de una función en un punto. Así, suponiendo que somos capaces de calcular un polinomio que aproxime con orden de contacto superior a n a la función en un punto, entonces el coeficiente k-esimo será igual a la derivada k-esima partido por k!.

El Teorema 5.4.4, nos permite asegurar que el polinomio, es una buena aproximación de la función; sin embargo, no tenemos una forma explícita del error que cometemos, por lo que para un valor fijo de x, no sabremos cuál es el valor del error. Dicha fórmula explícita, es posible conseguirla gracias al teorema del valor medio de Cauchy.

Teorema 5.4.5. Sea f una función n + 1 veces diferenciable en un intervalo I, y sean x, a ∈ I. Se tiene

f(x) = P_{n}(x, a) + R_{n}(x, a),

donde P_{n}(x, a) es el polinomio de Taylor de grado n en a, y

R_{n}(x, a) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x − a)^{n+1},

con c un punto en el intervalo formado por x y a.

Demostración.

Este resultado se puede probar, aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a las funciones F (t) = f(x) − P_{n}(x, t) y (x − t)^{n}, entre los puntos x y a.

Ejemplo.

-Calcular el valor aproximado del número e con un error menor que 10^{−10}. En este caso usaremos la función f(x) = e^{x}, y desarrollaremos por Taylor en

el cero. Así, si utilizamos el polinomio de Taylor de orden n cometeremos un error

R_{n}(x, 0) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}x^{n+1}.

Sabiendo que f^{(k)}(x) = f(x) para todo k obtenemos

R_{n}(x, 0) = \frac{e^{c}}{(n + 1)!}x^{n+1}.

Ahora bien, como queremos aproximar el valor del número e tendremos que evaluar la función en el 1,

e = f(1) = P_{n}(1, 0) + R_{n}(1, 0) = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{e^{c}}{(n + 1)!},

por tanto, el valor de e será el del polinomio, que ahora si se puede evaluar, pues no hay más que calcular los factoriales y sumar, más un error que podemos acotar.

Como queremos que ese error no sea muy grande, 10^{−10}, vamos a ver cuando se da esa cota en función de n, es decir, hasta que grado debemos tomar el polinomio para obtener el error deseado. Ahora bien, c es un número que esta entre 0 y x, y como en este caso x = 1, entonces 0 < c < 1, luego

\frac{e^{c}}{(n + 1)!} < \frac{e}{(n + 1)!} < \frac{3}{(n + 1)!},

en donde hemos usado la cota ya sabida e < 3. De esta forma si queremos obtener la cota deseada para el error, debe cumplirse

\frac{3}{(n + 1)!} < 10^{−10}.

Sabemos que n! → ∞, luego a fuerza de coger n grande, el factorial será más grande que cualquier cosa. En particular, por ejemplo se tiene n! > n, luego podriamos coger n = 3 10^{10} que nos asegura con mucho la certeza de la desigualdad anterior, y por tanto estaremos cometiendo un error mucho menor que el deseado.

-Calcular \sqrt{2} con un error menor que 2^{−4}.

En primer lugar debemos escoger la función que queremos aproximar. En este caso será f(x) = \sqrt{x}. Como queremos aproximar el valor de la función en el 2, deberemos utilizar el polinomio de Taylor en un punto, lo más proximo posible a 2, en el cuál sepamos el valor de la función. Así, elegiremos a = 1, es decir, debemos calcular el polinomio de Taylor de la función alrededor del 1.

En el caso anterior sabiamos el polinomio de Taylor de la funcíon, cualquiera que fuese el grado n. En este caso, no hace falta calcularlo para cualquier grado, sino sólo lo suficiente como para que el error sea menor de lo pedido.

Vamos a calcular el polinomio de Taylor de primer grado. Se tiene f′(x) = x^{−1/2}/2, luego f′(a) = f′(1) = 1/2. Por otra parte f(1) = 1, con lo que

P_{1}(x, 1) = 1 + \frac{1}{2}(x − 1)  y  \sqrt{2} ≈ P_{1}(2, 1) = \frac{3}{2}.

Para acotar el error obtenido R_{1}(2, 1), debemos calcular la segunda derivada, f′′(x) = −x^{−3/2}/4, ya que R_{1}(x, 1) = f′′(c)(x − 1)^{2}/2.

Por otra parte, teniendo en cuenta que c es un número entre a = 1 y x = 2, (pues es \sqrt{2} lo que queremos aproximar), entonces c > 1 y queda |f′′(c)| < 1/4, y por tanto |R_{1}(2, 1)| < 1/8. Dicho error no podemos asegurar que sea menor que la cota pedida, por lo que deberemos calcular el polinomio de Taylor de segundo grado. En este caso f′′(1) = −1/4, por lo que

P_{2}(x, 1) = 1 + \frac{1}{2}(x − 1) − \frac{1}{4}(x − 1)^{2},  y  \sqrt{2} ≈ P_{2}(2, 1) = \frac{5}{4}

El error cometido R_{2}(x, 1) = f′′′(c)(x − 1)^{3}/3!, depende ahora de la tercera derivada, f′′′(x) = \frac{3}{8}x^{−5/2}, que evaluada en c cumple |f′′′(c)| < 3/8 con lo que |R_{2}(2, 1)| < 1/16 que es lo que nos pedian. Resumiendo, el valor de \sqrt{2} coincide con el del polinomio de Taylor de grado 2, evaluado en el 2 P_{2}(2, 1) = 5/4 con un error menor que 1/16.

El teorema de Taylor, o más bien la aproximacion de funciones por polinomios, tiene otras aplicaciones a parte de la descrita anteriormente. Por ejemplo en el cálculo de límites.

En efecto, recordar que la resolución de indeterminaciones, pasa por entender bien y comparar, el comportamiento de dos funciones con el mismo límite en un punto. Ahora bien, si tenemos buenas aproximaciones polinomicas de nuestras funciones, su comportamiento se resumirá en el del polinomio correspondiente, el cuál es más sencillo de evaluar. Pero hagamos algún ejemplo

Ejemplos.

-Supongamos que queremos calcular el límite

\frac{1}{x} − \frac{1}{senx},

cuando x → 0. Dicho límite pudimos hallarlo aplicando dos veces la regla de L’Hopital. Si en vez de eso lo escribimos como

\frac{x}{senx} \frac{senx − x}{x^{2}},

y utilizamos el hecho de que lim_{x→0} x/senx = 1, y que por Taylor senx = x + o (x^{2}), queda

lim_{x→0} \frac{x}{senx} \frac{senx − x}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{o (x^{2})}{x^{2}} = 0,

por definición de o pequeña, ya que o (x^{2}) es una función que al dividirla por x^{2}, tiende a 0 cuando x → 0.

-Calcular

lim_{x→0} \frac{log(1 − x) + x}{1 − cos x}.

Como estamos calculando el límite cuando x → 0, nos interesará entender el comportamiento del numerador y denominador cerca del 0. En este sentido, lo que deberemos calcular será un polinomio de Taylor desarrollado en el punto 0, y de grado suficientemente alto para darnos la información necesaria, (es decir que sea suficientemente buena aproximación), para calcular el límite.

Ahora bien, se puede demostrar que para f(x) = log(1 − x), se tiene

P_{n}(x, 0) = − ∑_{0≤k≤n} x^{k}/k,

por lo que f(x) = P_{n}(x, 0)+o (x^{n}), mientras que para g(x) = cos x, el polinomio de Taylor de grado 2n en el 0 es

Q_{n}(x, 0) = ∑_{0≤k≤n} (−x^{2})^{k} /(2k)!,

con lo que cos x = Q_{2n}(x, 0)+o (x^{2n}). De esta forma, al sumarle x al logaritmo, y restarle 1 al coseno, en ambos casos queda como término de menor grado x^{2}, lo que nos dice que bastará con tener un error o (x^{2}) para entender el cociente. Así podemos escoger P_{2}(x, 0), y Q_{2}(x, 0), para obtener

lim_{x→0} \frac{log(1 − x) + x}{1 − cos x} = lim_{x→0} \frac{−x − x^{2}/2 + o (x^{2}) + x}{1 − (1 − x^{2}/2 + o (x^{2}))} = lim_{x→0} \frac{−x^{2}/2 + o (x^{2})}{x^{2}/2 + o (x^{2})} = −1,

en donde hemos dividido numerador y denominador por x^{2} para calcular el último límite.

§ 5.5 \underline{Estudio local de una curva}

La siguiente aplicación del Teorema de Taylor, nos permitirá completar el comportamiento geométrico de una función localmente, es decir, crecimiento y decrecimiento, cálculo de máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, etc.

De la misma forma que la derivada nos proporcionaba información sobre el crecimiento de la función, observaremos que las derivadas sucesivas reproducen la curvatura de la curva. Pero antes de nada vamos a intentar establecer, en términos analiticos, la definición de curvatura.

Definición 5.5.1.

Sea f una función derivable en a. La gráfica de la función se dice que es convexa en a si

f(x) − (f(a) + f′(a)(x − a)) > 0,

para x en algún entorno E de a. Concava si dicha cantidad es menor que 0 en E, y se dice que a es un punto de inflexión si de nuevo para x ∈ E se cumple

f(x) − (f(a) + f′(a)(x − a)) \{ \begin{matrix}< 0 & x > a \\ > 0 & x < a, \end{matrix} o bien \{ \begin{matrix}> 0 & x > a \\ < 0 & x < a. \end{matrix}

Es decir una función será convexa en a, cuando la gráfica de la curva quede por encima de la recta tangente en un entorno de a, concava cuando quede por debajo de la recta tangente, y tendrá un punto de inflexion, cuando cambie de estar por encima a estar por debajo, o al reves, según pase por a.

Ejemplo.

-La función f(x) = x^{2} es convexa en 0, pues f(0) = f′(0) = 0 por lo que f(x) − (f(0) + f′(0)(x)) = f(x) > 0.

-La función f(x) = x^{3} tiene un punto de inflexión en 0. En este caso también se cumple f(x) − (f(0) + f′(0)(x)) = f(x), y por tanto cambia de signo cuando x pasa por el 0.

Estos no son los únicos comportamientos posibles de la función, en cuanto a su curvatura en un punto, es decir, puede haber funciones que no se incluyan en ninguno de los tres casos anteriores. De esta forma la función f(x) = x^{2}sen (1/x) atraviesa infinitas veces la recta tangente en el 0.

Vamos ahora a establecer un teorema que refleja en términos de la segunda derivada la curvatura de la curva en un punto.

Teorema 5.5.2. Si f es dos veces derivable en a, y (1) f′′(a) > 0, entonces la función es convexa.

(2) f′′(a) < 0, entonces la función es concava.

(3) Si a es un punto de inflexión f′′(a) = 0.

Demostración.

Por L’Hopital se tiene

lim_{x→a} \frac{f(x) − (f(a) + f′(a)(x − a))}{(x − a)^{2}} = lim_{x→a} \frac{f′(x) − f′(a)}{2(x − a)} = f′′(a)/2.

El resultado se concluye, observando que el cociente tiene el mismo signo que el numerador, y para algún entorno de a, el mismo signo que el límite. La parte (3) se demuestra por las dos partes anteriores, observando que en un punto de inflexión la función no puede ser ni concava ni convexa.

Gracias al teorema de Taylor este teorema se puede generalizar de la siguiente forma

Teorema 5.5.3. Sea f una función n veces diferenciable en a, y tal que f′′(a) = ⋯ = f^{(n−1)}(a) = 0, f^{(n)}(a) ≠ 0. Entonces,

(1) si n es par y f^{(n)}(a) > 0 la función es convexa en a,

(2) si n es par y f^{(n)}(a) < 0 la función es concava en a,

(3) si n es impar entonces es un punto de inflexión. Si además f′(a) = 0, y n es par, entonces la función tendra un máximo en a cuando f^{(n)}(a) < 0, y un mínimo si f^{(n)}(a) > 0.

La demostración es identica al teorema anterior, aplicando L’Hopital n − 1 veces al cociente

\frac{f(x) − P_{n−1}(x, a)}{(x − a)^{n}},

ya que el numerador, por ser todas las derivadas 0 a partir de la segunda, queda f(x) − (f(a) + f′(a)(x − a)), y cuando n sea par tendra el mismo signo que el cociente, mientras que cuando n sea impar cambiará de signo cuando x sea mayor o menor que a. En el caso de que sea par, y f′(a) = 0, entonces el signo del cociente será el de f(x) − f(a) que será el numerador en ese caso.

Ejemplo.

-La función f(x) = x^{5} tiene un punto de inflexión en x = 0. En efecto, las 4 primeras derivadas en el 0 valen 0, mientras que la quinta vale 5! ≠ 0 por tanto n es impar, luego es un punto de inflexión.

El siguiente paso es entender la curvatura de una curva, no sólo de forma puntual, sino de manera global en todo un intervalo. En este caso la definición de convexidad en un intervalo es más geométrica, y no utilizará el concepto de derivada, aunque si conserva una intima relación con esta.

Definición 5.5.4.

Se dice que una función es convexa en un intervalo I, si cualesquiera que sean los puntos x_{1}, x_{2} en el intervalo, se cumple

f ((1 − t)x_{1} + tx_{2}) ≤ (1 − t)f (x_{1}) + tf (x_{2}) ,

para todo 0 ≤ t ≤ 1. Es decir, la gráfica de la función f(x), está por debajo de la recta secante que une los puntos (x_{1}, f (x_{1})), y (x_{2}, f (x_{2})). Observar que dicha recta en coordenadas parametricas, tiene por ecuación el lado derecho de la desigualdad anterior.

Si el signo de la desigualdad es el contrario, entonces la función es concava.

La relación entre el caracter geométrico de la definición, y conceptos más analiticos, se encuentra al observar que una curva convexa, como en la figura, si es derivable en todo el intervalo, la derivada tendrá que ser una función creciente.

En efecto, la derivada es la pendiente de la tangente, y dicha pendiente va creciendo con x. Este es de hecho el caso general de cualquier curva convexa.

Teorema 5.5.5. Una función f derivable en un intervalo I, es convexa en el intervalo si y sólo si f′ es creciente en el intervalo, (concava si y sólo si es decreciente). Si además f es dos veces derivable en el intervalo, entonces es convexa si y sólo si f′′ ≥ 0, y concava si y sólo si f′′ ≤ 0, en el intervalo.

Para probarlo, se comienza observando que la función es convexa, si y sólo si la pendiente de la recta secante en el intervalo es creciente, es decir,

\frac{f (x_{1}) − f (x_{2})}{x_{1} − x_{2}} ≤ \frac{f (x_{3}) − f (x_{2})}{x_{3} − x_{2}},

cuando x_{1} < x_{2} < x_{3}. Para probar ahora que es condición necesaria, se itera la desigualdad en 4 puntos del intervalo de la forma

\frac{f (x_{1}) − f (y_{1})}{x_{1} − y_{1}} ≤ \frac{f (y_{1}) − f (y_{2})}{y_{1} − y_{2}} ≤ \frac{f (y_{2}) − f (x_{2})}{y_{2} − x_{2}},

y se toman límites cuando y_{1} → x_{1} y y_{2} → x_{2}.

Probar que es condición suficiente se consigue aplicando el Teorema del valor medio de Cauchy

\frac{f (x_{1}) − f (x_{2})}{x_{1} − x_{2}} = f′ (ξ_{1}) ≤ f′ (ξ_{2}) = \frac{f (x_{3}) − f (x_{2})}{x_{3} − x_{2}},

De aqui al resultado sólo falta tomar límites. Recordar que la secante tiende a la tangente.

Estos resultados nos permiten dibujar una gráfica aproximada de la función, en donde se recogerá crecimiento y curvatura de la curva. Para completar el dibujo, haría falta incluir en el estudio la existencia de asintotas, es decir, límites incluyendo el infinito.

Ejemplo.

-Dibujar la gráfica de la función f(x) = log x/x. En primer lugar observamos que el dominio de definición de esta función se reduce al conjunto en donde el logaritmo tiene sentido, es decir D = {x > 0}. Ahora tenemos que localizar los intervalos de crecimiento, que, como sabemos es donde f′(x) = (1 − log x)/x^{2} ≥ 0, quedando

(0, e) creciente, (e, ∞) decreciente.

Por otra parte la convexidad, o bien donde f′′(x) = (2 log x − 3)/x^{3} ≥ 0, ya que la función es dos veces derivable, queda

(0, e^{3/2}) concava , (e^{3/2}, ∞) convexa.

Uniendo crecimiento y curvatura queda

crec y conc  decre y conc  decre y conv

y la función será más o menos como la figura

Por último, vamos a ver como se comporta la función en los extremos del dominio.

En primer lugar se tiene

lim_{x→0} \frac{log x}{x} = −∞,

de donde se deduce que la función tiene una asintota vertical y = 0, y que corta una vez al eje de las x en (0, e) –pues en ese intervalo cambia de signo, (f(e) >= 0)–, y sólo una vez pues en ese intervalo la función es creciente.

Por otro lado, la función es positiva si x > e luego no vuelve a cortar al eje de las x, además

lim_{x→∞} \frac{log x}{x} = 0,

luego la función tiene al eje x como asintota horizontal.

En resumen la gráfica queda

La integral de Riemann

§ 6.1 \underline{Introducción}

La integral va a ser la herramienta analítica, que intente reflejar el concepto geométrico de área.

Si nos paramos a pensar un momento, nos damos cuenta que en realidad la definición de área es un tema muy delicado. En efecto, como cualquier cantidad medible, entender el área de una figura pasa por compararla con alguna ya conocida, que llamamos unidad. Se ha dado por considerar unidad de área a un cuadrado de lado 1. De esta forma, diremos que un cuadrado tiene área 2 si en él caben dos cuadrados de área 1.

Este proceso parece resolver nuestro problema de área, cualquiera que sea el cuadrado en cuestión, incluso nos da una fórmula para calcularla, obteniendo l^{2}, como el área del cuadrado de lado l. Incluso se puede generalizar a rectangulos, en cuyo caso el área es lado por lado. Todavía más, este proceso de ”llenar” figuras para obtener el área nos sirve para otras figuras geométricas elementales. Así, un triangulo rectangulo es la mitad de un rectangulo y por tanto tendra la mitad de su área. En general parece plausible tratar con figuras cuyos lados sean segmentos.

¿Pero que pasa cuando la figura se compone de tramos curvos? ¿Cuantos cuadrados caben en un circulo de radio 1?

Parece bastante difícil incluso entender como podemos meter los cuadrados dentro del circulo, pero incluso es más incomprensible todavía cuando sabemos que la respuesta es el número irracional π!.

En este capítulo, vamos a utilizar el análisis para definir el concepto de área de figuras, que estan limitadas por una función acotada f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b], el eje de las x, y por las rectas paralelas al eje y, x = a, y x = b.

Si queremos generalizar nuestro anterior concepto de área, parece que lo que debemos hacer, es ir llenando nuestra figura con diferentes cuadrados hasta que no quede ningun hueco, y la suma de las áreas de dichos cuadrados será el resultado deseado. Ahora bien, ni siquiera estamos seguros de que este proceso, sea factible. Por este motivo, vamos a ser un poco más modestos, e intentaremos, no calcular el área de la figura , pero si a base de utilizar el anterior método, al menos aproximarnos a algo que podemos llamar área.

De esta forma, si sumando cuadrados al final quedan huecos pequeños, o al reves, sobran huecos también pequeños, podremos decir que más o menos ese es el área de la figura.

Vamos a aproximar entonces por rectangulos, cuyo área ya sabemos calcular, de base un intervalo, [x_{i}, x_{i+1}] ⊂ [a, b], y de altura un valor próximo al de la función en ese intervalo. Si escogemos como altura el máximo de la función en ese intervalo, la aproximación nos dara una figura más grande que la descrita por la función, mientras que si escogemos el mínimo nos dara un área más pequeña. Si estos dos valores son próximos, entonces serán próximos al ”verdadero área” de la función. Ahora bien, para que dichos máximo y mínimo sean parecidos, deberemos coger un intervalo no muy grande, pues si no la función variará mucho, y el máximo y el mínimo serán muy distintos.

§ 6.2 \underline{Definiciones}

Para llevar a cabo el proceso descrito anteriormente, nos será útil el formular las siguientes definciones:

Definición 6.2.1.

Se llama partición Π de un intervalo [a, b], a una colección de n puntos de la forma Π = {a = x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} = b} para algún n.

Es decir, estamos subdividiendo el intervalo en otros más pequeños [x_{i}, x_{i+1}].

Definición 6.2.2.

Se dice que una partición Π_{0} es más fina que otra Π, si para todo x_{i} ∈ Π entonces x_{i} ∈ Π_{0}.

En este caso estamos considerando todos los intervalos en Π, y algunos nuevos.

Definición 6.2.3.

Sea f una función acotada en [a, b].

a) Se llaman sumas superiores de f en el intervalo [a, b], asociada a una partición Π = {a = x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n} = b}, a

S (f, Π) = ∑_{i=1}^{n} sup_{i} (f(x)) (x_{i+1} − x_{i}) ,

donde sup_{i} (f(x)) es el supremo de f en el intervalo [x_{i}, x_{i+1}], que existe al ser f una función acotada.

b) Se llaman sumas inferiores de f en el intervalo [a, b], asociada a una partición Π = {a = x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n} = b}, a

s (f, Π) = ∑_{i=1}^{n} inf_{i} (f(x)) (x_{i+1} − x_{i}) ,

donde inf_{i} (f(x)) es el ínfimo de f en el intervalo [x_{i}, x_{i+1}] que existe al ser f una función acotada.

De esta forma, tanto las sumas superiores como las inferiores, intentan ser aproximaciones del número que queremos definir como ”área”, y estas aproximaciones serán mejores según sea cada vez más fina la partición. Por tanto, si queremos que tenga sentido el área de la función, a medida que hacemos más fina la partición, tanto las sumas superiores como las inferiores deben tender al mismo número.

Así, estamos creando dos sucesiones de números, S (f, Π), y s (f, Π), y queremos que sean convergentes al mismo número. Este hecho vamos a probarlo, observando que de hecho estas sucesiones son monótonas y acotadas.

Teorema 6.2.4. Sea Π_{2} una partición de [a, b], y Π_{1} otra más fina que la anterior. Entonces

S (f, Π_{1}) ≤ S (f, Π_{2})
s (f, Π_{1}) ≥ s (f, Π_{2}) ,

es decir, las sumas superiores decrecen, y las sumas inferiores crecen, a medida que hacemos más fina la partición.

Demostración.

Para probarlo, observamos que las particiones más finas consideran subintervalos, y el supremo en un subintervalo es menor o igual que el supremo en todo el intervalo, mientras que el ínfimo en el subintervalo es mayor o igual que el ínfimo en el intervalo total.

Este teorema proporciona la monotonía de las sucesiones respecto de la partición. Ahora probamos la acotación Teorema 6.2.5. Sean Π_{1} y Π_{2} dos particiones de [a, b]. Entonces

s (f, Π_{1}) ≤ S (f, Π_{2}) .

Es decir cualquier suma superior es mayor o igual que cualquier suma inferior.

Demostración.

Basta con escoger la partición Π = Π_{1} ∪ Π_{2}, más fina que las dos anteriores, y utilizar que el resultado es trivialmente cierto cuando Π_{1} = Π_{2}, con lo que, por el teorema anterior

s (f, Π_{1}) ≤ s (f, Π) ≤ S (f, Π) ≤ S (f, Π_{2}) .

Ya tenemos que el conjunto de números s (f, Π), para cualquier partición Π del intervalo [a, b], es un conjunto acotado superiormente, mientras que S (f, Π) es un conjunto acotado inferiormente, así el primero tendra supremo, que llamaremos integral inferior de f,

∫_{−a}^{b} f = sup s (f, Π) ,

mientras que el segundo tendra un ínfimo que llamaremos integral superior,

∫_{a}^{−b} f = inf S (f, Π) .

Además, por el teorema anterior dichas cantidades cumplen

∫_{−a}^{b} f =≤ ∫_{a}^{−b} f.

Definición 6.2.6.

Decimos que una función es integrable Riemann si

∫_{a}^{−b} f = ∫_{a}^{−b} f,

y en ese caso llamaremos a ese número integral entre a y b de f, y lo escribiremos

∫_{a}^{b} f = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Por definición, para funciones que son positivas en el intervalo, dicho número es el área de la región limitada por la gráfica, el eje de las x y las rectas x = a y x = b.

Ejemplos.

-Sea f(x) = c una constante, y vamos a ver si la función es integrable en el intervalo [a, b].

Escogemos una partición del intervalo Π = {a = x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} = b}. Ahora tenemos que construir las sumas superiores, y las sumas inferiores, para lo que tendremos que calcular el supremo e ínfimo de la función en cada uno de los subintervalos. En este caso ambos valores son iguales a c por lo que

∑_{i=1}^{n} sup_{i} f (x_{i+1} − x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} inf_{i} f (x_{i+1} − x_{i}) = c ∑_{i=1}^{n} (x_{i+1} − x_{i}) = c(b − a),

en donde hemos utilizado que la última suma es telescópica, por lo que se cancelan todos los sumandos excepto el primero y el último.

Hemos visto por tanto, que cualquier suma superior vale c(b − a), y es igual a cualquier suma inferior, por lo que la integral superior coincidirá con la integral inferior, luego la función es integrable, y su integral vale

∫_{a}^{b} f = c(b − a).

Este resultado coincide con nuestro antiguo concepto de área, pues dicha función delimita un rectangulo de altura c y anchura b − a.

-Consideremos la función f(x) = 0 si x es racional, y f(x) = 1 para los x irracionales. Vamos a estudiar si dicha función es integrable en un intervalo I = [a, b].

Teniendo en cuenta que en cualquier subintervalo de I habrá, tanto números racionales como irracionales, cualquiera que sea la partición Π, la función alcanzara tanto su valor máximo 1, como el mínimo 0, en cualquier subintervalo de dicha partición, por lo que las sumas superiores asociadas a la partición Π, serán

∑_{i=1}^{n} sup_{i} f(x) (x_{i+1} − x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} (x_{i+1} − x_{i}) = b − a,

mientras que las inferiores

∑_{i=1}^{n} inf_{i} f(x) (x_{i+1} − x_{i}) = 0.

Por tanto, el supremo de las sumas inferiores es 0, y el ínfimo de las superiores es b − a. Dichos números no coinciden, por lo que la función no es integrable Riemann.

Hasta ahora, el deducir que una función es integrable o no, pasa por calcular el supremo de las sumas inferiores, y el ínfimo de las superiores.

Dichos números pueden no ser fáciles de calcular. Por otra parte, en realidad lo único que nos hace falta saber para determinar si una función es integrable, es que supremo e ínfimo coincidan. Dicho de otra forma, debemos fijarnos si a medida que hacemos la partición más fina, sumas superiores e inferiores están cada vez más próximas.

Vamos a establecer ahora un criterio, que nos permite deducir la integrabilidad de las funciones en base sólo a la anterior idea, es decir, sin intentar calcular el valor de la integral.

Teorema 6.2.7. Una función es integrable Riemann en un intervalo [a, b], si y sólo si para todo ε > 0 existe una partición Π_{0} del intervalo tal que para toda partición Π más fina que Π_{0} se cumple

S (f, Π) − s (f, Π) = ∑_{i=1}^{n} (sup_{i} f(x) − inf_{i} f(x)) (x_{i+1} − x_{i}) < ε.

Efectivamente, observando detenidamente la definición de supremo e ínfimo, vemos que este hecho es equivalente a que el supremo de las sumas inferiores, y el ínfimo de las superiores sean iguales, pues al formar ambas sumas respectivas sucesiones monótonas, a partir de una de ellas todas estan muy cerca del supremo e ínfimo respectivamente.

Este teorema nos permite formular los primeros resultados generales de funciones integrables.

Teorema 6.2.8. Toda función monotona en [a, b] es integrable.

Vamos a suponer que la función es creciente, siendo el caso decreciente completamente análogo.

Tenemos que comparar sumas superiores con inferiores. Ahora bien por ser creciente, sup_{i} f(x) = f (x_{i+1}), mientras que inf_{i} f(x) = f (x_{i}), por lo que tomando una partición tal que x_{i+1} − x_{i} ≤ ε/ (f(b) − f(a)), queda

∑_{i=1}^{n} (sup_{i} f(x) − inf_{i} f(x)) (x_{i+1} − x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} (f (x_{i+1}) − f (x_{i})) (x_{i+1} − x_{i})

< \frac{ε}{f(b) − f(a)} ∑_{i=1}^{n} (f (x_{i+1}) − f (x_{i})) < ε,

ya que la última suma es telescópica y al cancelarse los sumados queda f(b) − f(a), lo que concluye el resultado.

Teorema 6.2.9. Una función continua en [a, b] es integrable en el intervalo.

En este caso, la continuidad asegura que cuando la partición sea suficientemente fina, todos los f(x), con x en cada subintervalo, estarán muy próximos entre sí, en particular, la diferencia sup_{i} f(x) − inf_{i} f(x), podemos hacerla tan pequeña como queramos, por ejemplo menor que ε/(b − a). De esta forma

∑_{i=1}^{n} (sup_{i} f(x) − inf_{i} f(x)) (x_{i+1} − x_{i}) < ∑_{i=1}^{n} \frac{ε}{b − a} (x_{i+1} − x_{i}) = ε,

para lo que de nuevo, al sacar la constante fuera, nos queda una suma telescópica, de valor esta vez b − a.

De hecho, este último teorema nos proporciona una idea que podrá generalizarse de manera drastica.

Hemos visto que la clave para la demostración del teorema, era observar que el valor supremo de la función y el valor ínfimo, estaban muy próximos cuando el intervalo era suficientemente pequeño. Ahora bien, si estos dos valores están muy próximos, seguro que cualquier valor f(z) con z ∈ [x_{i}, x_{i+1}] también estara próximo a ambos, pues esta comprendido entre el supremo y el ínfimo.

En estas condiciones, podemos esperar que las sumas formadas por valores f (z_{i}), con z_{i} ∈ [x_{i}, x_{i+1}] también esten cerca de sumas superiores e inferiores. Este es de hecho el caso

Definición 6.2.10.

Sea Π una partición del intervalo [a, b]. Se llama suma de Riemann de la función f, asociada a la partición Π, a cualquier suma del estilo

∑_{i=1}^{n} f (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) ,

donde z_{i} ∈ [x_{i}, x_{i+1}].

Teorema 6.2.11. Una función es integrable en un intervalo [a, b], si y sólo si existe un número A con la propiedad de que para todo ε > 0, existe una partición Π_{0}, tal que para toda partición Π más fina que Π_{0}, y para toda suma de Riemann asociada a Π, se cumple

|A − ∑_{i=1}^{n} f (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i})| < ε.

En este caso A = ∫_{a}^{b} f.

Demostración.

Si la función es integrable, entonces tanto sumas superiores como sumas inferiores, y por tanto cualquier suma de Riemann, van a estar cerca de la integral, que será ese A. Por otra parte, si existe ese A para el que todas las sumas estan cerca, en particular también lo estarán las sumas superiores y las inferiores, por lo que estas dos últimas estarán cerca unas de otras, que es la definición de que la función es integrable.

La ventaja de esta caracterización sobre las funciones integrables, es que para calcular el valor de la integral, ya no es necesario calcular exactamente el supremo e ínfimo de la función en los subintervalos, sino que podemos utilizar cualquier punto perteneciente a estos.

Ejemplo.

-Sabemos que la función f(x) = x es integrable en cualquier intervalo [a, b], ya que es monótona, y por el Teorema 6.2.11 cualquier suma de Riemann nos servirá para calcular el valor de la integral. Sea Π = {a = x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} = b} una partición del intervalo, y escogamos como z_{i} = (x_{i+1} + x_{i}) /2 el punto medio de cada subintervalo. De esta forma

∑_{i=1}^{n} f (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{(x_{i+1} + x_{i})}{2} (x_{i+1} − x_{i}) = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} (x_{i+1}^{2} − x_{i}^{2}) ,

con lo que queda una suma telescópica, luego su valor es el último menos el primero, (b^{2} − a^{2}) /2 = A, lo que nos dá de manera fácil el valor de la integral. Observar que escogiendo por ejemplo a = 0, nos queda el área de un triangulo rectangulo con ambos catetos b.

Además, el teorema anterior nos permite obtener, con cierta facilidad, algunos resultados sobre integrabilidad.

§ 6.3 \underline{Propiedades}

Teorema 6.3.1. Sean f y g dos funciones integrables en [a, b]. Entonces las funciones f + g, y λf para todo λ ∈ ℝ también son integrables, y se cumple

∫_{a}^{b} (f + g) = ∫_{a}^{b} f + ∫_{a}^{b} g  y  ∫_{a}^{b} λf = λ ∫_{a}^{b} f.

Efectivamente, si se tiene

|∑ f (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) − ∫_{a}^{b} f| < ε/2, y |∑ g (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) − ∫_{a}^{b} g| < ε/2,

sumando queda

|∑ (f (z_{i}) + g (z_{i})) (x_{i+1} − x_{i}) − ∫_{a}^{b} f + ∫_{a}^{b} g| < ε.

Por otra parte, mientras que para λ = 0 el resultado es trivial, para λ ≠ 0 se cumple

|∑ λf (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) − ∫_{a}^{b} λf| < ε⟺|∑ f (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) − ∫_{a}^{b} f| < ε/|λ|.

Teorema 6.3.2. Si la función f vale 0 en el intervalo [a, b], salvo en un punto, entonces ∫_{a}^{b} f = 0.

Por ser la función 0 salvo en un punto z ∈ [x_{i}, x_{i+1}], entonces

S(f, Π) = f(z) (x_{i+1} − x_{i}) .

Ahora bien, (x_{i+1} − x_{i}) → 0 a medida que se hace la partición más fina, por lo que el ínfimo será 0, que coincide con las sumas inferiores.

Corolario 6.3.3. Si la función f vale 0 en el intervalo [a, b], salvo en un número finito de puntos, entonces ∫_{a}^{b} f = 0.

No hay más que utilizar el Teorema 6.3.1 y dividir la función en una suma de funciones cada una de ellas sólo distinta de 0 en un punto.

Corolario 6.3.4. Sea f una función integrable, y g = f salvo en un número finito de puntos, entonces ∫_{a}^{b} g = ∫_{a}^{b} f.

No hay más que ver que, por el Corolario 6.3.3, ∫_{a}^{b}(g − f) = 0, y observar que ∫_{a}^{b} f = ∫_{a}^{b} f + ∫_{a}^{b}(g − f) = ∫_{a}^{b} g, pues g = f + (g − f).

Teorema 6.3.5. Sean f y g dos funciones integrables y tal que f ≤ g, entonces ∫_{a}^{b} f ≤ ∫_{a}^{b} g

Observamos que tanto supremo como ínfimo de la función g − f, es mayor o igual que cero, por lo que ambas, sumas superiores e inferiores, son positivas. El resultado se termina recordando que la integral de la suma es la suma de las integrales.

Corolario 6.3.6. Una función integrable en [a, b] con supremo M, e ínfimo m, cumple

m(b − a) ≤ ∫_{a}^{b} f ≤ M(b − a).

Claramente la función f cumple m ≤ f ≤ M, con lo que el resultado se deduce del teorema, recordando que la integral de una función constante es la constante por la longitud del intervalo.

Corolario 6.3.7 (Teoremas del valor medio para integrales).

a) Sea f una función continua en el intervalo [a, b], y g positiva e integrable en dicho intervalo. Entonces existe c en [a, b] tal que

∫_{a}^{b} fg = f(c) ∫_{a}^{b} g.

b) En particular tomando g = 1, se obtiene que la integral de una función continua cumple

∫_{a}^{b} f = f(c)(b − a).

Demostración.

En primer lugar observamos que si f (x_{1}) = m y f (x_{2}) = M, son el mínimo y el máximo de f en el intervalo respectivamente, entonces

f (x_{1}) ∫_{a}^{b} g ≤ ∫_{a}^{b} fg ≤ f (x_{2}) ∫_{a}^{b} g.

De esta forma, considerando la función continua H(x) = f(x) ∫_{a}^{b} g − ∫_{a}^{b} fg, vemos que H (x_{1}) ≤ 0 y H (x_{2}) ≥ 0, por lo que existe c ∈ [x_{1}, x_{2}] ⊂ [a, b], tal que H(c) = 0 como queriamos ver.

Corolario 6.3.8. Si f es una función integrable, entonces |f| también lo es, y se cumple

|∫_{a}^{b} f| ≤ ∫_{a}^{b} |f|.

Vamos a demostrar que

(1)  sup |f| − inf |f| ≤ sup f − inf f,

con lo cuál, suponiendo que f es integrable, se tiene

S(|f|, Π) − s(|f|, Π) ≤ S(f, Π) − s(f, Π) ≤ ε,

para una partición suficientemente fina.

Ahora bien, demostrar (1) es lo mismo que probar

sup |f| + inf f ≤ sup f + inf |f|.

Si f es siempre del mismo signo, entonces podemos suponer que f es positiva, ya que f es integrable si y sólo si −f es integrable. En ese caso f = |f|, por lo que el resultado es trivial.

Si f cambia de signo, entonces claramente

sup f + inf |f| ≥ max(0, sup f + inf f),

mientras que como sup |f| = max(− inf f, sup f), se tiene

sup |f| + inf f = max(0, sup f + inf f).

Uniendo ambas ecuaciones se obtiene (1), y por tanto |f| es integrable. Para terminar, no hay más que tener en cuenta el Teorema 6.3.5 y la desigualdad

−f ≤ |f| ≤ f.

Ejemplo.

-Dar una cota superior para ∫_{0}^{2π} senx. En este caso

∫_{0}^{2π} senx ≤ |∫_{0}^{2π} senx| ≤ ∫_{0}^{2π} |senx| ,

y utilizando que |senx| ≤ 1, se obtiene como cota superior

∫_{0}^{2π} 1 = 2π.

Teorema 6.3.9. Si una función es integrable en [a, b], entonces también lo es en [c, d], para cualquier a ≤ c ≤ d ≤ b.

Recíprocamente, si f es integrable en [a, c] y en [c, b], entonces también lo es en [a, b], y se cumple

∫_{a}^{b} = ∫_{a}^{c} + ∫_{c}^{b} .

Este teorema, en realidad sólo nos esta reflejando que, particiones en un intervalo, se trasforman en particiones para cualquier subintervalo, y que las sumas de Riemann en uno se traducen en las mismas sumas de Riemann en los subintervalos.

Ejemplo.

-Calcular la integral en el intervalo [0, 2], de la función

f(x) = \{ \begin{matrix}x & si 0 ≤ x ≤ 1, \\ −3x + 1 & si 1 ≤ x ≤ 2. \end{matrix}

Esta función no es continua ni monótona en el intervalo, luego no sabemos si es integrable o no; sin embargo, si nos restringimos a cada uno de los subintervalos [0, 1] y [1, 2], entonces en cada uno de ellos la función si es continua, y por tanto integrable, además tiene por integral

∫_{0}^{1} x = 1/2,

y

∫_{1}^{2}(−3x + 1) = −3 ∫_{1}^{2} x + ∫_{1}^{2} 1 = −3 (\frac{2^{2} − 1}{2}) + 1 = −7/2,

con lo que, por el teorema anterior, la función es integrable en el intervalo total, y su valor es

∫_{0}^{2} f = 1/2 − 7/2 = −3.

Teorema 6.3.10.

a)Si f es integrable en [a, b], también lo es f^{2}.

b)Si además f ≥ λ > 0 en el intervalo, entonces 1/f también es integrable. c)Si g es otra función integrable, entonces fg es también integrable.

Como en el Teorema 6.3.9, la prueba consiste en encontrar una relación entre, la diferencia de supremo e ínfimo de las funciones a probar su integrabilidad, y la diferencia correspondiente de la función de partida f. De esta forma, sean M_{i} = sup_{i} f(x) y m_{i} = inf_{i} f(x). La parte a) puede probarse mediante

M_{i}^{2} − m_{i}^{2} = (M_{i} − m_{i})(M_{i} + m_{i}) ≤ 2M(M_{i} − m_{i}),

donde M es el supremo de la función en el intervalo [a, b]. Con esto

S(f^{2}, Π) − s(f^{2}, Π) ≤ 2M (S(f, Π) − s(f, Π)) ,

y por tanto se puede hacer tan pequeña como queramos, suponiendo la integrabilidad de f.

La parte b), se basa en

\frac{1}{m_{i}} − \frac{1}{M_{i}} = \frac{M_{i} − m_{i}}{M_{i}m_{i}} ≤ \frac{1}{λ^{2}} (M_{i} − m_{i}),

ya que sup_{i} 1/f = 1/ inf_{i} f, y inf_{i} 1/f = 1/ sup_{i} f, con lo que

S(1/f, Π) − s(1/f, Π) ≤ \frac{1}{λ^{2}} (S(f, Π) − s(f, Π)) .

La parte c) no es más que observar

fg = \frac{(f + g)^{2} − f^{2} − g^{2}}{2} .

Como regla general hasta ahora, hemos empezado dando unos teoremas que nos relacionan el problema, en este caso de la integrabilidad de las funciones, respecto a las operaciones aritméticas.

La siguiente operación a estudiar es la composición.

Teorema 6.3.11. Sea f integrable en [a, b], y tal que f ([a, b]) ⊂ [c, d]. Supongamos además que g es una función continua en [c, d]. Entonces la función compuesta g(f(x)) es integrable en [a, b].

Observar que la diferencia sup_{i} f(x) − inf_{i} f(x) = M_{i} − m_{i}, para una función integrable, no puede ser grande muchas veces, pues si lo fuese, entonces

S(f, Π) − s(f, Π) = ∑(M_{i} − m_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) ,

sería grande. Así, despreciando los lugares donde la diferencia es grande, nos queda M_{i} −m_{i} tan pequeña como queramos. De aquí se deduce que cualesquiera dos valores de f en un mismo subintervalo, estarán próximos entre si –pues están entre M_{i} y m_{i}–. Ahora bien, g es continua, luego manda valores próximos en valores próximos, con lo que sup_{i} g ∘ f − inf_{i} g ∘ f = g (f (x_{1})) − g (f (x_{2})) = M′_{i} − m′_{i} será tan pequeño como queramos. De esta forma

S(g ∘ f, Π) − s(g ∘ f, Π) = ∑(M′_{i} − m′_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) ,

podemos hacerlo menor que cualquier ε > 0, lo que termina el resultado.

§ 6.4 \underline{Teorema Fundamental del Cálculo}

Una de las aplicaciones más poderosas del cálculo, aparece al relacionar las dos herramientas fundamentales de esta materia, la derivada y la integral. De hecho la relación entre ellas puede ser de alguna manera sorprendente por lo intima que es.

En efecto, en esta sección veremos que, en algún sentido, la derivada y la integral son procesos inversos. Para establecer este, resultado fundamental para el posterior desarrollo de la teoría, necesitamos algunos hechos preliminares.

Teorema 6.4.1. Sea f una función integrable en [a, b], y consideremos la función definida en [a, b]

F (x) = ∫_{a}^{x} f.

Esta función F, es continua en [a, b].

Demostración.

Hay que demostrar que |F (x + h) − F (x)| → 0 cuando h → 0. Ahora bien, si M es el máximo de f en el intervalo, se cumple

|F (x + h) − F (x)| ≤ ∫_{x}^{x+h} |f| ≤ Mh → 0,

como queriamos ver.

De alguna manera, lo que nos dice el teorema, es que la función, integral de una función, es más regular que la propia función. Este resultado es de hecho más general.

Teorema 6.4.2. Si f es una función continua en I = [a, b], entonces F es derivable, y se cumple F′(x) = f(x), para todo x ∈ I.

En este caso se cumple

f (x_{h}) h ≤ F (x + h) − F (x) ≤ f (x′_{h}) h,

donde f (x_{h}) y f (x′_{h}), son el mínimo y el máximo de f en el intervalo [x, x + h] respectivamente. Ahora bien, por ser la función continua, se cumple f (x_{h}) → f(x) y f (x′_{h}) → f(x) cuando h → 0 por lo que, dividiendo por h y tomando límites cuando h → 0 queda

f(x) ≤ lim_{h→0} \frac{F (x + h) − F (x)}{h} ≤ f(x).

Así, los tres miembros de la desigualdad son iguales y por tanto F′(x) = f(x).

En este teorema es esencial que la función f sea continua. Así por ejemplo, la función f(x) = −1 para −1 ≤ x < 0 y f(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1, tiene por integral la función F (x) = ∫_{−1}^{x} f que cumple, para x > 0

F (x) = ∫_{−1}^{x} f = ∫_{−1}^{0} −1 + ∫_{0}^{x} 1 = x − 1,

mientras que para x < 0,

F (x) = ∫_{−1}^{x} −1 = −1 − x,

y dicha función no es derivable en el cero.

Incluso si la función F fuese derivable, puede ocurrir que para ciertas f no continuas, no se cumpla F′ = f. Así, escogiendo f(0) = 1, y f(x) = 0 para cualquier x ∈ [−1, 1] distinto de 0, entonces F (x) = 0 para todo x. Dicha función es derivable, F′(x) = 0, pero la derivada no coincide con la función f.

Ya tenemos los ingredientes necesarios para mostrar la pieza fundamental del cálculo.

Teorema 6.4.3 (Teorema fundamental del cálculo). Si f es continua en I = [a, b] y g es tal que g′(x) = f(x) para todo x ∈ I, entonces

∫_{a}^{b} f = g(b) − g(a).

Por ser f continua, entonces F′(x) = f(x), con F como en el teorema anterior. Ahora bien F y g son dos funciones con la misma derivada en todo el intervalo, por lo que se diferencian en una constante, F (x) = g(x) + C. Ahora bien, por definición F (a) = 0, luego C = −g(a), con lo que F (x) = g(x) − g(a), y en particular ∫_{a}^{b} f = F (b) = g(b) − g(a).

Existe una generalización del Teorema fundamental del cálculo debida a Cauchy, que consigue evitar la condición de continuidad en la función f.

Teorema 6.4.4 (Segundo Teorema fundamental del Cálculo). Sea f una función integrable en I = [a, b], tal que existe g derivable en [a, b] y que cumple g′(x) = f(x) para todo x ∈ I. Entonces

∫_{a}^{b} f = g(b) − g(a).

Por ser integrable la función, para calcular su integral es suficiente con escoger una suma de Riemann y ver a que tiende cuando hacemos la partición cada vez más fina. Ahora bien, sea Π = {a = x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} = b}, y escogamos como z_{i} ∈ [x_{i}, x_{i+1}], aquel punto que asegura el Teorema del valor medio de Lagrange para el intervalo considerado. En dicho punto se cumple

g′ (z_{i}) = \frac{g (x_{i+1}) − g (x_{i})}{x_{i+1} − x_{i}},

con lo que, teniendo en cuenta que f (z_{i}) = g′ (z_{i}), la suma de Riemann para estos puntos queda,

∑_{i=1}^{n} f (z_{i}) (x_{i+1} − x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} (g (x_{i+1}) − g (x_{i})) ,

suma telescópica cuyo valor es g(b) − g(a), lo que concluye el resultado.

Ejemplo.

-Consideramos la función definida en [−1, 1] mediante f(x) = − cos(1/x) + 2xsen(1/x) para x ≠ 0, y f(0) = 0. Esta función no es continua en el 0, sin embargo es integrable en el intervalo, (probarlo), de esta forma podemos aplicar el Teorema 6.4.4 (y no el 6.4.3) para demostrar que

∫_{−1}^{1} f = 2sen1,

ya que g(x) = x^{2}sen(1/x), cumple g′(x) = f(x) para todo x en el intervalo.

Las aplicaciones del TFC que vamos a ver, serán dos teoremas que nos proporcionarán herramientas esenciales en la resolución de integrales.

Corolario 6.4.5 (Teorema de integración por partes). Sean F y G dos funciones derivables en [a, b], con derivadas integrables f y g respectivamente. Entonces

∫_{a}^{b} F g = F (b)G(b) − F (a)G(a) + ∫_{a}^{b} fG.

En primer lugar, observamos que tanto F g como fG son integrables pues es producto de dos funciones integrables,–recordar que F y G son derivables y por tanto continuas–.

Por otra parte, se cumple

(F (x)G(x))′ = F (x)g(x) + f(x)G(x),

con lo que la función a la izquierda es integrable y por el TFC se cumple

F (b)G(b) − F (a)G(a) = ∫_{a}^{b} (F (x)G(x))′ = ∫_{a}^{b} F (x)g(x) + ∫_{a}^{b} f(x)G(x),

lo que termina el resultado.

Ejemplos.

-Calcular ∫_{0}^{x} log tdt. En este caso llamando F (t) = log t, y g(t) = 1, se tiene f(t) = 1/t y la función G(t) = t, cumple G′(t) = g(t) cualquiera que sea t, y por tanto podemos aplicar el anterior teorema obteniendo

∫_{0}^{x} log t = t log t|_{0}^{x} − ∫_{0}^{x} t\frac{1}{t}dt = x log x − x.

-Calcular ∫_{1}^{x} u cos udu. En este caso, llamando F (u) = u, y G(u) = senu, estamos en condiciones de aplicar la integración por partes, quedando

∫_{1}^{x} u cos udu = usenu|_{1}^{x} − ∫_{1}^{x} senudu, = xsenx − sen1 + cos x − cos1.

Observar que para aplicar la integración por partes, elegimos como g una función de la que sabemos calcular una primitiva, es decir una G tal que G′ = g, mientras que F será lo que queda en el integrando.

En la literatura está muy extendido el uso de la notación u y v en vez de F y G, con lo que F′ = du y G′ = dv. Con esta notación el teorema quedaría

∫_{a}^{b} udv = uv − ∫_{a}^{b} vdu.

Ejemplo.

-Calcular ∫ xsenxdx.

Haciendo u = x, dv = senxdx, se tiene v = − cos x y du = 1, con lo que

∫ xsenxdx = −x cos x + ∫ cos xdx = −x cos x + senx.

Veamos ahora la segunda aplicación del TFC.

Corolario 6.4.6 (Teorema de Cambio de Variable). Sean f continua en [c, d], y g′ integrable en [a, b] con g ([a, b]) = [c, d], y g(a) = c, g(b) = d. Entonces

∫_{a}^{b} f (g(x)) g′(x)dx = ∫_{c}^{d} f(t)dt.

Por ser g′ integrable, g es continua. f también es integrable y por tanto f ∘ g es integrable y se deduce que, tanto el miembro de la izquierda como el de la derecha, son integrables. Además, la función F (t) = ∫_{c}^{t} f(t)dt, cumple F′(t) = f(t) para todo t ∈ [c, d], luego F ∘ g(x) tiene por derivada F′ (g(x)) g′(x) = f ∘ g(x)g′(x), para cualquier x ∈ [a, b]. Así, podemos aplicar el TFC para obtener

∫_{a}^{b} f (g(x)) g′(x)dx = F (g(b)) − F (g(a)) = F (d) − F (c) = F (d) = ∫_{c}^{d} f(t)dt,

como queriamos demostrar.

Ejemplos.

-Calcular ∫_{0}^{x} tan tdt. En este caso, no parece estar claro que podamos aplicar el teorema anterior, sin embargo, si escribimos la tangente como el cociente

tan t = \frac{sent}{cos t},

entonces observamos que el numerador es la derivada del denominador, salvo un signo. De esta forma, llamando f(t) = 1/t y g(t) = cos t, podemos escribir tan t = −f (g(t)) g′(t) y por tanto, teniendo en cuenta que g(0) = 1, y g(x) = cos x, queda

∫_{0}^{x} tan tdt = − ∫_{1}^{cos x} 1/tdt = − log (cos x) .

-Calcular ∫_{0}^{t} xe^{x^{2}}dx. Observar que para aplicar el cambio de variable, tenemos que buscar dos cosas. En primer lugar, de alguna manera debemos distinguir parte del integrando como la composición de dos nuevas funciones, y en segundo lugar en el resto del integrando debe aparecer la derivada de ”lo de dentro” de la composición.

En este caso, claramente e^{x^{2}} = f ∘ g(x) con g(x) = x^{2} y f(x) = e^{x}. Además g′(x) = 2x, que también es parte del integrando, de hecho se tiene la identidad xe^{x^{2}} = f (g(x)) g′(x)/2, con lo que, teniendo en cuenta que g(0) = 0, y que g(t) = t^{2}, nos queda

∫_{0}^{t} xe^{x^{2}}dx = \frac{1}{2} ∫_{0}^{t^{2}} e^{x}dx = \frac{1}{2} (e^{t^{2}} − 1) .

§ 6.5 \underline{Tecnicas de Integración}

Encontrar primitivas de funciones no es en general sencillo. Las únicas herramientas que tenemos para el cálculo de integrales, son los teoremas de cambio de variables e integración por partes. Dichos teoremas, a pesar de ser de gran utilidad, en general es posible que requieran, como hemos visto , cierto ingenio para poder aplicarlos.

En esta sección vamos a tratar el cálculo de primitivas, para ciertas funciones que aparecen muy frecuentemente, y expondremos algunas técnicas para aplicar los teoremas citados de manera eficaz.

Vamos a empezar con cocientes de polinomios

Funciones Racionales

Se llaman funciones racionales aquellas que son un cociente de polinomios

f(x) = \frac{P (x)}{Q(x)}.

Para encontrar una primitiva, es decir una función cuya derivada sea f, intentamos calcular la integral indefinida g(x) = ∫ f(x), que sabemos que tiene la derivada deseada.

La forma de atacar esta integral, es reducir el cociente a un conjunto de fracciones más sencillas, de las que si sabemos calcular la integral. Esto es lo que se llama desarrollar la función en fracciones simples.

Este desarrollo requiere de unos lemas previos. En dichos lemas usaremos letras mayusculas para denotar polinomios, y subindices para denotar el grado del polinomio. Así, A_{i} es un polinomio de grado i.

Lema 6.5.1. Sean P_{i}, Q_{j} dos polinomios tal que 1 ≤ i ≤ j ≤ 2. Entonces

\frac{1}{P_{i}Q_{j}} = \frac{C_{i−1}}{P_{i}} + \frac{R_{j−1}}{Q_{j}} .

En efecto, dividiendo Q_{j} entre P_{i}, tenemos un cociente con grado la diferencia de grados M_{j−i}, y un resto de menor grado T_{i−1}, tal que

(1)  Q_{j} = M_{j−i}P_{i} + T_{i−1}.

Por tanto, si i = 1 el resultado es cierto sin más que dividir por Q_{j}P_{1}T_{0}, obteniendo C_{0} = 1/T_{0}, y R_{j−1} = −M_{j−1}/T_{0}. En el caso de que i = 2, entonces j = 2, y dividiendo P_{2} entre T_{1} obtenemos

P_{2} = D_{1}T_{1} + T_{0},

para algunos D_{1}, T_{0}. Multiplicando (1) por D_{1}, y usando la ecuación anterior queda

Q_{2}D_{1} = M_{0}P_{2}D_{1} + T_{1}D_{1} = M_{0}D_{1}P_{2} + P_{2} − T_{0},

y de nuevo el resultado se deduce dividiendo por P_{2}Q_{2}T_{0}, y en este caso R_{1} = (M_{0}D_{1} + 1) /T_{0}, y C_{1} = −D_{1}/T_{0}.

Lema 6.5.2. Para todo polinomio P y cualquier P_{2} se cumple

\frac{P}{(P_{2})^{k}} = S + \frac{a_{1}x + b_{1}}{P_{2}} + \frac{a_{2}x + b_{2}}{(P_{2})^{2}} + ⋯ + \frac{a_{k}x + b_{k}}{(P_{2})^{k}} ,

para algún polinomio S y constantes a_{i}, b_{i} que dependen de P y de P_{2}.

Lo probamos por inducción. Dividiendo P entre P_{2} nos queda

(2)  \frac{P}{P_{2}} = S + \frac{C_{1}}{P_{2}} ,

luego el caso k = 1 es cierto. Suponemos ahora cierto el caso k = n − 1, y para probar el caso k = n, dividimos en (2) por P_{2}^{n−1}, y utilizamos la hipótesis de inducción.

Lema 6.5.3. Para cualquier polinomio P, y cualesquiera P_{i}, Q_{j} con 1 ≤ i ≤ j ≤ 2, se cumple

\frac{P}{P_{i}^{k}Q_{j}^{m}} = S + \frac{a_{1,1}x + b_{1,1}}{P_{i}} + ⋯ + \frac{a_{1,k}x + b_{1,k}}{(P_{i})^{k}} + \frac{a_{2,1}x + b_{2,1}}{Q_{j}} + \frac{a_{2,m}x + b_{2,m}}{(Q_{j})^{m}} .

Lo probamos por inducción en k + m. Para k + m = 2, el resultado es cierto sin más que multiplicar por P en la igualdad del Lema 6.5.1, ya que

(3)  \frac{P}{P_{i}Q_{j}} = \frac{P C_{i−1}}{P_{i}} + \frac{P R_{j−1}}{Q_{j}} = S + \frac{a_{1}x + b_{1}}{P_{i}} + \frac{a_{2}x + b_{2}}{Q_{j}} ,

en donde hemos obtenido la última igualdad dividiendo los polinomios en ambos cocientes.

Para k + m = 3, dividimos en (3) por P_{i}

\frac{P}{P_{i}^{2}Q_{j}} = \frac{S}{P_{i}} + \frac{a_{1}x + b_{1}}{P_{i}^{2}} + \frac{a_{2}x + b_{2}}{Q_{j}P_{i}} ,

y aplicamos el Lema 6.5.2, para obtener el resultado. De esta forma, suponemos ahora que el resultado es cierto para k + m = n − 1, y el caso n se demuestra dividiendo por P_{i}^{k−1}Q_{j}^{m−1} en (3), y aplicando la hipótesis de inducción.

Teorema 6.5.4. Toda función racional P/Q, donde

Q = (x − a_{1})^{k_{1}} (x − a_{2})^{k_{2}} ⋯ (x − a_{m})^{k_{m}} ×

× (x^{2} + b_{1}x + c_{1})^{l_{1}} (x^{2} + b_{2}x + c_{2})^{l_{2}} ⋯ (x^{2} + b_{n}x + c_{n})^{l_{n}} admite una descomposición en fracciones simples del estilo

\frac{P}{Q} = S + \frac{a_{1,1}}{(x − a_{1})} + ⋯ + \frac{a_{1,k_{1}}}{(x − a_{1})^{k_{1}}} + ⋯ +

+ \frac{a_{m,1}}{(x − a_{m})} + ⋯ + \frac{a_{m,k_{m}}}{(x − a_{m})^{k_{m}}} +

+ \frac{b_{1,1}x + c_{1,1}}{(x^{2} + b_{1}x + c_{1})} + ⋯ + \frac{b_{1,l_{1}}x + c_{1,l_{1}}}{(x^{2} + b_{1}x + c_{1})^{l_{1}}} + ⋯ +

+ \frac{b_{n,1}x + c_{n,1}}{(x^{2} + b_{n}x + c_{n})} + ⋯ + \frac{b_{n,l_{n}}x + c_{n,l_{n}}}{(x^{2} + b_{n}x + c_{n})^{l_{n}}} .

Demostración.

Si el polinomio Q sólo tiene dos factores, el teorema es consecuencia del Lema 6.5.3. Si tiene tres factores, se aplica el Lema 6.5.3 con dos de ellos, y despues se divide por el tercero, aplicando de nuevo el Lema 6.5.3. Este proceso se puede repetir tantas veces como factores tenga Q, lo que termina el resultado.

Una vez desarrollado el cociente en fracciones simples, para calcular una primitiva, tenemos que calcular cada una de las integrales que han aparecido.

Mientras que los factores reales son inmediatos de calcular,

∫ \frac{1}{x − a} = log |x − a|, ∫ \frac{1}{(x − a)^{k}} = −\frac{1}{(k + 1)x^{k+1}} ,

el caso de las raices complejas

∫ \frac{1}{x^{2} + cx + d}, ∫ \frac{x}{x^{2} + cx + d}, ∫ \frac{1}{(x^{2} + cx + d)^{k}} , ∫ \frac{x}{(x^{2} + cx + d)^{k}} ,

necesitan de cierta manipulación previa.

En la primera de estas integrales vamos a hacer el cambio de variable x+c/2 = t, con lo que x^{2}+cx+d = t^{2}+s^{2}, donde la constante s = \sqrt{d − (c/2)^{2}}, y dx = dt y la integral toma la forma

∫ \frac{1}{x^{2} + cx + d}dx = ∫ \frac{1}{t^{2} + s^{2}} dt.

Esta integral se reduce a una inmediata mediante el cambio t = us. Con este cambio el diferencial queda dt = sdu, y la integral

∫ \frac{1}{t^{2} + s^{2}} dt = \frac{1}{s} ∫ \frac{1}{1 + u^{2}} du = \frac{1}{s} arctan u.

Deshaciendo el cambio, queda u = \frac{x+c/2}{\sqrt{d−(c/2)^{2}}} , y termina la integral.

Cuando el integrando tiene x en el numerador, se puede reducir al caso anterior mediante la identidad

∫ \frac{x}{x^{2} + cx + d}dx = \frac{1}{2} ∫ \frac{2x + c}{x^{2} + cx + d}dx − \frac{c}{2} ∫ \frac{1}{x^{2} + cx + d}dx,

ya que la primera integral que aparece es inmediata

∫ \frac{2x + c}{x^{2} + cx + d}dx = log |x^{2} + cx + d|.

De la misma forma

∫ \frac{x}{(x^{2} + cx + d)^{k}} dx = \frac{1}{2} ∫ \frac{2x + c}{(x^{2} + cx + d)^{k}} dx − \frac{c}{2} ∫ \frac{1}{(x^{2} + cx + d)^{k}} dx,

y teniendo en cuenta que

∫ \frac{2x + c}{(x^{2} + cx + d)^{k}} dx = −\frac{1}{(k + 1) (x^{2} + cx + d)^{k+1}} ,

terminar con el cálculo de integrales que vienen de raices complejas, se reduce a calcular

∫ \frac{1}{(x^{2} + cx + d)^{k}} dx = ∫ \frac{1}{t^{2} + s^{2}} dt = I_{k},

donde hemos hecho el cambio x + c/2 = t y de nuevo s = \sqrt{d − (c/2)^{2}}.

Dicha integral la calcularemos por una fórmula de recurrencia mediante la integración por partes en I_{k−1} dada por

u = \frac{1}{(t^{2} + s^{2})^{k−1}} , dv = dt,

con lo que v = t, du = 2(1 − k)t/ (t^{2} + s^{2})^{k}, y por tanto

I_{k−1} = \frac{t}{(t^{2} + s^{2})^{k−1}} + 2(k − 1)I_{k−1} − 2s^{2}(k − 1)I_{k},

o de otra forma

2s^{2}(k − 1)I_{k} = \frac{t}{(t^{2} + s^{2})^{k−1}} + (2k − 3)I_{k−1}.

Iterando esta ecuación se obtiene el resultado, teniendo en cuenta que para k = 1, I_{1} = \frac{1}{s} arctan(t/s).

Funciones Trigonometricas

Vamos ahora a calcular primitivas de funciones racionales de funciones trigonometricas, es decir, suma, multiplicación y división de funciones trigonometricas. En primer lugar observamos que basta con considerar funciones racionales de senos y cosenos, pues cualquier función trigonometrica, es de hecho un función racional de senos y cosenos.

Teniendo en cuenta que

senx = \frac{2 tan(x/2)}{1 + tan^{2}(x/2)}; cos x = \frac{1 − tan^{2}(x/2)}{1 + tan^{2}(x/2)},

el cambio tan(x/2) = t reduce una integral de ese estilo en una integral racional que ya hemos tratado anteriormente, ya que en ese caso x = 2 arctan t, y

dx = \frac{2}{1 + t^{2}} dt, senx = \frac{2t}{1 + t^{2}} , y cos x = \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}} .

Ejemplo.

-Calcular una primitiva de 1/(1 + cos x + senx). En este caso tenemos que calcular la integral indefinida

∫ \frac{1}{1 + cos x + senx}dx.

Haciendo el cambio tan(x/2) = t, queda

∫ \frac{1}{1 + \frac{1−t^{2}}{1+t^{2}} + \frac{2t}{1+t^{2}}} \frac{2}{1 + t^{2}} dt = ∫ \frac{2}{2 + 2t}dt = log |1 + t| = log |1 + tan(x/2)|.

Hay sin embargo algunos casos, en los que otras formas de atacar las integrales son más eficaces. Así por ejemplo las fórmulas

cos^{2} x + sen^{2}x = 1, cos^{2} x − sen^{2}x = cos(2x),

nos permiten calcular las integrales

∫ sen^{n}x, ∫ cos^{n} x,

de la siguiente forma:

Si n es par, las fórmulas sen^{2}x = (1 − cos(2x))/2, o cos^{2} x = (1 + cos(2x))/2 reducen la integral a potencias inferiores de senos o cosenos. Notar además que la integral de sen(kx) es también inmediata.

Ejemplo.

-Calcular ∫ sen^{4}x.

Usando la fórmula para el cuadrado del seno, obtenemos

∫ sen^{4}x = ∫ (\frac{1 − cos(2x)}{2})^{2} = ∫ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} ∫ cos^{2}(2x) − ∫ cos(2x)
=\frac{x}{4} + \frac{1}{4} ∫ cos^{2}(2x) − \frac{1}{2}sen(2x).

Usando ahora la fórmula para el cuadrado del coseno queda

∫ cos^{2}(2x) = \frac{1}{2} ∫ (1 + cos(2x)) = \frac{1}{2} (x + \frac{sen(2x)}{2}) ,

lo que termina la integral.

Si n es impar, entonces el cambio senx = t, si son potencias de coseno, o cos x = t si son potencias de seno, transforma la integral en un polinomio.

Ejemplo.

-Calcular ∫ cos^{5} x.

En este caso senx = t, con lo que cos xdx = dt y

∫ cos^{5} xdx = ∫ cos^{4} x cos xdx = ∫ (1 − sen^{2}x)^{2} cos xdx
= ∫ (1 − t^{2})^{2} dt = t + t^{5}/5 − 2t^{3}/3,

en donde para calcular la integral del polinomio hemos desarrollado la potencia en el integrando.

La integral se termina deshaciendo el cambio de variable senx = t.

De esta misma forma podemos tratar integrales del estilo

∫ sen^{n}x cos^{m} x,

ya que si alguna potencia es impar, se hace como el ejemplo anterior, y si los dos son pares , usando sen^{2}x = 1 − cos^{2} x se transforma en sumas de potencias de cosenos.

También se pueden tratar de manera particular las potencias inversas

∫ \frac{1}{cos^{n} x} y ∫ \frac{1}{sen^{n}x}.

Si la potencia es impar, de nuevo el cambio senx = t o cos x = t, según sea potencia de cosenos o senos respectivamente, resuelve la integral reduciendola a una integral racional.

Ejemplo.

-Calcular ∫ cos^{−5} x.

Haciendo el cambio senx = t queda cos xdx = dt y

∫ \frac{1}{cos^{5} x}dx = ∫ \frac{1}{cos^{6} x} cos xdx = ∫ \frac{1}{(1 − t^{2})^{3}} dt.

Si la potencia es par, entonces haremos el cambio tan x = t, quedando la derivada 1/ cos^{2} xdx = dt, ya que 1 + tan^{2} x = 1/ cos^{2} x y por tanto: en el caso del coseno queda,

∫ \frac{1}{cos^{2n} x}dx = ∫ \frac{1}{cos^{2n−2} x} \frac{1}{cos^{2} x}dx = ∫ (1 + tan^{2} x)^{n−1} \frac{1}{cos^{2} x}dx
= ∫ (1 + t^{2})^{n−1} dt,

mientras que en el caso del seno

∫ \frac{1}{sen^{2n}x}dx = ∫ \frac{1}{tan^{2n} x} \frac{1}{cos^{2n} x}dx = ∫ \frac{1}{tan^{2n} x} \frac{1}{cos^{2n−2} x} \frac{1}{cos^{2} x}dx
= ∫ \frac{1}{t^{2n}} (1 + t^{2})^{n−1} dt.

Para terminar con las funciones trigonométricas, vamos a dar una fórmula recurrente, mediante la integración por partes, para resolver de otra forma las integrales de potencias de senos y cosenos.

Para este particular, vamos a llamar senxdx = dv, sen^{n−1}x = u, con lo que v = − cos x, du = (n − 1)sen^{n−2}x cos xdx y por tanto

∫ sen^{n}xdx = − sen^{n−1}x cos x + (n − 1) ∫ sen^{n−2}x cos^{2} xdx
= − sen^{n−1}x cos x + (n − 1) ∫ sen^{n−2}xdx − (n − 1) ∫ sen^{n}xdx,

o de otra forma

∫ sen^{n}xdx = −\frac{1}{n}sen^{n−1}x cos x + \frac{(n − 1)}{n} ∫ sen^{n−2}xdx.

Análogamente, haciendo cos^{n−1} x = u, cos xdx = dv, obtenemos

∫ cos^{n} xdx = \frac{1}{n} cos^{n−1} xsenx + \frac{(n − 1)}{n} ∫ cos^{n−2} xdx.